(共66张PPT)
2.2 直线及其方程
2.2.2 直线的方程
第2课时 直线的两点式方程
探究点一 利用直线的两点式方程求直线方程
探究点二 利用直线的截距式方程求直线方程
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握直线的两点式及截距式方程,并理解它们存在的条件;
2.会利用直线的两点式方程和截距式方程求直线方程.
知识点一 直线的两点式方程
1.定义：已知直线过两点,,当， 时，
则_____________称为直线的两点式方程.
2.适用条件：斜率_____________.
存在且不为0
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）已知直线过两点, ，则直线一定存在两点式
方程.( )
×
[解析] 直线的两点式方程是，只有当且
时，才存在两点式方程.
（2）经过两点, 的直线方程可以
是，也可以是 .( )
√
（3）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( )
√
[解析] 能用两点式方程表示的直线必不垂直于坐标轴，从而斜率一
定存在，即可用点斜式方程表示.
（4）方程 适用于所有的直线
方程形式.( )
√
知识点二 直线的截距式方程
1.定义：若直线在轴、轴上的截距分别为，，且 ，则方
程__________称为直线的截距式方程．
2.适用条件：直线的斜率_____________，直线不过______.
存在且不为0
原点
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）不经过原点的直线都可以用方程 表示.( )
×
[解析] 垂直于坐标轴的直线也不可以用截距式方程表示.
（2）能用截距式方程表示的直线都能用两点式方程表示.( )
√
[解析] 截距式方程是两点式方程的特殊形式.
（3）用截距式方程表示直线时,直线在轴与 轴上的截距必须都存
在且都不为0.( )
√
（4）若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线可以用截距式方程
表示.( )
×
[解析] 若直线在两坐标轴上的截距均为0，则该直线不可以用截距式
方程表示.
2.（1）过除原点外的一个定点,且在两坐标轴上的截距相等的直线有
几条
解：当定点不在坐标轴上时，这样的直线有两条，一条过原点,另一
条不过原点且在轴和 轴上的截距相等.当定点在坐标轴上时，这样
的直线只有一条.
（2）是否任意一条直线都有点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、
截距式方程？各种方程的适用范围是什么？
解：不是任意一条直线都有点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、
截距式方程，各种方程的适用范围如下表所示:
直线方程名称 直线方程形式 适用范围
点斜式 直线存在斜率
斜截式 直线存在斜率
两点式 直线不垂直于坐标轴
截距式 直线在两坐标轴上的
截距都存在且都不为0
探究点一 利用直线的两点式方程求直线方程
［探索］ 两点是确定直线位置的几何要素,已知直线上的两点,如何
求出直线方程 能否确定直线的方向
解：已知直线上的两点,首先判断直线是否垂直于坐标轴,若垂直，则
可直接写出方程,若不垂直，可根据直线的两点式方程求出直线的方程.
若直线不垂直于 轴，可以求出斜率来确定直线的方向,也可用方向向量
来确定直线的方向.
例1 已知的三个顶点分别为,,,边 的
中点为点 ，求：
（1）边 所在直线的方程；
解：边所在的直线经过， 两点，
由两点式得边所在直线的方程为，即 .
（2）边的中线 所在直线的方程.
解：设边的中点的坐标为,则, ，
所以边的中线所在的直线经过,两点，则中线 所
在直线的方程为，即 .
变式（1）过点， 的直线方程为_____________．
[解析] 因为直线过点和，所以 ，即
，化简得 .
（2）已知直线经过点， ，求这条直线的方程．
解：因为直线经过点， ，所以该直线的斜率不可能为
零，但有可能不存在．
①当直线的斜率不存在，即时，直线方程为 ；
②当直线的斜率存在，即 时，利用两点式，可得直线方程为
，即 .
综上可得，当时，直线的方程为；
当 时，直线的方程为 .
［素养小结］
（1）由直线的两点式方程求直线方程的步骤:
①设出直线所经过点的坐标；
②根据题中的条件,列出相关方程,解出点的坐标；
③由直线的两点式方程写出直线的方程.
（2）当已知两点坐标,求过这两点的直线的方程时,首先要判断是否
满足两点式方程的适用条件:两点的连线不与坐标轴平行或重合,若满
足,则考虑用直线的两点式方程求直线方程.
