专题17 抛物线
考点01 抛物线的定义与方程 3
考点02 抛物线的几何性质 4
考点03 直线与抛物线 5
掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念；会求简单的抛物线方程；掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题；会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题；解决一些抛物线的综合问题．
1．抛物线的定义
（1）平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
（2）其数学表达式：{M||MF|＝d}（d为点M到准线l的距离）．
2．抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程 y2＝2px （p>0） y2＝－2px （p>0） x2＝2py （p>0） x2＝－2py （p>0）
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质 顶点 O（0，0）
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
1．抛物线方程一般首先转化为标准形式．
2．在抛物线的标准方程中，焦点的位置与一次项系数的正负保持一致．
3．焦点到原点的距离的4倍为一次项系数的绝对值．
4．抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（x0，y0）到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
一、选择题（共2小题）
1．（2025 新高考Ⅱ）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，过A作C准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y＝﹣2x+2，则|AF|＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024 全国）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线x＝﹣1的距离，则p＝（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、多选题（共2小题）
（多选）3．（2025 新高考Ⅰ）设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交准线l：x于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥6 D．|AE| |BE|≥18
（多选）4．（2024 新高考Ⅱ）抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A：x2+（y﹣4）2＝1的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
三、填空题（共4小题）
5．（2025 北京）抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点到焦点的距离为3，则p＝ ．
6．（2024 天津）已知圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px的焦点F重合，且两曲线在第一象限的交点为A，则原点到直线AF的距离为 ．
7．（2024 上海）已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为 ．
8．（2024 北京）抛物线y2＝16x的焦点坐标为 ．
考点01 抛物线的定义与方程
解法指导 1．求抛物线标准方程的常用方法 （1）待定系数法． （2）关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程． 2．抛物线定义的应用 （1）策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决． （2）策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
【例1】 （2025 河北模拟）以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线4x﹣3y+11＝0上，则此抛物线的标准方程是（ ）
A．y2＝11x B．y2＝﹣11x C．y2＝22x D．y2＝﹣22x
【例2】 （2025 新余校级模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过A（﹣1，0）作抛物线C的切线，切点为B，|BF|＝3，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2＝x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x
【例3】 （2025 章丘区模拟）以坐标原点为焦点，直线y＝2为准线的抛物线的方程为（ ）
A．x2＝﹣4y﹣4 B．x2＝﹣4y+4 C．x2＝4y+4 D．x2＝﹣2y+2
【例4】 （2025 龙凤区校级模拟）已知点P（1，4）在抛物线上，则抛物线的标准方程为 ．（写出所有可能情况）
【例5】 （2025 福建模拟）已知抛物线的准线为x＝﹣1，则其标准方程为 ．
考点02 抛物线的几何性质
解法指导 （1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦． （2）抛物线y2＝2px（p>0）上一点P（x0，y0）到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
