(共102张PPT)
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.3 直线与平面的夹角
探究点一 几何法求直线与平面所成的角
探究点二 用向量法求线面角
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解斜线与平面所成的角的定义;
2.会利用空间向量求直线与平面的夹角.
知识点一 直线与平面所成的角
（1）定义：如图，如果直线是平面 的一条
斜线，为______，是直线在平面 内的
______，则_______就是直线与平面 所成的角.
斜足
射影
（2）范围：直线与平面 所成的角 的范围是 .
当 时， 或 ；当 时， .
（3）性质：最小角定理.
如图，设是平面 的一条斜线段，为斜足，
为在平面 内的射影，而是平面 内的一条射
最小的角
线，.记，， ，则 ，
， 之间的关系是____________________.
平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角
中__________.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成
的角.( )
×
（2）斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角.( )
√
（3）斜线与平面的夹角的范围是 .( )
×
（4）若一条直线与一个平面 的夹角为 ,则这条直线在平面 内.
( )
×
知识点二 利用空间向量求直线与平面的夹角
如图所示，为直线的一个方向向量，为平面 的一个法向量，
为直线与平面 所成的角，则，或， ，特
别地，，，， .
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值即为所求线面
角的余弦值.( )
×
（2）若直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值为负值，则
所求线面角为钝角.( )
×
（3）已知向量，分别是直线的一个方向向量和平面 的一个法
向量，且，，则直线与平面 所成的角为 .( )
×
探究点一 几何法求直线与平面所成的角
例1 如图，在所有棱长都等于1的三棱柱
中，， ．
（1）证明： ；
证明：连接，在中， ，
，所以 ，
在中，，，所以 ，
因为，所以 ，
又，所以 ．
（2）求直线与平面 所成角的大小．
解：方法一：连接与交于点，连接 ， ．
在边长都为1的正方形中，是 的中点，
因为，所以
因为四边形的边长都为1，所以 ．
由（1）知 ，又，， 平面 ，
所以 平面 ，
例1 如图，在所有棱长都等于1的三棱柱
中，， ．
又 平面，所以 ，
又，，， 平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面，所以 ，
又，， 平面 ，
所以 平面 ，
所以即为直线与平面 所成的角．
因为， ，所以，所以 ，
所以直线与平面所成角的大小为 ．
方法二：取的中点，连接， ．
在中，，所以 ，
在边长都为1的正方形中， ， ，
因为 ，所以为直角三角形，所以 .
在中，，所以 ，
又，， 平面 ，所以 平面 ，
所以即为直线与平面 所成的角．
因为，所以，所以 ，
所以直线与平面所成角的大小为 ．
变式 如图所示，已知 平面， ，
，，，为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
证明：因为 平面， ，
所以 平面 ，
又因为 平面，所以 .
因为，为的中点，所以 ，
又因为, 平面，且 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）求直线与平面 所成角的大小.
变式 如图所示，已知 平面， ，
，，，为 的中点.
解：取的中点，连接, ，如图所示，
因为为的中点，所以，且 ，
又，且 ，
所以，且，所以四边形 为平
行四边形，所以 ，
由（1）可知 平面，所以 平面 ，
又 平面，所以 ，
所以即为直线与平面 所成的角.
因为，，所以 为等腰直
角三角形，所以 ，所以 .
在 中，
,
所以 ,
在中， ，
又因为，所以 ，
即直线与平面所成的角为 .
［素养小结］
几何法求线面角的两种方法：
（1）利用线面角定义，求线面角即求斜线与它在平面内的射影所成
的角，所以找该斜线在平面内的射影是关键，而找射影的关键是找
垂线，所以求线面角的关键是找平面的垂线.
（2）利用最小角定理.
探究点二 用向量法求线面角
例2 ［2024·江苏淮安高二期中］如图，在三棱锥
中，平面 平面 ,
,,是 的中
点，，则直线与平面 所成角
的正弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为平面 平面，平面
平面， 平面， ，
所以 平面，又 平面 ，所以
，因为,， ,
平面，所以 平面.
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
由于, ，所以
，
则，,, ，
所以 , ,.
设平面 的法向量为，
则
令，得.
设直线 与平面所成角为 ，
则 , .故选B.
变式 如图，在四棱台中，底面 为正方形，
平面，且，， .
（1）证明：平面 ；
证明：延长各侧棱交于点，连接 ，
设交于点，连接 .
由条件可知，分别为， 的中点，
，又 平面，
平面 ，平面 .
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求 的长.
变式 如图，在四棱台中，底面 为正方形，
平面，且，， .
解：如图，以为原点，， 的方向分别
为, 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
， .
设，则 ，所以
，, .
设平面的一个法向量为 ，
则即令 ，则 .
设直线与平面所成的角为 ，则
, ，
整理得,可得或 ，
所以 或
,
故 或 .
［素养小结］
向量法求线面角的步骤：
①分析图中线、面关系，建立空间直角坐标系；
②求出直线的一个方向向量和平面的一个法向量；
③求出夹角，；
④判断直线和平面所成的角 和，的关系，求出角 .
拓展 如图，直三棱柱 各棱长都相
等，是棱的中点，是棱 上的动点
（不含端点），是棱的中点.设，随着
的增大，直线与平面 所成角( )
A.增大 B.减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大
√
[解析] 取的中点,连接.以 为坐标原点，
,，的方向分别为,, 轴的正方向建立空间
直角坐标系，如图.设所有棱长均为2，则 ，
,,, ，所以
， ，.
设平面的法向量为 ，
则令 ，得,，
则 .
设直线与平面所成角为 ， ，则
, ，
令，可知在 内单调递减，且
，则 ，可知在
内单调递减，可得 在内单调递增，
所以 随着 的增大而增大.故选A.
1.如果平面的一条斜线段长是它在这个平面内的射影长的3倍，那么
斜线段与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
[解析] 根据斜线与平面所成角的定义可得.
