(共59张PPT)
2.2 直线及其方程
2.2.3 两条直线的位置关系
第1课时 两条直线的相交、平行与重合
探究点一 两条直线位置关系的判定
探究点二 两条直线平行关系的应用
探究点三 直线相交系方程的应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握两条直线相交的判定方法,会求两条相交直线的交点坐标;
2.掌握两条直线平行的判定方法,注意利用直线方程的系数和利
用斜率判定直线平行的差别;
3.灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系.
知识点一 两直线的交点
已知直线 ，
，则与 的位置关系和方程
组 的解的情况有下列关系：
一组 无数组 无解
___ ______ ___
_____ ______ _____
1
无数
0
相交
重合
平行
知识点二 两条直线相交、平行、重合
（1）几何方法判断
若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在 轴上的截距判断两
直线的位置关系，其方法如下：
设， ，
与相交 ________；
_________________；
与重合 _________________.
且
且
（2）向量方法判断
设直线， ，
是直线的一个法向量，是直线 的一个
法向量．
与相交（即只有一个交点）的充要条件是与 不共线，即
_____________.
与平行或重合的充要条件是与 共线，即_____________；
与重合的充要条件是存在实数 ，使得
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若两直线斜率都不存在，则两直线平行.( )
×
[解析] 若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合.
（2）如果两条直线平行，那么这两条直线的方向向量一定相等.( )
×
[解析] 如果两条直线平行，那么这两条直线的方向向量平行，但不
一定相等.
（3）如果两条直线平行，那么这两条直线的倾斜角一定相等.( )
√
（4）若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.( )
×
（5）若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，
则两直线相交.( )
√
探究点一 两条直线位置关系的判定
例1 判断下列各组中两条直线的位置关系.
（1）， ；
解：由可得所以与 相交，且交点的坐
标为 .
（2）， ；
解：将的方程化成斜截式可知，因为与 的斜率相
等，截距也相等，所以与 重合.
（3）， ；
解：将与的方程分别化为斜截式可知 ，
，因为与 的斜率相等，截距不相等，
所以与 平行.
（4）， .
解：易知与 平行.
例1 判断下列各组中两条直线的位置关系.
变式 已知， ，求
当为何值时，直线与直线
（1）相交；
解：设直线的方程为，直线 的方程为
,
则，，，，， .
若直线与直线相交，则 ，
即， ，
故当时，直线与直线 相交．
（2）平行；
解： 若，则即
故当时，直线与直线 平行．
（3）重合．
解： 若直线与直线重合，则
无解，故直线与直线 不可能重合．
变式 已知， ，求
当为何值时，直线与直线
［素养小结］
两条直线位置关系的判定方法：
设两条直线,的方程分别为，
.
（1）若或，则两直线相交．
（2）若且或,或
，则两直线平行．
（3）若且或 ,或
，则两直线重合．
探究点二 两条直线平行关系的应用
例2（1）“”是“直线 和直线
平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 当时，, ，两直线
的斜率都为 ，且两直线不重合，所以两直线平行；
当两直线平行时，，解得，
经检验，当 时，两直线平行，故.
综上可知，“ ”是“直线和直线
平行” 的充要条件.故选C.
（2）已知集合 ，
，若 ，则实数 的取值范
围是( )
A. B.或
C. D.
[解析] 易知直线过定点，因为点 不在直
线上，所以直线 与直线
不重合，
若 ，则两直线不平行，即，
故实数的取值范围为 .
√
变式（1）已知直线 与直线
平行，则实数 ___.
3
[解析] 因为直线与平行，所以 ，且
，可得 .
（2）已知直线,, ，
则与的交点坐标为______；若直线,, 不能围成三角形，则符
合要求的实数 的一个值为____________________________________
_____________.
[解析] 由得所以与的交点坐标为 .
易知直线过定点，若直线,,不能围成三角形，则 经过点
或与平行或与平行.
当经过点时， ，解得；
当与平行时，，解得；
当与 平行时，，解得 .
［素养小结］
（1）求与直线平行的直线的方程时，根据两直线平行的
条件可巧设所求直线的方程为，然后通过待定系
数法，求参数的值．
（2）求与直线平行的直线方程时,可
设该直线的平行系方程为,代入已知条件求
出的值即可.
（3）应用两条直线平行求参数的值时,应分斜率存在与不存在两种情
况求解.
探究点三 直线相交系方程的应用
例3 已知两直线和的交点为 .求：
（1）过点与 的直线的方程；
解：设过直线和 的交点的直线方程为
，
即 .
把代入方程①，化简得，解得 ，
所以过点与的直线的方程为，即 .
（2）过点且与直线 平行的直线的方程.
解：由两直线平行，得，解得 ，所以所
求直线的方程为，即 .
例3 已知两直线和的交点为 .求：
变式（1）经过点和两直线 ，
的交点的直线方程为_____________.
[解析] 设所求直线方程为， 点
在直线上，，解得， 所求直线
方程为，即 .
（2）无论为何值，直线过定点 ，求
点 的坐标.
解：， ，
令解得 点的坐标为 .
［素养小结］
已知直线，直线
，则
是参数，且是实数表示
恒过直线，交点的直线系方程不含.具体问题中可以先设出直
线的相交系方程，根据条件求出参数 即可.
