专题18 排列组合与二项式定理
考点01 排列问题 5
考点02 组合问题 6
考点03 二项式的通项 8
考点04 二项式系数问题 9
理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题；掌握几种有限制条件的排列；能应用排列数公式解决简单的实际问题；会用组合数公式解决一些简单的组合问题；掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法，理解排列、组合中的多面手问题、分组分配等问题；掌握二项式定理及其展开式的通项公式，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
1．排列数公式
（1）排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
（2）排列数公式：A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝（n，m∈N*，m≤n）．
（3）全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．
（4）正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成A＝n（n－1）（n－2）×…×2×1＝n！．
2．元素的“在”与“不在”问题
（1）把元素作为研究对象．
（2）把位置作为研究对象．
（3）间接法．
3．“相邻”与“不相邻”问题
（1）相邻问题捆绑法．
（2）不相邻问题插空法．
4．组合数
（1）从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
（2）组合数公式：C＝＝＝．
（3）规定：C＝1．
（4）C＝C．
（5）C＝C＋C．
5．二项式定理
（1）二项式定理：（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn（n∈N*）．
（2）通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项．
（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C．
6．二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性 二项式系数C 当k＜（n∈N*）时，是递增的
当k＞（n∈N*）时，是递减的
二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值
7．各二项式系数和
（1）（a＋b）n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n．
（2）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．
1．排列数、组合数常用公式
（1）A＝（n－m＋1）A．
（2）A＝nA．
（3）（n＋1）！－n！＝n·n！．
（4）kC＝nC．
（5）C＋C＋…＋C＋C＝C．
2．解决排列与组合问题的四大原则
（1）特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．
（2）先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．
（3）正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．
（4）先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．
一、选择题（共2小题）
1．（2024 全国）若（a+x）4的展开式中x的系数是，则a＝（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
2．（2024 北京）在的展开式中，x3的系数为（ ）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
二、填空题（共11小题）
3．（2025 上海）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种．
4．（2025 上海）在二项式（2x﹣1）5的展开式中，x3的系数为 ．
5．（2025 天津）在（x﹣1）6的展开式中，x3项的系数为 （用数字作答）．
6．（2025 北京）已知（1﹣2x）4＝a0﹣2a1x+4a2x2﹣8a3x3+16a4x4，则a0＝ ；a1+a2+a3+a4＝ ．
7．（2025 上海）已知的展开式中常数项是20，则a＝ ．
8．（2024 上海）（x﹣1）6展开式中x4的系数为 ．
9．（2024 上海）在（x+1）n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为 ．
10．（2024 甲卷）二项式的展开式中，各项系数的最大值是 ．
11．（2024 新高考Ⅱ）在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 ．
12．（2024 全国）用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 个．
13．（2024 天津）在的展开式中，常数项为 ．
考点01 排列问题
解法指导 1．排列问题 （1）排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素． （2）解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”． 2．处理元素“相邻”“不相邻”问题 （1）处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则． （2）元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列． （3）元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 3．定序问题． （1）整体法，即若有（m＋n）个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这（m＋n）个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法． （2）插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．
【例1】 （2025春 东莞市校级期中）某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动，高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖，若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ）
A．432种 B．420种 C．176种 D．7种
