2026年高考数学复习 一元二次不等式的解法 专题课件(共46张PPT)

(共46张PPT)
　一元二次不等式的解法
2026年高考数学复习专题课件★★
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二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系
x1，x2(x1没有实数根
{x|xR
{x|x1

1．(课本习题改编)不等式x(1－2x)>0的解集是(　　)
夯实双基
√
题型一　一元二次不等式的解法(自主学习)
求下列不等式的解集：
(1)x2－4x－5≤0；
(1){x|－1≤x≤5}　
(2)x2－6x＋9≤0；
　(2){x|x＝3}　
(3)x2－x－2>0；
　(3)(－∞，－1)∪(2，＋∞)　
(4)－x2＋2x－3>0；
　(4) 　
(5)－1(5){x|－3≤x<－2或0状元笔记
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化为标准式．
(2)对不等式左侧进行因式分解，若不能因式分解，则计算相应的判别式．
(3)根据因式分解或相应一元二次方程的根的情况写出解集．
√
夯实双基
求下列不等式的解集：
(1)ax2－(a＋1)x＋1<0；
(2)x2－ax＋1≤0.
综上，当a>2或a<－2时，原不等式的解集为
；
当a＝2时，原不等式的解集为{1}；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2状元笔记
一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．
分式不等式
f (x)g(x)>0(<0)
f (x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
3．(1)不等式x> 的解集为____________________．
(－1，0)∪(1，＋∞)
解析　方法一：当x>0时，原不等式等价于x2>1，解得x>1；当x<0时，原不等式等价于x2<1，解得－1 的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)．
(数轴标根)法得－11.
夯实双基
题型二　分式、简单高次不等式的解法
{x|－2≤x<0或x≥1}
状元笔记
(1)分式不等式与一元二次不等式的关系．
(2)高次不等式的解法．穿针引线法(也称数轴标根法)：①标准化：通过移项、通分等方法将不等式化为左侧是关于未知数的整式，其中未知数的最高次项的系数为正，右侧是0的形式．
②分解因式：将标准化的不等式的左侧化为若干个因式(一次因式或高次不可约因式)的乘积，如(x－x1)(x－x2)…(x－xn)的形式，其中各因式中未知数的系数为正．
③求根：求(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＝0的根，并在数轴上表示出来(按从小到大的顺序标出)．
④穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但是要注意经过偶次根时应不穿过数轴，从数轴的一侧返回这一侧，经过奇次根时应从数轴的一侧穿过，到达数轴的另一侧．
⑤得解集：若不等式是“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在数轴下方的区间．
{x|02}
A．{x|－23}
B．{x|－32}
C．{x|x<－3或－1D．{x|x<－3或x>2}
√
简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ，
|x|0)的解集为 ．
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－a，a)
(1).
(2).
(3).
(4).
解下列不等式
(2)关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为________．
－1
解析　依题意得q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，则q＋1＝－p，即p＋q＝－1.
夯实双基
4．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为 ，则a－b＝(　　)
A．－10 B．－14
C．10 D．14
√
夯实双基
5．已知(ax－1)(x－1)≥0的解集为R，则实数a的值为________．
1
夯实双基
题型三　三个二次的关系
已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是 ，求不等式ax2－bx＋c>0的解集．
状元笔记
(1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
(2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以代入根或根据根与系数的关系求待定系数．
√
思考题2　(1)【多选题】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为
√
√
(2)【多选题】已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)－2>0的解集是(x1，x2)，其中x1A．x1＋x2＋2＝0　　　 B．－3C．|x1－x2|>4 D．x1x2＋3<0
√
√
常用结论
题型四　不等式的恒成立问题
已知关于x的不等式2x－1>m(x2－1)．
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立？并说明理由；
题型四　不等式的恒成立问题
已知关于x的不等式2x－1>m(x2－1)．
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立？并说明理由；
【解析】　(1)原不等式等价于mx2－2x＋1－m<0，
当m＝0时，－2x＋1<0对任意x∈R不恒成立；
当m≠0时，若不等式对任意实数x恒成立，
则m<0且Δ＝4－4m(1－m)<0，解集为 .
所以不存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立．
(2)若对于x∈(1，＋∞)不等式恒成立，求m的取值范围；
已知关于x的不等式2x－1>m(x2－1)．
(2)若对于x∈(1，＋∞)不等式恒成立，求m的取值范围；
【答案】　(2)(－∞，0]　
(3)若对于m∈[－2，2]不等式恒成立，求实数x的取值范围．
已知关于x的不等式2x－1>m(x2－1)．
(3)若对于m∈[－2，2]不等式恒成立，求实数x的取值范围．
【解析】　(3)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
则原问题转化为当m∈[－2，2]时，f(m)<0恒成立．
而f(m)在m∈[－2，2]上的图象是一条线段，故
状元笔记
恒成立问题的解法
(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立：
(3)一元二次不等式在给定区间D上恒成立：
①可借助二次函数图象，分类讨论求得函数最值，从而解得满足不等式的参数范围．
②分离参数法：a≥f (x)在D上恒成立 a≥f (x)max，x∈D.
a≤f (x)在D上恒成立 a≤f (x)min，x∈D.
(4)变换主元法：在给定参数m的范围，求x的取值范围时，可将参数m看作主元，处理常规恒成立问题，简化解题过程．
思考题3　(1)已知函数f (x)＝mx2－(m－1)x＋m－1.
①若不等式f (x)<1的解集为R，求m的取值范围；
②若不等式f (x)≥0对任意x∈ 恒成立，求m的取值范围；
③若不等式f (x)>2对任意m∈(0，2)恒成立，求x的取值范围．
【解析】　①不等式f (x)<1，
即mx2－(m－1)x＋m－2<0，
当m＝0时，原不等式化为x－2<0，解得x<2，不符合题意；
当m≠0时，
要使不等式f (x)<1的解集为R，
所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞)．
③不等式f (x)>2对任意m∈(0，2)恒成立，
即(x2－x＋1)m＋x－3>0对任意m∈(0，2)恒成立，
令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3，
因为x2－x＋1＝ >0，
所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0，2)上单调递增，
则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3，
所以x的取值范围为[3，＋∞)．
(2)若关于x的不等式x2－2x－1＋m≤0在区间[0，3]内有解，则实数m的取值范围为___________．
(－∞，2]
【解析】　∵不等式x2－2x－1＋m≤0在区间[0，3]内有解，
∴不等式m≤－x2＋2x＋1在区间[0，3]内有解，
设f (x)＝－x2＋2x＋1，x∈[0，3]，
图象的对称轴为x＝1，
∴f (x)max＝f(1)＝2，∴m≤2，
即实数m的取值范围为(－∞，2]．
练一练：
已知关于x的不等式mx2-2x-m+1<0.
(1)是否存在实数m，使得不等式对任意x∈R恒成立？请说明理由.
(2)若不等式对任意x∈[0,1]恒成立，求实数m的取值范围.
(3)若不等式对任意m∈[-2,2]恒成立，求实数x的取值范围.
(4)若不等式在[2,3]上有解，求实数m的取值范围.
本课总结
1．一元二次方程、一元二次不等式、二次函数三者密切相关，因而在求解一元二次不等式时要注意利用相应二次函数的图象及相应一元二次方程的根迅速求出解集，掌握“数形结合”思想．
2．在解形如ax2＋bx＋c＞0的不等式时，若没有说明二次项系数取值时，别忘了对系数为零的讨论．
3．分式不等式要注意分母不为零．
4．掌握分类讨论思想在解不等式中的运用，尤其注意分类的标准是不重不漏．