(共76张PPT)
2.2 直线及其方程
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
探究点一 直线的倾斜角问题
探究点二 直线的斜率问题
探究点三 直线的斜率与倾斜角的综合应用
探究点四 直线的方向向量、法向量的应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解直线的倾斜角、斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式;
2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度,并掌握它们之间的关系.
知识点一 直线的倾斜角
1.定义:一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线
与轴相交，将 轴绕着它们的交点按____________旋转到与直线重
合时所转的__________记为 ，则称 为这条直线的倾斜角；如果
这条直线与 轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为___.
逆时针方向
最小正角
2.倾斜角 的取值范围：____________________.
或
3.一般地，如果，是直线上两个不同的点，直线
的倾斜角为 ，则：
（1）当时此时必有， ___．
（2）当时此时必有， ____．
（3）当时, _ _____.
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若一条直线的倾斜角为 ,则这条直线与 轴平行.( )
×
[解析] 这条直线可能与轴平行，也可能与 轴重合.
（2）某条直线的倾斜角可能为 .( )
×
[解析] 直线的倾斜角的取值范围是 .
（3）任何一条直线有且只有一个倾斜角和它对应.( )
（4）直线的倾斜角是直线向上的方向与 轴所成的角.( )
[解析] 直线的倾斜角是直线向上的方向与 轴正方向所成的角.
√
×
2.（1）当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过哪个象限
解：当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过第一、三象限.
（2）当直线不过第一象限时,直线倾斜角的取值范围是什么
解：当直线不过第一象限时，直线的倾斜角 一定不是锐角，其取
值范围是 或 }.
知识点二 直线的斜率
1.定义：一般地，如果直线的倾斜角为 ，则当 时，称
______为直线的斜率；当 时，称直线 的斜率________．
不存在
2.两点的斜率公式
若，是直线上两个不同的点，则当 时，直
线的斜率为，当时，直线 的斜率________；当
时，直线 的斜率为___.
不存在
0
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）任何一条直线都有且只有一个斜率和它对应.( )
×
[解析] 任何一条直线都有倾斜角,但不一定都有斜率,如与 轴垂直的
直线的倾斜角为 ,但它没有斜率.
（2）直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率为正;直线的倾斜角是钝角
时,直线的斜率为负.( )
√
（3）若直线的倾斜角为 ,则直线的斜率为 .( )
×
[解析] 当直线的倾斜角 为 时,直线的斜率不存在.
（4）直线的斜率随着倾斜角的增大而增大.( )
×
[解析] 当倾斜角为锐角时，斜率为正值，斜率越大倾斜角越大；
当倾斜角为钝角时，斜率为负值，倾斜角越大斜率越大.
知识点三 直线的方向向量
1.定义：一般地,如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线
____________,则称向量为直线 的一个方向向量,记作_____.
2.如果为直线的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量
都是的一个方向向量，而且直线 的任意两个方向向量一定______．
3.如果,是直线上两个不同的点,则直线 的一个方向
向量为______________________.
平行或重合
共线
4.（1）如果直线的倾斜角为 ，则为直线 的一个
方向向量．
（2）如果直线的斜率为，则为直线 的一个方向向量．
5.如果为直线 的一个方向向量，则:
（1）当时，直线的斜率________，倾斜角为 ；
不存在
（2）当时，直线的斜率存在，且与 都是直线
的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知
，从而___， __.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）零向量可以作为直线的方向向量.( )
×
[解析] 零向量的方向是任意的，不可以作为直线的方向向量.
（2）一条直线的方向向量与 轴正方向所成的角与直线的倾斜角相
等.( )
×
[解析] 直线的方向向量与 轴正方向所成的角与直线的倾斜角互补或
相等.
（3）直线上有两点，，则直线 的一个方向向量为
.( )
√
[解析] 是直线 的一个方向向量.
（4）已知直线上的两个点, ，可以确定直线的方
向，求出直线的一个方向向量，进而可以求出它的斜率.( )
×
[解析] 由直线上两点可以确定直线的方向，求出直线的一个方向向
量，但是当时， 无意义，即直
线的斜率不存在.
知识点四 直线的法向量
1.定义：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线
______，则称向量为直线 的一个法向量，记作______.
垂直
2.一条直线的方向向量与法向量__________.
特别地，当与不全为0时，向量与 是__________
的，如果其中一个为直线的一个方向向量，则另一个一定是直线 的
一个________.
互相垂直
互相垂直
法向量
探究点一 直线的倾斜角问题
例1（1）已知，，则直线 的倾斜角为( )
A.0 B. C. D.
[解析] 由题意可知，,两点的横坐标相等，则直线的倾斜角为 .
故选D.
√
（2）（多选题）下列说法中正确的是( )
A.若直线的倾斜角为 ,则此直线与 轴平行
B.一条直线的倾斜角为
C.若直线的倾斜角为 ,则
D.任意直线都有倾斜角 ,且 时,直线与 轴垂直
[解析] 若直线的倾斜角为 ，则此直线与 轴平行或重合，故A选
项错误；
直线的倾斜角 的范围为 ，故B选项错误，C选项正确；
任意直线都有倾斜角，当倾斜角为 时，直线与 轴垂直，
故D选项正确.故选 .
