专题14 直线与圆
考点01 直线的方程 6
考点02 圆的方程 7
考点03 直线与圆的位置关系 8
考点04 圆与圆的位置关系 10
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据斜率判定两条直线平行或垂直；掌握直线的方程；掌握两点间、点到直线、两条平行直线的距离公式；掌握圆的标准方程、一般方程，运用待定系数法求圆的方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关；能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系，能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想．
1．直线的倾斜角
（1）定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
（2）规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
（3）范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}．
2．直线的斜率
（1）定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα．
（2）经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率k＝．
3．直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k（x－x0）
两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0） 所有直线
4．两条直线的位置关系
（1）直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0（其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝（A1，B1），l4的法向量v2＝（A2，B2）．
（2）位置关系如表
位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0
垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
5．距离公式
（1）两点间的距离公式：平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式为|P1P2|＝．原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离|OP|＝．
（2）点到直线的距离公式：平面上任意一点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
（3）两条平行线间的距离公式：一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2）间的距离d＝．
6．对称问题
（1）点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点为P′（2a－x0，2b－y0）．
（2）设点P（x0，y0）关于直线y＝kx＋b的对称点为P′（x′，y′），则有可求出x′，y′．
7．圆的定义与方程
（1）圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．
（2）标准方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），圆心C（a，b），半径为r．
（3）一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2＋E2－4F＞0），圆心坐标：，半径r＝．
8．直线与圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
几何观点 d>r d＝r d9．圆与圆的位置关系
位置关系 圆心距与半径的关系 图示 公切线条数
外离 d>r1＋r2 4
内含 d<|r1－r2| 0
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2| 1
外切 d＝r1＋r2 3
1．圆的切线方程常用的结论
（1）过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
（2）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2．
（3）过圆x2＋y2＝r2外一点M（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．
（4）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2外一点M（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2．
2．圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线．
（2）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
（3）两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ∈R）；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）（其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解）．
一、选择题（共7小题）
1．（2025 新高考Ⅰ）若圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直线yx+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（0，+∞）
2．（2024 甲卷）已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．2
3．（2024 北京）圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心到x﹣y+2＝0的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．3
4．（2024 全国）圆x2+（y+2）2＝4与圆（x+2）2+（y﹣1）2＝9交于A，B两点，则直线AB的方程为（ ）
A．2x﹣3y+2＝0 B．3x+2y+2＝0 C．3x+2y﹣2＝0 D．2x﹣3y﹣2＝0
5．（2024 甲卷）已知直线ax+by﹣a+2b＝0与圆C：x2+y2+4y﹣1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．（2023 新高考Ⅰ）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2023 乙卷）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则x﹣y的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．1+3 D．7