探究点二 利用直线的截距式方程求直线方程
例2（1）（多选题）过点 且在两坐标轴上截距相等的直线的
方程可能为( )
A. B. C. D.
[解析] 当截距都为0时，直线方程为 ；
当截距都不为0时，设直线方程为，则，解得 ，
所以直线方程为.故选 .
√
√
（2）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、 轴的正半轴
交于，两点，为原点，当的面积最小时，直线 的方程为
_____________.
[解析] 方法一：设直线的方程为，且， .
因为直线过点，所以，则 ，当且仅当
时取等号，所以.
因为，所以当 最小时，最小，此时，，
故直线的方程为 ，即 .
方法二：设直线的方程为，则 ，
，所以
，
当且仅当，即时，等号成立，故直线 的方程为
，即 .
变式（1）过点且在轴上的截距为在 轴上的截距的2倍的直线
的方程为___________________.
或
[解析] 设该直线在轴、轴上的截距分别为,.
当且 时, 直线方程为,由题可知且,
解得, ,所以直线方程为,即.
当 时,设直线方程为,由题可知,
此时直线的方程为 .
综上所述,所求直线的方程为或 .
（2）［2025·福建武夷山一中高二月考］已知线段 的中点为
.若线段所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，则 所在
直线的截距式方程为_ ___________________.
或
[解析] 由题知直线的斜率存在且不为0.设直线在 轴上的截距
为，在轴上的截距为，则直线的方程为 .
由题意得，又点在直线上， ，即
，
由①②可得，解得 或
或 直线 所在直线的截距式方程为或
.
［素养小结］
用直线的截距式方程解决问题的优点及注意事项:
（1）优点:①由直线的截距式方程可直接确定直线与轴和轴的交
点的坐标,因此根据截距式方程画直线比较方便；②在解决与截距有
关或直线与坐标轴围成的三角形的面积、周长等问题时,使用直线的
截距式方程比较方便.
（2）注意事项:当直线与坐标轴平行时,有一个截距不存在;当直线通
过原点时,两个截距均为零.在这两种情况下都不能用直线的截距式方
程,故解决问题过程中要注意分类讨论.
1.已知直线过，两点，则直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由直线的两点式方程可得，直线的方程为 ，即
.故选C.
√
2.若直线过第一、三、四象限，则实数, 满足( )
A.， B.， C., D.,
[解析] 因为直线过第一、三、四象限，所以直线在 轴上的
截距为正数，在轴上的截距为负数，则, .故选C.
√
3.［2024·云南楚雄高二期末］已知，经过两点, 的
直线方程都可以表示为( )
A. B.
C. D.
[解析] 当, 都不为0时，所有经过两点的直线方程均可以用
表示，即.
当,中有一个为0时，比如 时，则直线方程为,符合上式；
比如 时，则直线方程为 ，也符合上式.故选C.
√
4.［2024·安徽合肥一中高二期中］直线在， 轴上的截距的倒数之
和为常数 ，则该直线必过定点( )
A. B. C. D.
[解析] 设直线在，轴上的截距分别为，，且，则直线
的方程为，
又因为，所以 ，所以该直线必过定点 .故选C.
√
5.经过点 且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为
_________________.
或
[解析] 当直线过原点时，直线方程为 ；
当直线不过原点时，设直线方程为，则有，
解得 ，故直线方程为.
综上所述，所求直线的方程为或 .
1.求直线的方程时，首先要根据题意画出大致图形，然后结合图形选
择直线方程适当的形式来求其方程.一般有两种途径：其一是先求确
定直线的几何要素，如点斜、斜截、两点、两截距等，直接写出直
线的方程；其二是先根据条件设出直线的方程，再利用其他条件求
出待定系数，从而得出直线的方程.
例1 已知的一个顶点，， 的角平分线所
在直线的方程分别为， .
（1）求直线 的方程；
解：因为，的角平分线所在直线的方程分别是 ， ，
所以直线与直线关于直线对称，直线与直线 关于直
线 对称，所以关于直线的对称点在直线
上， 关于直线的对称点也在直线 上，
故直线的方程为 ，即 .
（2）求直线 的方程.
解：因为直线与直线关于直线对称，所以直线 与直线
的斜率互为相反数，
由（1）知直线 的斜率为2，所以直线的斜率为 ，
又因为点的坐标为 ，
所以直线的方程为 ，即 .
例1 已知的一个顶点，， 的角平分线所
在直线的方程分别为， .
