专题15 椭圆
考点01 求椭圆方程 8
考点02 椭圆的离心率 11
考点03 直线与椭圆 14
考点04 与椭圆有关的最值、范围问题 18
椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容，以小题形式出现，常规题，难度中等；考查椭圆的定义、标准方程、几何性质、直线与椭圆．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．
1．椭圆的定义
（1）椭圆第一定义：．
（2）椭圆第二定义：平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e，即．
（3）椭圆第三定义（中点弦定理）：AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则．
2．椭圆的范围
3．椭圆的对称性
4．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）．
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
5．椭圆的离心率
（1）离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
（2）离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
6．椭圆中a、b、c的关系：a2＝b2+c2．
1．椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ．
（1）当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．
（2）S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|．
（3）|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．
（4）|PF1|·|PF2|≤＝a2．
（5）4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ．
（6）焦点三角形的周长为2（a＋c）．
2．已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）：
（1）通径的长度为．
（2）A1，A2为椭圆的长轴端点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则kPA1·kPA2＝－．
（3）AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－．
（4）过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－．
（5）点P（x0，y0）在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1．
一、选择题（共4小题）
1．（2023 新高考Ⅱ）已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），由题意可得|xM|＝2|xM|，求解即可．
【解答】解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），
椭圆C：的左，右焦点分别为F1（，0），F2（，0），
由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得F1到直线AB的距离是F2到直线AB的距离的2倍，
即可得到|F1M|＝2|F2M|，
∴|xM|＝2|xM|，解得xM或xM＝3，
∴﹣m或﹣m＝3，∴m或m＝﹣3，
联立可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，
∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，
∴m＝﹣3不符合题意，
故m．
故选：C．
2．（2023 新高考Ⅰ）设椭圆C1：y2＝1（a＞1），C2：y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2e1，则a＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用椭圆C2：y2＝1的方程可求其离心率e2，进而可求e1，可求a．
【解答】解：由椭圆C2：y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2，
∴椭圆C2的离心率为e2，
∵e2e1，∴e1，∴，
∴44（）＝4（1），
即34，
解得a1（负的舍去），
即a．
故选：A．
3．（2023 甲卷）设F1，F2为椭圆C：y2＝1的两个焦点，点P在C上，若 0，则|PF1| |PF2|＝（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据题意，分析可得∠F1PF2，由椭圆的标准方程和定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，|PF1|2+|PF2|2＝（2c）2，将两式联立可得|PF1| |PF2|的值即可．
【解答】解：根据题意，点P在椭圆上，满足 0，可得∠F1PF2，
又由椭圆C：y2＝1，其中c2＝5﹣1＝4，
则有|PF1|+|PF2|＝2a＝2，|PF1|2+|PF2|2＝（2c）2＝16，
可得|PF1| |PF2|＝2，
故选：B．
4．（2023 甲卷）已知椭圆1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2，则|PO|＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，通过向量的模，然后转化求解即可．
【解答】解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c，