√
2.若直线与平面 所成的角为，直线在平面 内，且与直线 异
面，则直线与直线 所成角的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由最小角定理知直线与直线所成角的最小值为 ，又直线
，为异面直线，所以直线与直线所成角的最大值为 .故选D.
√
3.如图，在三棱锥中，，，两两垂直， ，
，，则直线与平面 所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以为坐标原点，，， 的
方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建
立空间直角坐标系，则 ，
，， ，所以
，，.
设平面 的一个法向量为，则
即 令，则， ，
所以平面的一个法向量为 .
设直线与平面所成的角为 ，
则 ，
即直线与平面所成角的正弦值为 .故选C.
4.（多选题）如图，在正方体中， 为面对角线
的中点，为面对角线 上的动点，下列结论中正确的是
( )
A.存在点,使得平面
B.对任意点,
C.存在点，使得与所成的角是
D.不存在点，使得与平面 所成的角
是
√
√
√
[解析] 设正方体的棱长为1，以点 为坐标原
点，，，的方向分别为,, 轴的正方
向，建立空间直角坐标系，则 ,
，,,, ,
,.
，，
又 ，， ,
.
对于A，易知平面 的一个法向量为，
令 ，解得，此时，
又 平面 ,平面 ,故A正确；
对于B， ，，
对任意点 , ，故B正确；
对于C， ， ，
令 , ，化简得，
解得或，故存在点 ，使得与
所成的角是 ，故C正确；
对于D，易知， 平面，
平面，，又 ，
平面， 平面 ， 平面，
是平面 的一个法向量，由C知，存在点，使得与 所
成的角是 ， 存在点，使得 与平面所成的角是 ，
故D错误.故选 .
5.［2024·广西玉林高二期末］如图，在以 为原点的空间直角坐标系中，
是正三棱柱的底面 内一动点，
，直线和底面 所成的角为，则满足条件的点 组
成的集合为____________________________________.
[解析] 由题得，，因为 是
正三棱柱的底面 内一动点，所
以，所以，又 平面
，所以是平面 的一个法向量，
因为直线和底面所成的角为，所以 ,
，
整理得.故满足条件的点 组成的集合为
.
1.用向量法求线面所成角的基本步骤：
（1）根据题目条件合理地建立空间直角坐标系，并写出几何体中必
要的点的坐标.
（2）求出直线的一个方向向量及平面的一个法向量.
（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的三角函数值.
（4）结合图形（角的关系）及三角函数值关系确定角的大小，并写
出所求问题的结论.
2.用几何法求线面所成角的基本步骤：
（1）找到（或作出）斜线（斜线段）上一点到平面的垂线
（或垂线段），并加以证明.
（2）找到（或作出）斜线（斜线段）在平面内的射影，并确定直线
与平面所成的角.
（3）根据题目条件解直角三角形，经计算（或推理）得到角的大小.
（4）写出所求问题的结论.
用空间向量求空间角的过程基本上程序化,求解形式新颖直观.可以看
出,用空间向量求空间角时比使用传统几何方法更具有优越性.因此,我
们应该熟练灵活地应用向量这一工具,快而准地解决立体几何中有关
角的问题.
例（1）［2025·广西河池高二期中］如图，在直
四棱柱中，底面 为等腰
梯形，, ，
，为棱的中点，则 与平
面 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，在底面中，过点作 ，垂足为 .
以为坐标原点，,,的方向分别为，，
轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 ,
,, ，
所以 ,，.
设平面 的一个法向量为 ,则
令 ，则,，可得平面 的一个法向量为
.
设与平面所成角为 ， ，则
，可得，
所以与平面 所成角的余弦值为 .故选B.
（2）空间中的平面可以用代数方程表示：过点 且一个法
向量为的平面 的方程为
.已知平面 的方程为
，直线是两个平面 与
的交线，则直线与平面 所成角的正弦值是_ ___.
[解析] 易知平面 的一个法向量为，平面 , 的一个
法向量分别为,.
设直线 的一个方向向量为，则
令 ，得，则直线与平面 所成角的正弦值为
.
练习册
一、选择题
1.在空间直角坐标系中，已知直线 的一个方向向量为
，平面 的一个法向量为，则直线
与平面 所成的角为( )
A. B. C. D.
[解析] 设直线与平面 所成的角为 ，则 ,
，因为 ，所以 .故选C.
√
2.已知在平面 内，且 ，射线与， 所成
的角均为 ，则与平面 所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
[解析] 设与平面 所成的角为 ，则 ，
所以 .
√
3.［2025·河南郑州高二期中］在正方体
中，直线与平面 所成
的角为( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：如图所示，以 为坐标原点，建立
空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则
,,, ，所以
,, .
√
设平面的一个法向量为 ，则
令，得 ,，
即.
设直线与平面所成角为， ，
则 ,，
所以 .故选B.
方法二：，且点 平面 ,
平面.如图，连接,,设 与
的交点为,连接， 平面 ,
.
在正方形中， ,
平面，故 即为所求,
，, ,则
,故 .故选B.
4.将边长为1的正方形及其内部绕 旋转一周形成圆柱，如
图，的长为，的长为，其中与在平面 的同侧，
则直线与平面 所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意，， ，如图所示，
以 为原点，建立空间直角坐标系，则,
，所以.
易知平面 的一个 法向量为.
设直线与平面所成的角为 ，
则 , .故选D.
5.在正四棱锥中，，则直线与平面 所
成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
[解析] 连接交于点，连接 .
方法一： 平面,以为坐标原点，
,, 的方向分别为轴、轴、 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
√
由题意得，， ,
,， ,.
设平面的一个法向量为 ，
则即
令，得.
设直线与平面所成的角为 ，
则, .故选C.
方法二： 底面为正方形，且 ，
，
由方法一知， ，
为正三角形，且 ，
.设到平面的距离为 ，
则,解得，
故 与平面所成角的正弦值为 ,故选C.