二、填空题（共3小题）
8．（2024 上海）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 ．
9．（2025 天津）l1：x﹣y+6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆（x+1）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则r＝ ．
10．（2024 上海）正方形草地ABCD边长1.2，E到AB，AD距离为0.2，F到BC，CD距离为0.4，有个圆形通道经过E，F，且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长 ．（精确到0.01）
考点01 直线的方程
解法指导 1．直线的方程 形式方程局限点斜式y－y0＝k（x－x0）不能表示斜率不存在的直线斜截式y＝kx＋b不能表示斜率不存在的直线两点式＝x1≠x2，y1≠y2截距式＋＝1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0无
1．直线方程的求解 （1）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． （2）对于点斜式、截距式方程，要注意分类讨论思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零）． 2．几种常见的直线系方程 （1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0（m≠C）． （2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0． （3）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包括l2．
【例1】 （2025 丽江校级二模）过点P（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（ ）
A．x﹣2y+7＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．2x+y﹣1＝0
【例2】 （2025 新余二模）已知直线（m+1）x+3y+1＝0与直线4x+my+1＝0平行，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣4 C．3或﹣4 D．3或4
【例3】 （2025 黑龙江校级模拟）直线l1：（m﹣2）x+3y+3＝0与直线l2：2x+（m﹣1）y+2＝0平行，则m＝ ．
【例4】 （2024 重庆模拟）已知平面直角坐标系内两点A（1，2），B（﹣2，3），则过点A且以为法向量的直线l的方程为（ ）
A．3x﹣y﹣1＝0 B．3x﹣y﹣2＝0 C．3x+y﹣5＝0 D．3y﹣x﹣5＝0
【例5】 （2024 贵州模拟）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点（2，1），则直线l的方程为（ ）
A．2x+y﹣5＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y＝0 D．x+2y﹣4＝0
考点02 圆的方程
解法指导 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程 （1）几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线 （2）代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．
【例6】 （2025 海淀区二模）圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝1 B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4
C．（x+1）2+（y﹣2）2＝1 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝4
【例7】 （2025 金安区校级模拟）已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线l：2x﹣y﹣3＝0上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6y﹣16＝0 B．x2+y2﹣2x+2y﹣8＝0
C．x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0 D．x2+y2﹣2x+2y﹣56＝0
【例8】 （2025 眉山校级三模）方程x2+y2﹣2x+2y＝a表示圆，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣2，+∞）
【例9】 （2025 眉山校级三模）若圆C与x轴相切，且圆心坐标为（1，2），则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0 B．x2+y2﹣2x﹣4y﹣1＝0
C．x2+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0 D．x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0
【例10】 （2025 晋中模拟）已知圆C的一般方程为x2+y2﹣6x+4y+12＝0，则圆C的圆心坐标为（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
考点03 直线与圆的位置关系
解法指导 1．判断直线与圆位置关系的常见方法 （1）几何法：利用d与r的关系． （2）代数法：联立方程之后利用Δ判断． （3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 2．弦长的两种求法 （1）代数方法：将直线和圆的方程联立得到方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，得到根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． （2）几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2．