2.如果题目中出现直线“在两坐标轴上的截距相等”“在两坐标轴上的
截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的 倍
”等条件时,若采用直线的截距式方程求直线方程,则一定要注
意考虑“零截距”的情况.
例2 已知,,直线经过线段的中点 ,且在两坐标轴
上的截距相等,求直线 的方程.
解：方法一:设直线在轴、轴上的截距均为 .
由题意得 .若,则直线过点和 ,
此时直线的方程为 .若,则直线的方程为 ,
直线过点,,解得 , 此时直线的方程为 .
综上所述,直线的方程为或 .
方法二:易知,由题意知直线的斜率存在且不为0,设直线 的方
程为 ,
令,得;令,得 .
,解得或 ,
直线的方程为或 ,
即或 .
例3 ［2025·江苏扬州高二期中］已知的顶点 ，
， .
（1）求 边上的高所在直线的方程；
解：过点作，垂足为 ，
由题意知 ，
所以，又 ，
所以直线的方程为，即 ,
即边上的高所在直线的方程为 .
（2）求经过点，且在轴上的截距是在 轴上的截距的2倍的直线
的方程.
解：由题意，设直线在轴上的截距为，则直线在 轴上的截距为 .
①当时，由直线过，得直线的方程为 ；
②当时，设直线方程为 ，
代入，得，解得 ，则直线的方程为 .
综上所述，所求直线方程为或 .
例3 ［2025·江苏扬州高二期中］已知的顶点 ，
， .
练习册
一、选择题
1.经过， 两点的直线方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为直线过，两点，所以直线方程为 ，
故选B.
√
2.下列说法正确的是( )
A.过任意两点， 的直线方程都可以写成
B.若直线在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为
C.若直线的斜率为1，则直线在轴和 轴上的截距之和为0
D.若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率
为1
√
[解析] 当或时，直线方程不能写成 ，
故A错误；
当直线过原点时，直线在轴和 轴上的截距相等，但斜率不一定为，
故B错误；
设直线在轴上的截距为 ，则直线方程为，令，
得直线在轴上的截距为， ，故C正确；
若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为 ，
故D错误.故选C.
3.已知直线的两点式方程为 ，则( )
A.直线经过点
B.直线的斜截式方程为
C.直线 的倾斜角为锐角
D.直线的点斜式方程为
[解析] 由题意，直线经过， 两点，故A，D错误；
将两点式化为斜截式为，故B错误；
直线的斜率为 ，所以直线 的倾斜角为锐角，故C正确.故选C.
√
4.直线与 在同一平面直角坐标系中的位置可能是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得，直线在轴上的截距与直线 在
轴上的截距互为相反数，直线在 轴上的截距与直线
在 轴上的截距互为相反数.结合四个选项可知B正确.
5.已知直线过点，且在轴上的截距为在 轴上的截距的3倍，
则直线 的方程为( )
A. B.
C.或 D.或
[解析] ①当直线过原点时，直线的方程为.
②当直线 不过原点时，设直线的方程为,将点 的
坐标代入，得,解得，此时直线的方程为 .故选C.
√
6.［2024·辽宁丹东高二期末］已知直线，若直线 与两
坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，则直线 的方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 直线在轴上的截距为，在 轴上的截距为，
由题意知解得，直线 与两坐标轴的正
半轴围成三角形的面积，
当 时，取得最大值2，此时直线的方程是 .故选C.
√
7.［2024·重庆八中高二期末］过点作直线，若直线 经过
，两点，且,均为正整数，则这样的直线 可以作出
( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
√
[解析] ,均为正整数， 可设直线，将点 的坐
标代入直线方程得，当时， ，方程无解，
，，， ，
或，或则满足题意的直线 有2条.
故选B.
8.（多选题）下列说法正确的有( )
A.不经过原点的直线的方程都可以用 表示
B.若直线与,轴的交点分别为，，且线段的中点坐标为 ，
则直线的方程为
C.过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为 或
D.直线的截距式方程为
√
√
√
[解析] 在A中，与坐标轴垂直的直线的方程不能用截距式表示，故A错误；
在B中，因为线段的中点坐标为，所以 ，，则直线
的方程为 ，故B正确；
在C中,当直线过原点时，直线的方程为 ，当直线不过原点时，
直线的方程为，故C正确；
在D中，方程可化为 ，故D正确.故选 .