O为原点，P为椭圆上一点，，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m＞n，
可得m+n＝6，4c2＝m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，即12＝m2+n2mn，可得mn，m2+n2＝21，
（），
可得|PO|2
（m2+n2+2mncos∠F1PF2）
（m2+n2mn）
（21）．
可得|PO|．
故选：B．
二、解答题（共1小题）
5．（2025 新高考Ⅱ）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为4．
（1）求C的方程；
（2）过点（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积为，求|AB|．
【答案】（1）1；
（2）．
【分析】（1）由题意求出a，c，即可求出b2，直接写出椭圆的方程；
（2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设斜率为k，直线l的方程为y＝kx﹣2，求出直线与x轴的交点坐标，由，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系，求出x1+x2与x1x2，计算S△OAB的面积，从而求出k的值，即可求出弦长|AB|．
【解答】解：（1）椭圆C：1中，2a＝4，所以a＝2，
由e，得ca，
所以b2＝a2﹣c2＝2，椭圆的方程为1；
（2）由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设斜率为k，则直线l的方程为y＝kx﹣2，设直线l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去y，整理得（1+2k2）x2﹣8kx+4＝0，
所以Δ＝64k2﹣16（1+2k2）＝32k2﹣16＞0，解得k或k；
由x1+x2，x1x2，
设直线l交x轴于点M，则M（，0），
所以S△OAB|OM| |y1﹣y2|
|| |（kx1﹣2）﹣（kx2﹣2）|
＝|x1﹣x2|
，
解得k＝±，
所以|AB||x1﹣x2|．
考点01 求椭圆方程
解法指导 1．椭圆的定义 （1）椭圆第一定义：． （2）椭圆第二定义：平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e，即． （3）椭圆第三定义（中点弦定理）：AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则． 2．椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． （2）通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 3．求椭圆方程的方法 （1）定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义． （2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b．当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
【例1】 （2025 仁寿县校级三模）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由焦距求c，利用离心率求a，根据a，b，c的关系求b2，即可得到椭圆的方程．
【解答】解：已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，
设椭圆的标准方程为，焦距为2c，
由得，
由得a＝3，故b2＝a2﹣c2＝7，
所以该椭圆的方程为．
故选：D．
【例2】 （2025 益阳模拟）过点且与双曲线有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线确定焦点坐标，结合各项椭圆方程判断焦点及已知点是否在椭圆上，即得答案．
【解答】解：已知双曲线方程为，
则此双曲线的焦点为，
对于A：对于，，
即不在椭圆上，
即A错误；
对于B：对于，
则，
故焦点不是，
即B错误；
对于C：对于，
则，
故焦点不是，
即C错误；
对于D：对于，
则，且，
故焦点为且过，
即D正确．
故选：D．
【例3】 （2025 西峰区校级二模）已知方程1表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．（2，3） B．（3，4）
C．（2，4） D．（2，3）∪（3，4）
【答案】D
【分析】由该方程表示椭圆，可得关于k的不等式组，解得k的范围．
【解答】解：由题意可得，解得2＜k＜4且k≠3，
所以实数k的取值范围是（2，3）∪（3，4）．
故选：D．
【例4】 （2025 雅安模拟）椭圆C上一点P到其两焦点F1（﹣8，0），F2（8，0）的距离之和等于20，则椭圆C的标准方程为 ．
【答案】．
【分析】由题意可得a与c的值，得到b，从而可得椭圆方程．
【解答】解：由题意可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝8，a＝10，
则b2＝a2﹣c2＝100﹣64＝36．
∴椭圆C的标准方程为．
故答案为：．
【例5】 （2025 赤峰模拟）经过点P（﹣4，0），Q（0，﹣2）的椭圆的标准方程为 ．
【答案】1．
【分析】由题意可知，椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1（a＞b＞0），根据点P，Q坐标可得到a，b的值，进而求出椭圆的标准方程．
【解答】解：因为椭圆经过点P（﹣4，0），Q（0，﹣2），
所以椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1（a＞b＞0），
则a＝4，b＝2，
所以椭圆的标准方程为1．
故答案为：1．
考点02 椭圆的离心率