【例11】 （2025 泰安校级模拟）若直线y＝k（x﹣3）﹣1与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例12】 （2025 四川模拟）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0上恰有两个点到直线l：x+y+m＝0（m＞0）的距离为2，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例13】 （2025 重庆校级模拟）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，直线l：mx﹣y+3﹣m＝0，则直线与圆相交弦长的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．
【例14】 （2025 福建模拟）直线mx﹣y+1﹣3m＝0（其中m∈R）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5所截得的最短弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【例15】 （2025 海南模拟）已知圆C与直线l1：x﹣y+1＝0和l2：x﹣y+5＝0都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+（y+3）2＝8 B．x2+（y+3）2＝2
C．x2+（y﹣3）2＝8 D．x2+（y﹣3）2＝2
考点04 圆与圆的位置关系
解法指导 1．圆与圆的位置关系 （1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断 ①外离（4条公切线）：d＞r1+r2． ②外切（3条公切线）：d＝r1+r2． ③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2． ④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|． ⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|． （2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程． 2．判断两圆位置关系的两种方法 （1）几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． （2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 3．两圆的公共弦问题 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
【例16】 （2025 长春模拟）圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【例17】 （2025 朝阳模拟）与圆x2+y2＝1和圆x2+y2﹣10y+21＝0都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个圆上 B．一个椭圆上
C．双曲线的一支上 D．一条抛物线上
【例18】 （2025 陕西、山西、青海、宁夏模拟）圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0与圆x2+y2+4x+6y+9＝0的位置关系是（ ）
A．相切 B．外离 C．内含 D．相交
【例19】 （2025 山东模拟）已知圆C1：x2+y2＝4与圆C2：（x+a）2+（y+2）2＝9有三条公切线，则a＝（ ）
A． B． C． D．
【例20】 （2025 安徽模拟）圆O：x2+y2＝1与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外离 C．外切 D．内含专题14 直线与圆
考点01 直线的方程 9
考点02 圆的方程 12
考点03 直线与圆的位置关系 14
考点04 圆与圆的位置关系 18
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据斜率判定两条直线平行或垂直；掌握直线的方程；掌握两点间、点到直线、两条平行直线的距离公式；掌握圆的标准方程、一般方程，运用待定系数法求圆的方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关；能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系，能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想．
1．直线的倾斜角
（1）定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
（2）规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
（3）范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}．
2．直线的斜率
（1）定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα．
（2）经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率k＝．
3．直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k（x－x0）
两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0） 所有直线
4．两条直线的位置关系
（1）直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0（其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝（A1，B1），l4的法向量v2＝（A2，B2）．
（2）位置关系如表
位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0
垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
5．距离公式
（1）两点间的距离公式：平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式为|P1P2|＝．原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离|OP|＝．
（2）点到直线的距离公式：平面上任意一点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
（3）两条平行线间的距离公式：一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2）间的距离d＝．
6．对称问题
（1）点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点为P′（2a－x0，2b－y0）．
（2）设点P（x0，y0）关于直线y＝kx＋b的对称点为P′（x′，y′），则有可求出x′，y′．
7．圆的定义与方程
（1）圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．
