5.1.1 数列的概念
本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修三》第五章《数列》，本节课主要学习数列
的概念与表示
“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等。数列是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置。数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点。学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点.
课程目标 学科素养
A.理解数列的有关概念与数列的表示方法. B.掌握数列的分类. C.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法. D.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 1.数学抽象：数列的概念及表示、数列的分类 2.逻辑推理：求数列的通项公式 3.数学运算：运用数列通项公式求特定项 4.数学建模：数列的概念
重点：数列的有关概念与数列的表示方法
难点：数列的函数特征
多媒体
教学过程 教学设计意图 核心素养目标
情景导学 古希腊的毕达哥拉斯学派将1，4， 9，16等数称为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方形，如下图所示：依据这个规律我们很容易就能知道，下一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等。 你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的发现。 二、问题探究 （1）.我国古代哲学著作《庄子》中有一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。从数学上来说，如果木棍初始长度为1，则每天之后木棍的长度分别为 ，，，…①
（2）.2009年至2015年，我国每一年专利申请受理数（精确到万）分别为
98，122，163，205，236，238，280. ② （3）.有些购物网站推出了分期付款服务，如图所示标价为3000元的电脑可以享受 分期服务,不同的付款方式，所对应的付款总金额分别为
3000， 3045， 3090， 3180， 3360. ③ 一、数列 1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项. 3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}. 点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性. 数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列, 例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列. (2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项. 二、数列的分类 类别含义按项的 个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项 小于它的前一项的数列
1. 下列叙述正确的是( ) A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类 B.数列中的数由它的位置序号唯一确定 C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} D.同一个数在数列中不可能重复出现 解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确. 答案:B 三、数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式. (2)并不是所有的数列都有通项公式. (3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列 -1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ等. 1.若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10= ,224是该数列的第 项. 解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项. 答案:99 15 三、典例解析 例1. 根据下列数列的通项公式，写出数列的第2项和第5项； （1） （2） . 解:（1）由通项公式可知 1. .
（2）由通项公式可知 0. 例2. 写出以下各数列{an}的一个通项公式： (1),…; (2)1,3,5,7,9,…; (3)0,2,0,2,0,…; (4)-,-, -…. 分析:观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系. 解:(1)观察数列的前5项可知，每一项都是序号的2倍，因此数列的一个通项公式为an=2n. (2)因为这个数列每一项都比（1）中数列的每一项小1， 因此数列的一个通项公式为an=2n-1 （3）因为数列的第1,3,5项都是0，而第2,4项都是2. 因此它的一个通项公式为an= （4）忽略正负号时，数列每一项的分子构成的数列是2,4,6,8,10,…其中每一个数都是序号的2倍；而且，数列每一项的分母都是分子平方减去1.又因为负号、正号是交替出现的。因此它的一个通项公式为an=(-1)n 根据数列的前几项写通项公式的具体思路为: (1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等. (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系. (3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号. (4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答. 2.常见数列的通项公式 (1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1. (2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n. (3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1. (4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n. (5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1. (6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2. (7)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是an=. (8)数列1,,…的一个通项公式是an=. 跟踪训练1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (1)1,; (2)2,4,6,8; (3)3,5,9,17; (4); (5)7,77,777,7 777. 解:(1)an=;(2)an=2n+; (3)an=2n+1;(4)an=; (5)an=(10n-1). （1）已知函数你能根据这个函数构造出一个数列吗？ （2）你能总结出一般数列与函数的关系吗？ 分析:令=1,2,3,4，…，n…，可得到数列 2，，1，…，，….