√
√
变式（1）若直线经过第二、四象限,则直线的倾斜角 的取值范围
是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为直线经过第二、四象限,所以 ,又因为
,所以 ,故选D.
√
（2）［2024·吉林长春高二期中］已知直线的倾斜角为 ，
则角 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题可知 ，所以 .故选D.
√
［素养小结］
关于直线的倾斜角问题应注意:
①当直线与
轴平行或重合时,倾斜角为0,当直线与
轴垂直时,倾斜角
为
;②直线倾斜角的取值范围是
.
探究点二 直线的斜率问题
例2 ［2024· 贵州贵阳高二期中］经过下列两点的直线的斜率是否
存在 如果存在，求其斜率.
（1）, ；
解：存在，直线的斜率为 .
（2）, ；
解：存在，直线的斜率为 .
（3）, .
解：， 直线 的斜率不存在.
变式 ［2024·河北唐山一中高二月考］ 已知直线 过点
， .
（1）当为何值时，直线 的斜率是1
解：由题意，，解得 .
（2）当为何值时，直线的倾斜角为
解：若直线的倾斜角为 ，则，解得 .
［素养小结］
利用斜率公式求直线的斜率时应注意的事项：
①运用公式的前提条件是“
”，即直线不与
轴垂直（当直线与
轴垂直时，斜率是不存在的）；
②斜率公式与两点
,
的先后顺序无关，也就是说公式中的
与
，
与
可以同时交换位置．
探究点三 直线的斜率与倾斜角的综合应用
例3 ［2024·广东佛山高二期中］已知两点, ，过点
的直线与线段 有公共点.
（1）求直线的斜率 的取值范围；
解：因为,， ，所以
,，
因为直线 与线段 有公共点，
所以由图可知直线的斜率满足或 ，
所以直线的斜率的取值范围是 .
（2）求直线的倾斜角 的取值范围.
解：由题意可知直线的倾斜角介于直线与 的倾斜角之间，因
为直线的倾斜角是 ，直线的倾斜角是 ，所以 的取
值范围是 .
例3 ［2024·广东佛山高二期中］已知两点, ，过点
的直线与线段 有公共点.
变式（1）已知直线的斜率，且与轴交于点，把绕点 顺
时针旋转 得到的直线 的斜率为( )
A. B. C. D.
[解析] 设的倾斜角为 , ，直线的倾斜角为 ，
，解得 ，所以 ，
则 .故选A.
√
（2）［2025·福建莆田十中高二月考］已知直线过点 ，且
与以,为端点的线段相交，则直线 的斜率的取值范围
为___________________.
[解析] 设直线的斜率为，因为 ，
，，所以 ,
，
因为直线与以 为端点的线段相交，
所以由图可知直线 的斜率的取值范围为 .
［素养小结］
（1）由倾斜角（或范围）求斜率（或范围）利用定义式
解决.
（2）由两点坐标求斜率运用两点斜率公式
求解.
（3）涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解.
探究点四 直线的方向向量、法向量的应用
例4（1）若直线的一个方向向量是，则 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
[解析] 由直线的一个方向向量为，得直线 的斜率
,所以倾斜角 满足，可得 .
故选C.
√
（2）已知直线的一个法向量为，则直线 的斜率为___.
[解析] 依题意得，直线的一个方向向量为，所以直线 的斜率
.
2
变式 ［2024·湖北黄石高二期中］ 已知点,, .
（1）当时,求直线 的一个方向向量和一个法向量,并确定直
线 的斜率与倾斜角;
解：当时,,,所以 ,即直
线的一个方向向量为，所以是直线 的一个法向量.
直线的斜率,直线的倾斜角 满足 ,
则 .
（2）若,,三点共线,求 的值.
解：因为,所以,， 三点所在直线的斜率存在,
因为,,且,
所以 ,解得或 .
变式 ［2024·湖北黄石高二期中］ 已知点,, .
［素养小结］
已知直线的方向向量或法向量求参数问题,一般根据方向向量或法向
量的性质,利用向量共线或垂直来列方程求解.同时要注意,直线的方向
向量与法向量不能为零向量.
1.直线 的倾斜角和斜率分别是( )
A. ，1 B.0，0
C. ，不存在 D.不存在，不存在
[解析] 由题意可知，直线 的倾斜角为0，斜率为0.故选B.
√
2.若经过，两点的直线的一个方向向量为 ，则
等于( )
A.2 B.1 C. D.
[解析] 由题意知，，由与 共线得
，解得 .故选A.
√
3.设直线的斜率为，倾斜角为 ，若，则 的取值范围
是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以，又 ，所以
.故选D.