（2）标准方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），圆心C（a，b），半径为r．
（3）一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2＋E2－4F＞0），圆心坐标：，半径r＝．
8．直线与圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
几何观点 d>r d＝r d9．圆与圆的位置关系
位置关系 圆心距与半径的关系 图示 公切线条数
外离 d>r1＋r2 4
内含 d<|r1－r2| 0
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2| 1
外切 d＝r1＋r2 3
1．圆的切线方程常用的结论
（1）过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
（2）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2．
（3）过圆x2＋y2＝r2外一点M（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．
（4）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2外一点M（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2．
2．圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线．
（2）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
（3）两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ∈R）；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）（其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解）．
一、选择题（共7小题）
1．（2025 新高考Ⅰ）若圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直线yx+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（0，+∞）
【答案】B
【分析】求解圆的圆心到直线的距离，与圆的半径比较，即可得到r的范围．
【解答】解：圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）的圆心（0，﹣2），半径为r，
圆心到直线yx+2的距离d2，
圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直线yx+2的距离为1的点有且仅有2个，
可得d﹣1＜r＜d+1，即r∈（1，3）．
故选：B．
2．（2024 甲卷）已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．2
【答案】C
【分析】由已知结合等差数列的性质可知，直线过定点（1，﹣2），然后结合两点间距离公式即可求解．
【解答】解：因为a，b，c成等差数列，所以a﹣2b+c＝0，
所以直线ax+by+c＝0恒过P（1，﹣2），
因为P（1，﹣2）在圆C：x2+（y+2）2＝5内，
当PC⊥AB时，|AB|取得最小值，此时|PC|＝1，．
故选：C．
3．（2024 北京）圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心到x﹣y+2＝0的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．3
【答案】D
【分析】求解圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心（1，﹣3），
圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心到x﹣y+2＝0的距离：d3．
故选：D．
4．（2024 全国）圆x2+（y+2）2＝4与圆（x+2）2+（y﹣1）2＝9交于A，B两点，则直线AB的方程为（ ）
A．2x﹣3y+2＝0 B．3x+2y+2＝0 C．3x+2y﹣2＝0 D．2x﹣3y﹣2＝0
【答案】D
【分析】将两圆的方程相减，即可求解．
【解答】解：圆x2+（y+2）2＝4，即x2+y2+4y＝0①，
圆（x+2）2+（y﹣1）2＝9，即x2+4x+y2﹣2y＝4②，
②﹣①可得，化简整理可得，2x﹣3y﹣2＝0，
故直线AB的方程为2x﹣3y﹣2＝0．
故选：D．
5．（2024 甲卷）已知直线ax+by﹣a+2b＝0与圆C：x2+y2+4y﹣1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】先求得直线恒过M（1，﹣2），再分析可得当MC⊥AB时，|AB|最小，利用勾股定理即可求得|AB|的最小值．
【解答】解：直线ax+by﹣a+2b＝0，即a（x﹣1）+b（y+2）＝0，
所以直线恒过点M（1，﹣2），
圆C：x2+y2+4y﹣1＝0，即x2+（y+2）2＝5，
圆心为（0，﹣2），半径r，
当|AB|最小时，点（0，﹣2）到直线的距离应最大，
即MC⊥AB时，|AB|最小，此时|MC|＝1，
|AB|＝24．
故选：C．
6．（2023 新高考Ⅰ）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】圆的方程化为（x﹣2）2+y2＝5，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin，再计算cos和sinα的值．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r；
设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC2，
△PAC中，sin，所以cos，
所以sinα＝2sincos2．
故选：B．
7．（2023 乙卷）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则x﹣y的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．1+3 D．7
【答案】C
【分析】根据题意，设z＝x﹣y，分析x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0和x﹣y﹣z＝0，结合直线与圆的位置关系可得有3，解可得z的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，其几何意义是以（2，1）为圆心，半径为3的圆，
设z＝x﹣y，变形可得x﹣y﹣z＝0，其几何意义为直线x﹣y﹣z＝0，
直线y＝x﹣z与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9有公共点，则有3，解可得1﹣3z≤1+3，