9.（多选题）下列说法正确的是( )
A.不能表示过点且斜率为 的直线方程
B.在轴、轴上的截距分别为,的直线的方程为
C.直线与轴的交点到原点的距离为
D.设,，若直线与线段有交点，则 的
取值范围是
√
√
[解析] 对于A，过点且斜率为 的直线方程为
，而不过点 ，故A正确；
对于B，当轴、轴上的截距,存在0时,不能用 表示,故B错误；
对于C，当时，直线与 轴的交点到原点的距离为，
故C错误；
对于D，直线过定点 ，因为,
,所以 的取值范围为,
所以，故D正确.故选 .
二、填空题
10.过点且在 轴上的截距为2的直线方程是____________.
[解析] 由题意知，直线过， 两点，所以由直线的两点式方
程可得，所求直线的方程为，即 .
11.已知直线 在两坐标轴上的截距互为相反数，则
实数 _______.
2或
[解析] 当时，直线方程为，故直线在 轴上没有截距，不
符合题意.
当时，直线在轴上的截距为 ，
在轴上的截距为，因为直线 在两坐标轴上
的截距互为相反数，所以，解得或 .
12.直线在轴上的截距比在轴上的截距大1,且过点 ,则直线
的方程为__________________________.
或
[解析] 设直线在轴上的截距为.当或 时,不符合题意,
所以且.
由截距式方程得,代入点 的坐标,得,
即,解得或 ，所以直线的方程为
或,即或 .
三、解答题
13.（13分）已知直线过点，且在轴、轴上的截距分别为和 .
（1）若与互为相反数，求直线 的方程；
解：若，，则可设直线的方程为 ，
将点的坐标代入，得 ，
所以直线的方程为 .
若，，则直线的方程为 ，
因为直线过点，与 互为相反数，
所以解得
所以直线的方程为 .
综上，直线的方程为或 .
（2）若,，当取得最小值时，求直线 的方程．
解：直线的方程为 .
因为直线过点，所以 ，又因为， ，所以
，当且仅当
，即， 时取等号，此时直线的方程为 .
13.（13分）已知直线过点，且在轴、轴上的截距分别为和 .
14.（13分）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于, 两
点， 为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程.
（1） 的周长为12；
解：设直线方程为 ，
由题意可知， .
因为直线过点，所以 ，
由①②可得 ，解得或
所以所求直线的方程为或 .
（2） 的面积为6.
解：设直线方程为 ，
由题意可知解得或
所以所求直线的方程为或 .
14.（13分）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于, 两
点， 为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程.
15.已知直线 经过第一、二、三象限且斜率小于1,那么下列
不等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为直线经过第一、二、三象限,所以直线在 轴上
的截距,在轴上的截距 .由直线的斜率小于1可知
,结合可得 .
由绝对值的性质可知,故选项A中不等式不成立;
由幂函数 的单调性可知,故选项B中不等式一定成立;
因为, ,所以,故选项C中不等式不成立;
因为, ,所以 ,故选项D中不等式不成立.故选B.
16.（15分）［2025·河北石家庄高二期中］ 已知 .
（1）求过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
解：当截距为0时，设直线方程为 ，
因为直线过点，所以 ，
解得，所以直线方程为 .
当截距相等且不为0时，设直线方程为 ，
因为直线过点，所以，解得 ，
所以直线方程为 .综上，直线方程为或 .
（2）若直线过点且交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点 ,记
的面积为为坐标原点，求的最小值，并求此时直线 的方程.
解：由题意可知，直线 的斜率存在且大于0，设直线的方程为
.令，得 ；令,得 .
则 ，
当且仅当 时，等号成立.所以的最小值为16，
此时直线的方程为 .
16.（15分）［2025·河北石家庄高二期中］ 已知 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1. 2.存在且不为0
【诊断分析】（1）× （2）√ （3）√ （4）√
知识点二 1. 2.存在且不为0 原点
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）√ （4）× 2. 略
（2） 变式（1）
（2）当时，直线的方程为；当时，直线的方程为
例2（1）AC （2） 变式（1）或
（2）或
课堂评价 1.C 2.C 3.C 4.C 5.或
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 6.C 7.B 8.BCD 9.AD
二、填空题
10. 11.2或 12.或
三、解答题
13.（1）或 （2）14.（1）或（2）或
的最小值为16，此时直线的方程为第2课时 直线的两点式方程
【课前预习】
知识点一
1.= 2.存在且不为0
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)√ [解析] (1)直线的两点式方程是=,只有当x1≠x2且y1≠y2时,才存在两点式方程.