【例2】 （2025 福建模拟）某次团员公益志愿活动中，需安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者A去甲活动场地，志愿者B不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种 B．12种 C．9种 D．6种
【例3】 （2024秋 武威校级期末）某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
【例4】 （2025春 项城市校级期中）现有甲、乙等5人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有（ ）
A．24 B．36 C．48 D．60
【例5】 （2025 东莞市校级模拟）将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（ ）种．
A．4 B．5 C．6 D．8
考点02 组合问题
解法指导 1．简单组合问题 （1）首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． （2）其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏． 2．有限制条件的抽（选）取问题 （1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． （2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 3．分组、分配问题 （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！． ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！． ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． （2）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可分组后再分配．
【例6】 （2025春 承德校级期中）已知，则x可能取值为（ ）
A．4 B．5 C．6或7 D．5或7
【例7】 （2025春 保山校级期中）把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有（ ）
A．90种 B．120种 C．180种 D．240种
【例8】 （2025 安徽模拟）在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A．141种 B．144种 C．147种 D．149种
【例9】 （2025 四川校级模拟）某班从包括甲乙在内的7名学生中，选择4人参加植树活动，则甲乙两人至多一人参加的方法数有（ ）
A．32 B．30 C．25 D．20
【例10】 （2025 乌鲁木齐模拟）新高考改革方案采用“3+1+2”模式，“3”即全国统考的语文、数学、外语，“1”即在物理、历史2门首选科目中选考1门，“2”即在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选考2门．选考方案有（ ）
A．6种 B．8种 C．12种 D．15种
考点03 二项式的通项
解法指导 1．二项式定理 （1）（a＋b）n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*，这个公式叫做二项式定理． （2）展开式：右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． （3）二项式系数：各项的系数C（k＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数． （4）二项式通项：（a＋b）n展开式的第k＋1项叫做二项式通项，记作Tk＋1＝Can－kbk． 2．求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）． （2）对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解． （3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
【例11】 （2024秋 浙江期末）展开式中的常数项为（ ）
A．﹣13 B．﹣1 C．11 D．12
【例12】 （2025春 汕头期中）已知二项式（2+x）10按照（2+x）10＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…a10（1﹣x）10的方式展开，则展开式中a8的值为（ ）
A．90 B．180 C．360 D．405
【例13】 （2025春 滨海新区校级期中）已知（3x﹣1）n展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（3x﹣1）n展开式中x2的系数为（ ）
A．﹣252 B．252 C．﹣28 D．28
【例14】 （2025秋 遂宁校级月考）已知样本数据3，6，3，2，7，4，6，8的中位数为n，则（x2+x﹣2）n的展开式中含x项的系数为（ ）
A．80 B．240 C．﹣80 D．﹣32
【例15】 （2025秋 南京月考）（x﹣1）6的展开式中x2的系数为（ ）
A．﹣20 B．﹣15 C．15 D．20
考点04 二项式系数问题
解法指导 1．二项式系数的增减性与最大值 （1）增减性与最大值：，即＝，所以当>1，即k<时，C随k的增加而增大． （2）由对称性知，当k>时，C随k的增加而减小． （3）当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． （4）当n为偶数时，中间项的二项式系数最大，有一项；当n为奇数时，中间项的二项式系数最大，有两项． 2．求二项式系数的最大项 （1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大． （2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 3．二项展开式的系数和问题 （1）求展开式的各项系数之和常用赋值法． （2）“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值． （3）一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和． 4．系数的最值问题 （1）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式（组）、解不等式（组）的方法求解． （2）一般地，如果第（k＋1）项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第（k＋2）项的系数均不大于第（k＋1）项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项．
