广东省中山市西湾外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
1．（2024高二上·中山期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·中山期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·中山期中）圆的圆心和半径分别是（ ）
A．，1 B．，3 C．， D．，
4．（2024高二上·中山期中）在正方体中，与向量相反的向量是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·中山期中）已知，，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2024高二上·中山期中）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·中山期中）过点，的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二上·中山期中）与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（ ）
A．1 B．1 C．1 D．1
9．（2024高二上·中山期中）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．直线的方向向量有且仅有一个
10．（2024高二上·中山期中）如图，在三棱柱中，（ ）
A． B．
C． D．－
11．（2024高二上·中山期中）过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ）
A． B．1 C．0 D．不存在
12．（2024高二上·中山期中）椭圆的焦距为
13．（2024高二上·中山期中）运算的结果是 ．
14．（2024高二上·中山期中）已知直线：，直线：，则直线与的交点坐标为 .
15．（2024高二上·中山期中）已知的顶点分别为，，，中点，求边的垂直平分线的方程.
16．（2024高二上·中山期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面．
17．（2024高二上·中山期中）如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点．
（1）证明：直线直线；
（2）求直线与平面所成的角的大小．
18．（2024高二上·中山期中）已知圆．
（1）求直线被圆截得弦长；
（2）已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程．
19．（2024高二上·中山期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
（1）求C的标准方程；
（2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，则.
故答案为：C.
【分析】利用空间向量坐标运算求出结果，，，.
2．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：由题意直线的斜率为1，因此倾斜角为，
故答案为：B．
【分析】将一般式化为点斜式得，可知直线斜率为1，由斜率得倾斜角．
3．【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：由圆的标准方程，
得出圆心为，半径为.
故答案为：C.
【分析】由圆的标准方程确定圆心和半径，即可得到答案．
4．【答案】A
【知识点】空间向量的概念
【解析】【解答】解：
如图所示，可知是的相反向量.
故答案为：A.
【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可，模相等且方向相反的向量互为相反向量.
5．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
故答案为：D.
【分析】由空间向量数量积的坐标运算可得结果.
6．【答案】D
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：因为椭圆的长半轴长，
依题意，得，
又因为，所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和椭圆的定义，从而得出的值.
7．【答案】B
【知识点】直线的两点式方程
【解析】【解答】解：因为直线过点，，所以直线方程为，
故答案为：B.
【分析】利用两点式写出直线方程即可.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知，要求双曲线与双曲线共渐近线，
设要求的双曲线为.
又该双曲线经过点，则，解得，
则要求的双曲线的标准方程为.
故答案为：D.
【分析】若双曲线的渐近线为，则与之共渐近线的双曲线系方程为.由题意，设要求的双曲线为，将点的坐标代入，计算可得t的值，将其方程变形为标准方程，即可得答案．
9．【答案】A,C
【知识点】共线（平行）向量；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：AB：任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，故A正确，B错误；
C：两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，故C正确；
D：直线的方向向量有无数个，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】若三个向量、、不共面，则任意空间向量均可唯一表示为，其中{x，y，z}为实数，称为空间基底.空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量.根据基底、直线的方向向量等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
10．【答案】C,D
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解：由题意可得：，
故答案为：CD.
【分析】利用空间向量的线性运算计算即可，，.
11．【答案】C,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆，圆心为，半径为，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，
直线与圆相切；
当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即，
则圆心到直线的距离等于半径，即，解得；
综上所述，直线的斜率为或者不存在.
故答案为：CD.
【分析】根据题意，分直线的斜率存在以及不存在讨论，代入计算，即可得到结果.注意在 求直线方程时，一定要注意讨论斜率是否存在，避免少解.
12．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：已知椭圆方程，则，所以，
即，故焦距为：.
故答案为：.
【分析】通过椭圆方程可求出值（）椭圆焦距等于2c，从而求出结果.
13．【答案】
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：根据向量的线性运算法则，可得：.
故答案为：
【分析】根据题意，利用向量加减、数乘运算法则，准确化简，即可求解.
14．【答案】
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：联立直线与的方程，解方程得，即交点坐标为.
故答案为：.
【分析】两直线的交点，即为对应方程组的解，联立直线方程解方程组即可得交点坐标.
15．【答案】解：因为的顶点，，
所以中点，，
则边的垂直平分线的斜率为，
所以边的垂直平分线的方程为，即.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】根据的顶点，，求得的中点及斜率，再根据垂直平分线的定义（平分即为经过中点，垂直即为斜率乘积为-1）求解.