【例6】 （2025 石景山区校级模拟）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点在C上，则|PF|＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例7】 （2025 辽宁模拟）已知F为抛物线C：y2＝3x的焦点，C上一点P到y轴的距离为，则|PF|＝（ ）
A． B．2 C． D．3
【例8】 （2025 三元区校级二模）已知抛物线C的方程为x2+8y＝0，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
【例9】 （2025 湖北模拟）已知抛物线y2＝2x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若△AOF的面积是△BOF的面积的两倍，则|AB|＝（ ）
A．2 B． C． D．
【例10】 （2025 锦江区校级模拟）已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，若线，则（ ）
A．p＝2 B．|PF|＝2
C．准线为 D．
考点03 直线与抛物线
解法指导 1．抛物线的焦点弦 （1）过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F的直线与它交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）． （2）y1y2＝－p2，x1x2＝． （3）＝x1＋x2＋p． （4）＋＝． 2．弦长问题 （1）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点． （2）若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p． （3）若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 3．直线与抛物线 （1）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时． （2）一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
【例11】 （2025 诸城市校级模拟）已知F为抛物线y2＝2x的焦点，直线2x﹣y﹣4＝0与抛物线交于A，B两点，则△ABF的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例12】 （2025 泰安四模）已知O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，P为抛物线C上任意一点（不与O重合），Q为PF的中点，则直线OQ的斜率的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
C． D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【例13】 （2025 阆中市校级模拟）已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点M（x0，4）在C上，且|MF|＝2|OF|，则C的方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝2x D．y2＝x
【例14】 （2025 四川校级模拟）已知直线l交抛物线C：x2＝﹣18y于M，N两点，且MN的中点为（3，﹣2），则直线l的斜率为（ ）
A．﹣3 B． C． D．
【例15】 （2025 山东模拟）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，在直线x＝﹣3上任取一点P作抛物线的切线，切点分别为A，B，则F到直线AB距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4专题17 抛物线
考点01 抛物线的定义与方程 7
考点02 抛物线的几何性质 9
考点03 直线与抛物线 12
掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念；会求简单的抛物线方程；掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题；会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题；解决一些抛物线的综合问题．
1．抛物线的定义
（1）平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
（2）其数学表达式：{M||MF|＝d}（d为点M到准线l的距离）．
2．抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程 y2＝2px （p>0） y2＝－2px （p>0） x2＝2py （p>0） x2＝－2py （p>0）
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质 顶点 O（0，0）
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
1．抛物线方程一般首先转化为标准形式．
2．在抛物线的标准方程中，焦点的位置与一次项系数的正负保持一致．
3．焦点到原点的距离的4倍为一次项系数的绝对值．
4．抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（x0，y0）到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
一、选择题（共2小题）
1．（2025 新高考Ⅱ）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，过A作C准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y＝﹣2x+2，则|AF|＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】写出抛物线的焦点和准线，设A（x0，y0），得，由点B、F在直线上建立方程，求出p和y0，再由点A在C上求出x0，再由焦半径公式即可求得．
