(共55张PPT)
2.1 坐标法
探究点一 数轴上基本公式的运用
探究点二 平面直角坐标系中两点间距离公式的应用
探究点三 平面直角坐标系中的中点坐标公式的应用
探究点四 坐标法的应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解平面直角坐标系中的基本公式;
2.理解坐标法的数学思想并能掌握坐标法的应用.
知识点一 平面直角坐标系中的基本公式
1.数轴上的基本公式
如果数轴上点对应的数为（即 的坐标为____，记作______），
且 ．
（1）向量 的坐标为________.
（2），两点之间的距离为 _________.
（3），两点的中点坐标为 .
2.平面直角坐标系中的基本公式
已知， ．
（1） ________________.
（2）两点之间的距离公式：
， 的几
何意义是______________________________.
（3）中点坐标公式:若点是线段的中点,则______,
______.
两点,之间的距离
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）数轴上的点与实数之间是一一对应的关系.( )
√
[解析] 数轴上的点与实数之间是一一对应的关系.
（2）数轴上右边点的坐标大于左边点的坐标.( )
√
[解析] 由数轴的概念可知正确.
（3）平面直角坐标系内，两点间的距离与， 的顺序有关.( )
×
[解析] 由平面直角坐标系内两点间的距离公式知，， 两点间的距
离与， 的顺序无关.
（4）中点坐标公式中两点坐标的位置没有先后顺序.( )
√
[解析] 由公式， ，结合加法的交换律知，中点坐
标公式中两点坐标的位置没有先后顺序.
知识点二 坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过
代数运算等解决了问题，这种解决问题的方法称为________.
坐标法
探究点一 数轴上基本公式的运用
例1 已知数轴上，， .
（1）求 ；
解： .
（2）当时，求 的值；
解：由题知,若，则 ，
解得或 .
（3）若是的中点，求 的值.
解：若是的中点，则，解得 .
变式 已知数轴上，，，四点的坐标分别是，，， .
（1）若，求 的值；
解：因为，所以，解得 .
（2）若，求 的值；
解：因为，所以，即或 ，
解得或 .
（3）若，求证： .
证明：因为,, ,
所以,即 ，
所以 ,
,所以 .
变式 已知数轴上，，，四点的坐标分别是，，， .
［素养小结］
数轴上的基本公式的应用思路与方法：
（1）已知向量，，中的两个的坐标，求另外一个的坐标时，
使用求解．
（2）已知向量的起点和终点的坐标，求向量坐标，使用
求解．
（3）已知数轴上两点间的距离时，使用
求解．
探究点二 平面直角坐标系中两点间距离公式的应用
例2 已知的三个顶点分别是，， ．
（1）判断 的形状；
解： ，
，
，
且 ，
是等腰直角三角形．
（2）求 的面积．
解： ．
变式（1）在直角坐标系中，已知点和 满足
，那么 的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 因为，所以，解得 ，
故选C.
√
（2）已知点，，当取得最小值时，
的值为__.
,所以当时， 取得最小值．
［素养小结］
根据两点间的距离公式,可求出三角形三边的长度,进而可判断三角形
的形状.在进行判断时,一定要得出最终结果,如一个三角形是等腰直角
三角形,若我们只通过两边长相等判断它是等腰三角形则是不正确的.
探究点三 平面直角坐标系中的中点坐标公式的应用
例3 已知平行四边形的两个顶点分别为， ，两对
角线的交点为，求顶点， 的坐标.
解：设点的坐标为，
由为的中点得 可得
设点的坐标为，由为的中点得
可得故点的坐标为，点的坐标为 .
变式（1）已知三点，，，且点是线段 的
中点，则点 的坐标是________.
[解析] 由题意知解得
（2）在中，设,,若边, 的中点都在坐标轴
上，求点 的坐标.
解：设，则边的中点坐标为，边 的中点坐标
为.易知边的中点在轴上，边的中点在 轴上或边
的中点在轴上，边的中点在 轴上，
则或解得或
故点的坐标为或 .
［素养小结］
（1）若点的坐标为，则点关于点对称的点的坐标
为.
（2）利用中点坐标公式可求得以，，为
顶点的的重心坐标为.
探究点四 坐标法的应用
例4 如图，和是在直线 同侧的两个等边三角形．试
用坐标法证明：
证明：如图所示，以为坐标原点，取 所在
直线为轴，建立平面直角坐标系.