16．【答案】【解答】证明：如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
∵E，F分别为AB，的中点，∴，
，，，
∵，，∴，
又，平面，
平面．
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】根据正方体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用向量数量积的坐标表示，计算，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明．
17．【答案】（1）证明：（1）不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，
，.
，因为，所以.
（2）解：（2），，
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
所以，即直线与平面所成的角的大小为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据直三棱柱的结构特征，建立空间直角坐标系，设边长，写出点的坐标，利用向量数量积为0证明垂直；
（2）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的公式可求答案.
（1）不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，
，.
，因为，所以.
（2），，
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
所以，即直线与平面所成的角的大小为.
18．【答案】（1）解：（1）由可得，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得弦长为.
（2）解：（2）设，
则，解得，；
因为圆与圆相切于原点，且圆过点，
所以，，
两边平方整理可得，平方可求，
代入可得，所以圆的方程为.
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）首先将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案，直线与圆相交求弦长问题，切忌使用弦长公式；
（2）根据条件可得圆经过点（-4，0）和（0，0），，利用待定系数法可求圆的方程.
（1）由可得，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得弦长为.
（2）设，
则，解得，；
因为圆与圆相切于原点，且圆过点，
所以，，
两边平方整理可得，平方可求，
代入可得，所以圆的方程为.
19．【答案】（1）解：由题意得，，，
因为，所以，
则，
所以，椭圆C的标准方程为.
（2）解：由题意，设，，
如图所示，
联立，
整理得，
因为，
则，，
所以，
设直线l与x轴的交点为，
因为，所以，
则，
结合，解得.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合椭圆焦距的定义和离心率公式，从而得到，，进而得出a，c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出b的值，从而得出 椭圆C的标准方程.
（2）由题意，先设，，将直线与椭圆联立，结合判别式法和根与系数的关系式，从而得到，设直线l与x轴的交点为，再根据和已知条件，从而得出t的值.
（1）由题意得，，，
又，则，
则，
所以C的标准方程为.
（2）由题意设，，如图所示：
联立，
整理得，，
则，，
故.
设直线l与x轴的交点为，
又，则，
故，
结合，解得.
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1．（2024高二上·中山期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，则.
故答案为：C.
【分析】利用空间向量坐标运算求出结果，，，.
2．（2024高二上·中山期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：由题意直线的斜率为1，因此倾斜角为，
故答案为：B．
【分析】将一般式化为点斜式得，可知直线斜率为1，由斜率得倾斜角．
3．（2024高二上·中山期中）圆的圆心和半径分别是（ ）
A．，1 B．，3 C．， D．，
【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：由圆的标准方程，
得出圆心为，半径为.
故答案为：C.
【分析】由圆的标准方程确定圆心和半径，即可得到答案．
4．（2024高二上·中山期中）在正方体中，与向量相反的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的概念
【解析】【解答】解：
如图所示，可知是的相反向量.
故答案为：A.
【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可，模相等且方向相反的向量互为相反向量.
5．（2024高二上·中山期中）已知，，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
故答案为：D.
【分析】由空间向量数量积的坐标运算可得结果.
6．（2024高二上·中山期中）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：因为椭圆的长半轴长，
依题意，得，
又因为，所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和椭圆的定义，从而得出的值.
7．（2024高二上·中山期中）过点，的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线的两点式方程
【解析】【解答】解：因为直线过点，，所以直线方程为，
故答案为：B.
【分析】利用两点式写出直线方程即可.
8．（2024高二上·中山期中）与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（ ）
A．1 B．1 C．1 D．1
【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知，要求双曲线与双曲线共渐近线，
设要求的双曲线为.
又该双曲线经过点，则，解得，
则要求的双曲线的标准方程为.
故答案为：D.
【分析】若双曲线的渐近线为，则与之共渐近线的双曲线系方程为.由题意，设要求的双曲线为，将点的坐标代入，计算可得t的值，将其方程变形为标准方程，即可得答案．
9．（2024高二上·中山期中）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．直线的方向向量有且仅有一个
【答案】A,C
【知识点】共线（平行）向量；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：AB：任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，故A正确，B错误；
C：两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，故C正确；
D：直线的方向向量有无数个，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】若三个向量、、不共面，则任意空间向量均可唯一表示为，其中{x，y，z}为实数，称为空间基底.空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量.根据基底、直线的方向向量等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
10．（2024高二上·中山期中）如图，在三棱柱中，（ ）
A． B．
C． D．－
【答案】C,D
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解：由题意可得：，
故答案为：CD.