， 四、数列与函数 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数， 其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an， 记为an＝f(n)． 另一方面，对于函数y＝f(x)， 如果f(n)(n∈N*)有意义， 那么 构成了一个数列{f(n)}． f(1)，f(2)，…，f(n)，… 例3.已知函数设数列{an}的通项公式为an=其中n∈N* （1）求证：<1 ; （2）判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由. 解：（1）由题意可知an= 又因为n∈N* ，所以0<， 因此<1 ;即<1. （2）因为= （ ）（ 又因为> ，所以>0， 从而>0，即 因此{an}是递增数列. 数列增减性的判定方法 (1)作差比较法 ①若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列; ②若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列; ③若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列. (2)作商比较法 类别>10<<1=1an>0递增数列递减数列常数列an<0递减数列递增数列常数列
跟踪训练2.已知函数f(x)= x- 数列{an}满足f(an)=-2n,且an>0. (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列,并说明理由. 分析：先根据已知条件解方程求an,再利用作差法或作商法判断数列{an}是递增数列还是递减数列. 解:(1)∵f(x)=x-,f(an)=-2n, ∴an-=-2n,即+2nan-1=0, 解得an=-n±, ∵an>0,∴an=-n. (2)(方法一:作差法) ∵an+1-an=-(n+1)-(-n) =-1 =-1=-1, 又>n+1,>n, ∴<1. ∴an+1-an<0,即an+1
0,∴=<1. ∴an+1三、达标检测 1.以下四个数中,哪个数是数列{n(n+1)}中的一项( ) A.380 B.39 C.32 D.23 解析:n(n+1)是这个数列的通项公式,即an=n(n+1). ∵380=19×20=19×(19+1), ∴380是该数列中的第19项,或者令n(n+1)=380,得n=19,是整数,符合题意.故选A. 答案:A 2.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,…中,x的值是( ) A.19 B.20 C.21 D.22 解析:观察数列可得规律1+1=2,1+2=3,2+3=5,…,8+13=x=21,13+21=34,∴x=21,故选C. 答案:C 3.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式为( ) A. B.cos C.cosπ D.cosπ 解析:当n=4时,=1≠-1,cos=cos=cos 2π=1≠-1,排除A,B;当n=2时,cos=cos=0≠1,排除C;经检验,D项符合题意.故选D. 答案:D 4.已知数列{an}中,an=-2n2+31n+9(n∈N+),则{an}中的最大项为 . 解析:∵an=-2n2+31n+9=-2(n-)2+(n∈N+), 又7<<8,∴a7=128,a8=129,a70, 故数列{an}是递增数列. (2)若数列{an}是递减数列,则an+1-an<0恒成立, 即an+1-an=<0恒成立. 因为(2n+5)(2n+3)>0,所以必有3k<0,故k<0. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结 五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
学生学习了集合、函数的概念和性质等基本知识，初步掌握了函数的研究方法，在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面，有了一定的基础.况且，数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.(共34张PPT)
5.1.1 数列的概念
第五章 数 列
学习目标
1.理解数列的概念,了解数列的几种分类.
2.理解数列通项公式的概念及意义.
3.了解数列与函数的关系.
4.能够利用通项公式求数列的项,能够根据数列的已知项,求数列的通项公式.
情景导学
古希腊的毕达哥拉斯学派将1，4， 9，16等数称为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方形，如下图所示：依据这个规律我们很容易就能知道，下一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等。
你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的发现。
问题探究
（1）.我国古代哲学著作《庄子》中有一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。从数学上来说，如果木棍初始长度为1，则每天之后木棍的长度分别为
，，，…①
（2）.2009年至2015年，我国每一年专利申请受理数（精确到万）分别为
98，122，163，205，236，238，280. ②
（3）.有些购物网站推出了分期付款服务，如图所示标价为3000元的电脑可以享受
分期服务,不同的付款方式，所对应的付款总金额分别为
3000， 3045， 3090， 3180， 3360. ③
一、数列
1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.
3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.
数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,
例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.
(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.
概念解析
二、数列的分类
类别 含义
按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项相等的数列
摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项
小于它的前一项的数列
概念解析
1. 下列叙述正确的是( )
A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类
B.数列中的数由它的位置序号唯一确定
C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
D.同一个数在数列中不可能重复出现
概念辨析
解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.
答案:B
三、数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.
(2)并不是所有的数列都有通项公式.
(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列
-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ等.
概念解析
1.若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10= ,224是该数列的第 项.
解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.
答案:99 15
小试牛刀
典例解析
解:（1）由通项公式可知
1.
.
（2）由通项公式可知
0.