【例16】 （2025 西城区一模）在的展开式中，x2的系数等于（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【例17】 （2025春 禹州市校级月考）在的展开式中，x4的系数为（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣30 D．30
【例18】 （2024秋 石家庄期末）在（x+1）（x﹣2）（x+3）（x﹣4）（x+5）（x﹣a）展开式中，含x5的项的系数是6，则a＝（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
【例19】 （2024秋 德州月考）在的展开式中，x﹣1的系数是（ ）
A．40 B．64 C．20 D．﹣40
【例20】 （2025 临清市校级开学）（x+y+1）6的展开式中x3y2项的系数为（ ）
A．120 B．90 C．60 D．45专题18 排列组合与二项式定理
考点01 排列问题 8
考点02 组合问题 11
考点03 二项式的通项 14
考点04 二项式系数问题 17
理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题；掌握几种有限制条件的排列；能应用排列数公式解决简单的实际问题；会用组合数公式解决一些简单的组合问题；掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法，理解排列、组合中的多面手问题、分组分配等问题；掌握二项式定理及其展开式的通项公式，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
1．排列数公式
（1）排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
（2）排列数公式：A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝（n，m∈N*，m≤n）．
（3）全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．
（4）正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成A＝n（n－1）（n－2）×…×2×1＝n！．
2．元素的“在”与“不在”问题
（1）把元素作为研究对象．
（2）把位置作为研究对象．
（3）间接法．
3．“相邻”与“不相邻”问题
（1）相邻问题捆绑法．
（2）不相邻问题插空法．
4．组合数
（1）从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
（2）组合数公式：C＝＝＝．
（3）规定：C＝1．
（4）C＝C．
（5）C＝C＋C．
5．二项式定理
（1）二项式定理：（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn（n∈N*）．
（2）通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项．
（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C．
6．二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性 二项式系数C 当k＜（n∈N*）时，是递增的
当k＞（n∈N*）时，是递减的
二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值
7．各二项式系数和
（1）（a＋b）n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n．
（2）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．
1．排列数、组合数常用公式
（1）A＝（n－m＋1）A．
（2）A＝nA．
（3）（n＋1）！－n！＝n·n！．
（4）kC＝nC．
（5）C＋C＋…＋C＋C＝C．
2．解决排列与组合问题的四大原则
（1）特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．
（2）先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．
（3）正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．
（4）先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．
一、选择题（共2小题）
1．（2024 全国）若（a+x）4的展开式中x的系数是，则a＝（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
【答案】C
【分析】根据二项式定理，建立方程，即可求解．
【解答】解：∵（a+x）4的展开式中x的系数是，
∴a．
故选：C．
2．（2024 北京）在的展开式中，x3的系数为（ ）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
【答案】A
【分析】利用二项式定理，求解即可．
【解答】解：的通项公式为：（﹣1）r，，可得r＝2，
二项展开式中x3的系数： （﹣1）2＝6．
故选：A．
二、填空题（共11小题）
3．（2025 上海）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 288 种．
【答案】288．
【分析】先安排特殊位置，再安排剩下元素，最后由分步乘法计算原理即可求得．
【解答】解：先选2个家长排在队列的头和尾的排法数为：，
剩下的家长和儿童全排的排法种数为：，
由分步乘法计算原理可得，不同的排列个数有12×24＝288种．
故答案为：288．
4．（2025 上海）在二项式（2x﹣1）5的展开式中，x3的系数为 80 ．
【答案】80．
【分析】先求得二项展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得（2x﹣1）5的展开式中x3项的系数．
【解答】解：二项式（2x﹣1）5的展开式的通项为 Tr+1 （2x）5﹣r （﹣1）r，
令5﹣r＝3，求得r＝2，所以（2x﹣1）5的展开式中x3项的系数是80．
故答案为：80．
5．（2025 天津）在（x﹣1）6的展开式中，x3项的系数为 ﹣20 （用数字作答）．
【答案】﹣20．
【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．
【解答】解：根据二项式的展开式（r＝0，1，2，3，4，5，6），
当r＝3时，展开式中x3的系数为．
故答案为：﹣20．
6．（2025 北京）已知（1﹣2x）4＝a0﹣2a1x+4a2x2﹣8a3x3+16a4x4，则a0＝ 1 ；a1+a2+a3+a4＝ 15 ．
【答案】1；15．
【分析】根据赋值法，即可求解．
【解答】解：因为（1﹣2x）4＝a0﹣2a1x+4a2x2﹣8a3x3+16a4x4，
所以令x＝0，可得a0＝1，
再令x，可得a0+a1+a2+a3+a4＝24＝16，