6.［2024·武汉武昌区高二期末］如图,在矩形 中,已知
,是的中点,沿将折起到 的位置,使
,则与平面 所成角的正切值是( )
A.2 B. C. D.
√
[解析] 取的中点,的中点 ,连接
,,,，由题意可得 ,
,，因为 ,
, 平面，所以 平面 ,
又 平面，所以,因为与 相交且
， 平面，所以 平面,则是 与平
面所成的角.以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令,,则, , ,则,
平面 的一个法向量为 ,所以 , ,
所以 .
7.如图，在正方体中，是的中点，点 在线段
上，若直线与平面所成的角为 ，则 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设正方体的棱长为1， ，
则.以为原点，以，， 的方
向分别为，， 轴的正方向，建立如图所示的空间
直角坐标系，则,, ,
，,故， ，
又，所以，所以 .
连接,易知 平面，
所以是平面 的一个法向量，
所以 ,.
当 时， 取得最大值，当或1时， 取得最小值，所以 的取值范围是 .故选A.
8.（多选题）如图，在四棱锥 中，底
面是边长为2的菱形， ，
为正三角形，为 的中点，且平面
平面,是棱 上的一点，则以下
说法正确的是( )
A.
B.
C.若点为棱的中点，则直线平面
D.若，则直线与平面所成角的余弦值为
√
√
√
[解析] 如图①，连接，因为底面 是边长为2的菱形，
，为正三角形，为 的中点，所以
，，
又，, 平面 ，所以 平面，
又 平面，所以，又 ，
所以，故B正确；
当点为棱的中点时，如图①，取 的中点，连接,，
则，且，又为 的中点，底面是边长为
2的菱形，所以，且 ，所以，且，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面， 平面，所以 平面，
故C正确；
因为为正三角形，为 的中点，所以，
又平面 平面，平面 平面，
平面，所以 平面，又 平面，
所以，又，，, 平面，
所以 平面，又 平面，所以 ，
显然与平面不垂直，故只有当点在处时，有 ，
故A错误；
以 为原点，建立如图②所示的空间直角坐标系，则
,,,,，
因为 ，所以，所以，
，，
设平面的一个法向量为 ，则
令，得，
设直线 与平面所成的角为 ，则 ,
，所以 ，
所以直线与平面所成角的余弦值为，故D正确.故选 .
9.（多选题）［2024·湖南邵阳一中高二期中］ 在长方体
中，,与平面所成的角为 ，
则( )
A.异面直线与所成的角为
B.异面直线与所成的角为
C.与平面所成的角为
D.与平面所成的角的正弦值为
√
√
√
[解析] 在长方体 中，连接，
显然对角面 是矩形，即，
由，得 ，因此矩形是
正方形，又 平面 ，
所以是与平面 所成的角，即 .
令，则.以 为坐标原点，建立如图
所示的空间直角坐标系，则,, ,
, ,.
对于A， , ，
则 ,，
故 , ，因此异面直线与
所成的角为 ，A正确；
对于B，, ，
则 ,，故 , ，
因此异面直线与 所成的 角为 ，B正确；
对于C，，平面 的一个法向量为，
则 ,，显然, 是不
等于 的钝角，因此与平面 所
成的角不为 ，C错误；
对于D，平面 的一个法向量为，
则 ,，
所以 与平面所成的角的正弦值为 ，
D正确.故选 .
二、填空题
10.在正三棱柱中，已知,，则直线
与平面 所成的角的正弦值为____．
[解析] 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，所以 .
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面 所成的角为 ,则 ,
，所以直线与平面 所成的角的正弦值为 .
11.［2024·甘肃兰州一中高二月考］已知四棱柱 的
底面是正方形，，，点在底面 的射影为
的中点，则直线与平面 所成角的正弦值为___.
[解析] 因为点在底面的射影为 的中点
，所以 平面.以 为坐标原点，
，，的方向分别为，， 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 平面， 平面，所以 ，
则 ，则
，，， ，
所以 .
易知平面的一个法向量为 ，
则,，
因此直线 与平面所成角的正弦值为 .
★12.如图，已知四边形 为圆柱的轴截面，
，， 为上底面圆周上的两个动点，
且过上底面圆心，当三棱锥 的体积最
大时，直线与平面 所成角的正弦值为_____.
[解析] 连接， ，因为，
的值不变，所以当垂直于时，
三棱锥 的体积最大，
取的中点，以 为坐标原点，建立如图所示的空间
直角坐标系，
则，， ，，，
所以， ，.
设平面 的一个法 向量为，
则 即令，则，
设直线 与平面所成的角为 ，则 .
［技巧点拨］ 以垂直、对称、坐标最简化为原则建立坐标系，
圆柱体建系一般都是以底面圆圆心为原点，旋转轴为坐标轴.
体积问题常常应用体积分割、等体积法，将复杂几何体简单化，
化一般为特殊.
三、解答题
13.（13分）［2024·沈阳高二期末］ 如图，在三棱柱
中，侧棱 底面，且各棱长均相等，，， 分别为棱
，， 的中点．
（1）证明：平面 ；
证明：在三棱柱中，连接 ，
由,分别为,的中点，得 且 ，
又且，为 的中点，
所以且 ，所以且 ，
所以四边形是平行四边形，所以 ，
又 平面， 平面 ，所以平面 .
（2）求直线与平面 所成角的正弦值．
13.（13分）［2024·沈阳高二期末］ 如图，在三棱柱
中，侧棱 底面，且各棱长均相等，，， 分别为棱
，， 的中点．
解：在三棱柱中，侧棱 底面，
且各棱长均相等，令 ，取的中点，
连接，因为为 的中点，
所以，则 底面 ，
又，所以,, 两两垂直.
以 为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则,,, ，
所以, , .
设平面 的一个法向量为 ，
则令 ，得 .
设直线与平面所成的角为 ，
则, ，
所以直线与平面所成角的正弦值为 .
14.（15分）在等腰梯形中，, ,
,为的中点，线段与交于点
（如图①）．将沿折起到 的位置，形成三棱锥
，使得平面 平面 （如图②）．
（1）求证： .