.
例1. 根据下列数列的通项公式，写出数列的第2项和第5项；
（1） （2） .
例2. 写出以下各数列{an}的一个通项公式：
分析:观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.
典例解析
解:(1)观察数列的前5项可知，每一项都是序号的2倍，因此数列的一个通项公式为an=2n.
(2)因为这个数列每一项都比（1）中数列的每一项小1，
因此数列的一个通项公式为an=2n-1
（3）因为数列的第1,3,5项都是0，而第2,4项都是2.
因此它的一个通项公式为an=
（4）忽略正负号时，数列每一项的分子构成的数列是2,4,6,8,10,…其中每一个数都是序号的2倍；而且，数列每一项的分母都是分子平方减去1.又因为负号、正号是交替出现的。因此它的一个通项公式为 an=(-1)n
根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:
(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.
(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.
(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.
归纳总结
2.常见数列的通项公式
(1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.
(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.
(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.
(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.
(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.
(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.
跟踪训练1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
跟踪训练
尝试与发现
（1）已知函数你能根据这个函数构造出一个数列吗？
（2）你能总结出一般数列与函数的关系吗？
分析:令=1,2,3,4，…，n…，
可得到数列
2，，1，…，，….，
f(1)，f(2)，…，f(n)，…
四、数列与函数
归纳总结
例3.已知函数设数列{an}的通项公式为an=其中n∈N*
（1）求证：<1 ;
（2）判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由.
典例解析
解：（1）由题意可知an=
又因为n∈N* ，所以0<，
因此<1 ;即<1.
（2）因为= （ ）（
又因为> ，所以>0，
从而>0，即
因此{an}是递增数列.
数列增减性的判定方法
(1)作差比较法
①若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列;
②若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列;
③若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列.
(2)作商比较法
归纳总结
跟踪训练2.已知函数f(x)= x- 数列{an}满足f(an)=-2n,且an>0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列,并说明理由.
跟踪训练
分析：先根据已知条件解方程求an,再利用作差法或作商法判断数列{an}是递增数列还是递减数列.
∴an+1∴数列{an}是递减数列.
解析:n(n+1)是这个数列的通项公式,即an=n(n+1).
∵380=19×20=19×(19+1),
∴380是该数列中的第19项,或者令n(n+1)=380,得n=19,是整数,符合题意.故选A.
答案:A
当堂达标
1.以下四个数中,哪个数是数列{n(n+1)}中的一项( )
A.380 B.39 C.32 D.23
解析:观察数列可得规律1+1=2,1+2=3,2+3=5,…,8+13=x=21,13+21=34,
∴x=21,故选C.
答案:C
2.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,…中,x的值是( )
A.19 B.20 C.21 D.22
3.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式为( )
答案:D
4.已知数列{an}中,an=-2n2+31n+9(n∈N+),则{an}中的最大项为 .
∴a7=128,a8=129,a7∴数列{an}中的最大项为129.
答案:129
5.分别写出下列数列的一个通项公式:
解:(1)因为数列的各项是负正项交替出现的,所以用(-1)n来调节,数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分,整数部分是1,3,5,7,9,为奇数,分数的分子是1,2,3,4,5,正好是序号,分母是4,9,16,25,36,正好是平方数,这样我们可以归纳出数列的一个通项
(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;
(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.
分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;
对于(2),可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.