√
4.（多选题）下列说法中正确的是( )
A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大
B.若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为
C.若,，则直线的倾斜角为
D.若直线过点，且它的倾斜角为 ，则这条直线必过点
√
√
[解析] 对于A，若倾斜角为锐角，则斜率为正，若倾斜角为钝角，
则斜率为负，故A错误；
对于B，当 时，直线的斜率不存在，故B错误；
对于C，因为, 两点的横坐标相同，所以直线的倾斜角
为 ，故C正确；
对于D，过, 两点的直线的斜率，
故D正确.故选 .
5.［2024·江苏连云港高级中学高二月考］已知, ,
,求直线,, 的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还
是钝角.
解：直线的斜率;直线 的斜率
;直线的斜率 .
因为，,，所以直线与直线 的倾斜角均为
锐角，直线 的倾斜角为钝角.
1.在推导出直线的斜率公式 后，要注意强调以下几个方面:
（1）斜率和倾斜角一样，都可以反映直线的倾斜程度，每条直线都
有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率，如倾斜角 的直线.
（2）通过直线上任意两点的坐标求斜率，比利用几何方法求出倾斜
角再求斜率要更加方便.
（3）斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的
次序可以同时调换.
（4）如果, ，则直线与 轴平行或重合，此时斜率
;如果,，则直线与 轴平行或重合，此时斜率不存在.
（5）斜率公式表明，直线相对于 轴的倾斜程度，可以通过直线上两
点的坐标的代数式来表示，因而可以使用代数方法研究直线的性质.
2.直线斜率随倾斜角变化的规律：当直线的倾斜角为 时，直线的
斜率为0；当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率为正数，此时直线
的斜率随着倾斜角的增大而增大；当直线的倾斜角为 时，直线
的斜率不存在；当直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率为负数，此
时直线的斜率随着倾斜角的增大而增大.同样，直线的斜率也可以反
映倾斜角的范围.
3.关于直线的方向向量，需注意以下几点：
（1）任意直线都有方向向量；
（2）方向向量为非零向量；
（3）方向向量不唯一，若为直线的一个方向向量，则
（其中）也是 的一个方向向量；
（4）直线 的任意两个方向向量一定平行.
1.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找
准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.分类主要有: 角;②锐角;
角;④钝角.
例1 设直线过坐标原点，它的倾斜角为 ，如果将 绕坐标原点按
逆时针方向旋转 ，得到直线，那么 的倾斜角为( )
A.
B.
C.
D.当 时，倾斜角为 ；当 时，
倾斜角为
√
[解析] 根据题意，画出图形，如图所示，
当 时，的倾斜角为 ；
当 时，的倾斜角为 .
故选D.
2.直线的倾斜角与斜率的关系:（1）直线的倾斜角 与斜率 的关系:
.（2）当 时,且随着 的增大
而增大;当 时,且随着 的增大而增大.但当
时,并不随着 的增大而增大.
例2 已知实数,满足,试求 的最大值
和最小值.
解：设一段曲线 的左、右端点
分别为，，则 的几何意义为经过定点与一段
曲线上任一点的直线的斜率 , 在平面直角坐标系中
作出点与一段曲线,并连接 , ,如图所示.
由图可知 .由已知可得, ,
则, ,
所以,所以的最大值为7,最小值为 .
练习册
一、选择题
1.［2025·云南昭通市直中学高二月考］倾斜角为 的直线的一个
方向向量是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 若直线的倾斜角为，则直线的斜率 .
对于A，若直线的一个方向向量为，则直线的斜率 ，
故A不符合题意；
对于B，若直线的一个方向向量为，则直线的斜率 ，
故B不符合题意；
对于C，若直线的一个方向向量为 ，则直线的斜率 ，
故C不符合题意；
对于D，若直线的一个方向向量为，则直线的斜率 ，
故D符合题意.故选D.
2.［2024·浙江余姚高二期末］经过, 两点的直线的
倾斜角为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为直线经过, 两点，所以该直线的斜率
，
设直线的倾斜角为，则 ，因为，
所以 .故选D.
√
3.若图中的直线，，的斜率分别为， ，
，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为直线的倾斜角为钝角，所以；
因为直线, 的倾斜角为锐角，且的倾斜角小于的倾斜角，
所以 .所以 .故选A.
√
4.若过，两点的直线的一个法向量为 ，则
( )
A.2 B. C. D.
[解析] 因为直线的一个方向向量为，且直线 的一
个法向量为，所以 ，解得
.故选C.
√
5.［2024·江苏镇江高二期中］若,, 三点在同一条直线
上,则 的值为( )
A. B.2 C. D.
√
[解析] 方法一:因为,,三点共线,所以,即 ,解得 .
方法二:由题意可知在,之间,所以 ，即
，
可得 .
★6.［2024·湖北武汉高二期中］已知直线过， 两点，
直线的倾斜角 的取值范围是，则实数 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
[解析] 由直线的倾斜角的取值范围是，得直线的斜率 存
在时，或.
当时，，所以 或，
解得或.
当直线 的斜率不存在时，符合题意.
综上，实数的取值范围是 .故选B.