(3)能用两点式方程表示的直线必不垂直于坐标轴,从而斜率一定存在,即可用点斜式方程表示.
知识点二
1.+=1 2.存在且不为0 原点
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)× [解析] (1)垂直于坐标轴的直线也不可以用截距式方程表示.
(2)截距式方程是两点式方程的特殊形式.
(4)若直线在两坐标轴上的截距均为0,则该直线不可以用截距式方程表示.
2.解:(1)当定点不在坐标轴上时,这样的直线有两条,一条过原点,另一条不过原点且在x轴和y轴上的截距相等.当定点在坐标轴上时,这样的直线只有一条.
(2)不是任意一条直线都有点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程,各种方程的适用范围如下表所示:
直线方程名称 直线方程形式 适用范围
点斜式 y-y0=k(x-x0) 直线存在斜率
斜截式 y=kx+b 直线存在斜率
两点式 = 直线不垂直于坐标轴
截距式 +=1 直线在两坐标轴上的 截距都存在且都不为0
【课中探究】
探究点一
探索 解:已知直线上的两点,首先判断直线是否垂直于坐标轴,若垂直,则可直接写出方程,若不垂直,可根据直线的两点式方程求出直线的方程.若直线不垂直于x轴,可以求出斜率来确定直线的方向,也可用方向向量来确定直线的方向.
例1 解:(1)边BC所在的直线经过B(2,1),C(-2,3)两点,
由两点式得边BC所在直线的方程为=,即y=-x+2.
(2)设边BC的中点D的坐标为(x,y),则x==0,y==2,所以边BC的中线AD所在的直线经过A(-3,0),D(0,2)两点,则中线AD所在直线的方程为=,即y=x+2.
变式 (1)y=-x- [解析] 因为直线过点(-2,1)和(3,-3),所以=,即=,化简得y=-x-.
(2)解:因为直线经过点A(1,0),B(m,1),所以该直线的斜率不可能为零,但有可能不存在.
①当直线的斜率不存在,即m=1时,直线方程为x=1;
②当直线的斜率存在,即m≠1时,利用两点式,可得直线方程为=,即y=-.
综上可得,当m=1时,直线的方程为x=1;当m≠1时,直线的方程为y=-.
探究点二
例2 (1)AC (2)y=-x+2 [解析] (1)当截距都为0时,直线方程为y=x;当截距都不为0时,设直线方程为+=1,则+=1,解得a=5,所以直线方程为y=-x+5.故选AC.
(2)方法一:设直线l的方程为+=1,且a>0,b>0.因为直线l过点M(2,1),所以+=1,则1=+≥2,当且仅当a=2b=4时取等号,所以ab≥8.因为S△AOB=ab,所以当S△AOB最小时,ab最小,此时a=4,b=2,故直线l的方程为+=1,即y=-x+2.
方法二:设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0),则A,B(0,1-2k),所以S△AOB=(1-2k)=≥×(4+4)=4,当且仅当-4k=-,即k=-时,等号成立,故直线l的方程为y-1=-(x-2),即y=-x+2.
变式 (1)y=-2x+3或y=x (2)+=1或+=1
[解析] (1)设该直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b.当a≠0且b≠0时,直线方程为+=1,由题可知+=1且b=2a,解得a=,b=3,所以直线方程为+=1,即y=-2x+3.当a=b=0时,设直线方程为y=kx,由题可知k=1,此时直线的方程为y=x.综上所述,所求直线的方程为y=-2x+3或y=x.
(2)由题知直线BC的斜率存在且不为0.设直线BC在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则直线BC的方程为+=1.由题意得a+b=9①,又点D在直线BC上,∴+=1,即6b+3a=2ab②,由①②可得2a2-21a+54=0,解得a=或a=6.∴或∴直线BC所在直线的截距式方程为+=1或+=1.
【课堂评价】
1.C [解析] 由直线的两点式方程可得,直线l的方程为=,即y=-x-.故选C.
2.C [解析] 因为直线-=1过第一、三、四象限,所以直线在x轴上的截距为正数,在y轴上的截距为负数,则a>0,b>0.故选C.
3.C [解析] 当m,n都不为0时,所有经过两点的直线方程均可以用+=1表示,即nx+my=mn.当m,n中有一个为0时,比如n=0时,则直线方程为y=0,符合上式;比如m=0时,则直线方程为x=0,也符合上式.故选C.