【解答】解：由题知，F（，0），准线方程为：，
设A（x0，y0），则，
因为lBF：y＝﹣2x+2，
所以，解得，
因为点A在C上，所以，即16＝4x0，所以x0＝4，
所以．
故选：C．
2．（2024 全国）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线x＝﹣1的距离，则p＝（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义和点到直线的距离公式，解得p，可得抛物线的方程；
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x，
C上的点到F的距离等于到直线x＝﹣1的距离，可得1，解得p＝2，
故选：A．
二、多选题（共2小题）
（多选）3．（2025 新高考Ⅰ）设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交准线l：x于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥6 D．|AE| |BE|≥18
【答案】ACD
【分析】由抛物线的定义可判断A；当直线AB⊥x轴时，可判断B；由通径最短，可判断C；当直线AB⊥x轴时，可判断D成立，再利用三角形的面积判断m≠0时，D也成立．
【解答】解：由题意可得 ，
由抛物线的定义知|AD|＝|AF|，所以A正确；
由通径最短，可得|AB|≥2p＝6，所以C正确；
设，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，
消x可得y2﹣6my﹣9＝0，
y1+y2＝6m，y1y2＝﹣9，
所以，
所以，
当m＝0时，，|AB|＝2p＝6，|AE|3，
此时|AB|＝6，|AE|≠|AB|，所以B不正确；
此时，
当m≠0时，，E，
则|EF|，
所以，
，
综上|AE| |BE|≥18，所以D正确．
故选：ACD．
（多选）4．（2024 新高考Ⅱ）抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A：x2+（y﹣4）2＝1的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
【答案】ABD
【分析】选项A中，抛物线的准线为x＝﹣1，判断是圆A的一条切线；
选项B中，当P、A、B三点共线时，求出点P，计算PQ即可；
选项C中，当PB＝2时，PA与AB并不垂直；
选项D中，由PB＝PF得出P在AF的中垂线上，判断该直线与抛物线有两交点．
【解答】解：对于A，抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，是x2+（y﹣4）2＝1的一条切线，选项A正确；
对于B，⊙A的圆心为A（0，4），当P、A、B三点共线时，P（4，4），所以，选项B正确；
对于C，当PB＝2时，P（1，2）或P（1，﹣2），对应的B（﹣1，2）或（﹣1，﹣2），
当P（1，2）时，AB＝PA，PB＝2，PA与AB不垂直，
当P（1，﹣2）时，AB＝PA，PB＝2，PA与AB不垂直，选项C错误；
对于D，焦点F（1，0），由抛物线的定义知PB＝PF，则PA＝PB等价于P在AF的中垂线上，
该直线的方程为，它与抛物线有两交点，选项D正确．
故选：ABD．
三、填空题（共4小题）
5．（2025 北京）抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点到焦点的距离为3，则p＝ 6 ．
【答案】6．
【分析】根据抛物线的焦点定义进行求解．
【解答】解：由已知，抛物线的顶点到焦点的距离为3，
所以p＝6．
故答案为：6．
6．（2024 天津）已知圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px的焦点F重合，且两曲线在第一象限的交点为A，则原点到直线AF的距离为 ．
【答案】．
【分析】推导出F（1，0），从而p＝2，进而y2＝4x，联立，得P（4，4），求出直线AF的方程为4x﹣3y﹣4＝0，由此能求出原点到直线AF的距离．
【解答】解：∵（x﹣1）2+y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px的焦点F重合，
∴F（1，0），∴p＝2，
∴y2＝4x，
联立，得或，
∵两曲线与第一象限交于点A，∴A（4，4），
∴直线AF的方程为，即4x﹣3y﹣4＝0，
∴原点到直线AF的距离为d．
故答案为：．
7．（2024 上海）已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为 ．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：设P坐标为（x0，y0），
P到准线的距离为9，即x0+1＝9，解得x0＝8，代入抛物线方程，可得，
故P到x轴的距离为．
故答案为：．
8．（2024 北京）抛物线y2＝16x的焦点坐标为 （4，0） ．
【答案】（4，0）．
【分析】根据抛物线的标准方程计算可得．
【解答】解：抛物线y2＝16x的焦点坐标是（4，0）．
故答案为：（4，0）．
考点01 抛物线的定义与方程
解法指导 1．求抛物线标准方程的常用方法 （1）待定系数法． （2）关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程． 2．抛物线定义的应用 （1）策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决． （2）策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
【例1】 （2025 河北模拟）以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线4x﹣3y+11＝0上，则此抛物线的标准方程是（ ）
