2026年高考一轮数学复习 集合 专题课件(共49张PPT)

(共49张PPT)
　集合
2026年高考数学复习专题课件★★
集合的基本概念
(1)集合的概念：我们把研究对象统称为元素，__________________ ____叫做集合．
(2)集合中元素的三个特性：__________________________．
(3)集合的表示法：_______________________．
(4)常见数集的记法
回归教材
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 _______ _______ _______ _______ _______
把一些元素组成的总体
确定性、互异性、无序性
列举法、描述法、图示法
N
N＋(或N*)
Z
Q
R
集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的元素x∈A，都有________，则A B.
(2)真子集：若A B，但存在元素x∈B，且_______，则A?B.
(3)相等：若A B，且______，则A＝B.
(4)空集是__________的子集，是____________的真子集．
(5)若有限集A中有n个元素，则A的子集的个数为2n，非空子集的个数为2n－1，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
x∈B
x A
B A
任何集合
任何非空集合
集合的基本运算
(1)交集：A∩B＝________________．
(2)并集：A∪B＝_________________．
(3)补集：若U为全集，A U，则 UA＝_________________．
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈U，且x A}
集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
(2)交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
(3)补集的性质：A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ；
U( UA)＝A； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)．
(4)如图所示，用集合A，B表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合分别是_______；_________；_________；__________________．



(5)集合中元素的个数：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－_________．
A∩B
A∩( UB)
B∩( UA)
U(A∪B)或( UB)∩( UA)
card(A∩B)
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．
夯实双基
答案　 (1) ×　
解析　 (1)由于－1 N，故(1)错．
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．
答案　(2)×　
解析　(2) {x|y＝x2}＝R，{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，以上两集合为数集，{(x，y)|y＝x2}表示抛物线y＝x2上所有点的集合，故(2)错．
(3)满足2 026∈{x，，x2}的x值有3个．
答案　 (3) ×　
解析　 (3) x＝－2 026或x＝－，故(3)错．
(4)若P∩M＝P∩N＝A，则A M∩N.
答案　 (4) √
解析　 (4)正确．
2．(课本习题改编)若x∈R，则x2＋1＝0的解集A＝________；不等式x2≤0的解集B＝________；0与A的关系为________；A与B的关系为________．