√
［技巧点拨］已知倾斜角的取值范围求直线斜率的取值范围或已知
斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,可结合直线的倾斜角与
斜率关系的图象,即, 的图象进行求解,特别
要注意倾斜角为 ,即斜率不存在的情况,必要时要分类讨论.
7.经过点作直线，若直线与以, 为端点的线
段总有公共点，设直线的倾斜角为 ，斜率为 ，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为, ,所以
，即，所以 ，可得
或 .故选A.
√
8.（多选题）一条直线与轴相交,其向上的方向与 轴正方向所成的
角为 ,则其倾斜角可以为( )
A. B. C. D.
[解析] 如图所示,当向上的部分在轴左侧时,倾斜角为;当 向
上的部分在轴右侧时,倾斜角为.故选 .
√
√
9.（多选题）已知直线,的斜率分别为2，，直线与直线, 围成
一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线 的斜率可能是( )
A. B. C. D.1
[解析] 设直线,,的倾斜角分别为,,，则, ，
直线的斜率.不妨设直线,过原点，设直线与直线, 分
别交于,两点.
√
√
√
当 为钝角时，如图①所示，由题意知
,
因为 为等腰三角形，所以，
所以 ,此时直线的斜率为，
故A正确；
若为钝角，则 ，如图②所示，
所以
,
所以,
此时直线的斜率为 ，故C正确；
当 为钝角时，如图③所示，
,因为 为等腰三角形，所以 ，
所以
,由,
解得 或 （舍去），
所以,
此时直线 的斜率为1，故D正确.故选 .
二、填空题
10.已知直线的斜率,,, 是这条直线上
的三个点,则____, ___.
9
[解析] 由题可知，,,所以, .
11.已知直线的斜率为，将直线绕其与轴的交点逆时针旋转
所得直线 的倾斜角为____.
[解析] 若直线的斜率为，则其倾斜角为，逆时针旋转 后
得角，由倾斜角的定义知直线的倾斜角为 .
12.如图， 的顶点都在坐标轴上，直线
的斜率为，直线的斜率为 ，则
____.
[解析] 由题可得 ,
，, , ,
.
三、解答题
13.（13分）［2024·四川成都高二期末］ 已知坐标平面内两点
， .
（1）当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出 的取值范围；
解：当直线的倾斜角为锐角时， ，解得
；
当直线的倾斜角为钝角时，，解得 或
.
（2）若直线的一个方向向量为,求 的值.
解：由题知，因为直线 的一个方向向量
为，所以，解得 .
13.（13分）［2024·四川成都高二期末］ 已知坐标平面内两点
， .
14.（13分）已知点,,若点在线段 上运动，求：
（1） 的取值范围；
解：记，则可看作过点与点 的直线的斜率，
因为, ,所以的取值范围为 .
（2） 的取值范围.
解：，记 ，
则可看作过点与点 的直线的斜率，
因为, ，
所以的取值范围为 .
14.（13分）已知点,,若点在线段 上运动，求：
15.若,, ,则( )
A. B. C. D.
[解析] 表示函数 的图象上的
点与点 连线的斜率,如图所示.
取,，，则 ,
,,
由图知 ,则 .
√
16.（15分）一质点在矩形内运动，从的中点 沿一确定方
向发射该质点，依次由线段，，反射.反射点分别为 ，
，（入射角等于反射角），最后落在线段上的点 处
（不包括端点）.若，，，，求直线
的斜率的取值范围.
解：由题意知，，设 ，
则直线的斜率，为使点 落在线段
上（不包括端点），
所以当点落到点，点 时为相应的两种临界位置.
当点落到点时，由题意知，点为的中点，且从点 出发又回
到点，所以此时位于线段的中点位置，此时 的斜率
；
当点落到点时，点与点 重合，
设 ，可得 ，
且 ，所以，
则 ，则，
所以 ，
解得，此时直线的斜率 .
综上可得，直线的斜率的取值范围为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.逆时针方向 最小正角
2.
或
3.（1）
（2）
（3）
【诊断分析】1.（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.略 知识点二 1.
不存在 2.不存在 0【诊断分析】（1）×（2）√（3）×
（4）× 知识点三 1.平行或重合
2.共线 3.
5.（1）不存在 （2）
【诊断分析】（1）× （2）× （3）√ （4）×
知识点四 1.垂直
2.互相垂直 互相垂直 法向量
课中探究 例1（1）D （2）CD 变式（1）D （2）D
例2（1）存在，直线
的斜率为
（2）存在，直线
的斜率为
（3 ） 直线
的斜率不存在 变式（1）
（2）
例3（1）>（2）
变式（1）A （2）
例4（1）C （2）2 变式（1）略（2）
或
课堂评价 1.B 2.A 3.D 4.CD 5.略
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.D 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.A 8.BC 9.ACD
二、填空题
10.
9 11.
12.