解法指导 求椭圆离心率或其范围的方法 （1）直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． （2）由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． （3）构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e．
【例6】 （2025 福建校级模拟）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过原点O的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|＝2|BF2|，|AB|＝|F1F2|，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由椭圆的对称性可得|AF2|＝|BF1|＝2|BF2|，，结合椭圆的定义和勾股定理求得答案．
【解答】解：F1，F2为椭圆的两个焦点，过原点O的直线交椭圆于A，B两点，如图，
由|AF2|＝2|BF2|，|AB|＝|F1F2|，
∴|AF2|＝|BF1|＝2|BF2|，，
∴△ABF2是直角三角形，又|BF1|+|BF2|＝2a，则，，
|AB|＝2c，
∴，即，即，
∴．
故选：B．
【例7】 （2025 广元模拟）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．2 B． C．4或 D．或2
【答案】C
【分析】利用椭圆的离心率，求解即可．
【解答】解：当m＞n时，由题意可得，解得；
当m＜n时，可得，解得4．
故选：C．
【例8】 （2025 河北三模）已知焦点在x轴上的椭圆，其焦点F与上顶点A和左顶点B构成面积为的三角形，且∠BAF＝60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合图形表示出|AF|，|AB|，借助于三角形的面积公式列方程求出b2＝7，利用离心率公式计算即可．
【解答】解：焦点在x轴上的椭圆，其焦点F与上顶点A和左顶点B构成面积为的三角形，且∠BAF＝60°，
由可得a＝3，由图知，|AF|＝a＝3，，
又∠BAF＝60°，则△BAF的面积为，
解得b2＝7，则，则椭圆的离心率为．
故选：B．
【例9】 （2025 襄城区校级模拟）已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得c，由椭圆的定义可得2a＝|PF1|+|PF2|，利用两点间的距离公式可求得a，可求得椭圆的离心率．
【解答】解：由题意，设，，，
则，
，，
则2a＝|PF1|+|PF2|＝4，则，
所以椭圆的离心率为．
故选：A．
【例10】 （2025 黑龙江一模）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B．若|AB|是C的焦距的倍，则C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，列出方程求出离心率．
【解答】解：设椭圆的半焦距为c，
而A（﹣a，0），B（0，b），又，
则，则2a2﹣c2＝8c2，所以2a2＝9c2，所以．
故选：B．
考点03 直线与椭圆
解法指导 1．焦点弦 焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长lmin＝． 2．中点弦 若AB为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的弦，A（x1，y1），B（x2，y2），弦中点M（x0，y0），则直线AB的斜率kAB＝－．
【例11】 （2025 广东模拟）椭圆E：与曲线H：xy＝k在第一象限内交于P，Q两点，则直线PQ的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1，x2＞0，且k＞0，表示直线PQ的斜率，将xy＝k与联立，利用韦达定理求解即可．
【解答】解：因为椭圆E：与曲线H：xy＝k在第一象限内交于P，Q两点，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1，x2＞0，且k＞0，
则直线PQ的斜率，
将xy＝k与联立，
得，
即3x4+4k2＝12x2，
可得，即，
所以．
故选：D．
【例12】 （2025 襄城区校级模拟）如图，斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于点M，N，若|AN|＝|NM|＝|MB|，则椭圆C的焦距为 ．
【答案】．
【分析】由椭圆的性质，结合直线与椭圆的位置关系及中点坐标公式求解即可．
【解答】解：设直线AB的方程为，
令x＝0，
则y＝m，
令y＝0，
则x＝﹣2m，
即N（0，m），M（﹣2m，0），
联立，
消y可得：（1+b2）x2+4mx+4m2﹣4b2＝0，
则，，
又|AN|＝|NM|＝|MB|，
则线段MN与线段AB的中点重合，
即，
即b2＝1，
则c2＝a2﹣b2＝3，
即，
即椭圆C的焦距为．
故答案为：．
【例13】 （2024 聊城模拟）已知椭圆的一个焦点的坐标为（1，0），一条切线的方程为x+y＝7，则C的离心率e＝ ．
【答案】．
【分析】设出切点坐标，利用切线方程，转化求解a，b，然后求解离心率即可．
【解答】解：设椭圆与x+y＝7相切于（m，n），可得切线方程为：，又切线的方程为x+y＝7，
可得ma2，nb2，m+n＝7，可得a2+b2＝49，
椭圆的一个焦点的坐标为（1，0），
可得a2﹣b2＝1，可得a＝5，b＝2，c＝1，
所以椭圆的离心率为：e．
故答案为：．
【例14】 （2025 梁山县三模）写出与椭圆C1：1和抛物线C2：x2＝4y都相切的一条直线方程 ．
【答案】或．
【分析】先说明所求直线的斜率存在，再设 所求直线为y＝kx+b，联立方程组结合切线性质列方程求k，b，由此可得所求直线方程．
【解答】解：抛物线x2＝4y的对称轴为直线x＝0，
所以抛物线的切线的斜率一定存在，故所求直线的斜率存在，
设所求直线的方程为y＝kx+b，
联立，消去y得x2﹣4kx﹣4b＝0，
因为直线y＝kx+b与抛物线x2＝4y相切，
所以，即k2+b＝0①；
