苏科版八年级上册数学第一章全等三角形典型题分类解析

第一章《全等三角形》典型题分类解析
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=9
( http: / / www.21cnjy.com )0°，点D，F分别在AB，AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
(1)
求证：△BCD≌△FCE；
(2)
若EF∥CD，求∠BDC的度数．
考点
全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
分析
(1)
由旋转的性质可得：C
( http: / / www.21cnjy.com )D=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；
(2)
由(1)可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC的度数．
解答
(1)
证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°－∠ACD=∠FCE，
在△BCD和△FCE中，
∴△BCD≌△FCE(SAS)．
(2)
解：由(1)可知△BCD≌△FCE，
∴∠BDC=∠E，
∵EF∥CD，
∴∠E=180°一∠DCE=90°，
∵∠BDC=90°．
点评
本题考查了全等三角形的判定和性质、
( http: / / www.21cnjy.com )同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
2．如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME.
考点
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
专题
证明题．
分析
根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．
解答
证明：△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠DBM=∠ECM，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
在△BDM和△CEM中，
∴△BDM≌△CEM(SAS)，
∴MD=ME.
点评
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．
3．
如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分么ABC，P
是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
(1)
求证：∠ADB=∠CDB；
(2)
若∠ADC
( http: / / www.21cnjy.com )=90°，由(1)中的条件可得四边形MPND是矩
形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
考点
全等三角形的判定与性质．
专题
证明题．
分析
(1)
根据角平分线的
( http: / / www.21cnjy.com )性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；
(2)
若∠ADC=90°
( http: / / www.21cnjy.com )，由(1)中的条件可得四边形砒MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
解答
证明：(1)
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB=么CDB．
点评
本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．
4
．【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法
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(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)
和直角三角形全等的判定方法
(即“HL”)
后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△
( http: / / www.21cnjy.com )ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
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【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
(1)如图①，在△
( http: / / www.21cnjy.com )ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据
，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF，
(2)如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC
△DEF不一定全等．
(3)在△ABC
( http: / / www.21cnjy.com )和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹)
(4)
∠B还要满足什么条件，
( http: / / www.21cnjy.com )就可以使△ABC≌△DEF
请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角，若
，则△ABC≌△DEF．
分析
(1)
根据直角三角形全等的方法“HL”证明；
(2)
过点C作CG⊥AB交AB的延长
( http: / / www.21cnjy.com )线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；
(3)
以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；
(4)
根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．
解答
(1)解：HL；
(2)证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠B=∠E，且∠B，∠E都是钝角，∴180°－∠B=180°－∠E，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，，∴△CBG≌△FEH
(AAS)，∴CG=FH，
在Rt△ACG
和
Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH
(HL)，∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF
(AAS)；
(3)
解：如图，△DEF和△ABC不全等；
(4)
解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
故答案为：(1)
HL
(4)
∠B≥∠A．
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点评
本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．