所以a1+a2+a3+a4＝16﹣a0＝16﹣1＝15．
故答案为：1；15．
7．（2025 上海）已知的展开式中常数项是20，则a＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，列出方程，求出a的值．
【解答】解：的展开式的通项公式为，
令6﹣2r＝0，解得r＝3，所以，解得a＝1．
故答案为：1．
8．（2024 上海）（x﹣1）6展开式中x4的系数为 15 ．
【答案】15．
【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．
【解答】解：根据二项式展开．
故答案为：15．
9．（2024 上海）在（x+1）n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为 10 ．
【答案】10．
【分析】根据二项式系数和求得n值，再结合二项式的通项公式即可求得．
【解答】解：由题意，展开式中各项系数的和是（1+1）n＝32，所以n＝5，
则该二项式的通项公式是，
令5﹣r＝2，解得r＝3，故x2项的系数为．
故答案为：10．
10．（2024 甲卷）二项式的展开式中，各项系数的最大值是 5 ．
【答案】5．
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【解答】解：由于，，，，
则展开式中系数最大的项一定在下面的5项：，
，，5，，
故系数的最大值为．
故答案为：5．
11．（2024 新高考Ⅱ）在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 24 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 112 ．
【答案】24；112．
【分析】利用排列数公式能求出选法总数，在所有符合上述要求的选法中，分析各选项的数据，能求出选中方格的4个数之和的最大值．
【解答】解：在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，
则共有24种选法，
每种选法可标记为{a，b，c，d}，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有可能的结果为：
（11，22，33，44），（11，22，34，43），（11，22，33，44），（11，22，34，42），（11，24，33，43），（11，24，33，42），
（12，21，33，44），（12，21，34，43），（12，22，31，44），（12，22，34，40），（12，24，31，43），（12，34，33，40），
（13，21，33，44），（13，21，34，42），（13，22，31，44），（13，22，34，40），（13，24，31，42），（13，24，33，40），
（15，21，33，43），（15，21，33，42），（15，22，31，43），（15，22，33，40），（15，22，31，42），（15，22，33，40），
在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和最大的是（15，21，33，43），最大值是：
15+21+33+43＝112．
故答案为：24；112．
12．（2024 全国）用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 280 个．
【答案】280．
【分析】根据排列数公式，先排个位，再排其余，即可求解．
【解答】解：∵1，2，…，9这9个数字中奇数共有5个，
∴用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有280个．
故答案为：280．
13．（2024 天津）在的展开式中，常数项为 20 ．
【答案】20．
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，常数项的定义，即可求解．
【解答】解：的常数项为．
故答案为：20．
考点01 排列问题
解法指导 1．排列问题 （1）排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素． （2）解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”． 2．处理元素“相邻”“不相邻”问题 （1）处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则． （2）元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列． （3）元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 3．定序问题． （1）整体法，即若有（m＋n）个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这（m＋n）个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法． （2）插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．
【例1】 （2025春 东莞市校级期中）某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动，高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖，若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ）
A．432种 B．420种 C．176种 D．7种
【答案】A
【分析】先对各年级同学作全排，再把三个年级作为三组作全排，应用分步乘法求不同排法数．
【解答】解：若将8名一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，
先将各年级同学作全排有种，再把三个年级同学作全排有种，故共有种．
故选：A．
【例2】 （2025 福建模拟）某次团员公益志愿活动中，需安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者A去甲活动场地，志愿者B不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种 B．12种 C．9种 D．6种
【答案】A
【分析】利用分类加法原理，结合组合数计算，可得答案．
【解答】解：根据题意，分2类讨论．
第一类，B去甲活动场地，则A，B在一起，都去甲活动场地，将剩下4人分为2组，
安排在乙、丙两个活动场地即可，有（种）安排方法；
第二类，B不去甲活动场地，则B必去丙活动场地，在剩下4人中选出2人安排在乙活动场地，
再将剩下2人分别安排到甲、丙活动场地，有（种）安排方法．
根据分类加法计数原理，共有6+12＝18（种）安排方法．
故选：A．
【例3】 （2024秋 武威校级期末）某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】C