课堂小结5.1.2 数列中的递推
本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修三》第五章《数列》，本节课主要学习
数列中的递推
数列作为一种特殊的函数，是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列递推公式是学生学习了数列的概念、通项公式、表示方法以及分类基础上，对数列知识进一步深入和拓广，让学生认识到数列递推关系是研究数列的一个重要途径。数列的前n项和及前n项和Sn与.的关系也是数列中的重点内容。让学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，加深对概念的理解。
课程目标 学科素养
A. 逐步体会递推公式是数列的一种表示方法. B.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项. C..理解数列的前n项和,会根据数列的前n项和Sn求通项 1.数学抽象：数列递推公式 2.逻辑推理：数列的前n项和与通项的关系 3.数学运算：前n项和Sn求通项 4.数学建模：数列的概念
重点：数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系
难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式
多媒体
教学过程 教学设计意图 核心素养目标
情景导学 问题1.如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？ 观察 1，3， 6，10，15，… 中数字出现的规律，写出第8个数. 如果将给定的数列记作数列{an}，那么相当于是给出了数列的前5项，要求写出数列的第8项a8，因为 ， ， ，， 因此，可以猜想，数列{an}应该满足 ，从而可知， ， ， 显然，上述数列{an}可以由1，, 完全确定. 一、数列的递推关系 如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式). 通项公式与递推公式的区别与联系 类别区别联系通项公式an是序号n的函数式an=f(n)都是给出数列的方法,都可求出数列中任意一项递推公式已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式
三、典例解析 例1. 分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第，写出数列的第7项； （1） 1,2,4,7,11，… （2） -1,2,5,8,11，… （3） 1,-2,4,-8,16，…. 解:（1）因为 ， ， ，， 所以， 即 从而可知， （2）因为， 所以， 即 从而可知 （3）因为 所以, 即 从而可知 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算. (2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1. (3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1= 跟踪训练1.已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1= 给出,试写出这个数列的前5项. 解:∵a1=1,an+1=,∴a2=, a3=, a4=, a5=. 故该数列的前5项为1,. 例2.意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题：假设每对新生的小兔子2个月后就长大成大兔子，且从第3个月起每个月都生1对小兔子，兔子均不死亡.由1对新生小兔子开始，记每个月的兔子对数构成的数列为{Fn}，试写出F1，F2，F3，F4，F5，F6以及数列{Fn}的递推关系. 解:根据题意可知，前2个月内，小兔子都还没有长成大兔子，因此 第3个月时，第1个月的那对小兔子会生1对小兔子，因此 第4个月时，第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子，因此 第5个月时，除了第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子外，第3个月出生的那对小兔子也会生1对小兔子，因此 第6个月时，第1个月的那对小兔子、第3个月出生的小兔子以及第4个月出生的小兔子，都会生1对小兔子，因此 一般地，当 新生的兔子对数， 又因为第 -2个月的兔子对到了第个月都能生1对兔子，因此有 例2中的数列，通常称为斐波那契数列，可以证明，斐波那契数列 1，1，2，3，5，8,… 的通项公式为 因为其中的，恰好是黄金分割比，所以斐波那契数列也称为黄金数列。令人惊奇的是斐波那契数列在很多领域中都有广泛的应用，而且自然界中处处都有斐波那契数列的影子，现代金融技术分析方法中还有专门的斐波那契分析法，有兴趣的读者请查阅有关资料进一步了解吧！ 问题2. 已知某电子书，今年上半年每个月的销售量构成数列， 220，530，950，1360，1820，2350， 假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？ 作为销售人员，一般来说还会关心上半年电子书的总销售量，即 220+530+950+1360+1820+2350=7230 二、数列的前n项和 一般地,给定数列{an},称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和. 例如，对于尝试与发现中的数列来说， S1=a1=220， S2=a1+a2=220+530=750， S3=a1+a2+a3=S2+a3=750+1360=2110，等等。 问题3.已知数列{an},的前项和为 Sn=2+1 你能写出a1，a2，a3吗？你能总结出一般规律吗？ 因为S1=， 又因为S1=a1，所以a1 因为S2=， 又因为S2=a1+a2,所以a2 因为S3=，又因为S3=a1+a2+a3=S2+a3 所以，a3 三、 an与Sn的关系 一般的如果数列{an}的前项和为Sn，那么当有， Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1 Sn=a1+a2+a3+…+an 所以Sn=Sn-1+an 因此an= 例3.已知数列{an}的前项和为求数列{an}的通项公式. 解：由题意可知当时有 又因为,所以时也成立， 因此 由Sn求an的方法 an=若a1适合an(n≥2),则用一个公式表示an,若a1不适合an(n≥2),则要用分段函数的形式表示an.此时不可不求a1而直接求an. 跟踪训练2. (1)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n2-3n,求通项an; (2)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=5n-3,求通项an. 分析:利用an=求解. 解:(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5. 显然a1=-1也适合n≥2时的an=4n-5. 故数列{an}的通项公式为an=4n-5. (2)当n=1时,a1=S1=51-3=2; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)=4×5n-1, 显然a1=2不适合n≥2时的an=4×5n-1. 故数列{an}的通项公式为an= 通过正具体情境，引出数学问题，进行数学分析。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 通过具体问题的思考和分析，帮助学生观察、分析、归纳总结出数列递推关系的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。 通过典例分析，深化对数列递推关系概念的理解。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。 通过典型例题，加深学生对数列递推关系的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素 通过典型例题，引入数列前项和的概念，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