证明：在梯形中，连接 ，因为，，
为 的中点，所以,且 ，
所以四边形 为平行四边形，
又,所以四边形是菱形，
所以，垂足为 ，且为 的中点，
所以在三棱锥中，， .
因为平面 平面，平面 平面，
平面 ，所以 平面，
因为为 的中点，为的中点，所以，
所以 平面 ，又 平面，所以 .
（2）线段上是否存在点，使得与平面 所成角的正弦值
为？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
14.（15分）在等腰梯形中，, ,
,为的中点，线段与交于点
（如图①）．将沿折起到 的位置，形成三棱锥
，使得平面 平面 （如图②）．
解：假设线段上存在点 ，使得与平面 所成角的正弦值为 .
设，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标
系，则 ，，， ，
所以， .
设为平面 的一个法向量，
则
令，得.
连接 ，因为 ， ，
所以 .
设与平面所成的角为 ，
则 , ，
整理得 ，
解得（舍去）或 ，
所以线段上存在点，使得 与平面
所成角的正弦值为 ，且 ．
15.在如图所示的四棱锥 中，底面
为正方形，平面 平面 ，
，，点在侧棱 上，
A. B. C.或 D.或
且.若直线与平面 所成角的
正弦值是，则实数 的值是( )
√
[解析] 取的中点，连接 ，由
，得，又 平面
，平面 平面 ，平面
平面，所以 平面 ，
连接交于点，连接，由四边形 是正方形，可知.
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，， ，所以
，，.
由 ，得,
则点 的坐标为 ，
所以 .
设平面的一个法向量为 ，则
即令 ，则.
设直线与平面 所成的角为 ，
则 , ，化简得，
解得或 . 故选C.
16.如图，在矩形中，，为 的中点，将
沿翻折成．在翻折过程中，直线与平面
所成角的正弦值的最大值为_______.
[解析] 设，的中点分别为， ，
连接,则翻折过程中，点 的轨迹是以
为直径的圆（圆所在平面与直线 垂直）.
以为原点，直线，直线 分别
为，轴，过与平面 垂直的直线为
轴，建立空间直角坐标系，如图，则，
平面 的一个法向量为.连接,则.
设 ，则.
记直线与平面所成的角为 ，
则 ，
设，则 ，则
（当且仅当 时，等号成立），
所以直线与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
快速核答案（导学案）
课前预习
知识点一 斜足 射影 最小的角
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）×
知识点二 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）×
课中探究
例1（1）证明略（2） 变式（1）证明略（2）
例2 B 变式（1）证明略（2）或 拓展 A
课堂评价 1.A 2.D 3.C 4.ABC 5.
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.B 7.A 8.BCD 9.ABD
二、填空题
10. 11. 12.
三、解答题
13.（1）证明略（2）> 14.（1）证明略
（2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且
思维探索 15.C 16.1.2.3 直线与平面的夹角
【课前预习】
知识点一
(1)斜足 射影 ∠ABA'
(3)cos θ=cos θ1cos θ2 最小的角
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)×
知识点二
诊断分析
(1)× (2)× (3)×
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)证明:连接AB1,在△ABB1中,∠ABB1=,AB=BB1=1,所以AB1=,
在△BCB1中,∠B1BC=,BC=BB1=1,所以B1C=1,
因为A=AC2+B1C2,所以AC⊥B1C,
又AC∥A1C1,所以A1C1⊥B1C.
(2)方法一:连接A1B与AB1交于点O,连接BC1,CO.
在边长都为1的正方形A1ABB1中,O是AB1的中点,
因为B1C=AC=1,所以CO⊥AB1.
因为四边形B1BCC1的边长都为1,所以B1C⊥BC1.
由(1)知B1C⊥A1C1,
又A1C1∩BC1=C1,A1C1,BC1 平面A1BC1,
所以B1C⊥平面A1BC1,
又A1B 平面A1BC1,所以B1C⊥A1B,
又A1B⊥AB1,AB1∩B1C=B1,AB1,B1C 平面AB1C,
所以A1B⊥平面AB1C.
因为CO 平面AB1C,所以CO⊥A1B,
又A1B∩AB1=O,A1B,AB1 平面A1ABB1,
所以CO⊥平面A1ABB1,
所以∠CBO即为直线BC与平面ABB1A1所成的角.
因为BO=,BC=1,所以cos∠CBO=,所以∠CBO=,
所以直线BC与平面ABB1A1所成角的大小为.
方法二:取AB1的中点O,连接BO,CO.
在△ACB1中,AC=B1C=1,所以CO⊥AB1,
在边长都为1的正方形A1ABB1中,BO=,AB1=,
因为AC2+B1C2=A,所以△ACB1为直角三角形,所以CO=.
在△OBC中,CO2+BO2=BC2,所以CO⊥BO,
又AB1∩BO=O,AB1,BO 平面A1ABB1,所以CO⊥平面A1ABB1,
所以∠CBO即为直线BC与平面ABB1A1所成的角.
因为BC=1,所以cos∠CBO=,所以∠CBO=,
所以直线BC与平面ABB1A1所成角的大小为.
变式 解:(1)证明:因为AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,
所以BB1⊥平面ABC,
又因为AE 平面ABC,所以BB1⊥AE.
因为AB=AC=2,E为BC的中点,所以BC⊥AE,
又因为BC,BB1 平面BCB1,且BC∩BB1=B,所以AE⊥平面BCB1,
又因为AE 平面AEA1,所以平面AEA1⊥平面BCB1.
(2)取CB1的中点F,连接EF,A1F,如图所示,
因为E为BC的中点,所以EF∥BB1,且EF=BB1,
又AA1∥BB1,且AA1=BB1,
所以AA1∥EF,且AA1=EF,所以四边形AA1FE为平行四边形,所以A1F∥AE,
由(1)可知AE⊥平面BCB1,所以A1F⊥平面BCB1,
又B1F 平面BCB1,所以B1F⊥A1F,
所以∠A1B1F即为直线A1B1与平面BCB1所成的角.