故x﹣y的最大值为1+3．
故选：C．
二、填空题（共3小题）
8．（2024 上海）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 45° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得倾斜角的大小．
【解答】解：由直线x﹣y+1＝0变形得：y＝x+1，
设直线的倾斜角为α，即tanα＝1，
因为α∈[0，180°），
所以α＝45°．
故答案为：45°．
9．（2025 天津）l1：x﹣y+6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆（x+1）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则r＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】求出A，B的坐标，从而求得|AB|，|CD|，由圆的弦长公式求出|CD|，从而可求得r．
【解答】解：因为l1：x﹣y+6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，
所以A（﹣6，0），B（0，6），所以|AB|＝6，
因为|AB|＝3|CD|，所以|CD|，
因为l1：x﹣y+6＝0与圆（x+1）2+（y﹣3）2＝r2交于C，D两点，
且圆心（﹣1，3）到直线的距离为d，
所以，解得r＝2．
故答案为：2．
10．（2024 上海）正方形草地ABCD边长1.2，E到AB，AD距离为0.2，F到BC，CD距离为0.4，有个圆形通道经过E，F，且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长 2.73 ．（精确到0.01）
【答案】2.73．
【分析】先确定圆的圆心坐标和半径，从而得出结论．
【解答】解：以A为原点，线段AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，
易知E（0.2，0.2），F（0.8，0.8）．
不妨设EF中点为M（0.5，0.5）直线EF中垂线所在直线方程为y﹣0.5＝﹣（x﹣0.5），
化简得y＝﹣x+1．
所以可设圆心为（a，﹣a+1），半径为a，且经过E，F点，
即（a﹣0.2）2+（﹣a+1﹣0.2）2＝a2，
化简得a2﹣2a+0.68＝0，求得a1±1±．
结合题意可得，a＝10.434．
故有圆的周长C＝2πa＝2.725≈2.73．
考点01 直线的方程
解法指导 1．直线的方程 形式方程局限点斜式y－y0＝k（x－x0）不能表示斜率不存在的直线斜截式y＝kx＋b不能表示斜率不存在的直线两点式＝x1≠x2，y1≠y2截距式＋＝1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0无
1．直线方程的求解 （1）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． （2）对于点斜式、截距式方程，要注意分类讨论思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零）． 2．几种常见的直线系方程 （1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0（m≠C）． （2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0． （3）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包括l2．
【例1】 （2025 丽江校级二模）过点P（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（ ）
A．x﹣2y+7＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．2x+y﹣1＝0
【答案】A
【分析】根据直线平行的性质，设出所求直线的方程，再结合直线过点P（﹣1，3），求解即可．
【解答】解：由题意，设直线的方程为x﹣2y+c＝0（c≠3），
因为所求直线过点P（﹣1，3），
所以﹣1﹣6+c＝0，解得c＝7，
故所求直线的方程为x﹣2y+7＝0．
故选：A．
【例2】 （2025 新余二模）已知直线（m+1）x+3y+1＝0与直线4x+my+1＝0平行，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣4 C．3或﹣4 D．3或4
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合两直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：∵直线（m+1）x+3y+1＝0与直线4x+my+1＝0平行，
∴m（m+1）＝3×4，即m2+m﹣12＝0，解得m＝﹣4或m＝3，
当m＝3时，直线（m+1）x+3y+1＝0与直线4x+my+1＝0重合，不符合题意，舍去，
故m＝﹣4．
故选：B．
【例3】 （2025 黑龙江校级模拟）直线l1：（m﹣2）x+3y+3＝0与直线l2：2x+（m﹣1）y+2＝0平行，则m＝ ﹣1或4 ．
【答案】﹣1或4．
【分析】利用两条直线平行列方程求解即可．
【解答】解：因为直线l1：（m﹣2）x+3y+3＝0与直线l2：2x+（m﹣1）y+2＝0平行，
当m＝1时，直线l1的方程为﹣x+3y+3＝0，l2的方程可化为x+1＝0，两直线不平行；
当m≠1时，由，解得m＝﹣1或m＝4，验证﹣1和4都满足题意．
故答案为：﹣1或4．
【例4】 （2024 重庆模拟）已知平面直角坐标系内两点A（1，2），B（﹣2，3），则过点A且以为法向量的直线l的方程为（ ）
A．3x﹣y﹣1＝0 B．3x﹣y﹣2＝0 C．3x+y﹣5＝0 D．3y﹣x﹣5＝0
【答案】A
【分析】求出向量，进而利用两个向量垂直的性质，列式算出直线l的方程．
【解答】解：因为A（1，2），B（﹣2，3），所以，
设点C（x，y）是直线l上任意一点，根据题意得，
结合，可得﹣3（x﹣1）+（y﹣2）＝0，整理得3x﹣y﹣1＝0，即为所求直线l的方程．
故选：A．
【例5】 （2024 贵州模拟）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点（2，1），则直线l的方程为（ ）
A．2x+y﹣5＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y＝0 D．x+2y﹣4＝0
【答案】A
【分析】首先求出直线的斜率，进一步利用点斜式求出直线的方程．
【解答】解：已知直线l倾斜角的余弦值为，即，故，
所以，
由于直线经过点（2，1），
故直线的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2），整理得2x+y﹣5＝0．
故选：A．
考点02 圆的方程