三、解答题
13.（1）当直线
的倾斜角为锐角时，
；
当直线的倾斜角为钝角时，
或
（2）
14.（1）>（2）
思维探索 15.B 16. >2.2.1 直线的倾斜角与斜率
【课前预习】
知识点一
1.逆时针方向 最小正角 0° 2.[0,π)或0°≤θ<180° 3.(1)0° (2)90° (3)
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)这条直线可能与x轴平行,也可能与x轴重合.
(2)直线的倾斜角的取值范围是[0°,180°).
(4)直线的倾斜角是直线向上的方向与x轴正方向所成的角.
2.解:(1)当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过第一、三象限.
(2)当直线不过第一象限时,直线的倾斜角α一定不是锐角,其取值范围是{α|α=0°或90°≤α<180°}.
知识点二
1.tan θ 不存在 2.不存在 0
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)× [解析] (1)任何一条直线都有倾斜角,但不一定都有斜率,如与x轴垂直的直线的倾斜角为90°,但它没有斜率.
(3)当直线的倾斜角α为时,直线的斜率不存在.
(4)当倾斜角为锐角时,斜率为正值,斜率越大倾斜角越大;当倾斜角为钝角时,斜率为负值,倾斜角越大斜率越大.
知识点三
1.平行或重合 a∥l 2.共线 3.=(x2-x1,y2-y1)5.(1)不存在 (2)
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)零向量的方向是任意的,不可以作为直线的方向向量.
(2)直线的方向向量与x轴正方向所成的角与直线的倾斜角互补或相等.
(3)=(1,-4)是直线l的一个方向向量.
(4)由直线上两点可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向量=(x2-x1,y2-y1),但是当x1=x2时,无意义,即直线的斜率不存在.
知识点四
1.垂直 v⊥l 2.互相垂直 互相垂直 法向量
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)CD [解析] (1)由题意可知,A,B两点的横坐标相等,则直线AB的倾斜角为.故选D.
(2)若直线的倾斜角为0°,则此直线与x轴平行或重合,故A选项错误;直线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°,故B选项错误,C选项正确;任意直线都有倾斜角,当倾斜角为90°时,直线与x轴垂直,故D选项正确.故选CD.
变式 (1)D (2)D [解析] (1)因为直线l经过第二、四象限,所以tan α<0,又因为0°≤α<180°,所以90°<α<180°,故选D.
(2)由题可知0°≤θ-25°<180°,所以25°≤θ<205°.故选D.
探究点二
例2 解:(1)存在,直线AB的斜率为=1.(2)存在,直线CD的斜率为=-1.
(3)∵xP=xQ=-3,∴直线PQ的斜率不存在.
变式 解:(1)由题意,kMN===1,解得m=.
(2)若直线l的倾斜角为90°,则m+1=2m,解得m=1.
探究点三
例3 解:(1)因为A(-3,4),B(3,2),P(1,0),所以kPA==-1,kPB==1,因为直线l与线段AB有公共点,所以由图可知直线l的斜率k满足k≤kPA或k≥kPB,
所以直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,因为直线PB的倾斜角是45°,直线PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
变式 (1)A (2)∪ [解析] (1)设l的倾斜角为θ,0°≤θ<180°,直线m的倾斜角为α,则tan θ=,解得θ=30°,所以α=θ-45°+180°=165°,则tan 165°=-tan 15°=
-tan(45°-30°)=-=-=-2.故选A.
(2)设直线l的斜率为k,因为P(-2,-1),A(-4,2),B(1,3),所以kPA==-,kPB==,因为直线l与以AB为端点的线段相交,所以由图可知直线l的斜率的取值范围为∪.
探究点四
例4 (1)C (2)2 [解析] (1)由直线l的一个方向向量为(1,-),得直线l的斜率k==-,所以倾斜角θ满足k=tan θ=-,可得θ=120°.故选C.
(2)依题意得,直线l的一个方向向量为(2,4),所以直线l的斜率k==2.
变式 解:(1)当a=4时,A(4,2),B(5,1),所以=(5-4,1-2)=(1,-1),即直线AB的一个方向向量为(1,-1),所以(-1,-1)是直线AB的一个法向量.直线AB的斜率k==-1,直线AB的倾斜角θ满足tan θ=-1,则θ=135°.
(2)因为5≠-4,所以A,B,C三点所在直线的斜率存在,因为kAB==,kBC==,且kAB=kBC,所以=,解得a=2或a=.
【课堂评价】
1.B [解析] 由题意可知,直线y=1的倾斜角为0,斜率为0.故选B.
2.A [解析] 由题意知,=(1-m,-1),由与(-3,-3)共线得=,解得m=2.故选A.
3.D [解析] 因为-14.CD [解析] 对于A,若倾斜角为锐角,则斜率为正,若倾斜角为钝角,则斜率为负,故A错误;对于B,当α=时,直线的斜率不存在,故B错误;对于C,因为A(1,-3),B(1,3)两点的横坐标相同,所以直线AB的倾斜角为90°,故C正确;对于D,过(1,2),(3,4)两点的直线的斜率k==1=tan 45°,故D正确.故选CD.