三、达标检测 1.下列说法错误的是( ) A.递推公式也是数列的一种表示方法 B.an=an-1,a1=1(n≥2)是递推公式 C.给出数列的方法只有图像法、列表法、通项公式法 D.an=2an-1,a1=2(n≥2)是递推公式 解析:通过图像、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列.an=an-1(n≥2)与an=2an-1(n≥2),这两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式. 答案:C 2.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出,则该数列的第5项等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n>2), ∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8. 答案:C 3.设数列{an}的前n项和Sn=n3,则a4的值为( ) A.15 B.37 C.27 D.64 解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n3-(n-1)3,故a4=43-33=64-27=37. 答案:B 4.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则通项公式an= . 解析:∵an+1=an+ln, ∴a2-a1=ln=ln 2, a3-a2=ln=ln, a4-a3=ln=ln, …… an-an-1=ln=ln. 以上(n-1)个等式相加,得an-a1=ln 2+ln+…+ln=ln n. ∵a1=2,∴an=2+ln n. ∵a1=2+ln 1=2, ∴{an}的通项公式为2+ln n. 答案:2+ln n 5.已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+(2n-1),写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式. 解:∵a1=0,an+1=an+(2n-1), ∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1, a3=a2+(2×2-1)=1+3=4, a4=a3+(2×3-1)=4+5=9, a5=a4+(2×4-1)=9+7=16. 故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结 1．因为an＝Sn－Sn－1只有当n≥2时才有意义，所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示． 2．要注意通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an. 五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
学生学习了集合、函数的概念和性质等基本知识，初步掌握了函数的研究方法，在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面，有了一定的基础.况且，数列递推关系的学习并不需要很多的知识基础，但学生自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.(共29张PPT)
5.1.2 数列中的递推
第五章 数 列
学习目标
1.逐步体会递推公式是数列的一种表示方法.(数学抽象)
2.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项.(数学运算)
3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法.(数学运算)
4.理解数列的前n项和,会根据数列的前n项和Sn求通项an.(数学运算)
尝试与发现
如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？
观察
1，3， 6，10，15，…
中数字出现的规律，写出第8个数.
问题探究
如果将给定的数列记作数列{an}，那么相当于是给出了数列的前5项，要求写出数列的第8项a8，因为
， ，
，，
因此，可以猜想，数列{an}应该满足
，从而可知，
，
，
显然，上述数列{an}可以由1，, 完全确定
概念解析
一、数列的递推关系
如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
类别 区别 联系
通项公式 an是序号n的函数式an=f(n) 都是给出数列的方法,都可求出数列中任意一项
递推公式 已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式 通项公式与递推公式的区别与联系
概念辨析
典例解析
解:（1）因为 ， ，
，，
所以，
即
从而可知，
例1. 分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第，写出数列的第7项；
（1） 1,2,4,7,11，…
（2） -1,2,5,8,11，…
（3） 1,-2,4,-8,16，….
（2）因为，
所以，
即
从而可知
（3）因为
所以,
即
从而可知
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算.
(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1.
(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=
归纳总结
跟踪训练1.已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1= 给出,试写出这个数列的前5项.
跟踪训练
例2.意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题：假设每对新生的小兔子2个月后就长大成大兔子，且从第3个月起每个月都生1对小兔子，兔子均不死亡.由1对新生小兔子开始，记每个月的兔子对数构成的数列为{Fn}，试写出F1，F2，F3，F4，F5，F6以及数列{Fn}的递推关系.