解法指导 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程 （1）几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线 （2）代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．
【例6】 （2025 海淀区二模）圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝1 B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4
C．（x+1）2+（y﹣2）2＝1 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝4
【答案】D
【分析】圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆的半径r＝2，由此能求出圆的方程．
【解答】解：∵圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆，
∴圆半径r＝2，
∴圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝4．
故选：D．
【例7】 （2025 金安区校级模拟）已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线l：2x﹣y﹣3＝0上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6y﹣16＝0 B．x2+y2﹣2x+2y﹣8＝0
C．x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0 D．x2+y2﹣2x+2y﹣56＝0
【答案】C
【分析】设出圆心，利用两点间距离公式求出a的值，从而得到圆心和半径，求出圆的标准方程，化为一般方程，即可得到答案．
【解答】解：因为圆心C在直线l：2x﹣y﹣3＝0上，
设圆心C（a，2a﹣3），
又圆C经过两点A（0，2），B（4，6），
所以|CA|＝|CB|，
故，
解得a＝3，
所以圆心C（3，3），半径r＝|CA|，
则圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝10，
化为一般方程为x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0．
故选：C．
【例8】 （2025 眉山校级三模）方程x2+y2﹣2x+2y＝a表示圆，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣2，+∞）
【答案】D
【分析】将方程按照x，y分别配方，利用圆的标准方程即可得到不等式，解之即得．
【解答】解：由x2+y2﹣2x+2y＝a配方得：（x﹣1）2+（y+1）2＝a+2，
方程x2+y2﹣2x+2y＝a表示圆，
则a+2＞0，解得a＞﹣2．
故选：D．
【例9】 （2025 眉山校级三模）若圆C与x轴相切，且圆心坐标为（1，2），则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0 B．x2+y2﹣2x﹣4y﹣1＝0
C．x2+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0 D．x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0
【答案】A
【分析】先根据题意求出圆的标准式，从而再求出一般式．
【解答】解：由已知得圆C的半径为2，故圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，
即x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0．故A正确．
故选：A．
【例10】 （2025 晋中模拟）已知圆C的一般方程为x2+y2﹣6x+4y+12＝0，则圆C的圆心坐标为（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
【答案】C
【分析】根据题意，将圆C的一般方程化简为标准方程，进而求出圆心C的坐标，可得答案．
【解答】解：将圆C：x2+y2﹣6x+4y+12＝0化成标准方程，可得（x﹣3）2+（y+2）2＝1，
所以圆C的圆心为（3，﹣2），半径r＝1．
故选：C．
考点03 直线与圆的位置关系
解法指导 1．判断直线与圆位置关系的常见方法 （1）几何法：利用d与r的关系． （2）代数法：联立方程之后利用Δ判断． （3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 2．弦长的两种求法 （1）代数方法：将直线和圆的方程联立得到方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，得到根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． （2）几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2．
【例11】 （2025 泰安校级模拟）若直线y＝k（x﹣3）﹣1与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的x轴的上半部分（含x轴），求出直线与圆相切时k的值，再结合图形即可求解．
【解答】解：由得x2+y2＝2（y≥0），
所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的x轴的上半部分（含x轴），
当直线y＝k（x﹣3）﹣1与圆x2+y2＝2（y≥0）相切时，
圆心到直线的距离，
解得k＝﹣1或（舍去），
当直线y＝k（x+2）+1过点时，
直线斜率为，
结合图形可得实数k的取值范围是．
故选：C．
【例12】 （2025 四川模拟）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0上恰有两个点到直线l：x+y+m＝0（m＞0）的距离为2，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求得圆心到直线的距离d，由r﹣2＜d＜r+2求解即可．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0化为标准方程：（x﹣1）2+（y+2）2＝25，
所以圆心C（1，﹣2），半径r＝5，
则圆心C到直线l的距离．
因为圆C上恰有两个点到直线l的距离为2，
所以r﹣2＜d＜r+2，即，
又因为m＞0，所以．
故选：B．
【例13】 （2025 重庆校级模拟）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，直线l：mx﹣y+3﹣m＝0，则直线与圆相交弦长的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．
【答案】A