因为AB=AC=2,BC=2,所以△ABC为等腰直角三角形,所以AE=BC=,所以A1F=AE=.
在Rt△BB1C中,B1C===2,所以B1F=B1C=,
在Rt△A1B1F中,tan∠A1B1F===,
又因为∠A1B1F∈,所以∠A1B1F=,
即直线A1B1与平面BCB1所成的角为.
探究点二
例2 B [解析] 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PA 平面PAC,PA⊥AC,所以PA⊥平面ABC,又BC 平面ABC,所以PA⊥BC,因为BC⊥AB,AB∩PA=A,AB,PA 平面PAB,所以BC⊥平面PAB.以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
由于PA=BC=1,PB=AC=2,所以AB===,则B(0,0,0),C(0,1,0),E,P(,0,1),所以=(,0,1),=,=(,-1,1).设平面PEC的法向量为n=(x,y,z),则令x=2,得n=(2,,-).设直线PB与平面PEC所成角为θ,则sin θ=|cos|===.故选B.
变式 解:(1)证明:延长各侧棱交于点P,连接BD,
设BD交AC于点O,连接B1O.
由条件可知O,B1分别为BD,PB的中点,∴B1O∥PD,又B1O 平面AB1C,PD 平面AB1C,
∴DD1∥平面AB1C.
(2)如图,以A为原点,,的方向分别为x,y轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(4,4,0).
设P(0,2,t)(t>0),则B1,所以=(-4,-2,t),=(4,4,0),=.
设平面AB1C的一个法向量为n=(x,y,z),
则即令x=1,则n=.
设直线CC1与平面AB1C所成的角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|===,整理得2t4-37t2+80=0,可得t=4或t=,
所以PC==6或PC==,故CC1=3或CC1=.
拓展 A [解析] 取A1C1的中点F1,连接FF1.以F为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图
设所有棱长均为2,则x∈(0,2),B(,0,0),D(0,1,1),E(0,-1,x),F(0,0,0),所以=(,-1,-1),=(0,2,1-x),=(,0,0).设平面BDE的法向量为n=(a,b,c),则令a=1,得b=,c=,则n=.设直线BF与平面BDE所成角为θ,θ∈,则sin θ=|cos|===,令t=,可知t=在x∈(0,2)内单调递减,且t∈,则sin θ=,可知y=在t∈内单调递减,可得sin θ在x∈(0,2)内单调递增,所以θ随着x的增大而增大.故选A.
【课堂评价】
1.A [解析] 根据斜线与平面所成角的定义可得.
2.D [解析] 由最小角定理知直线l与直线a所成角的最小值为,又直线l,a为异面直线,所以直线l与直线a所成角的最大值为.故选D.
3.C [解析] 以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,3,0),所以=(2,0,0),=(2,0,-1),=(0,3,-1).设平面ABC的一个法向量为m=(x,y,z),则即令z=6,则x=3,y=2,所以平面ABC的一个法向量为m=(3,2,6).设直线OB与平面ABC所成的角为θ,则sin θ===,即直线OB与平面ABC所成角的正弦值为.故选C.
4.ABC [解析] 设正方体的棱长为1,以点D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),F.设=λ(0≤λ≤1),∵=(1,-1,0),∴=(λ,-λ,0),又=(0,1,1),∴=+=(λ,1-λ,1),∴E(λ,1-λ,1),∴=.对于A,易知平面ABB1A1的一个法向量为=(1,0,0),令·=-λ=0,解得λ=,此时⊥,又EF 平面ABB1A1,∴EF∥平面ABB1A1,故A正确;对于B,=(1,1,1),∵·=-λ+λ-=0,∴对任意点E,EF⊥DB1,故B正确;对于C,∵=(-1,-1,0),∴·=λ--λ=-,令|cos<,>|===,化简得2λ2-λ=0,解得λ=或λ=0,故存在点E,使得EF与BD所成的角是60°,故C正确;对于D,易知AC⊥BD,∵AA1⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,∴AA1⊥BD,又AA1∩AC=A,AA1 平面AA1C1C,AC 平面AA1C1C,∴BD⊥平面AA1C1C,∴是平面AA1C1C的一个法向量,由C知,存在点E,使得EF与BD所成的角是60°,∴存在点E,使得EF与平面AA1C1C所成的角是30°,故D错误.故选ABC.
5. [解析] 由题得A(0,0,0),A1(0,0,2),因为P(x,y,z)是正三棱柱ABC-A1B1C1的底面A1B1C1内一动点,所以z=2,所以=(-x,-y,-2),又AA1⊥平面ABC,所以=(0,0,2)是平面ABC的一个法向量,因为直线PA和底面ABC所成的角为,所以|cos<,>|====,整理得x2+y2=.故满足条件的点P组成的集合为.1.2.3 直线与平面的夹角
1.C [解析] 设直线l与平面α所成的角为β,则sin β=|cos|===,因为0°≤β≤90°,所以β=60°.故选C.
2.B [解析] 设PC与平面α所成的角为θ,则cos 45°=cos θ·cos 30°,所以cos θ=.
3.B [解析] 方法一:如图所示,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),C1(0,1,1),所以=(0,-1,1),=(-1,0,1),=(-1,-1,1).设平面BC1D1的一个法向量为n=(x,y,z),则令x=1,得y=0,z=1,即n=(1,0,1).设直线A1B与平面BC1D1所成角为α,α∈,则sin α=|cos|===,所以α=.故选B.
方法二:∵AB∥C1D1,且点B∈平面BC1D1,∴AB 平面BC1D1.如图,连接AD1,A1D,设AD1与A1D的交点为Q,连接BQ,∵AB⊥平面ADD1A1,∴AB⊥A1Q.在正方形ADD1A1中,A1Q⊥AD1,∴A1Q⊥平面ABC1D1,故∠A1BQ即为所求,∵A1Q=A1D,A1D=A1B,∴A1Q=A1B,则sin∠A1BQ==,故∠A1BQ=.故选B.