联立，消去y得（k2+2）x2+2kbx+b2﹣2＝0，
因为直线y＝kx+b与椭圆相切，
所以，即k2﹣b2+2＝0②．
由①②可得b2+b﹣2＝0，解得b＝﹣2或b＝1，
所以或，
所以所求直线方程为或．
故答案为：或．
【例15】 （2025 盐池县二模）椭圆上的点到直线x﹣y+6＝0的距离的最小值为 ．
【答案】．
【分析】由题意，将点到直线的距离的最值转化为平行线之间的距离，设与直线y＝x+6平行且与椭圆相切的直线为y＝x+m，与椭圆联立方程组，由Δ＝0，求得m，进而可解．
【解答】解：设直线y＝x+m与直线x﹣y+6＝0的距离为d，
联立，消去y并整理得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，
此时Δ＝（6m）2﹣4×4×（3m2﹣3）＝0，
解得m＝±2，
当m＝2时，，
则椭圆上的点到直线x﹣y+6＝0的距离的最小值为．
故答案为：．
考点04 与椭圆有关的最值、范围问题
解法指导 1．与椭圆有关的最值、范围问题 （1）几何法：即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解． （2）代数法：即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 2．利用椭圆几何性质求值域或范围的思路 （1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． （2）将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．
【例16】 （2025 固始县校级模拟）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆C：的焦点在x轴上，A、B为椭圆上任意两点，动点P在直线上．若∠APB恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，可得直线，所围成矩形的外接圆x2+y2＝3+m即为椭圆的蒙日圆，结合∠APB恒为锐角，推出直线与圆x2+y2＝3+m相离，代入公式再求解即可．
【解答】解：易知m＞3，
因为直线，都与椭圆相切，
所以直线，所围成矩形的外接圆x2+y2＝3+m即为椭圆的蒙日圆，
因为A，B两点均在椭圆上，
若∠APB恒为锐角，
此时点P在圆x2+y2＝3+m外，
因为点P在直线上，
所以直线与圆x2+y2＝3+m相离，
即，
解得m＜9，
则，
解得，
所以椭圆C的离心率的取值范围为．
故选：B．
【例17】 （2025 临沧模拟）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P，A，B都在椭圆E上，若，，且λ+μ≥4，则椭圆E的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设直线PA：x＝m1y﹣c，直线PB：x＝m2y+c代入椭圆方程，消元后得一元二次方程，计算出两根和与积，再由题设条件，求出，和，代入λ+μ≥4中，利用韦达定理代入，化简即得，，由a，c的齐次不等式，即可求得离心率的取值范围．
【解答】解：椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P，A，B都在椭圆E上，
如图，由，可知P，A，F1三点共线，P，B，F2三点共线．
设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA：x＝m1y﹣c，直线PB：x＝m2y+c，
由消去x，可得，
则y1y0，同理可得y2y0．
由代入坐标可得：（﹣c﹣x0，﹣y0）＝λ（x1+c，y1），即得
同理由可得，，由x＝m1y﹣c，可得，
同理，m2，故λ+μ
（*）
又点P在椭圆上，则有a2b2，则（*）式可化成：
，解得a2≤3c2，故得，
故E的离心率的取值范围为．
故选：B．
【例18】 （2025 喀什地区模拟）已知直线l：y＝m（x﹣4）与曲线有两个公共点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，得到曲线C为椭圆的上半部分，当m＝0时，得到直线l的方程，此时满足直线l与曲线C有两个公共点；当m≠0时，将直线方程与曲线方程联立，根据Δ＞0以及m＜0，求出m的取值范围，进而可解．
【解答】解：因为曲线C的方程为，
所以，
则曲线C为椭圆的上半部分，
易知直线l：y＝m（x﹣4）过定点（4，0），
①当m＝0时，
此时直线l的方程为y＝0，
则直线l与C有两个公共点；
②当m≠0时，联立，消去y并整理得（4m2+1）x2﹣32m2x+64m2﹣8＝0，
此时Δ＞0且m＜0，
解得
综上所述，m的取值范围为．
故选：D．
【例19】 （2025 信都区校级模拟）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若|AF2|+|BF2|＝3|F1F2|，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得|AB|＝4a﹣6c，再结合即可得解．
【解答】解：由题可得|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝4a，
又|F1F2|＝2c，|AF2|+|BF2|＝3|F1F2|，
所以|AB|＝4a﹣6c，
因为AB是椭圆的焦点弦，所以，
即，又b2＝a2﹣c2，
解得：，即e．
故选：A．
【例20】 （2025 滨州二模）已知椭圆C：和圆A：x2﹣2x+y2＝0，P，Q分别为椭圆C和圆A上的动点，若F为椭圆C的左焦点，则|PQ|+|PF|的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．9 D．8
【答案】A
【分析】依题意将点到圆上点距离最值转化为点到圆心距离问题，再结合椭圆定义并利用三点共线求得点P在（﹣4，0）处时，使得|PQ|+|PF|的最小值为6．
【解答】解：已知椭圆C：，
则a＝4，b，
则c2，
即可得F（﹣2，0），
又圆A：x2﹣2x+y2＝0可化为（x﹣1）2+y2＝1，