5.解:直线AB的斜率kAB==;直线BC的斜率kBC===-;直线CA的斜率kCA===1.因为kAB>0,kCA>0,kBC<0,所以直线AB与直线CA的倾斜角均为锐角,直线BC的倾斜角为钝角.2.2 直线及其方程
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
1.D [解析] 若直线的倾斜角为45°,则直线的斜率k=1.对于A,若直线的一个方向向量为(2,),则直线的斜率k=,故A不符合题意;对于B,若直线的一个方向向量为,则直线的斜率k=,故B不符合题意;对于C,若直线的一个方向向量为(1,-2),则直线的斜率k=-2,故C不符合题意;对于D,若直线的一个方向向量为(1,1),则直线的斜率k=1,故D符合题意.故选D.
2.D [解析] 因为直线经过A(-1,2),B(2,)两点,所以该直线的斜率k==-,设直线的倾斜角为α,则tan α=-,因为0°≤α<180°,所以α=150°.故选D.
3.A [解析] 因为直线l1的倾斜角为钝角,所以k1<0;因为直线l2,l3的倾斜角为锐角,且l2的倾斜角小于l3的倾斜角,所以k3>k2>0.所以k14.C [解析] 因为直线l的一个方向向量为=(1,m-2),且直线l的一个法向量为v=(,1),所以×1+(m-2)×1=0,解得m=2-.故选C.
5.D [解析] 方法一:因为A,B,C三点共线,所以kAB=kAC,即=,解得m=.
方法二:由题意可知C在A,B之间,所以|AC|+|BC|=|AB|,即+=,可得m=.
6.B [解析] 由直线l的倾斜角α的取值范围是,得直线l的斜率k存在时,k<-1或k>1.当m≠2时,k==,所以<-1或>1,解得0[技巧点拨] 已知倾斜角的取值范围求直线斜率的取值范围或已知斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,可结合直线的倾斜角与斜率关系的图象,即k=tan α,α∈∪的图象进行求解,特别要注意倾斜角为,即斜率不存在的情况,必要时要分类讨论.
7.A [解析] 因为kPA==-1,kPB==1,所以kPA≤k≤kPB,即-1≤k≤1,所以-1≤tan α≤1,可得0≤α≤或≤α<π.故选A.
8.BC [解析] 如图所示,当l向上的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;当l向上的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°-α.故选BC.
9.ACD [解析] 设直线l1,l2,l的倾斜角分别为α,β,γ,则tan α=2,tan β=,直线l的斜率k=tan γ.不妨设直线l1,l2过原点,设直线l与直线l1,l2分别交于A,B两点.当∠ABO为钝角时,如图①所示,由题意知tan∠AOB=tan(α-β)==,因为△AOB为等腰三角形,所以∠AOB=∠OAB,所以tan γ=tan(∠OAB+α)==-,此时直线l的斜率为-,故A正确;若∠OAB为钝角,则∠AOB=∠ABO,如图②所示,所以tan∠OAB=tan(π-∠AOB-∠ABO)=tan(π-2∠AOB)=-tan 2∠AOB=-=-,所以tan γ=tan(∠OAB+α)==-,此时直线l的斜率为-,故C正确;当∠AOB为钝角时,如图③所示,tan∠AOB=tan[π-(α-β)]=-tan(α-β)=-,因为△AOB为等腰三角形,所以∠OAB=∠OBA,所以tan∠AOB=tan(π-∠OAB-∠OBA)=tan(π-2∠OAB)=-tan 2∠OAB=-,由-=-,解得tan∠OAB=或tan∠OAB=-3(舍去),所以tan γ=tan(β+∠OBA)=tan(β+∠OAB)==1,此时直线l的斜率为1,故D正确.故选ACD.
10.-1 9 [解析] 由题可知,=-2,=-2,所以x=-1,y=9.
11.15° [解析] 若直线l的斜率为-1,则其倾斜角为135°,逆时针旋转60°后得195°角,由倾斜角的定义知直线l'的倾斜角为195°-180°=15°.
12.- [解析] 由题可得∠ABC=∠xCB-∠xAB,∵kAB=,∴tan∠xAB=,∵kBC=-,∴tan∠xCB=-,∴tan∠ABC=tan(∠xCB-∠xAB)===-.
13.解:(1)当直线MN的倾斜角为锐角时,k=>0,解得-当直线MN的倾斜角为钝角时,k=<0,解得m<-或m>4.
(2)由题知=(m-4,-3m-4),因为直线MN的一个方向向量为a=(1,-2025),所以-2025(m-4)=-3m-4,解得m=.
14.解:(1)记N(-1,-1),则可看作过点M(x,y)与点N(-1,-1)的直线的斜率,
因为kNA=-,kNB=,所以的取值范围为∪.
(2)=2×,记P,
则可看作过点M(x,y)与点P的直线的斜率,
因为kPA=-,kPB=-,所以的取值范围为.