4.C [解析] 设直线l在x,y轴上的截距分别为a,b,且ab≠0,则直线l的方程为+=1,又因为+=,所以+=1,所以该直线必过定点(k,k).故选C.
5.y=x或+=1 [解析] 当直线过原点时,直线方程为y=x;当直线不过原点时,设直线方程为+=1(a≠0),则有+=1,解得a=4,故直线方程为+=1.综上所述,所求直线的方程为y=x或+=1.第2课时 直线的两点式方程
【学习目标】
1.掌握直线的两点式及截距式方程,并理解它们存在的条件;
2.会利用直线的两点式方程和截距式方程求直线方程.
◆ 知识点一 直线的两点式方程
1.定义:已知直线l过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),当x2≠x1,y2≠y1时,则 称为直线的两点式方程.
2.适用条件:斜率 .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线一定存在两点式方程. ( )
(2)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线方程可以是=,也可以是=. ( )
(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示. ( )
(4)方程(y-y2)(x1-x2)=(x-x2)(y1-y2)适用于所有的直线方程形式. ( )
◆ 知识点二 直线的截距式方程
1.定义:若直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b,且ab≠0,则方程 称为直线的截距式方程.
2.适用条件:直线的斜率 ,直线不过 .
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)不经过原点的直线都可以用方程+=1表示. ( )
(2)能用截距式方程表示的直线都能用两点式方程表示. ( )
(3)用截距式方程表示直线时,直线在x轴与y轴上的截距必须都存在且都不为0.( )
(4)若直线在两坐标轴上的截距相等,则该直线可以用截距式方程表示. ( )
2.(1)过除原点外的一个定点,且在两坐标轴上的截距相等的直线有几条
(2)是否任意一条直线都有点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程 各种方程的适用范围是什么
◆ 探究点一 利用直线的两点式方程求直线方程
[探索] 两点是确定直线位置的几何要素,已知直线上的两点,如何求出直线方程 能否确定直线的方向
例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),边BC的中点为点D,求:
(1)边BC所在直线的方程;
(2)边BC的中线AD所在直线的方程.
变式 (1)过点A(-2,1),B(3,-3)的直线方程为 .
(2)已知直线经过点A(1,0),B(m,1),求这条直线的方程.
[素养小结]
(1)由直线的两点式方程求直线方程的步骤:
①设出直线所经过点的坐标;
②根据题中的条件,列出相关方程,解出点的坐标;
③由直线的两点式方程写出直线的方程.
(2)当已知两点坐标,求过这两点的直线的方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不与坐标轴平行或重合,若满足,则考虑用直线的两点式方程求直线方程.
◆ 探究点二 利用直线的截距式方程求直线方程
例2 (1)(多选题)过点A(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程可能为 ( )
A.y=x B.y=x
C.y=-x+5 D.y=x+1
(2)已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,当△AOB的面积最小时,直线l的方程为 .
变式 (1)过点(1,1)且在y轴上的截距为在x轴上的截距的2倍的直线的方程为 .
(2)[2025·福建武夷山一中高二月考] 已知线段BC的中点为D.若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9,则BC所在直线的截距式方程为 .
[素养小结]
用直线的截距式方程解决问题的优点及注意事项:
(1)优点:①由直线的截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标,因此根据截距式方程画直线比较方便;②在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形的面积、周长等问题时,使用直线的截距式方程比较方便.
(2)注意事项:当直线与坐标轴平行时,有一个截距不存在;当直线通过原点时,两个截距均为零.在这两种情况下都不能用直线的截距式方程,故解决问题过程中要注意分类讨论.
1.已知直线l过G(1,-3),H(-2,1)两点,则直线l的方程为 ( )
A.y=-4x-7 B.y=x-
C.y=-x- D.y=-x+
2.若直线-=1过第一、三、四象限,则实数a,b满足 ( )
A.a<0,b<0 B.a<0,b>0
C.a>0,b>0 D.a>0,b<0
3.[2024·云南楚雄高二期末] 已知m≠n,经过两点(0,n),(m,0)的直线方程都可以表示为( )
A.+=1 B.y=-(x-m)
C.nx+my=mn D.y=-x+m
4.[2024·安徽合肥一中高二期中] 直线l在x,y轴上的截距的倒数之和为常数,则该直线必过定点 ( )
A.(0,0) B.(1,1)
C.(k,k) D.