典例解析
解:根据题意可知，前2个月内，小兔子都还没有长成大兔子，因此
第3个月时，第1个月的那对小兔子会生1对小兔子，因此
第4个月时，第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子，因此
第5个月时，除了第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子外，第3个月出生的那对小兔子也会生1对小兔子，因此
第6个月时，第1个月的那对小兔子、第3个月出生的小兔子以及第4个月出生的小兔子，都会生1对小兔子，因此
一般地，当
新生的兔子对数，
又因为第 -2个月的兔子对到了第个月都能生1对兔子，因此有
例2中的数列，通常称为斐波那契数列，可以证明，斐波那契数列
1，1，2，3，5，8,…
的通项公式为
因为其中的，恰好是黄金分割比，所以斐波那契数列也称为黄金数列。令人惊奇的是斐波那契数列在很多领域中都有广泛的应用，而且自然界中处处都有斐波那契数列的影子，现代金融技术分析方法中还有专门的斐波那契分析法，有兴趣的读者请查阅有关资料进一步了解吧！
数学文化
尝试与发现
已知某电子书，今年上半年每个月的销售量构成数列，
220，530，950，1360，1820，2350，
假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？
作为销售人员，一般来说还会关心上半年电子书的总销售量，即
220+530+950+1360+1820+2350=7230
二、数列的前n项和
一般地,给定数列{an},称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和.
概念解析
例如，对于尝试与发现中的数列来说，
S1=a1=220，
S2=a1+a2=220+530=750，
S3=a1+a2+a3=S2+a3=750+1360=2110，等等。
尝试与发现
已知数列{an},的前项和为
Sn=2+1
你能写出a1，a2，a3吗？你能总结出一般规律吗？
因为S1=，
又因为S1=a1，所以a1
因为S2=，
又因为S2=a1+a2,所以a2
因为S3=，又因为S3=a1+a2+a3=S2+a3
所以，a3
一般的如果数列{an}的前项和为Sn，那么当有，
Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1
Sn=a1+a2+a3+…+an
所以Sn=Sn-1+an
因此
概念解析
三、 an与Sn的关系
例3.已知数列{an}的前项和为求数列{an}的通项公式.
解：由题意可知当时有
又因为,所以时也成立，
因此
典例解析
由Sn求an的方法
an= 若a1适合an(n≥2),则用一个公式表示an,若a1不适合an(n≥2),则要用分段函数的形式表示an.此时不可不求a1而直接求an.
归纳总结
跟踪训练2. (1)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n2-3n,求通项an;
(2)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=5n-3,求通项an.
跟踪训练
解:(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.
显然a1=-1也适合n≥2时的an=4n-5.
故数列{an}的通项公式为an=4n-5.
(2)当n=1时,a1=S1=51-3=2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)=4×5n-1,
显然a1=2不适合n≥2时的an=4×5n-1.
1.下列说法错误的是( )
A.递推公式也是数列的一种表示方法
B.an=an-1,a1=1(n≥2)是递推公式
C.给出数列的方法只有图像法、列表法、通项公式法
D.an=2an-1,a1=2(n≥2)是递推公式
当堂达标
解析:通过图像、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列.an=an-1(n≥2)与an=2an-1(n≥2),这两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式.
答案:C
2.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出,则该数列的第5项等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析:∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n>2),
∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.
答案:C
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n3-(n-1)3,故a4=43-33=64-27=37.
答案:B
3.设数列{an}的前n项和Sn=n3,则a4的值为( )
A.15 B.37 C.27 D.64
4.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln ,则通项公式an= .
∵a1=2,∴an=2+ln n.
∵a1=2+ln 1=2,
∴{an}的通项公式为2+ln n.
答案:2+ln n
5.已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+(2n-1),写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式.
解:∵a1=0,an+1=an+(2n-1),
∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1,
a3=a2+(2×2-1)=1+3=4,
a4=a3+(2×3-1)=4+5=9,
a5=a4+(2×4-1)=9+7=16.
故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2.
课堂小结