【分析】分两步进行分析：先将五名教师按要求分成三组，再将分好的三组全排列，分别求出每一步的种数，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：分两类，第一类，只有教师夫妇两人去同一所学校有种，
第二类，教师夫妇两人另加一位教师去同一所学校有种，所以总共有36种．
故选：C．
【例4】 （2025春 项城市校级期中）现有甲、乙等5人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有（ ）
A．24 B．36 C．48 D．60
【答案】A
【分析】利用“元素相邻捆绑法”求解．
【解答】解：甲、乙等5人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，
第一步：甲、乙相邻且乙在甲的右边，这样的排列方式只有1种；
第二步：将甲乙看成一个整体，将其与其余3人站成一排，有种排法．
由分步乘法计数原理可得：满足条件的排法种数为：1×24＝24．
故选：A．
【例5】 （2025 东莞市校级模拟）将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（ ）种．
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6，利用间接法可求得总的方法数即可得解．
【解答】解：将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6
用间接法求解：此事件的反面是“甲是本组的最矮的或乙是本组最高的至少成立其一”，
①甲、乙不在同一组：只有124、356一种排法；
②甲、乙在同一组：以上命题不可能同时成立，
注意到剩下四人任取一人与甲乙同组均符合题意，
所以由种选法，共有1+4＝5种选法．
而平均分组共有种方式，
所以共有10﹣5＝5种选法．
故选：B．
考点02 组合问题
解法指导 1．简单组合问题 （1）首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． （2）其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏． 2．有限制条件的抽（选）取问题 （1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． （2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 3．分组、分配问题 （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！． ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！． ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． （2）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可分组后再分配．
【例6】 （2025春 承德校级期中）已知，则x可能取值为（ ）
A．4 B．5 C．6或7 D．5或7
【答案】D
【分析】利用组合数的性质可得出关于实数x的等式，解之即可．
【解答】解：因为，则x+2＝2x﹣5或x+2+2x﹣5＝12，解得x＝7或5．
故选：D．
【例7】 （2025春 保山校级期中）把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有（ ）
A．90种 B．120种 C．180种 D．240种
【答案】A
【分析】分两步：先从6张电影票中任选2张给甲，乙两人，再分配剩余的4张，而每人最多两张，所以每人各得两张，问题得以解决．
【解答】解：分两步：先从6张电影票中任选2张给甲，乙两人，有种分法；
再分配剩余的4张，而每人最多两张，所以每人各得两张，有种分法．
由分步原理得，共有种分法．
故选：A．
【例8】 （2025 安徽模拟）在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A．141种 B．144种 C．147种 D．149种
【答案】A
【分析】根据棱锥的结构特征，应用组合数及列举法确定所有选取方法数、共面情况的选取方法数，即可得．
【解答】解：已知在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，
如下图，共有10个点任选4个有种，
每个侧面的6个点都共面，任选4个有种，共4个面，则有60种共面情况，
如EFID，EGDH，FGIH分别构成一个平面，有3种，
如PGAH，PFBI，PECD，ADBE，BHCG，AICF分别构成一个平面，有6种，
综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取4个不共面的点，不同的取法共有210﹣60﹣3﹣6＝141种．
故选：A．
【例9】 （2025 四川校级模拟）某班从包括甲乙在内的7名学生中，选择4人参加植树活动，则甲乙两人至多一人参加的方法数有（ ）
A．32 B．30 C．25 D．20
【答案】C
【分析】甲乙两人至多一人参加的对立事件为甲乙都参加，利用事件的对立面求方法数即可．
【解答】解：已知从包括甲乙在内的7名学生中，选择4人参加植树活动，且甲乙两人至多一人参加，
根据题意，7名学生中，选择4人参加植树活动共有种方法，
而甲乙都参加的情况有种方法，
则甲乙两人至多一人参加的方法数有35﹣10＝25种．
故选：C．
【例10】 （2025 乌鲁木齐模拟）新高考改革方案采用“3+1+2”模式，“3”即全国统考的语文、数学、外语，“1”即在物理、历史2门首选科目中选考1门，“2”即在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选考2门．选考方案有（ ）
A．6种 B．8种 C．12种 D．15种
【答案】C
【分析】利用组合知识和分步乘法计数原理得到答案．
【解答】解：在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选考2门，有种选择，
从物理、历史2门首选科目中选考1门，有种选择，
故选考方案有2×6＝12种．
故选：C．
考点03 二项式的通项
解法指导 1．二项式定理 （1）（a＋b）n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*，这个公式叫做二项式定理． （2）展开式：右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． （3）二项式系数：各项的系数C（k＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数． （4）二项式通项：（a＋b）n展开式的第k＋1项叫做二项式通项，记作Tk＋1＝Can－kbk． 2．求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）． （2）对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解． （3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