设 和的边长分别为， ,
则，，， ，
所以 ,
,
所以 .
变式 如图，已知在中， ，
，，点在斜边上（不与，
重合），过点作， ，垂足分别是
，，连接.随着点在边上位置的改变，
的长度是否也会改变？若不变，请你求出 的长度；
若有变化，请你求出 的长度的取值范围.
解：建立如图所示的平面直角坐标系，则可设点
的坐标为 .
连接,易知四边形 为矩形，则
由题知，所以的长度会改变，且 的长
度的取值范围是 .
，
当 时， ，
［素养小结］
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何
元素,将平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:把代数运算的结果翻译成几何结论.
1.（多选题）在数轴上,下列各组点中,点位于点 左侧的是
( )
A.和 B.和
C.和 D.和
[解析] 由数轴上点的坐标的特点可知B，C，D正确.故选 .
√
√
√
2.［2024·宁夏石嘴山三中高二月考］数轴上向量的坐标为 ,且
,则点 的坐标为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由,得,解得 .
√
3.已知点，，，且，则 的值是
( )
A. B.2 C. D.
[解析] 因为点，，，且 ，所以
，解得 .
√
4.在等腰三角形中，为顶角，若，， 边的中
点是 ，则此三角形的腰长为_____.
[解析] 因为, ，
所以在直角三角形中， .
1.判断实数与数轴上的点的关系，主要利用数轴上两点间的公式来处
理，常见的题型有:（1）由公式来确定未知数的范围；（2）由公式
来确定点的位置.
例1（1）如果点位于点，之间，求 的取值范围；
解：由题意可得，点位于点的左侧，而点 位于两点之
间， .
（2）试判断点与 的位置关系.
解： ，
当时，, 两点重合；
当时， 恒成立，
点位于点 右侧.
综上所述，，两点重合或点位于点 右侧.
2.利用坐标法解题，就是要建立坐标系，利用数形结合来解题.
例2 已知,，则 的
最小值为( )
A. B.3 C. D.6
[解析] 因为表示点到点 的距离，
表示点到点的距离，
表示点 到点的距离.
√
设,, ，则
表示 ，
显然当点与点在, 轴的非负半轴上时,更小,
设,关于原点的对称点分别为, ，连接 ，，，
则 ，
当且仅当, 均在原点处时取等号.故选C.
练习册
一、选择题
1.在数轴上有两点，，点，，那么的中点 的坐
标为( )
A.2 B. C.3或 D.2或
[解析] 设，， ，
或，又为的中点， ，
或 .故选D.
√
2.已知点，，则线段 的中点坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 由点，，得线段的中点坐标为 ，
即 .故选B.
√
3.已知，，，且点关于点的对称点为 ，则
( )
A.2 B.4 C. D.
[解析] 由题意知为的中点，设，则解得
所以，所以 .
√
4.［2025·福建三明一中高二月考］已知点,,点在 轴
上,则 的最大值为( )
A. B. C.5 D.4
[解析] 如图,作点关于 轴的对称点
,连接并延长交轴于点 ,此时
, 取得最大值，最大
值为 .
√
5.已知点在轴上，点在轴上，的中点是，则 等
于( )
A.5 B. C. D.
[解析] 设，，由中点坐标公式得， ，由两
点间的距离公式得 .故选C.
√
6.一束光线从点射到轴上，经轴反射以后过点 ，
则光线从点到点 经过的路程为( )
A. B. C. D.
[解析] 点关于轴的对称点为，连接 ，则光线
从点到点经过的路程为 .
故选C.
√
7.已知点，，，则 的面积为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] ，
，，
则 为等腰三角形.
取的中点，连接，则为 边上的高，且
，所以
.故选A.
√
8.（多选题）一条平行于轴的线段长为5，它的一个端点是 ，
则它的另一个端点的坐标可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可设另一个端点的坐标为，则 ,解得
或.故选 .
√
√
★9.（多选题）对于 ，下列说法正确的是( )
A.可看作点与点 的距离 B.可看作点与点 的距离
C.可看作点与点 的距离 D.可看作点与点 的距离
√
√
√
[解析]
,则 可看
作点与点的距离，也可看作点与点 的距离，
也可看作点与点的距离.故选 .
［技巧点拨］ 对代数式进行变形，其几何意义为两点间的距离，注
意点到原点的距离问题.