15.B [解析] =表示函数y=ln x的图象上的点(x,y)与点D(1,0)连线的斜率,如图所示.取A(2,ln 2),B(3,ln 3),C(5,ln 5),则a=kDA,b=kDB,c=kDC,由图知kDC16.解:由题意知OP1∥P2P3,P1P2∥P3P4,设P1(1,b),则直线OP1的斜率k==b,为使点P4落在线段OA上(不包括端点),
所以当点P4落到点O,点A时为相应的两种临界位置.
当点P4落到点O时,由题意知,点O为AB的中点,且从点O出发又回到点O,所以此时P1位于线段BC的中点位置,此时OP1的斜率k1=b=;
当点P4落到点A时,点P4与点P3重合,设∠P1OB=θ,可得∠P1P2C=∠DP2P3=θ,且tan θ=b,
所以|CP1|=1-b,则|CP2|==-1,
则|DP2|=3-,所以tan θ===b,解得b=,此时直线OP1的斜率k2=.
综上可得,直线OP1的斜率的取值范围为.2.2 直线及其方程
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
【学习目标】
1.理解直线的倾斜角、斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式;
2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度,并掌握它们之间的关系.
◆ 知识点一 直线的倾斜角
1.定义:一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按 旋转到与直线重合时所转的 记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为 .
2.倾斜角θ的取值范围: .
3.一般地,如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,直线l的倾斜角为θ,则:
(1)当y1=y2时(此时必有x1≠x2),θ= .
(2)当x1=x2时(此时必有y1≠y2),θ= .
(3)当x1≠x2时,tan θ= .
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一条直线的倾斜角为0°,则这条直线与x轴平行. ( )
(2)某条直线的倾斜角可能为240°. ( )
(3)任何一条直线有且只有一个倾斜角和它对应. ( )
(4)直线的倾斜角是直线向上的方向与x轴所成的角. ( )
2.(1)当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过哪个象限
(2)当直线不过第一象限时,直线倾斜角的取值范围是什么
◆ 知识点二 直线的斜率
1.定义:一般地,如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称k= 为直线l的斜率;当θ=90°时,称直线l的斜率 .
2.两点的斜率公式
若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当x1≠x2时,直线l的斜率为k=,当x1=x2时,直线l的斜率 ;当y1=y2时,直线l的斜率为 .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任何一条直线都有且只有一个斜率和它对应. ( )
(2)直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率为正;直线的倾斜角是钝角时,直线的斜率为负.( )
(3)若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α. ( )
(4)直线的斜率随着倾斜角的增大而增大. ( )
◆ 知识点三 直线的方向向量
1.定义:一般地,如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l ,则称向量a为直线l的一个方向向量,记作 .
2.如果a为直线l的一个方向向量,那么对于任意的实数λ≠0,向量λa都是l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量一定 .
3.如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则直线l的一个方向向量为 .
4.(1)如果直线l的倾斜角为θ,则a=(cos θ,sin θ)为直线l的一个方向向量.
(2)如果直线l的斜率为k,则a=(1,k)为直线l的一个方向向量.
5.如果a=(u,v)为直线l的一个方向向量,则:
(1)当u=0时,直线l的斜率 ,倾斜角为90°;
(2)当u≠0时,直线l的斜率k存在,且(1,k)与a=(u,v)都是直线l的一个方向向量,由直线的任意两个方向向量共线可知1×v=k×u,从而k= ,tan θ= .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)零向量可以作为直线的方向向量. ( )
(2)一条直线的方向向量与x轴正方向所成的角与直线的倾斜角相等. ( )
(3)直线l上有两点A(1,2),B(2,-2),则直线l的一个方向向量为(1,-4). ( )
(4)已知直线上的两个点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向量,进而可以求出它的斜率. ( )
◆ 知识点四 直线的法向量
1.定义:一般地,如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l ,则称向量v为直线l的一个法向量,记作 .
2.一条直线的方向向量与法向量 .
特别地,当x0与y0不全为0时,向量(x0,y0)与(y0,-x0)是 的,如果其中一个为直线l的一个方向向量,则另一个一定是直线l的一个 .
◆ 探究点一 直线的倾斜角问题
例1 (1)已知A(1,-1),B(1,2),则直线AB的倾斜角为 ( )
A.0 B. C. D.
(2)(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.若直线的倾斜角为0°,则此直线与x轴平行
B.一条直线的倾斜角为-30°
C.若直线的倾斜角为α,则sin α≥0
D.任意直线都有倾斜角α,且α=90°时,直线与x轴垂直
变式 (1)若直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是 ( )
A.0°≤α<90° B.0°≤α<180°
C.90°≤α<180° D.90°<α<180°
(2)[2024·吉林长春高二期中] 已知直线l的倾斜角为θ-25°,则角θ的取值范围为( )
A.25°≤θ<155° B.-25°≤θ<155°
C.0°≤θ<180° D.25°≤θ<205°
[素养小结]
关于直线的倾斜角问题应注意:
①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0,当直线与x轴垂直时,倾斜角为;②直线倾斜角的取值范围是[0,π).
◆ 探究点二 直线的斜率问题
例2 [2024·贵州贵阳高二期中] 经过下列两点的直线的斜率是否存在 如果存在,求其斜率.