A．y2＝11x B．y2＝﹣11x C．y2＝22x D．y2＝﹣22x
【答案】B
【分析】求出焦点坐标，再由焦点坐标求出抛物线的方程即可．
【解答】解：∵4x﹣3y+11＝0，y＝0，
∴x，
∴抛物线的焦点为（，0），
设抛物线的方程为：y2＝2px，则，即，
∴抛物线的标准方程是y2＝﹣11x．
故选：B．
【例2】 （2025 新余校级模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过A（﹣1，0）作抛物线C的切线，切点为B，|BF|＝3，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2＝x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x
【答案】C
【分析】不妨设B（x0，y0）（y0＞0），由抛物线定义得，即解得x0，y0，利用导数得在点B处的斜率，由两点的斜率公式即可求解．
【解答】解：不妨设B（x0，y0）（y0＞0），由抛物线定义知，，
∴，∴，
当y＞0时，，求导可得，
∴，
∴，又p＞0，解得p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝8x．
故选：C．
【例3】 （2025 章丘区模拟）以坐标原点为焦点，直线y＝2为准线的抛物线的方程为（ ）
A．x2＝﹣4y﹣4 B．x2＝﹣4y+4 C．x2＝4y+4 D．x2＝﹣2y+2
【答案】B
【分析】不妨设点P（x，y）为抛物线上一点，由抛物线的定义可得出，化简可得出抛物线的方程．
【解答】解：不妨设点P（x，y）为抛物线上一点，
由抛物线的定义可得：点P到原点的距离等于点P到直线y＝2的距离，
所以，
即x2+y2＝y2﹣4y+4，
即x2＝4﹣4y，
即抛物线的方程为x2＝﹣4y+4．
故选：B．
【例4】 （2025 龙凤区校级模拟）已知点P（1，4）在抛物线上，则抛物线的标准方程为 y2＝16x；x2y ．（写出所有可能情况）
【答案】y2＝16x；x2y．
【分析】设出抛物线的方程，代入点的坐标求解即可．
【解答】解：点P（1，4）在抛物线上，
抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px，代入P的坐标，可得p＝8，
抛物线方程为：y2＝16x．
抛物线开口向上时，设抛物线方程为x2＝2py，代入点的坐标可得p，
此时抛物线方程为x2y．
故答案为：y2＝16x；x2y．
【例5】 （2025 福建模拟）已知抛物线的准线为x＝﹣1，则其标准方程为 y2＝4x ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知条件，根据抛物线的准线方程，设其抛物线的标准方程，并求出参数，由此能求出抛物线的标准方程．
【解答】解：∵抛物线的准线为x＝﹣1，
∴设抛物线的标准方程为y2＝2px，p＞0，
，解得p＝2，
∴抛物线的标准方程为y2＝4x．
故答案为：y2＝4x．
考点02 抛物线的几何性质
解法指导 （1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦． （2）抛物线y2＝2px（p>0）上一点P（x0，y0）到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
【例6】 （2025 石景山区校级模拟）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点在C上，则|PF|＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】求解抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，转化求解即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线方程为x＝﹣1，点在C上，
12＝4x0，x0＝3，
则|PF|＝x0+1＝4．
故选：C．
【例7】 （2025 辽宁模拟）已知F为抛物线C：y2＝3x的焦点，C上一点P到y轴的距离为，则|PF|＝（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】根据抛物线的方程得准线方程，再利用抛物线的定义即可求解．
【解答】解：由题可得准线方程为，
由C上一点P到y轴的距离为，得点P到直线的距离为，
由抛物线的定义可知．
故选：A．
【例8】 （2025 三元区校级二模）已知抛物线C的方程为x2+8y＝0，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
【答案】C
【分析】把抛物线方程化为标准方程可求p，进而可求抛物线的焦点坐标．
【解答】解：由x2+8y＝0，可得x2＝﹣8y，所以2p＝8，
所以2，故抛物线的焦点坐标为（0，﹣2）．
故选：C．
【例9】 （2025 湖北模拟）已知抛物线y2＝2x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若△AOF的面积是△BOF的面积的两倍，则|AB|＝（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】△AOF的面积是△BOF的面积的两倍可得，设出直线方程联立曲线，得到相应韦达定理即可计算出xA，xB，即可得解．
【解答】解：令d为点O到直线AB的距离，则，，
由，故|AF|＝2|BF|，
由抛物线定义可知，，，
则有，即，
设直线AB方程为，联立抛物线方程，
有y2﹣2my﹣1＝0，Δ＝4m2+4＞0，
故yA+yB＝2m，yAyB＝﹣1，则，
则有，故，
有2xA﹣1＝0，故xA＝1或（负值舍去），
则，故．
故选：C．
【例10】 （2025 锦江区校级模拟）已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，若线，则（ ）
A．p＝2 B．|PF|＝2