二、填空题
10.已知的三边，，的中点分别为, ,
，则顶点 的坐标为_________.
[解析] 设,,,
因为的三边， ，的中点分别为,, ,
所以可得
故顶点 的坐标为 .
11.若，是平行四边形的两个顶点，与
交于点，则， 的坐标分别为________________.
，
[解析] 由题意，为,的中点，不妨设, ，
由中点坐标公式得
则 ， .
12.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”
事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：
可以转化为平面上点与点 的距离.
结合上述观点，可得 的最大值为____.
[解析]
,
可转化成轴上一点到点 的距离与到点 的距离之差.
因为 ,
所以的最大值为 .
三、解答题
13.（13分）在数轴上，对坐标分别为和的两点和 ，用绝对值
定义两点间的距离，表示为 .
（1）在数轴上任意取三点，， ，证明： .
证明：设,, ，
不妨设，则 .
当在,之间时，, ,此时
;
当时，, ，
则 ，
即 ；
同理可证当时，也有 成立.
综上， .
（2）设和两点的坐标分别为 和2，分别找出（1）中不等式等
号成立和等号不成立时点 的坐标的取值范围.
解：当和两点的坐标分别为 和2时，
由（1）的证明可知，当点位于和两点之间或者与 重合或者与
重合时，等号成立，此时点的坐标的取值范围是 ,
当点不在和两点之间时，等号不成立，此时点 的坐标的取值范
围是 .
14.（13分）在中,为边上任意一点与,不重合 ,且
求证: 为等腰三角形.
证明：如图,作,垂足为,以所在直线为
轴,以所在直线为 轴,建立平面直角坐标系.
设,,, .
因为 ,
所以 ,
即 ，
又,所以,即 ,
所以,所以 为等腰三角形.
15.［2024·山东青岛二中高二月考］函数
的值域为_______.
[解析] 设,, ,则
,
，所以 .
因为,且,所以,所以 ,
故所求函数的值域为 .
16.（15分）如图，点为正方形 内一点，且满足
，用坐标法证明 为等边三角形．
证明：以点为坐标原点，，的方向分别为 ，
轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.
设正方形的边长为2，则 ,
.
因为 ，
所以, ,
所以， ，
又,所以 为等边三角形.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.
2. 两点,之间的距离
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）× （4）√ 知识点二 坐标法
课中探究 例1（1） （2）或 （3）
变式（1） （2）或（3）证明略
例2（1）是等腰直角三角形（2） 变式（1）C （2）
例3 点的坐标为，点的坐标为 变式（1）
（2）点的坐标为或< 例4 证明略
变式 的长度会改变，且的长度的取值范围是
课堂评价 1.BCD 2.C 3.C 4.
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.C 7.A 8.AC 9.BCD
二、填空题
10. 11.， 12.
三、解答题
略 14.证明略
思维探索 15. 16.证明略2.1坐标法
【课前预习】
知识点一
1.x1 A(x1) (1)x2-x1 (2)|x2-x1|
2.(1)(x2-x1,y2-y1)
(2)两点P1(x,y),P2(a,b)之间的距离
(3)
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)√ [解析] (1)数轴上的点与实数之间是一一对应的关系.
(2)由数轴的概念可知正确.
(3)由平面直角坐标系内两点间的距离公式知,A,B两点间的距离与A,B的顺序无关.
(4)由公式x=,y=,结合加法的交换律知,中点坐标公式中两点坐标的位置没有先后顺序.
知识点二
坐标法
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)|AB|=5-(-1)=6.
(2)由题知|BC|=|x-5|,若|AB|+|BC|=8,则6+|x-5|=8,解得x=3或x=7.
(3)若B是AC的中点,则5=,解得x=11.
变式 解:(1)因为=5,所以c-(-4)=5,解得c=1.
(2)因为||=6,所以|d-(-2)|=6,即d+2=6或d+2=-6,解得d=4或d=-8.
(3)证明:因为=c+4,=d+4,=-3,
所以c+4=-3(d+4),即c=-3d-16,
所以3=3(d-c)=3d-3c=3d-3(-3d-16)=12d+48,-4=-4[c-(-4)]=-4c-16=-4(-3d-16)-16=12d+48,所以3=-4.
探究点二
例2 解:(1)∵|AB|==2,
|AC|==2,
|BC|==2,
∴|AB|2+|AC|2=|BC|2且|AB|=|AC|,
∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)S△ABC=|AC|·|AB|=×2×2=26.