4.D [解析] 由题意,∠AOC=,∠A1O1B1=,如图所示,以O为原点,建立空间直角坐标系,则B1,C,所以=.易知平面AA1O1O的一个法向量为n=(1,0,0).设直线B1C与平面AA1O1O所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===.故选D.
5.C [解析] 连接BD交AC于点O,连接OS.
方法一:SO⊥平面ABCD,以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意得SO===,A(1,-1,0),C(-1,1,0),B(1,1,0),S(0,0,),∴=(-2,2,0),=(-1,-1,),=(1,-1,).设平面SBC的一个法向量为n=(x,y,z),则即
令z=,得n=(0,2,).设直线AC与平面SBC所成的角为θ,则sin θ=|cos|=
==.故选C.
方法二:∵底面ABCD为正方形,且AB=2,∴S△OBC=S正方形ABCD=×(2×2)=1,由方法一知SO=,∴VS-OBC=×1×=,∵△SBC为正三角形,且BC=AB=2,∴S△SBC=.设O到平面SBC的距离为h,则VO-SBC=×h×=,解得h=,故AC与平面SBC所成角的正弦值为=,故选C.
6.B [解析] 取BE的中点M,CD的中点N,连接A'M,MN,A'N,CM,由题意可得A'M⊥BE,A'N⊥CD,MN⊥CD,因为A'N∩MN=N,A'N,MN 平面A'MN,所以CD⊥平面A'MN,又A'M 平面A'MN,所以A'M⊥CD,因为BE与CD相交且BE,CD 平面BCDE,所以A'M⊥平面BCDE,则∠A'CM是A'C与平面BEDC所成的角.以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,令AB=1,AD=2,则M,A',C(0,2,0),则=,平面BEDC的一个法向量为=,所以sin∠A'CM=|cos<,>|===,所以tan∠A'CM=.
7.A [解析] 设正方体的棱长为1,=λ(0≤λ≤1),则=λ.以D为原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),O,B1(1,1,1),故==(-1,1,0),=(-λ,λ,0),又A1(1,0,1),所以P(1-λ,λ,1),所以=.连接DB1,易知DB1⊥平面A1BC1,所以=(1,1,1)是平面A1BC1的一个法向量,所以sin θ=|cos<,>|==.当λ=时,sin θ取得最大值,当λ=0或1时,sin θ取得最小值,所以sin θ的取值范围是.故选A.
8.BCD [解析] 如图①,连接OC,因为底面ABCD是边长为2的菱形,∠ADC=60°,△PAD为正三角形,O为AD的中点,所以AD⊥PO,AD⊥CO,又PO∩CO=O,PO,CO 平面POC,所以AD⊥平面POC,又OM 平面POC,所以AD⊥OM,又AD∥BC,所以OM⊥BC,故B正确;当点M为棱PC的中点时,如图①,取BP的中点N,连接MN,AN,则MN∥BC,且MN=BC,又O为AD的中点,底面ABCD是边长为2的菱形,所以AO∥BC,且AO=BC,所以MN∥AO,且MN=AO,所以四边形AOMN为平行四边形,所以OM∥AN,又OM 平面PAB,AN 平面PAB,所以OM∥平面PAB,故C正确;因为△PAD为正三角形,O为AD的中点,所以PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO 平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,又OC 平面ABCD,所以PO⊥OC,又OD⊥OC,OD∩OP=O,OD,OP 平面OPD,所以OC⊥平面OPD,又PD 平面OPD,所以OC⊥PD,显然PD与平面OPC不垂直,故只有当点M在C处时,有OM⊥PD,故A错误;以O为原点,建立如图②所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(1,0,0),B(2,,0),C(0,,0),P(0,0,),因为PM=PC,所以M,所以=,=(1,,0),=(-1,0,),设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),则令x=,得n=(,-1,1),设直线AM与平面PAB所成的角为θ,则sin θ=|cos|===,所以cos θ==,所以直线AM与平面PAB所成角的余弦值为,故D正确.故选BCD.
9.ABD [解析] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,连接BD,显然对角面BDD1B1是矩形,即BD∥B1D1,由AC⊥B1D1,得AC⊥BD,因此矩形ABCD是正方形,又DD1⊥平面ABCD,所以∠D1AD是AD1与平面ABCD所成的角,即∠D1AD=30°.令DD1=1,则AD=.以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(,0,0),B(,,0),A1(,0,1),C1(0,,1),D1(0,0,1).对于A,=(,0,1),=(-,0,1),则cos<,>===-,故<,>=120°,因此异面直线A1D与BC1所成的角为60°,A正确;对于B,=(0,,0),=(-,,0),则cos<,>===,故<,>=45°,因此异面直线AB与A1C1所成的角为45°,B正确;对于C,=(-,-,1),平面ADD1A1的一个法向量为n=(0,1,0),则cos<,n>===-,显然<,n>是不等于120°的钝角,因此BD1与平面ADD1A1所成的角不为60°,C错误;对于D,平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),则|cos<,m>|===,所以BD1与平面ABCD所成的角的正弦值为,D正确.故选ABD.
10. [解析] 以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B,C1(0,1,2),所以=.易知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),设直线BC1与平面ABC所成的角为θ,则sin θ=|cos|===,所以直线BC1与平面ABC所成的角的正弦值为.
11. [解析] 因为点B1在底面ABCD的射影为BC的中点H,所以B1H⊥平面ABCD.以H为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.因为B1H⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以B1H⊥BC,则B1H===2,则A(4,-2,0),D(4,2,0),B(0,-2,0),B1(0,0,2),所以=+=+=(0,4,0)+(0,2,2)=(0,6,2).易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),则|cos<,n>|===,因此直线AD1与平面ABCD所成角的正弦值为.