5.经过点(2,2)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为 . 第2课时 直线的两点式方程
一、选择题
1.经过(1,2),(5,3)两点的直线方程是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
2.下列说法正确的是 ( )
A.过任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程都可以写成=
B.若直线在x轴和y轴上的截距相等,则直线的斜率为-1
C.若直线的斜率为1,则直线在x轴和y轴上的截距之和为0
D.若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,则直线的斜率为1
3.已知直线l的两点式方程为=,则 ( )
A.直线l经过点(5,2)
B.直线l的斜截式方程为x=y-
C.直线l的倾斜角为锐角
D.直线l的点斜式方程为y-2=(x-5)
4.直线-=1与-=1在同一平面直角坐标系中的位置可能是 ( )
A B C D
5.已知直线l过点(-3,3),且在x轴上的截距为在y轴上的截距的3倍,则直线l的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.y=-x或+=1 D.y=-x或+=1
6.[2024·辽宁丹东高二期末] 已知直线l:+=1,若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大,则直线l的方程是 ( )
A.+y=1 B.x+=1
C.+=1 D.y=-x-2
7.[2024·重庆八中高二期末] 过点P(1,3)作直线l,若直线l经过A(a,0),B(0,b)两点,且a,b均为正整数,则这样的直线l可以作出 ( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
8.(多选题)下列说法正确的有 ( )
A.不经过原点的直线的方程都可以用+=1表示
B.若直线l与x,y轴的交点分别为A,B,且线段AB的中点坐标为(4,1),则直线l的方程为+=1
C.过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为y=x或y=-x+2
D.直线y=x-2的截距式方程为+=1
9.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.=k不能表示过点M(x1,y1)且斜率为k的直线方程
B.在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线的方程为+=1
C.直线y=kx+b与y轴的交点到原点的距离为b
D.设A(-2,2),B(1,1),若直线l:y=-ax-1与线段AB有交点,则a的取值范围是(-∞,-2]∪
二、填空题
10.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是 .
11.已知直线y=-a(x+1)+2在两坐标轴上的截距互为相反数,则实数a= .
12.直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过点A(6,-2),则直线l的方程为 .
三、解答题
13.(13分)已知直线l过点(1,4),且在x轴、y轴上的截距分别为a和b.
(1)若a与b互为相反数,求直线l的方程;
(2)若a>0,b>0,当a+b取得最小值时,求直线l的方程.
14.(13分)直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,求分别满足下列条件的直线方程.
(1)△AOB的周长为12;
(2)△AOB的面积为6.
15.已知直线+=1经过第一、二、三象限且斜率小于1,那么下列不等式中一定成立的是( )
A.|a|<|b| B.>
C.(b-a)(b+a)>0 D.>
16.(15分)[2025·河北石家庄高二期中] 已知P(-4,2).
(1)求过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程;
(2)若直线l过点P且交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,记△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值,并求此时直线l的方程.第2课时 直线的两点式方程
1.B [解析] 因为直线过(1,2),(5,3)两点,所以直线方程为=,故选B.
2.C [解析] 当x1=x2或y1=y2时,直线方程不能写成=,故A错误;当直线过原点时,直线在x轴和y轴上的截距相等,但斜率不一定为-1,故B错误;设直线在y轴上的截距为b,则直线方程为y=x+b,令y=0,得直线在x轴上的截距为-b,b+(-b)=0,故C正确;若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,则直线的斜率为±1,故D错误.故选C.
3.C [解析] 由题意,直线l经过(8,9),(2,5)两点,故A,D错误;将两点式化为斜截式为y=x+,故B错误;直线l的斜率为>0,所以直线l的倾斜角为锐角,故C正确.故选C.
4.B [解析] 由题意得,直线-=1在x轴上的截距与直线-=1在y轴上的截距互为相反数,直线-=1在y轴上的截距与直线-=1在x轴上的截距互为相反数.结合四个选项可知B正确.
5.C [解析] ①当直线l过原点时,直线l的方程为y=-x.②当直线l不过原点时,设直线l的方程为+=1(a≠0),将点(-3,3)的坐标代入,得+=1,解得a=2,此时直线l的方程为+=1.故选C.