【分析】由题可得直线l过定点，则定点到圆心距离等于圆心到直线距离时可得最小值．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0化为标准方程（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，可知圆的圆心（2，1），半径为3，
l：mx﹣y+3﹣m＝0 m（x﹣1）﹣y+3＝0，则直线l过定点（1，3），
因定点（1，3）在圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9内，
定点（1，3）到圆心的距离为，所以直线与圆相交弦长的最小值为．
故选：A．
【例14】 （2025 福建模拟）直线mx﹣y+1﹣3m＝0（其中m∈R）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5所截得的最短弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线过定点，根据圆的几何性质当定点与圆心连线垂直直线时，直线截得弦最短即可得解．
【解答】解：直线系mx﹣y+1﹣3m＝0可化为m（x﹣3）﹣y+1＝0，
∴直线恒过定点M（3，1），
由圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，知圆的圆心C（2，2），半径，
直线mx﹣y+1﹣3m＝0（其中m∈R）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5所截得的最短弦长，
由圆的几何性质知，当MC与直线垂直时，直线被圆所截得弦最短，
此时弦长为．
故选：B．
【例15】 （2025 海南模拟）已知圆C与直线l1：x﹣y+1＝0和l2：x﹣y+5＝0都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+（y+3）2＝8 B．x2+（y+3）2＝2
C．x2+（y﹣3）2＝8 D．x2+（y﹣3）2＝2
【答案】D
【分析】设所求圆的方程为x2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），根据直线与圆相切的性质，结合点到直线的距离公式列式求出b、r，进而可得圆C的方程．
【解答】解：根据题意，设圆C的方程为x2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
因为直线l1：x﹣y+1＝0和l2：x﹣y+5＝0都与圆C相切，
所以点C（0，b）到l1、l2的距离都等于半径，
即，解得，可得圆C的方程为x2+（y﹣3）2＝2．
故选：D．
考点04 圆与圆的位置关系
解法指导 1．圆与圆的位置关系 （1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断 ①外离（4条公切线）：d＞r1+r2． ②外切（3条公切线）：d＝r1+r2． ③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2． ④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|． ⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|． （2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程． 2．判断两圆位置关系的两种方法 （1）几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． （2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 3．两圆的公共弦问题 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
【例16】 （2025 长春模拟）圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，可与任一圆联立方程求出交点坐标，根据两点间距离公式得到公共弦长（法一）；也可求出圆心到公共弦的距离d，然后结合弦长公式可求（法二）．
【解答】解：联立方程：，
两式相减可得公共弦方程x﹣y+2＝0，
方法一：联立方程：，
得x2+2x＝0，
解得 x1＝0，x2＝﹣2，即公共弦的端点坐标为（0，2），（﹣2，0），
根据点到直线距离公式可得公共弦长为；
方法二：圆x2+y2﹣4＝0的圆心坐标为（0，0），半径为r＝2，
圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为．
故选：B．
【例17】 （2025 朝阳模拟）与圆x2+y2＝1和圆x2+y2﹣10y+21＝0都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个圆上 B．一个椭圆上
C．双曲线的一支上 D．一条抛物线上
【答案】C
【分析】设动圆P的半径为r，然后根据动圆与两圆都外切得|PF|＝2+r，|PO|＝1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，即可求解．
【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2＝1 的圆心为O（0，0），半径为1；
圆x2+y2﹣10y+21＝0的圆心为F（0，5），半径为2．
依题意得|PF|＝2+r，|PO|＝1+r，则|PF|﹣|PO|＝（2+r）﹣（1+r）＝1＜|FO|，
所以点P的轨迹是双曲线的一支．
故选：C．
【例18】 （2025 陕西、山西、青海、宁夏模拟）圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0与圆x2+y2+4x+6y+9＝0的位置关系是（ ）
A．相切 B．外离 C．内含 D．相交
【答案】B
【分析】结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
故圆心C1（1，1），半径为r1＝1，
圆x2+y2+4x+6y+9＝0，即（x+2）2+（y+3）2＝4，
故圆心C2（﹣2，﹣3），半径为r2＝2，
r1+r2，
故两圆的位置关系为外离．
故选：B．
【例19】 （2025 山东模拟）已知圆C1：x2+y2＝4与圆C2：（x+a）2+（y+2）2＝9有三条公切线，则a＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合圆与圆的位置关系求解即可．
【解答】解：已知圆C1：x2+y2＝4与圆C2：（x+a）2+（y+2）2＝9有三条公切线，
则圆C1与圆C2外切，
则，
即a2＝21，
则a．
故选：D．
【例20】 （2025 安徽模拟）圆O：x2+y2＝1与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外离 C．外切 D．内含
【答案】A
【分析】判断圆心距与两圆半径的大小关系，从而可得结论．
【解答】解：圆O与圆M的半径分别为1，4，圆心坐标分别为（0，0），，
则4﹣1，
故圆O与圆M的位置关系是内切．
故选：A．