变式 (1)C (2) [解析] (1)因为|BO|=|BA|,所以|b|=,解得b=5,故选C.
(2)因为|AB|===,所以当a=时,|AB|取得最小值.
探究点三
例3 解:设点C的坐标为(x1,y1),由E为AC的中点得可得设点D的坐标为(x2,y2),由E为BD的中点得可得故点C的坐标为(-10,6),点D的坐标为(-11,1).
变式 (1)(4,-3) [解析] 由题意知解得
(2)解:设C(a,b),则边AC的中点坐标为,边BC的中点坐标为.易知边AC的中点在x轴上,边BC的中点在y轴上或边AC的中点在y轴上,边BC的中点在x轴上,
则或解得或
故点C的坐标为(2,-7)或(-3,-5).
探究点四
例4 证明:如图所示,以B为坐标原点,取AC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.设△ABD和△BCE的边长分别为a,c(a>0,c>0),则A(-a,0),C(c,0),E,D,
所以|AE|==,|CD|==,
所以|AE|=|CD|.
变式 解:建立如图所示的平面直角坐标系,则可设点P的坐标为(0连接OP,易知四边形OEPF为矩形,则|EF|=|PO|==,当x=-=时,|EF|min=,由题知|EF|<4,所以EF的长度会改变,且EF的长度的取值范围是.
【课堂评价】
1.BCD [解析] 由数轴上点的坐标的特点可知B,C,D正确.故选BCD.
2.C [解析] 由=xB-xA,得-5-xA=-8,解得xA=3.
3.C [解析] 因为点P(a,2),Q(-2,-3),M(1,1),且|PQ|=|PM|,所以=,解得a=-.
4.2 [解析] 因为|BD|=|BC|=2,|AD|==2,所以在直角三角形ADB中,|AB|==2.2.1坐标法
1.D [解析] 设B(x1),C(x0),∵|AB|=|x1-(-1)|=|x1+1|=6,∴x1=5或x1=-7,又C(x0)为AB的中点,∴x0==,∴x0=2或-4.故选D.
2.B [解析] 由点M(1,-1),N(2,5),得线段MN的中点坐标为,即.故选B.
3.A [解析] 由题意知B为AD的中点,设D(x,y),则解得所以D(1,7),所以|CD|==2.
4.B [解析] 如图,作点A(1,3)关于x轴的对称点A'(1,-3),连接A'B并延长交x轴于点P,此时|AP|=|A'P|,|AP|-|BP|取得最大值,最大值为|A'B|==.
5.C [解析] 设A(x,0),B(0,y),由中点坐标公式得x=4,y=-2,由两点间的距离公式得|AB|===2.故选C.
6.C [解析] 点A(-3,5)关于x轴的对称点为A'(-3,-5),连接A'B,则光线从点A到点B经过的路程为|A'B|==5.故选C.
7.A [解析] |AB|==2,|AC|==,|BC|==,则△ABC为等腰三角形.取AB的中点D,连接CD,则CD为AB边上的高,且|CD|===2,所以S△ABC=|CD||AB|=×2×2=4.故选A.
8.AC [解析] 由题可设另一个端点的坐标为(a,1),则|a-2|=5,解得a=-3或a=7.故选AC.
9.BCD [解析] ==
=,则可看作点(x,0)与点(-1,-2)的距离,也可看作点(x,0)与点(-1,2)的距离,也可看作点(x,-1)与点(-1,1)的距离.故选BCD.
[技巧点拨] 对代数式进行变形,其几何意义为两点间的距离,注意点到原点的距离问题.
10.(-2,-6) [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),因为△ABC的三边AB,BC,CA的中点分别为P(3,-2),Q(1,6),R(-4,2),所以可得故顶点A的坐标为(-2,-6).
11.,(4,-3) [解析] 由题意,E为AC,BD的中点,不妨设C(x,y),D(a,b),由中点坐标公式得∴则C,D(4,-3).
12. [解析] -=-,可转化成x轴上一点P(x,0)到点M(1,2)的距离与到点N(0,1)的距离之差.因为|PM|-|PN|≤|MN|==,所以-的最大值为.