C．准线为 D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解．
【解答】解：因为抛物线C：y＝4x2，即，所以，准线方程为，p，故A错误，C错误；
设P（m，n），则n＝4m2，
由题意得，且 n≥0，
故，则（舍）或n＝1，
，故B错误，D正确．
故选：D．
考点03 直线与抛物线
解法指导 1．抛物线的焦点弦 （1）过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F的直线与它交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）． （2）y1y2＝－p2，x1x2＝． （3）＝x1＋x2＋p． （4）＋＝． 2．弦长问题 （1）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点． （2）若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p． （3）若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 3．直线与抛物线 （1）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时． （2）一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
【例11】 （2025 诸城市校级模拟）已知F为抛物线y2＝2x的焦点，直线2x﹣y﹣4＝0与抛物线交于A，B两点，则△ABF的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直线AB方程与抛物线方程联立后化简得2x2﹣9x+8＝0，再结合韦达定理可求得，利用点到直线距离公式求得高，即可求解△ABF面积．
【解答】解：易知抛物线y2＝2x的焦点坐标为F，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立，消去y并整理得2x2﹣9x+8＝0，
由韦达定理得，
所以，
易知F到直线2x﹣y﹣4＝0的距离为，
则．
故选：C．
【例12】 （2025 泰安四模）已知O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，P为抛物线C上任意一点（不与O重合），Q为PF的中点，则直线OQ的斜率的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
C． D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【答案】B
【分析】由抛物线的方程及抛物线的性质，结合基本不等式的应用求解即可．
【解答】解：由题意可得：，
不妨设P（2pt，2pt2），其中t≠0，
，
则直线OQ的斜率为，
又，
即直线OQ的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
故选：B．
【例13】 （2025 阆中市校级模拟）已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点M（x0，4）在C上，且|MF|＝2|OF|，则C的方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝2x D．y2＝x
【答案】B
【分析】由抛物线定义及|MF|＝2|OF|可得，进而将点M（x0，4）代入抛物线方程即可求得p＝4，进而求解C的方程．
【解答】解：由抛物线的定义，可知，
又|MF|＝2|OF|，
则|MF|＝p，
则，
即，
由点M（x0，4）在C上，
得16＝2px0，
即p2＝16，
又p＞0，
则p＝4．
所以C的方程为y2＝8x．
故选：B．
【例14】 （2025 四川校级模拟）已知直线l交抛物线C：x2＝﹣18y于M，N两点，且MN的中点为（3，﹣2），则直线l的斜率为（ ）
A．﹣3 B． C． D．
【答案】D
【分析】设出直线l的斜率为k，点M，N两点的坐标，代入抛物线方程x2＝﹣18y，作差，可得，又MN的中点为（3，﹣2），即求出k．
【解答】解：易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，M（x1，y1），N（x2，y2），
则两式相减得，整理得，
因为MN的中点为（3，﹣2），则x1+x2＝2×3＝6，
所以，即直线l的斜率为．
故选：D．
【例15】 （2025 山东模拟）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，在直线x＝﹣3上任取一点P作抛物线的切线，切点分别为A，B，则F到直线AB距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先求出在抛物线E上的点M（x0，y0）处的切线方程为y0y＝2（x+x0），然后表示出抛物线E在点A处的切线方程，代入点P的坐标，即可确定直线AB的方程，再结合函数性质即可求解．
【解答】解：设点M（x0，y0）是抛物线E上任意一点，则，
过点M的直线与抛物线E相切，设切线方程为x﹣x0＝t（y﹣y0），
联立，消去x得y2﹣4ty+4ty0﹣4x0＝0，
则Δ＝16t2﹣4（4ty0﹣4x0）＝0，即，所以，
即切线方程为，化简得y0y＝2（x+x0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（﹣3，m），
则抛物线E在点A处的切线方程为y1y＝2（x+x1），在点B处的切线方程为y2y＝2（x+x2），
因为抛物线E在点A、B处的切线交于点P，
所以my1＝2（﹣3+x1），my2＝2（﹣3+x2），
所以点A、B的坐标满足方程my＝2（﹣3+x），
所以直线AB的方程为my＝2（﹣3+x），即2x﹣my﹣6＝0，当x＝3时，y＝0，
所以直线AB过定点（3，0），
由抛物线E：y2＝4x可知，焦点F（1，0），
则点F到直线AB的距离，
则当m＝0时，d取得最大值，最大值为2．
故选：B．