(1)A(2,3),B(4,5);
(2)C(-2,3),D(2,-1);
(3)P(-3,1),Q(-3,10).
变式 [2024·河北唐山一中高二月考] 已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).
(1)当m为何值时,直线l的斜率是1
(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°
[素养小结]
利用斜率公式求直线的斜率时应注意的事项:
①运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直(当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的);
②斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.
◆ 探究点三 直线的斜率与倾斜角的综合应用
例3 [2024·广东佛山高二期中] 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围;
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
变式 (1)已知直线l的斜率k=,且与x轴交于点A,把l绕点A顺时针旋转45°得到的直线m的斜率为 ( )
A.-2 B.2-
C.--2 D.+2
(2)[2025·福建莆田十中高二月考] 已知直线l过点P(-2,-1),且与以A(-4,2),B(1,3)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围为 .
[素养小结]
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k=tan α(α≠90°)解决.
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k=(x1≠x2)求解.
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解.
◆ 探究点四 直线的方向向量、法向量的应用
例4 (1)若直线l的一个方向向量是(1,-),则l的倾斜角为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
(2)已知直线l的一个法向量为(4,-2),则直线l的斜率为 .
变式 [2024·湖北黄石高二期中] 已知点A(a,2),B(5,1),C(-4,2a).
(1)当a=4时,求直线AB的一个方向向量和一个法向量,并确定直线AB的斜率与倾斜角;
(2)若A,B,C三点共线,求a的值.
[素养小结]
已知直线的方向向量或法向量求参数问题,一般根据方向向量或法向量的性质,利用向量共线或垂直来列方程求解.同时要注意,直线的方向向量与法向量不能为零向量.
1.直线y=1的倾斜角和斜率分别是 ( )
A.,1 B.0,0
C.,不存在 D.不存在,不存在
2.若经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的一个方向向量为(-3,-3),则m等于 ( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
3.设直线的斜率为k,倾斜角为θ,若-1A. B.∪
C.∪ D.∪
4.(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.若直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大
B.若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α
C.若A(1,-3),B(1,3),则直线AB的倾斜角为90°
D.若直线过点(1,2),且它的倾斜角为45°,则这条直线必过点(3,4)
5.[2024·江苏连云港高级中学高二月考] 已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.2.2 直线及其方程
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
一、选择题
1.[2025·云南昭通市直中学高二月考] 倾斜角为45°的直线的一个方向向量是 ( )
A.(2,) B.
C.(1,-2) D.(1,1)
2.[2024·浙江余姚高二期末] 经过A(-1,2),B(2,)两点的直线的倾斜角为 ( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 ( )
A.k1C.k34.若过A(1,2),B(2,m)两点的直线l的一个法向量为v=(,1),则m= ( )
A.2 B.
C.2- D.2+
5.[2024·江苏镇江高二期中] 若A(-2,3),B(3,-2),C三点在同一条直线上,则m的值为( )
A.-2 B.2
C.- D.
★6.[2024·湖北武汉高二期中] 已知直线l过A(2,1),B(m,3)两点,直线l的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是( )
A.(0,2] B.(0,4)
C.[2,4) D.(0,2)∪(2,4)
7.经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与以A(1,-2),B(2,1)为端点的线段总有公共点,设直线l的倾斜角为α,斜率为 k,则 ( )
A.α∈∪
B.α∈
C.k∈(-1,1)
D.k∈(-∞,-1]∪[1,+∞)
8.(多选题)一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角可以为 ( )
A.α B.90°-α
C.90°+α D.180°-α
9.(多选题)已知直线l1,l2的斜率分别为2,,直线l与直线l1,l2围成一个等腰三角形,且顶角为钝角,则直线l的斜率可能是 ( )
A.- B.-1
C.- D.1
二、填空题
10.已知直线l的斜率k=-2,A(5,-3),B(4,x),C(-1,y)是这条直线上的三个点,则x= ,y= .
11.已知直线l的斜率为-1,将直线l绕其与x轴的交点逆时针旋转60°所得直线l'的倾斜角为 .
12.如图,△ABC的顶点都在坐标轴上,直线AB的斜率为,直线BC的斜率为-,则tan∠ABC= .
三、解答题
13.(13分)[2024·四川成都高二期末] 已知坐标平面内两点M(m+3,3m+5),N(2m-1,1).
(1)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时,分别求出m的取值范围;
(2)若直线MN的一个方向向量为a=(1,-2025),求m的值.
14.(13分)已知点A(-3,2),B(5,18),若点M(x,y)在线段AB上运动,求:
(1)的取值范围;
(2)的取值范围.
15.若a=,b=,c=,则 ( )
A.aC.c16.(15分)一质点在矩形ABCD内运动,从AB的中点O沿一确定方向发射该质点,依次由线段BC,CD,DA反射.反射点分别为P1,P2,P3(入射角等于反射角),最后落在线段OA上的点P4处(不包括端点).若A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),求直线OP1的斜率的取值范围.