{0}
0 A
A?B
3．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A．{－1，0}　　　 B．{2，3}
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
√
解析　方法一(直接法)：因为A＝{x|－5方法二(验证法)：因为(－3)3＝－27<－5，(－1)3＝－1∈(－5，5)，03＝0∈(－5，5)，23＝8>5，33＝27>5，所以－1∈A，0∈A，－3 A，2 A，3 A，所以A∩B＝{－1，0}．故选A.
4．(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝(　　)
A．2 B．1
C. D．－1
√
解析　若A B，当2a－2＝0时，a＝1，A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足题意；当a－2＝0时，易得A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不合题意，故选B.
5．(人教A版必修一P14拓广探索T6改编)已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，若集合B＝{1，3，5，7}，则A∩( UB)＝__________________________．
{0，2，4，6，8，9，10}
解析　由题意知集合A中至少包含0，2，4，6，8，9，10这几个元素，而 UB＝{0，2，4，6，8，9，10}，
∴A∩( UB)＝{0，2，4，6，8，9，10}．
题型一　集合的基本概念
则集合A与B的关系是________．
A＝B
【解析】　方法一(列举法)：
显然A＝B.
方法二(描述法)：
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，集合B＝{y|y＝ ＋1}，那么A∩( UB)＝(　　)
A． 　　　　　　　　 B．(0，1]
C．(0，1) D．(1，＋∞)
√
【解析】　由题知，A＝{x|y＝lg x}＝{x|x>0}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝
＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以A∩( UB)＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0，1)．
∴由两集合相等，得m＝－1，n＝1，
∴m－n＝－2.
－2
状元笔记
由本例讲透集合的基础知识
(1)由例(1)讲清：列举法与描述法及它们之间的相互转换，并通过此题使学生深刻理解元素与集合，集合与集合之间的关系，并共同总结此类题的解法．
(2)例(2)的难点是对集合A，B的识别：A是函数y＝lg x的定义域，B是函数y＝ ＋1的值域．
(3)由例(3)深刻理解集合中元素的互异性的应用．
思考题1　(1)【多选题】下面四个命题中，正确的是(　　)
A．{(x，y)|x＝1或y＝2}＝{1，2}
B．{x|x＝3k＋1，k∈－2，k∈Z}
C．由英文单词“apple”中的所有字母组成的集合有15个真子集
√
√
【解析】　A中，左边集合表示横坐标为1或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x＝1或y＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同；
B中，3k＋1，3k－2(k∈Z)都表示被3除余1的数，正确，易错点在于认为3k＋1与3k－2中的k为同一个值，对集合的属性理解错误；
C中，集合的真子集的个数为24－1＝15；
D中，注意到 ∈Z，∴2－x＝±2，±4，±1，解得x＝－2，0，1，3，4，6，又∵x∈N，∴x＝0，1，3，4，6，∴A中有5个元素．
(2)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|y＝|x|－1}，则集合A∩B的真子集的个数为(　　)
A．3 B．4
C．7 D．8
√
【解析】　结合图象(如图)可知，集合A∩B有3个元素，所以集合A∩B的真子集的个数为23－1＝7.
(3)集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{9，a－5，1－a}，若A∩B＝{9}，则a＝________．
－3
【解析】　由A∩B＝{9}可知9为集合A与B的公共元素，也是唯一公共元素．
当2a－1＝9时，解得a＝5，此时A＝{－4，9，25}，B＝{9，0，－4}，不合题意(舍去)；
当a2＝9时，解得a＝3或－3.
若a＝3，则A＝{－4，5，9}，a－5＝1－a＝－2，集合B不满足互异性，不合题意(舍去)．
若a＝－3，则A＝{－4，－7，9}，B＝{9，－8，4}，符合题意．
综上所述，a＝－3.
题型二　集合的基本关系
(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x<0}，则满足A?C B的集合C的个数为________．
7
【解析】　∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且A?C B，
∴集合C的所有可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．
(2)(2025·广东佛山市质检)已知集合A＝{x∈N*|x2－2x－3<0}，B＝{x|ax＋2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的取值集合为_________________．
{－2，－1，0}
【解析】　A＝{x∈N*|x2－2x－3<0}＝{1，2}，因为A∩B＝B，所以B A，
当a＝0时，集合B＝{x|ax＋2＝0}＝ ，满足B A；
当a≠0时，集合B＝{x|ax＋2＝0}＝ ，
由B A，A＝{1，2}得－ ＝1或－ ＝2，解得a＝－2或a＝－1，
综上，实数a的取值集合为{－2，－1，0}．
(3)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|－m[3，＋∞)
(－∞，1]
【解析】　①由题得A＝{x|－1所以m≥3.故m的取值范围是[3，＋∞)．
②当m≤0时，B＝ ，显然B A.
当m>0时，因为A＝{x|－1

综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．
状元笔记
判断两集合关系的常用方法
(1)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．
(2)数形结合法：利用数轴或Venn图直观判断．
易错提醒：①当B为A的子集时，易漏掉B＝ 的情况而致误．②利用数轴解决包含问题时，注意端点处是否取等．
思考题2　(1)(2025·宁夏模拟预测)设集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝12n＋1，n∈Z}，则(　　)
A．M P B．N P
C．M∩N P D．M∩N＝
√
【解析】　由题意5∈M，5 P，A错误；4∈N，4 P，B错误；M∩N＝{x|x＝12n＋1，n∈Z}≠ ，D错误，C正确．故选C.
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B A时，实数m的取值范围是_______________________．
15
(－∞，－2)∪[－1，0]
【解析】　A＝{x|－2≤x≤1}，
若x∈Z，则A＝{－2，－1，0，1}，
故集合A的真子集有24－1＝15(个)．
由B A，
得①若B＝ ，则2m＋1
②若B≠ ，则

解得－1≤m≤0，
综上，实数m的取值范围是(－∞，－2)∪[－1，0]．
题型三　集合的基本运算(微专题)
微专题1　集合的交、并、补运算
(1)(2025·南通市期末调研卷)设全集U＝{x∈N|x2－5x≤0}， UA＝{2，5}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝(　　)
A．{1} B．{2}
C．{1，3} D．{2，3}
√
【解析】　由x2－5x≤0可得0≤x≤5，
所以U＝{0，1，2，3，4，5}，
又因为 UA＝{2，5}，所以A＝{0，1，3，4}，
所以A∩B＝{1，3}，故选C.
(2)全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A U，B U，( UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，则A∪B＝_________________．
{1，2，3，5，8，9}
【解析】　由已知条件可得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn图如图所示．