其圆心为A（1，0），半径r＝1，
易知椭圆右焦点F′（2，0），显然F′在圆A上，
易知椭圆上一点P到圆A上任意一点Q的最小距离为|PQ|＝|PA|﹣r＝|PA|﹣1，
因此可将|PQ|+|PF|的最小值转化为求|PA|+|PF|﹣1的最小值，
由椭圆定义可得|PA|+|PF|﹣1＝|PA|+2a﹣|PF′|﹣1＝|PA|﹣|PF′|+7≥﹣|AF′|+7＝6；
此时点P在（﹣4，0）处，使得|PQ|+|PF|的最小值为6．
故选：A．专题15 椭圆
考点01 求椭圆方程 5
考点02 椭圆的离心率 6
考点03 直线与椭圆 7
考点04 与椭圆有关的最值、范围问题 8
椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容，以小题形式出现，常规题，难度中等；考查椭圆的定义、标准方程、几何性质、直线与椭圆．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．
1．椭圆的定义
（1）椭圆第一定义：．
（2）椭圆第二定义：平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e，即．
（3）椭圆第三定义（中点弦定理）：AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则．
2．椭圆的范围
3．椭圆的对称性
4．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）．
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
5．椭圆的离心率
（1）离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
（2）离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
6．椭圆中a、b、c的关系：a2＝b2+c2．
1．椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ．
（1）当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．
（2）S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|．
（3）|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．
（4）|PF1|·|PF2|≤＝a2．
（5）4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ．
（6）焦点三角形的周长为2（a＋c）．
2．已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）：
（1）通径的长度为．
（2）A1，A2为椭圆的长轴端点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则kPA1·kPA2＝－．
（3）AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－．
（4）过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－．
（5）点P（x0，y0）在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1．
一、选择题（共4小题）
1．（2023 新高考Ⅱ）已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（ ）
A． B． C． D．
2．（2023 新高考Ⅰ）设椭圆C1：y2＝1（a＞1），C2：y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2e1，则a＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2023 甲卷）设F1，F2为椭圆C：y2＝1的两个焦点，点P在C上，若 0，则|PF1| |PF2|＝（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
4．（2023 甲卷）已知椭圆1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2，则|PO|＝（ ）
A． B． C． D．
二、解答题（共1小题）
5．（2025 新高考Ⅱ）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为4．
（1）求C的方程；
（2）过点（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积为，求|AB|．
考点01 求椭圆方程
解法指导 1．椭圆的定义 （1）椭圆第一定义：． （2）椭圆第二定义：平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e，即． （3）椭圆第三定义（中点弦定理）：AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则． 2．椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． （2）通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 3．求椭圆方程的方法 （1）定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义． （2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b．当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
