数学试卷参考答案
单选题、多选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A B D D B C B BD ACD ABD
三、填空题
12．80 13． 14．
四、解答题
15．（1）由题意知，的前项和，
当时，，
当时，，
经检验，满足，
的通项公式为；.......................................................................................6分
（2）证：，
，
.......................................13分
16.（1）设过点的切线与圆相切于点，过点的切线与圆相切于点，
由切线长相等得，，，
那么．
由椭圆的定义可知，点在以，为焦点的椭圆上，且，，
故点的轨迹方程为．....................................................................6分
（2）由题意知直线MN的斜率存在且不为0，故设直线MN：，，由，可得，，故，解得，
故直线MN的斜率为.....................................................................15分
17．（1）证明：因为平面，平面，所以，
又，平面，平面，，
所以平面，
又平面，所以平面平面............................................................5分
（2）（i）解法1（坐标法）：在四边形中，因为，，，
故,
又，，所以
则，所以，结合，则，
以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，
平面PAC的一个法向量为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为................................................................10分
解法2（几何法）：在四边形中，因为，，，
故；
又，，所以
则，所以，又因为平面ABCD，所以，故,所以,
过D作于点M，连接M,N,因为平面ABCD，,所以,又，PA与AC相交，则，则即为与平面所成角,所以,....................................................................10分
（ii）解：由（1）知平面，平面，故，
因为P，A，B，C在同一个球面上，且为直角，即可得PB的中点到的距离均相等，故PB为外接球直径，则球心O为PB的中点.
解法1设,
,
PB为外接球直径，且Q在球的表面上
，，
，，得，所以，.
解法2设,
由，得，
，解得或
由于点Q异于点P，所以舍去，
所以，进一步可得....................................................................15分
18.（1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3，
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以．
所以，，
，.
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为：
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为. ....................................................................6分
（ii）.....................................................................8分
（2）表示系统在原来个元件增加2个元件，则至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作的概率，设原系统中正常工作的元件个数为，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为.
所以
.
所以，
所以当时，，当时，，当时，，........17分
19．【详解】（1）证明：注意到，
..................................................................5分
(2)因为直线与函数和的图象共有三个交点，
在R上单调递增，即直线与函数只有一个交点，
所以直线与函数有两个交点，
因为为偶函数且在上单调递增，，当且仅当时，等号成立，
所以，即，，解得，
所以，则，................................................................10分
（3）方法1 证明：，
，
，
，
，
，
令，则且，
即证，
令，
因为，
令，
则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，则，
即在单调递增，且，
所以时，，时，，
即在且时恒成立，
故．
方法2 注意到为奇函数，为偶函数，
则与都为偶函数，
则要证，只需证当时，即可。
当时即证
令（），由于，所以因为，则，，则，所以在单调递增，则，所以....................................................................17分
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页请在络感日的答题区球内作客，超出品色矩形边框限定区线的答类无效
请在各题月的答题区域内作答，超出玉色矩形边属限定区域的啓茶无效
数学答题卡
15.13分)
16.(15分)
姓
名
D
准考证号
贴条形码区
填涂样例
B
缺考标识口
正动芯回
注1容记角，书年完邦角已的如名.雅考云号斯可清起。开得折经市4m天皮。
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客观题(1-8为单迭题，9-11为多选题)
5
2团四C的四
10团m四
3团E的四
7团四四亚
1L田四四西
4Tn】
8团田四正
填空题
12.
13.
14.
考生请勿在此区域作答
消在各题日的答返以，感内作答，超川黑色炬形边崔限定区烛的塔案大效
请在各题目的答购区越凶作鉴，超出盅色垣形边淮限定区城的答笨无效
清在各型月的答题区域内作答，超出系色亞形边框跟定区玻的客案无效
题
题
请在各题目的客烛区城内作答，超出黑色烂形边框限定区域的答亲尤效
晴在各翅日的答感区城内作答，超出&他矩形边框限定区域的客案无效
请在各物日的丝题区城内作答，超出恶色矩形边框限定区域的答案无效
17.(15分)
18.(17分)
19.(17分)
请在各边目的客题区球四作竿，超出黑色超形边框限定区忠的丝客无效
在名题日的答题区城内作答，超出黑色短形边框阀定区坡的答案无效
访在各购日的答题区域内作答，超出器色矩形边框限定区域的客案无效
器
■数学试卷
考试时间：2025年10月15日下午15：00一17：00试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号
条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将答题卡上交。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的、
1.已知复数z=(1+21)i,则其共轭复数z=()
A.-2-i
B.-2+i
C.2-i
D.2+i
2.已知实数集合A={1,a,b},B={a2,a,ab},若A=B,则(a+b)2025=()
A.-1
B.0
C.1
D.2
3.已知抛物线C:4x-my2=0恰好经过圆M:(x-1)+(y-2)=1的圆心，则抛物线
C的焦点坐标为()
A.(0,)
B.(1,0)
C.(-1,0)
D.(0,-1)
4.在等比数列{an}中，a6,41o是方程x2+6x+2=0的两个实数根，则a的值为()
A.2
B.-2
C.2
D.-√2
5.已知向量a,满足1a=2,=1,若向量a在向量五上的投影向量为-v56,则
(a,b)=（)
数学试卷第1页共5页
B.
3π
C.
2π
D.
5π
4
3
6
6.已知A,B是样本空间2中的随机事件，0
1
P4=号，则P()=（)
A
3
B.
2-5
D.
8
2元
7.如图，在扇形0AB中，半径OAHOB卡2，弧长为？，点P是弧MB上的动点，
点M,N分别是半径OA,OB上的动点，则△PMN周长的最小值是()
D
M
N
B
A.3
B.4
C.25
D.2√2
8.已知随机变量5~N(0,1),设函数f(x)=P(-4x<5<4-4x),则f(x)的图象大致
为(，)
数学试卷第2页共5页
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，
9.下列不等式恒成立的是()
A.a2+b>2ab(a,b∈R)
B.a+
a2+b2
2≤V2”(a>0,b>0）
C.a+
≥3(a≠1)
a-1
D.
b+m>b(a>b>0,m>0)
a+m a
10.已知函数=2osx-否}1，则〈)
A.2元是f(x)的一个周期
元3π
B.f(x)在区间
44
上单调递减
C.
3元
f八x-8】
是偶函数
D.者f)=在区间0，动内有两个根aA,则cau-)-月
11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线E:x2+(y-x)2=1就是其中之
一，设曲线E与x轴交于A,B两点，与y轴交于C,D两点，点P是E上一个动点，
以下说法正确的是()
A.·曲线E关于y轴对称
B.曲线E恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
C.△PAB面积的最大值为√2
D.满足1PC1+PD=2W3的点P有且只有2个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12,
2x-
的展开式中x项的系数为
(用数字作答)
13.若x=1是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则f(0)=
14如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与
容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均
相切，则该容器的体积为
数学试卷第3页共5页