12. [解析] 连接AG,BG,因为VA-BEF=VE-ABG+VF-ABG,S△ABG的值不变,所以当EF垂直于CD时,三棱锥A-BEF的体积最大,取AB的中点O,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(0,1,2),E(-1,0,2),F(1,0,2),所以=(0,2,2),=(2,0,0),=(1,1,-2).设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则n=(0,2,1),设直线AC与平面BEF所成的角为θ,则sin θ===.
[技巧点拨] 以垂直、对称、坐标最简化为原则建立坐标系,圆柱体建系一般都是以底面圆圆心为原点,旋转轴为坐标轴.体积问题常常应用体积分割、等体积法,将复杂几何体简单化,化一般为特殊.
13.解:(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,连接ED,由E,D分别为BC,AB的中点,得ED∥AC且ED=AC,又AC∥A1C1且AC=A1C1,F为A1C1的中点,
所以A1F∥AC且A1F=AC,所以ED∥A1F且ED=A1F,
所以四边形A1DEF是平行四边形,所以EF∥A1D,
又A1D 平面A1CD,EF 平面A1CD,
所以EF∥平面A1CD.
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等,令AB=2,
取A1B1的中点D1,连接DD1,因为D为AB的中点,所以DD1∥AA1,则DD1⊥底面ABC,
又CD⊥AB,所以DD1,DA,DC两两垂直.
以D为原点,建立空间直角坐标系,如图,
则D(0,0,0),A1(2,1,0),C(0,0,),B1(2,-1,0),
所以=(-2,1,),=(2,1,0),=(0,0,).设平面A1CD的一个法向量为n=(x,y,z),
则令x=1,得n=(1,-2,0).
设直线B1C与平面A1CD所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===,
所以直线B1C与平面A1CD所成角的正弦值为.
14.解:(1)证明:在梯形ABCD中,连接PC,
因为AB∥CD,AB=2CD=4,P为AB的中点,所以CD∥AP,且CD=AP,
所以四边形APCD为平行四边形,
又AD=CD,所以四边形APCD是菱形,所以AC⊥DP,垂足为O,且O为AC的中点,
所以在三棱锥D'-ABC中,AC⊥OD',AC⊥OP.
因为平面ACD'⊥平面ABC,平面ACD'∩平面ABC=AC,OP 平面ABC,
所以OP⊥平面ACD',因为P为AB的中点,O为AC的中点,所以OP∥BC,所以BC⊥平面ACD',
又AD' 平面ACD',所以AD'⊥BC.
(2)假设线段PD'上存在点Q, 使得CQ与平面BCD'所成角的正弦值为.
设=λ(0≤λ≤1),以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(-,2,0),C(-,0,0),D'(0,0,1),P(0,1,0),所以=(,-2,1),=(0,2,0).
设n=(x,y,z)为平面BCD'的一个法向量,
则令x=1,得n=(1,0,-).连接CP,因为=(,1,0),=(0,-1,1),
所以=+=+λ=(,1-λ,λ).
设CQ与平面BCD'所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===,
整理得3λ2-7λ+2=0,解得λ=2(舍去)或λ=,
所以线段PD'上存在点Q,使得CQ与平面BCD'所成角的正弦值为,且=.
15.C [解析] 取AD的中点O,连接PO,由PA=PD,得PO⊥AD,又PO 平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以OP⊥平面ABCD,连接AC交BD于点E,连接OE,由四边形ABCD是正方形,可知OE⊥AD.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,),C(2,4,0),D(2,0,0),B(-2,4,0),所以=(-2,4,-),=(4,-4,0),=(2,0,-).由=λ,得=(-2λ,4λ,-λ),则点M的坐标为(-2λ,4λ,-λ+),所以=(2+2λ,4-4λ,λ-).设平面BDP的一个法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,1,).设直线MC与平面BDP所成的角为α,则sin α=|cos|===
=,化简得44λ2-56λ+17=0,解得λ=或λ=.故选C.
16. [解析] 设DE,DC的中点分别为O,F,连接AF,则翻折过程中,点A的轨迹是以AF为直径的圆(圆所在平面与直线DE垂直).以O为原点,直线OA,直线OE分别为x,y轴,过O与平面AOE垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图,则C(-2,1,0),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1).连接A1O,则A1O=1.设A1(cos α,0,sin α),则=(cos α+2,-1,sin α).记直线A1C与平面ABCD所成的角为θ,则sin θ===,设t=cos α+,则t∈,则sin θ=≤=,所以直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为.1.2.3 直线与平面的夹角
【学习目标】
1.理解斜线与平面所成的角的定义;
2.会利用空间向量求直线与平面的夹角.
◆ 知识点一 直线与平面所成的角
(1)定义:如图,如果直线AB是平面α的一条斜线,B为 ,A'B是直线AB在平面α内的 ,则 就是直线AB与平面α所成的角.
(2)范围:直线与平面α所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.
当θ=0°时,AB∥α或AB α;当θ=90°时,AB⊥α.
(3)性质:最小角定理.
如图,设AO是平面α的一条斜线段,O为斜足,A'为A在平面α内的射影,而OM是平面α内的一条射线,A'M⊥OM.记∠AOA'=θ1,∠A'OM=θ2,∠AOM=θ,则θ,θ1,θ2之间的关系是 .
平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中 .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. ( )
(2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角. ( )
(3)斜线与平面的夹角的范围是. ( )
(4)若一条直线与一个平面α的夹角为0°,则这条直线在平面α内. ( )
◆ 知识点二 利用空间向量求直线与平面的夹角
如图所示,v为直线l的一个方向向量,n为平面α的一个法向量,θ为直线l与平面α所成的角,则θ=-或θ=-,特别地,cos θ=sin,sin θ=|cos|.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值即为所求线面角的余弦值.( )
(2)若直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值为负值,则所求线面角为钝角.( )
(3)已知向量m,n分别是直线l的一个方向向量和平面α的一个法向量,且cos=-,则直线l与平面α所成的角为60°. ( )
◆ 探究点一 几何法求直线与平面所成的角
例1 如图,在所有棱长都等于1的三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABB1=,∠B1BC=.