【例1】 （2025 仁寿县校级三模）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例2】 （2025 益阳模拟）过点且与双曲线有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例3】 （2025 西峰区校级二模）已知方程1表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．（2，3） B．（3，4）
C．（2，4） D．（2，3）∪（3，4）
【例4】 （2025 雅安模拟）椭圆C上一点P到其两焦点F1（﹣8，0），F2（8，0）的距离之和等于20，则椭圆C的标准方程为 ．
【例5】 （2025 赤峰模拟）经过点P（﹣4，0），Q（0，﹣2）的椭圆的标准方程为 ．
考点02 椭圆的离心率
解法指导 求椭圆离心率或其范围的方法 （1）直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． （2）由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． （3）构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e．
【例6】 （2025 福建校级模拟）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过原点O的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|＝2|BF2|，|AB|＝|F1F2|，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例7】 （2025 广元模拟）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．2 B． C．4或 D．或2
【例8】 （2025 河北三模）已知焦点在x轴上的椭圆，其焦点F与上顶点A和左顶点B构成面积为的三角形，且∠BAF＝60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例9】 （2025 襄城区校级模拟）已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例10】 （2025 黑龙江一模）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B．若|AB|是C的焦距的倍，则C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
考点03 直线与椭圆
解法指导 1．焦点弦 焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长lmin＝． 2．中点弦 若AB为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的弦，A（x1，y1），B（x2，y2），弦中点M（x0，y0），则直线AB的斜率kAB＝－．
【例11】 （2025 广东模拟）椭圆E：与曲线H：xy＝k在第一象限内交于P，Q两点，则直线PQ的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【例12】 （2025 襄城区校级模拟）如图，斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于点M，N，若|AN|＝|NM|＝|MB|，则椭圆C的焦距为 ．
【例13】 （2024 聊城模拟）已知椭圆的一个焦点的坐标为（1，0），一条切线的方程为x+y＝7，则C的离心率e＝ ．
【例14】 （2025 梁山县三模）写出与椭圆C1：1和抛物线C2：x2＝4y都相切的一条直线方程 ．
【例15】 （2025 盐池县二模）椭圆上的点到直线x﹣y+6＝0的距离的最小值为 ．
考点04 与椭圆有关的最值、范围问题
解法指导 1．与椭圆有关的最值、范围问题 （1）几何法：即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解． （2）代数法：即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 2．利用椭圆几何性质求值域或范围的思路 （1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． （2）将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．
【例16】 （2025 固始县校级模拟）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆C：的焦点在x轴上，A、B为椭圆上任意两点，动点P在直线上．若∠APB恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例17】 （2025 临沧模拟）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P，A，B都在椭圆E上，若，，且λ+μ≥4，则椭圆E的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例18】 （2025 喀什地区模拟）已知直线l：y＝m（x﹣4）与曲线有两个公共点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例19】 （2025 信都区校级模拟）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若|AF2|+|BF2|＝3|F1F2|，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例20】 （2025 滨州二模）已知椭圆C：和圆A：x2﹣2x+y2＝0，P，Q分别为椭圆C和圆A上的动点，若F为椭圆C的左焦点，则|PQ|+|PF|的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．9 D．8