13.解:(1)证明:设A(x1),B(x2),C(x3),
不妨设x1当x3在x1,x2之间时,d(A,C)=x3-x1,d(B,C)=x2-x3,此时d(A,B)=d(A,C)+d(B,C);
当x3≤x1时,d(A,C)=x1-x3,d(B,C)=x2-x3,
则d(A,B)-[d(A,C)+d(B,C)]=x2-x1-(x1-x3+x2-x3)=2(x3-x1)≤0,
即d(A,B)≤d(A,C)+d(B,C);
同理可证当x3≥x2时,也有d(A,B)≤d(A,C)+d(B,C)成立.
综上,d(A,B)≤d(A,C)+d(B,C).
(2)当A和B两点的坐标分别为-3和2时,
由(1)的证明可知,当点C位于A和B两点之间或者与A重合或者与B重合时,等号成立,
此时点C的坐标的取值范围是[-3,2],
当点C不在A和B两点之间时,等号不成立,此时点C的坐标的取值范围是(-∞,-3)∪(2,+∞).
14.证明:如图,作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线为x轴,以OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0)(b因为|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,
所以b2+a2=d2+a2+(d-b)×(c-d),
即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d),
又d-b≠0,所以-b-d=c-d,即-b=c,
所以|AB|=|AC|,所以△ABC为等腰三角形.
15.(-1,1) [解析] 设P(x,0),A,B,则|PA|==,|PB|==,所以y=|PB|-|PA|.因为||PB|-|PA||<|AB|,且|AB|=1,所以|y|<1,所以y∈(-1,1),故所求函数的值域为(-1,1).
16.证明:以点P为坐标原点,,的方向分别为x,y轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.
设正方形ABCD的边长为2,则C(1,2-tan 15°),D(-1,2-tan 15°).
因为tan 15°=tan(60°-45°)===2-,所以C(1,),D(-1,),
所以|PC|==2,|PD|==2,
又|CD|=2,所以△PCD为等边三角形.2.1坐标法
【学习目标】
1.理解平面直角坐标系中的基本公式;
2.理解坐标法的数学思想并能掌握坐标法的应用.
◆ 知识点一 平面直角坐标系中的基本公式
1.数轴上的基本公式
如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为 ,记作 ),且B(x2).
(1)向量的坐标为 .
(2)A,B两点之间的距离为|AB|=||= .
(3)A,B两点的中点坐标为x=.
2.平面直角坐标系中的基本公式
已知A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)= .
(2)两点之间的距离公式:|AB|=||=,的几何意义是 .
(3)中点坐标公式:若点M(x,y)是线段AB的中点,则x= ,y= .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数轴上的点与实数之间是一一对应的关系. ( )
(2)数轴上右边点的坐标大于左边点的坐标.( )
(3)平面直角坐标系内A,B两点间的距离与A,B的顺序有关. ( )
(4)中点坐标公式中两点坐标的位置没有先后顺序. ( )
◆ 知识点二 坐标法
通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算等解决了问题,这种解决问题的方法称为 .
◆ 探究点一 数轴上基本公式的运用
例1 已知数轴上A(-1),B(5),C(x).
(1)求|AB|;
(2)当|AB|+|BC|=8时,求x的值;
(3)若B是AC的中点,求x的值.
变式 已知数轴上A,B,C,D四点的坐标分别是-4,-2,c,d.
(1)若=5,求c的值;
(2)若||=6,求d的值;
(3)若=-3,求证:3=-4.
[素养小结]
数轴上的基本公式的应用思路与方法:
(1)已知向量,,中的两个的坐标,求另外一个的坐标时,使用=+求解.
(2)已知向量的起点和终点的坐标,求向量坐标,使用=xB-xA求解.
(3)已知数轴上两点间的距离时,使用d(A,B)=|AB|=|xB-xA|求解.
◆ 探究点二 平面直角坐标系中两点间距离公式的应用
例2 已知△ABC的三个顶点分别是A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).
(1)判断△ABC的形状;
(2)求△ABC的面积.
变式 (1)在直角坐标系xOy中,已知点A(4,2)和B(0,b)满足|BO|=|BA|,那么b的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)已知点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当|AB|取得最小值时,a的值为 .
[素养小结]
根据两点间的距离公式,可求出三角形三边的长度,进而可判断三角形的形状.在进行判断时,一定要得出最终结果,如一个三角形是等腰直角三角形,若我们只通过两边长相等判断它是等腰三角形则是不正确的.