6.C [解析] 直线l:+=1在x轴上的截距为m,在y轴上的截距为4-m,由题意知解得07.B [解析] ∵a,b均为正整数,∴可设直线l:+=1,将点P(1,3)的坐标代入直线方程得+=1,当b=3时,=0,方程无解,∴a===1+,∵a∈N*,≠0,∴∈N*,∴b-3=1或b-3=3,∴或则满足题意的直线l有2条.故选B.
8.BCD [解析] 在A中,与坐标轴垂直的直线的方程不能用截距式表示,故A错误;在B中,因为线段AB的中点坐标为(4,1),所以A(8,0),B(0,2),则直线l的方程为+=1,故B正确;在C中,当直线过原点时,直线的方程为y=x,当直线不过原点时,直线的方程为y=-x+2,故C正确;在D中,方程y=x-2可化为+=1,故D正确.故选BCD.
9.AD [解析] 对于A,过点M(x1,y1)且斜率为k的直线方程为y=k(x-x1)+y1,而=k不过点M(x1,y1),故A正确;对于B,当x轴、y轴上的截距a,b存在0时,不能用+=1表示,故B错误;对于C,当b<0时,直线y=kx+b与y轴的交点到原点的距离为-b,故C错误;对于D,直线l:y=-ax-1过定点P(0,-1),因为kPA==-,kPB==2,所以-a的取值范围为∪[2,+∞),所以a∈(-∞,-2]∪,故D正确.故选AD.
10.y=-3x+6 [解析] 由题意知,直线过(2,0),(1,3)两点,所以由直线的两点式方程可得,所求直线的方程为=,即y=-3x+6.
11.2或-1 [解析] 当a=0时,直线方程为y=2,故直线在x轴上没有截距,不符合题意.当a≠0时,直线y=-a(x+1)+2在x轴上的截距为,在y轴上的截距为2-a,因为直线y=-a(x+1)+2在两坐标轴上的截距互为相反数,所以+2-a=0,解得a=2或a=-1.
12.y=-x+1或y=-x+2 [解析] 设直线l在y轴上的截距为a.当a=0或a=-1时,不符合题意,所以a≠0且a≠-1.由截距式方程得+=1,代入点A(6,-2)的坐标,得-=1,即a2-3a+2=0,解得a=2或a=1,所以直线l的方程为+y=1或+=1,即y=-x+1或y=-x+2.
13.解:(1)若a=0,b=0,则可设直线l的方程为y=kx,
将点(1,4)的坐标代入,得k=4,
所以直线l的方程为y=4x.
若a≠0,b≠0,则直线l的方程为+=1,
因为直线l过点(1,4),a与b互为相反数,
所以解得
所以直线l的方程为y=x+3.
综上,直线l的方程为y=4x或y=x+3.
(2)直线l的方程为+=1.因为直线l过点(1,4),所以+=1,
又因为a>0,b>0,所以a+b=(a+b)=++5≥2+5=9,当且仅当=,即a=3,b=6时取等号,此时直线l的方程为+=1.
14.解:(1)设直线方程为+=1(a>0,b>0),由题意可知,a+b+=12①.
因为直线过点P,所以+=1②,
由①②可得5a2-32a+48=0,解得或
所以所求直线的方程为+=1或+=1.
(2)设直线方程为+=1(a>0,b>0),
由题意可知解得或
所以所求直线的方程为+=1或+=1.
15.B [解析] 因为直线+=1经过第一、二、三象限,所以直线在x轴上的截距a<0,在y轴上的截距b>0.由直线的斜率小于1可知0<-<1,结合a<0可得a<0|b|,故选项A中不等式不成立;由幂函数y=的单调性可知>,故选项B中不等式一定成立;因为b-a>0,b+a<0,所以(b-a)(b+a)<0,故选项C中不等式不成立;因为<0,>0,所以<,故选项D中不等式不成立.故选B.
16.解:(1)当截距为0时,设直线方程为y=kx,
因为直线过点P(-4,2),所以2=-4k,解得k=-,所以直线方程为y=-x.
当截距相等且不为0时,设直线方程为+=1,
因为直线过点P(-4,2),所以+=1,解得a=-2,所以直线方程为+=1.
综上,直线方程为y=-x或+=1.
(2)由题意可知,直线l的斜率存在且大于0,
设直线l的方程为y-2=k(x+4).
令x=0,得y=4k+2;令y=0,得x=-.
则S===8k++8≥2+8=16,当且仅当k=时,等号成立.
所以S的最小值为16,此时直线l的方程为y=x+4.