【分析】利用空间向量的线性运算计算即可，，.
11．（2024高二上·中山期中）过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ）
A． B．1 C．0 D．不存在
【答案】C,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆，圆心为，半径为，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，
直线与圆相切；
当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即，
则圆心到直线的距离等于半径，即，解得；
综上所述，直线的斜率为或者不存在.
故答案为：CD.
【分析】根据题意，分直线的斜率存在以及不存在讨论，代入计算，即可得到结果.注意在 求直线方程时，一定要注意讨论斜率是否存在，避免少解.
12．（2024高二上·中山期中）椭圆的焦距为
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：已知椭圆方程，则，所以，
即，故焦距为：.
故答案为：.
【分析】通过椭圆方程可求出值（）椭圆焦距等于2c，从而求出结果.
13．（2024高二上·中山期中）运算的结果是 ．
【答案】
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：根据向量的线性运算法则，可得：.
故答案为：
【分析】根据题意，利用向量加减、数乘运算法则，准确化简，即可求解.
14．（2024高二上·中山期中）已知直线：，直线：，则直线与的交点坐标为 .
【答案】
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：联立直线与的方程，解方程得，即交点坐标为.
故答案为：.
【分析】两直线的交点，即为对应方程组的解，联立直线方程解方程组即可得交点坐标.
15．（2024高二上·中山期中）已知的顶点分别为，，，中点，求边的垂直平分线的方程.
【答案】解：因为的顶点，，
所以中点，，
则边的垂直平分线的斜率为，
所以边的垂直平分线的方程为，即.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】根据的顶点，，求得的中点及斜率，再根据垂直平分线的定义（平分即为经过中点，垂直即为斜率乘积为-1）求解.
16．（2024高二上·中山期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面．
【答案】【解答】证明：如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
∵E，F分别为AB，的中点，∴，
，，，
∵，，∴，
又，平面，
平面．
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】根据正方体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用向量数量积的坐标表示，计算，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明．
17．（2024高二上·中山期中）如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点．
（1）证明：直线直线；
（2）求直线与平面所成的角的大小．
【答案】（1）证明：（1）不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，
，.
，因为，所以.
（2）解：（2），，
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
所以，即直线与平面所成的角的大小为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据直三棱柱的结构特征，建立空间直角坐标系，设边长，写出点的坐标，利用向量数量积为0证明垂直；
（2）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的公式可求答案.
（1）不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，
，.
，因为，所以.
（2），，
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
所以，即直线与平面所成的角的大小为.
18．（2024高二上·中山期中）已知圆．
（1）求直线被圆截得弦长；
（2）已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程．
【答案】（1）解：（1）由可得，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得弦长为.
（2）解：（2）设，
则，解得，；
因为圆与圆相切于原点，且圆过点，
所以，，
两边平方整理可得，平方可求，
代入可得，所以圆的方程为.
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）首先将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案，直线与圆相交求弦长问题，切忌使用弦长公式；
（2）根据条件可得圆经过点（-4，0）和（0，0），，利用待定系数法可求圆的方程.
（1）由可得，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得弦长为.
（2）设，
则，解得，；
因为圆与圆相切于原点，且圆过点，
所以，，
两边平方整理可得，平方可求，
代入可得，所以圆的方程为.
19．（2024高二上·中山期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
（1）求C的标准方程；
（2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值.
【答案】（1）解：由题意得，，，
因为，所以，
则，
所以，椭圆C的标准方程为.
（2）解：由题意，设，，
如图所示，
联立，
整理得，
因为，
则，，
所以，
设直线l与x轴的交点为，
因为，所以，
则，
结合，解得.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合椭圆焦距的定义和离心率公式，从而得到，，进而得出a，c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出b的值，从而得出 椭圆C的标准方程.
（2）由题意，先设，，将直线与椭圆联立，结合判别式法和根与系数的关系式，从而得到，设直线l与x轴的交点为，再根据和已知条件，从而得出t的值.
（1）由题意得，，，
又，则，
则，
所以C的标准方程为.
（2）由题意设，，如图所示：
联立，
整理得，，
则，，
故.
设直线l与x轴的交点为，
又，则，
故，
结合，解得.
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