1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质
一、【学习目标】掌握二项式系数的四个性质。
二、【复习引入】
1．二项式定理及其特例：
2．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项
三、【新知探究】
1二项式系数表（杨辉三角）
2．二项式系数的性质：
（1）对称性：
（2）增减性与最大值：
（3）各二项式系数和：
四、【例题精讲】
例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
例2．已知，求：
（1）； （2）； （3）.
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数
例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项
例6． 设，
当时，求的值
例7．求证：．
例8．在的展开式中,求:
①二项式系数的和;
②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
④奇数项系数和与偶数项系数和;
⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和.
例9．已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.
例10．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
例11．已知，
求证：当为偶数时，能被整除
六、【随堂练习】
1．展开式中的系数为 ，各项系数之和为 ．
2．多项式（）的展开式中，的系数为
3．若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）
A.低于5％ B.在5％～6％之间
C.在6％～8％之间 D.在8％以上
5．在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（ ）
A.0 B. C. D.
6．求和：．
7．求证：当且时，．
8．求的展开式中系数最大的项
七、【课堂小结】1．2．2组合
一、【学习目标】理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
二、【复习引入】分类和分步计数原理，排列的概念和排列数定义及公式
三、【创设情境】
示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
四、【新知探究】
1组合的概念：
例1．判断下列问题是组合还是排列
（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？
（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？
问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？
（2）什么样的两个组合就叫相同的组合
2．组合数的概念：
3．组合数公式的推导：
五、【例题精讲】
例2．用计算器计算．
例3．计算：（1）； （2）；
例4．求证：．
例5．设 求的值
例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？
(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？
例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .
(1）有多少种不同的抽法？
(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？
(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
例9．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？
例10．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
组合数的性质1：2．组合数的性质2：＝+．
例11．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：（1）,或，；（2）；（3）．
例12．（1）计算：；
（2）求证：＝++．
例13．解方程：（1）；（2）解方程：
例14．证明：
例15．证明：…（其中）。
例16．证明：…。
例17．证明：…
例18．第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？
六、【随堂练习】1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：
（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？
（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？
2．名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ）
． ． ． ．
3．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ）
．对 ．对 ．对 ．对
4．设全集，集合、是的子集，若有个元素，有个元素，且，求集合、，则本题的解的个数为 （ ）
． ． ． ．
5．从位候选人中选出人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法
6．从位同学中选出人去参加座谈会，有 种不同的选法
7．圆上有10个点：
（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；
（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形
8．（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸五边形有 条对角线
9．计算：（1）；（2）．
10．个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？
11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？
12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？
13．写出从这个元素中每次取出个的所有不同的组合选修2-3《排列组合及二项式定理》
李伟1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理
一、【学习目标】
①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；
②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；
二、【创设情境】
先看下面的问题：
①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？
②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？
要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.
三、【新知探究】
1．分类加法计数原理
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
探究：你能说说以上两个问题的特征吗？
分类加法计数原理：
四、【例题精讲】
例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
物理学 法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？
2．分步乘法计数原理
问题３：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以,,…，,,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
探究：你能说说这个问题的特征吗？
分步乘法计数原理
例2.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
例3. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
例4. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
练习：
( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ;
( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有＿条．
2．现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名． ( 1 ）从中任选1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去 C 村，不同 ( 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
3．在例1中，如果数学也是 A 大学的强项专业，则 A 大学共有 6 个专业可以选择， B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择共有
6 + 4 = 10 （种） .
这种算法有什么问题？
例5.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A～G 或 U～Z , 后两个要求用数字1～9．问最多可以给多少个程序命名？
例6. 核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据．
总共有 4 种不同的碱基，分别用A,C,G,U表示．在一个 RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关．假设有一类 RNA 分子由 100 个碱基组成，那么能有多少种不同的 RNA 分子？
例7.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有 O 或 1 两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成．问：
(1）一个字节（ 8 位）最多可以表示多少个不同的字符？
(2）计算机汉字国标码（GB 码）包含了6 763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
例8.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图1.1一4，它是一个具有许多执行路径的程序模块．问：这个程序模块有多少条执行路径？
例9.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
练习：
1．乘积展开后共有多少项？
2．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。到 9 之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？
3．从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名，有多少种不同的选法？
4．某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？1．3．1二项式定理
一、【学习目标】进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式
二、【复习引入】
⑴；
⑵
⑶
三【创设情境】
二项式定理：
二项展开式的通项：
四、【例题精讲】
例1．展开．
例2．展开．
例3．求的展开式中的倒数第项
例4．求（1），（2）的展开式中的第项．
例5．（1）求的展开式常数项；
例6．（1）求的展开式的第4项的系数；
（2）求的展开式中的系数及二项式系数
例7．求的展开式中的系数
例8．已知 的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值
例9．已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
例10．求的近似值，使误差小于．
五、【随堂练习】
1.求的展开式的第3项.
2.求的展开式的第3项.
3.写出的展开式的第r+1项.
4.求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.
5.用二项式定理展开：
（1）；（2）.
6.化简：（1）；（2）
7．展开式中的第项为，求．
8．求展开式的中间项
七、【课堂小结】1．2．1排列
一、【学习目标】
了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
二、【复习引入】
1分类加法计数原理：2.分步乘法计数原理：
三、【创设情境】
问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
四、【新知探究】
排列的概念：
排列数的定义：
排列数公式及其推导：
五、【例题精讲】
例1．用计算器计算： (1）； (2）; (3）.
例2．解方程：3．
例3．解不等式：．
例4．求证：（1）；（2）．
例5．化简：⑴；⑵
例６．(课本例2)．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
例8．(课本例3)．(1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？
例9．(课本例4)．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
六、【随堂练习】1．若，则 （ ）
2．与不等的是 （ ）
3．若，则的值为 （ ）
4．计算： ； ．
5．若，则的解集是 ．
6．（1）已知，那么 ；
（2）已知，那么= ；
（3）已知，那么 ；
（4）已知，那么 ．
7．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？
8．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？
七、【课堂小结】
八、【课后巩固】
例１．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
例2．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
例3．将位司机、位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？
例4．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
例5．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？
（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
（６）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
（７）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
（８）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起
（９）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