【例11】 （2024秋 浙江期末）展开式中的常数项为（ ）
A．﹣13 B．﹣1 C．11 D．12
【答案】C
【分析】先将原式化为，然后分别找出各项的常数项，相加可得答案．
【解答】解：由题意可知，，
展开式的通项为，
令6﹣3r＝0，得r＝2，则展开式对应常数项为，
，无常数项；
无常数项，
则展开式中的常数项为12﹣1＝11．
故选：C．
【例12】 （2025春 汕头期中）已知二项式（2+x）10按照（2+x）10＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…a10（1﹣x）10的方式展开，则展开式中a8的值为（ ）
A．90 B．180 C．360 D．405
【答案】D
【分析】（2+x）10＝[3﹣（1﹣x）]10＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…a10（1﹣x）10，其通项公式Tr+1[﹣（1﹣x）]r，令r＝8，即可得出．
【解答】解：（2+x）10＝[3﹣（1﹣x）]10＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…a10（1﹣x）10，
其通项公式Tr+1[﹣（1﹣x）]r，
令r＝8，则T9，
则展开式中a8的值为：405．
故选：D．
【例13】 （2025春 滨海新区校级期中）已知（3x﹣1）n展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（3x﹣1）n展开式中x2的系数为（ ）
A．﹣252 B．252 C．﹣28 D．28
【答案】B
【分析】根据组合数的性质可得最大，进而得n＝8，即可根据通项公式求解．
【解答】解：由二项式系数的性质可得n＝8，
所以二项式（3x﹣1）8展开式的通项公式为，r＝0，1，…，8，
令8﹣r＝2，则r＝6，
则x2的系数为．
故选：B．
【例14】 （2025秋 遂宁校级月考）已知样本数据3，6，3，2，7，4，6，8的中位数为n，则（x2+x﹣2）n的展开式中含x项的系数为（ ）
A．80 B．240 C．﹣80 D．﹣32
【答案】A
【分析】先求出n＝5，再由二项展开式求x项的系数．
【解答】解：由题意，将样本数据从小到大排列为：2，3，3，4，6，6，7，8，
则中位数为第4个数和第5个数的平均数，即，
所以（x2+x﹣2）5的展开式中x项为：从5个因式中一个取x，其余都取﹣2相乘所得，
所以所求系数为．
故选：A．
【例15】 （2025秋 南京月考）（x﹣1）6的展开式中x2的系数为（ ）
A．﹣20 B．﹣15 C．15 D．20
【答案】C
【分析】直接利用二项式定理计算得到答案．
【解答】解：（x﹣1）6展开式的通项为，
要求（x﹣1）6的展开式中x2的系数，
取r＝4，得．
即x2的系数为15．
故选：C．
考点04 二项式系数问题
解法指导 1．二项式系数的增减性与最大值 （1）增减性与最大值：，即＝，所以当>1，即k<时，C随k的增加而增大． （2）由对称性知，当k>时，C随k的增加而减小． （3）当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． （4）当n为偶数时，中间项的二项式系数最大，有一项；当n为奇数时，中间项的二项式系数最大，有两项． 2．求二项式系数的最大项 （1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大． （2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 3．二项展开式的系数和问题 （1）求展开式的各项系数之和常用赋值法． （2）“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值． （3）一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和． 4．系数的最值问题 （1）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式（组）、解不等式（组）的方法求解． （2）一般地，如果第（k＋1）项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第（k＋2）项的系数均不大于第（k＋1）项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项．
【例16】 （2025 西城区一模）在的展开式中，x2的系数等于（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】D
【分析】根据二项式定理确定展开式的通项，进而求解结论．
【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1 （x2）4﹣r （）r＝2r x8﹣3r，
令8﹣3r＝2，解得r＝2．
故x2的系数等于：22 24．
故选：D．
【例17】 （2025春 禹州市校级月考）在的展开式中，x4的系数为（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣30 D．30
【答案】B
【分析】结合二项展开式的通项公式可求x4的系数．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，r＝0，1，2，3，4，5，6，
令，解得r＝4，x4的系数为．
故选：B．
【例18】 （2024秋 石家庄期末）在（x+1）（x﹣2）（x+3）（x﹣4）（x+5）（x﹣a）展开式中，含x5的项的系数是6，则a＝（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
【答案】B
【分析】先由乘法法则求出展开式中含x5的项，再结合x5的项的系数是6即可求出a．
【解答】解：（x+1）（x﹣2）（x+3）（x﹣4）（x+5）（x﹣a）展开式中，
含x5的项为x5﹣2x5+3x5﹣4x5+5x5﹣ax5＝（3﹣a）x5，
所以3﹣a＝6，解得a＝﹣3．
故选：B．
【例19】 （2024秋 德州月考）在的展开式中，x﹣1的系数是（ ）
A．40 B．64 C．20 D．﹣40
【答案】A
【分析】求出通项公式，再令x的幂次等于﹣1，从而求出r的值，最后得到x﹣1的系数．
【解答】解：展开式的通项公式为：
令5﹣3r＝﹣1，则3r＝6，解得r＝2．
当r＝2时，x﹣1的系数为4＝40．
故选：A．
【例20】 （2025 临清市校级开学）（x+y+1）6的展开式中x3y2项的系数为（ ）
A．120 B．90 C．60 D．45
【答案】C
【分析】根据二项式定理可解．
【解答】解：（x+y+1）6＝[（x+y）+1]6，则其展开式为Tr+1（x+y）6﹣r，
要得到x3y2项，则令r＝1，
则展开式中x3y2项为x3y2＝60x3y2，
则（x+y+1）6的展开式中x3y2项的系数为60．
故选：C．