由图可得A∪B＝{1，2，3，5，8，9}．
(3)已知M，N均为R的子集，且 RM N，则M∪( RN)＝(　　)
A． B．M
C．N D．R
√
【解析】　方法一：画出Venn图如图所示，易知答案为B.


方法二(特值法)：
不妨设 RM＝(1，2)，N＝(0，3)，
则M∪( RN)＝M.
【探究】　集合运算的基本类型
(1)具体集合的运算：高考对集合的考查，多是考查具体集合(给出或可以求出集合的具体元素)的交、并、补运算，如本例(1)和(2)，其解法是化简集合，利用列举法或借助于数轴、Venn图等．预测明年对于集合的考查仍以此类题为主．
(2)抽象集合的运算：本例(3)是考查抽象集合(没有给出具体元素的集合)间关系的判断和运算的问题．解决此类问题的途径有二：
一是利用特值法将抽象集合具体化；
二是利用Venn图化抽象为直观．
状元笔记
集合运算的常用方法
(1)若集合中的元素是离散的，则常用Venn图求解．
(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴求解，此时要注意端点的取舍．
思考题3　(1)【多选题】(2025·江西部分高中大联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|1<2x<4}，则(　　)
A．A∪B＝R B．A∩B＝
C． UA B D．B UA
√
√
【解析】　集合A＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x>4或x<－1}，集合B＝{x|1<2x<4}＝{x|04或0A∩B＝ ，故B正确；
UA＝{x|－1≤x≤4}，所以B UA，故C错误，D正确．故选BD.
(2)将下面Venn图中阴影部分用集合A，B，C之间的关系式表示出来为_________________．
A∩B∩( UC)
微专题2　利用集合的运算求参数
(1)(2024·山东滨州二模)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|x>m}，若A∪B＝{x|x>1}，则(　　)
A．m≥1 B．1≤m<3
C．1√
【解析】　由x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)<0，得1m}且A∪B＝{x|x>1}，借助数轴求解，如图，由图知1≤m<3.故选B.
(2)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是(　　)
A．[3，6) B．[1，2)
C．[2，4) D．(2，4]
√
【解析】　∵A＝{x∈Z|－1状元笔记
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
思考题4　(1)(2020·课标全国Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　)
A．－4　　　　　　　 B．－2
C．2 D．4
√
【解析】　解二次不等式x2－4≤0，可得A＝{x|－2≤x≤2}，
解一次不等式2x＋a≤0，
(2)(2024·九省联考)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}．若A∩B＝A，则m的最小值为________．
5
【解析】　A∩B＝A，则A B，又B＝{x|3－m≤x≤3＋m}，
∴ ∴m≥5，∴mmin＝5.
本课总结
1．通过例1～例4的讲解使学生对集合的表示及子集、交、并、补运算等基础知识再一次巩固并系统化，体现本书以“基础知识”为根本、以“通性通法”为重点的宗旨．
2．解决集合问题的关键是正确地将集合进行化简求解，一般规律为：
(1)若给定的集合是点集(离散型)，用列举法(或结合Venn图)求解．
(2)若给定的集合是不等式的解集(连续型)，用数轴求解．
(3)若给定的集合是抽象集合，用Venn图或特值法求解．
集合中的创新型问题
在知识交汇点处命题的信息迁移题是新高考中的热点题型，解决此类问题，既要有扎实的基本功，又要有创新意识，要迅速阅读理解题意，准确把握新的信息，敢于下笔计算．
A．{0，3}　　　　　　　 B．{0}
C．{1，2} D．{1，2，6，7}
√
设A，B是有限集，定义d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素个数，判断下面两个命题的真假：
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．
【答案】　①②都是真命题
【解析】　命题①显然正确，通过如图所示的Venn图亦可知d(A，C)表示的区域不大于d(A，B)＋d(B，C)的区域，故命题②也正确．