◆ 探究点三 平面直角坐标系中的中点坐标公式的应用
例3 已知平行四边形ABCD的两个顶点分别为A(4,2),B(5,7),两对角线的交点为E(-3,4),求顶点C,D的坐标.
变式 (1)已知三点A(x,5),B(-2,y),C(1,1),且点C是线段AB的中点,则点(x,y)的坐标是 .
(2)在△ABC中,设A(3,7),B(-2,5),若边AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.
[素养小结]
(1)若点P的坐标为(x,y),则点P关于点M(x0,y0)对称的点的坐标为(2x0-x,2y0-y).
(2)利用中点坐标公式可求得以A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)为顶点的△ABC的重心坐标为.
◆ 探究点四 坐标法的应用
例4 如图,△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形.试用坐标法证明:|AE|=|CD|.
变式 如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,|AC|=3,|BC|=4,点P在斜边AB上(不与A,B重合),过点P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E,F,连接EF.随着点P在边AB上位置的改变,EF的长度是否也会改变 若不变,请你求出EF的长度;若有变化,请你求出EF的长度的取值范围.
[素养小结]
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:把代数运算的结果翻译成几何结论.
1.(多选题)在数轴上,下列各组点中,点C位于点D左侧的是 ( )
A.C(-3)和D(-4)
B.C(3)和D(4)
C.C(-4)和D(3)
D.C(-4)和D(-3)
2.[2024·宁夏石嘴山三中高二月考] 数轴上向量的坐标为-8,且B(-5),则点A的坐标为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知点P(a,2),Q(-2,-3),M(1,1),且|PQ|=|PM|,则a的值是 ( )
A.-2 B.2
C.- D.
4.在等腰三角形ABC中,A为顶角,若A(3,0),|BC|=4,BC边的中点是D(5,4),则此三角形的腰长为 . 2.1坐标法
一、选择题
1.在数轴上有两点A,B,点A(-1),|AB|=6,那么AB的中点C的坐标为 ( )
A.2 B.-4
C.3或-3 D.2或-4
2.已知点M(1,-1),N(2,5),则线段MN的中点坐标为 ( )
A.(3,4) B.
C.(1,6) D.
3.已知A(3,1),B(2,4),C(1,5),且点A关于点B的对称点为D,则|CD|= ( )
A.2 B.4
C. D.
4.[2025·福建三明一中高二月考] 已知点A(1,3),B(5,-2),点P在x轴上,则|AP|-|BP|的最大值为 ( )
A. B.
C.5 D.4
5.已知点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点是P(2,-1),则|AB|等于 ( )
A.5 B.4
C.2 D.2
6.一束光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射以后过点B(2,10),则光线从点A到点B经过的路程为 ( )
A.5 B.2
C.5 D.10
7.已知点A(1,3),B(3,1),C(0,0),则△ABC的面积为 ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
8.(多选题)一条平行于x轴的线段长为5,它的一个端点是A(2,1),则它的另一个端点的坐标可能是 ( )
A.(-3,1) B.(2,7)
C.(7,1) D.(2,-3)
★9.(多选题)对于,下列说法正确的是 ( )
A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离
B.可看作点(x,0)与点(-1,-2)的距离
C.可看作点(x,0)与点(-1,2)的距离
D.可看作点(x,-1)与点(-1,1)的距离
二、填空题
10.已知△ABC的三边AB,BC,CA的中点分别为P(3,-2),Q(1,6),R(-4,2),则顶点A的坐标为 .
11.若A,B(2,6)是平行四边形ABCD的两个顶点,AC与BD交于点E,则C,D的坐标分别为 .
12.著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔离分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得-的最大值为 .
三、解答题
13.(13分)在数轴上,对坐标分别为x1和x2的两点A和B,用绝对值定义两点间的距离,表示为d(A,B)=|x1-x2|.
(1)在数轴上任意取三点A,B,C,证明:d(A,B)≤d(A,C)+d(B,C).
(2)设A和B两点的坐标分别为-3和2,分别找出(1)中不等式等号成立和等号不成立时点C的坐标的取值范围.
14.(13分)在△ABC中,D为BC边上任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.求证:△ABC为等腰三角形.
15.[2024·山东青岛二中高二月考] 函数y=-的值域为 .
16.(15分)如图,点P为正方形ABCD内一点,且满足∠PAB=∠PBA=15°,用坐标法证明△PCD为等边三角形.