(1)证明:A1C1⊥B1C;
(2)求直线BC与平面ABB1A1所成角的大小.
变式 如图所示,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=2,BC=2,AA1=BB1=2,E为BC的中点.
(1)求证:平面AEA1⊥平面BCB1;
(2)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.
[素养小结]
几何法求线面角的两种方法:
(1)利用线面角定义,求线面角即求斜线与它在平面内的射影所成的角,所以找该斜线在平面内的射影是关键,而找射影的关键是找垂线,所以求线面角的关键是找平面的垂线.
(2)利用最小角定理.
◆ 探究点二 用向量法求线面角
例2 [2024·江苏淮安高二期中] 如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PAC=∠ABC=90°,PA=BC=1,E是AB的中点,PB=AC=2,则直线PB与平面PEC所成角的正弦值为 ( )
A. B.
C. D.
变式 如图,在四棱台A1B1C1D1-ABCD中,底面ABCD为正方形,AB⊥平面ADD1A1,且AA1=DD1,AB=4,A1B1=2.
(1)证明:DD1∥平面AB1C;
(2)若直线CC1与平面AB1C所成角的正弦值为,求CC1的长.
[素养小结]
向量法求线面角的步骤:
①分析图中线、面关系,建立空间直角坐标系;
②求出直线的一个方向向量s和平面的一个法向量n;
③求出夹角;
④判断直线和平面所成的角θ和的关系,求出角θ.
拓展 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都相等,D是棱CC1的中点,E是棱AA1上的动点(不含端点),F是棱AC的中点.设AE=x,随着x的增大,直线BF与平面BDE所成角 ( )
A.增大 B.减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大
1.如果平面的一条斜线段长是它在这个平面内的射影长的3倍,那么斜线段与平面所成角的余弦值为 ( )
A. B.
C. D.
2.若直线l与平面α所成的角为,直线a在平面α内,且与直线l异面,则直线l与直线a所成角的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
3.如图,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=1,OB=2,OC=3,则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
4.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为面对角线BC1的中点,E为面对角线A1C1上的动点,下列结论中正确的是 ( )
A.存在点E,使得EF∥平面ABB1A1
B.对任意点E,EF⊥DB1
C.存在点E,使得EF与BD所成的角是60°
D.不存在点E,使得EF与平面AA1C1C所成的角是30°
5.[2024·广西玉林高二期末] 如图,在以A为原点的空间直角坐标系中,P(x,y,z)是正三棱柱ABC-A1B1C1的底面A1B1C1内一动点,A1A=AB=2,直线PA和底面ABC所成的角为,则满足条件的点P组成的集合为 . 1.2.3 直线与平面的夹角
一、选择题
1.在空间直角坐标系中,已知直线l的一个方向向量为m=(0,-1,-),平面α的一个法向量为n=(0,,1),则直线l与平面α所成的角为 ( )
A.30° B.150° C.60° D.120°
2.已知∠APB在平面α内,且∠APB=60°,射线PC与PA,PB所成的角均为135°,则PC与平面α所成角的余弦值是 ( )
A.- B. C. D.-
3.[2025·河南郑州高二期中] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与平面BC1D1所成的角为 ( )
A. B. C. D.
4.将边长为1的正方形AA1O1O及其内部绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,的长为,的长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧,则直线B1C与平面AA1O1O所成角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
5.在正四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
6.[2024·武汉武昌区高二期末] 如图,在矩形ABCD中,已知AB=AD,E是AD的中点,沿BE将△ABE折起到△A'BE的位置,使A'C=A'D,则A'C与平面BEDC所成角的正切值是( )
A.2 B. C. D.
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中点,点P在线段A1C1上,若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ,则sin θ的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ADC=60°,△PAD为正三角形,O为AD的中点,且平面PAD⊥平面ABCD,M是棱PC上的一点,则以下说法正确的是 ( )
A.OM⊥PD
B.OM⊥BC
C.若点M为棱PC的中点,则直线OM∥平面PAB
D.若=,则直线AM与平面PAB所成角的余弦值为
9.(多选题)[2024·湖南邵阳一中高二期中] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥B1D1,AD1与平面ABCD所成的角为30°,则 ( )
A.异面直线A1D与BC1所成的角为60°
B.异面直线AB与A1C1所成的角为45°
C.BD1与平面ADD1A1所成的角为60°
D.BD1与平面ABCD所成的角的正弦值为
二、填空题
10.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,则直线BC1与平面ABC所成的角的正弦值为 .
11.[2024·甘肃兰州一中高二月考] 已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形,AB=4,AA1=4,点B1在底面ABCD的射影为BC的中点H,则直线AD1与平面ABCD所成角的正弦值为 .
★12.如图,已知四边形ABCD为圆柱的轴截面,AB=BC=2,E,F为上底面圆周上的两个动点,且EF过上底面圆心G,当三棱锥A-BEF的体积最大时,直线AC与平面BEF所成角的正弦值为 .
三、解答题
13.(13分)[2024·沈阳高二期末] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等,D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.
(1)证明:EF∥平面A1CD;
(2)求直线B1C与平面A1CD所成角的正弦值.
14.(15分)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=,AB=2AD=2CD=4,P为AB的中点,线段AC与DP交于点O(如图①).将△ACD沿AC折起到△ACD'的位置,形成三棱锥D'-ABC,使得平面ACD'⊥平面ABC(如图②).
(1)求证:AD'⊥BC.
(2)线段PD'上是否存在点Q,使得CQ与平面BCD'所成角的正弦值为 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
15.在如图所示的四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD=,AB=4,点M在侧棱PB上,且=λ.若直线MC与平面BDP所成角的正弦值是,则实数λ的值是 ( )
A. B.
C.或 D.或
16.如图,在矩形ABCD中,AB=2AD=2,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折成△A1DE.在翻折过程中,直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为 .