1.已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与 平
行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 两条直线与不重合，由“与的斜率相等”可得“与 平行”；
由“与平行”可得“与的斜率相等”或“与 的斜率均不存在”.
故“与的斜率相等”是“与 平行”的充分不必要条件.故选A.
√
2.过点且与直线 平行的直线的方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 直线的斜率为 ，所以所求直线的方程是
，即 .故选B.
√
3.已知直线, ,若
则 ( )
A.或 B. C. D.
[解析] 由题得，整理得 ，
解得或.经验证，当 时，两条直线重合，所以
.故选B.
√
4.［2024·四川凉山州高二期末］当 时，直线
与直线 的交点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 由可得两直线的交点坐标为 .
因为，所以， ，所以交点在第二象限.
√
5.［2025·江苏宿迁高二期中］设为实数，若矩形的边 ，
所在的直线方程分别为 ，
，则 的值为_____.
0或
[解析] 由题意可知直线与
平行，则，解得或.
若 ，则两直线方程分别为， ，两直线平行，符合题意；
若，则两直线方程分别为， ，两直线
平行，符合题意.综上所述，的值为0或 .
在利用平行关系中的斜率相等时,一定要考虑斜率不存在的情况;在判
断两直线的平行关系时,首先应看两直线的斜率是否存在,同时不要漏
掉两直线重合的情况.
（1）若，求 的值；
解：因为，所以，解得 .
当时，直线，直线 ，
即 ，此时两直线重合；
当时，直线 ，直线
，即 ，此时两直线平行.
综上， .
例 ［2024·上海曹杨二中高二期末］已知 ，设直线
，直线 .
（2）当与相交时，求交点的坐标（用表示），并证明点 恒在
一条定直线上.
解：由（1）知，当与相交时 ，
由解得所以 .
因为，即 ，
所以点恒在定直线 上.
例 ［2024·上海曹杨二中高二期末］已知 ，设直线
，直线 .
练习册
一、选择题
1.［2024·甘肃白银高二期末］直线 和直线
的位置关系是( )
A.平行 B.不平行
C.平行或重合 D.既不平行也不重合
[解析] 当时，两直线重合，当 时，两直线平行.故选C.
√
2.已知直线与直线
相交，则( )
A.或 B.或
C.且 D.且
[解析] 因为直线 与直线
相交，所以 ,
解得且 .故选D.
√
3.过直线与的交点，且平行于向量 的直
线的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 方法一:由解得 所以两直线的交点坐标为
.由题知所求直线的一个方向向量为 ，所以直线的斜率
，所以所求直线的方程为 ，即
.故选C.
方法二：设所求直线的方程为 ，整
理得 ，由题知所求直线的一个方向向量
为，所以，故所求直线的方程为 .
4.［2024·湖南长沙一中高二月考］已知直线 与直
线，若，则直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D. 或
[解析] ，，解得.当 时，
，，符合题意；
当 时，， ，两直线
重合，不符合题意.故，则，其斜率为 ，
设直线的倾斜角为 ，则，又 ，所以
.故选C.
√
5.已知直线与直线 的交点在第二象限，则
实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知，当时，显然不符合题意；
当 时，由解得
由题意得解得 ，
所以实数的取值范围为 .故选A.
√
6.［2025·山东济南高二期中］“ ”是“直线
与直线 平行”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当时，直线，直线 ，此时两
直线斜率相等，截距不相等，所以两直线平行，故充分性成立；
当直线与直线 平行时，
解得或 ，故必要性不成立.故选B.
√
★7.直线被直线和 截得的线
段的中点为，则直线 的斜率为( )
A.1 B.3 C. D.
[解析] 设直线与的交点是，直线与的交点是 ，
则，，由题得， ，即
，，解得， ，
所以，，故直线的斜率 .故选C.
√
［点拨］ 分别设出直线与， 的交点坐标，然后由中点坐标公式
和斜率公式求解即可.
8.（多选题）［2025·山东菏泽高二期中］ 若直线
与直线 平行，
则 的值可以是( )
A.0 B.2 C. D.4
[解析] 因为两直线平行，所以由斜率相等得 ，所
以或，解得或0或，当 时两
直线重合，舍去.故选 .
√
√
★9.（多选题）若直线,,
不能构成三角形，则 的值可以为( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 若直线,, 不能构成
三角形，则或或过与的交点.
当 时，，解得；
当时，，解得 ；
当过与的交点时，由得代入 的方程得
，解得.
综上，或 或.故选 .
［易错点］ 三条直线不能构成三角形所满足的条件考虑不全而导致
错误.
二、填空题
10.已知两条直线,，若与 相
交，则实数 满足的条件是______.
[解析] 直线的斜率为 ，
直线的斜率为.
因为与相交，所以 ，解得 .
11.［2025·陕西西安高新一中高二月考］三条直线 ,
,相交于,两点.已知，则 ___.
2
[解析] 由解得所以是直线 上
的点，则，解得 .
12.若直线与直线的交点 在第一
象限，则直线的倾斜角 的取值范围是______.
[解析] 易知直线 在轴和 轴上的截距分
别为3,2,直线恒过定点 .
如图，设,,,连接 ,
, 直线的倾斜角为 .
由图可知，要使直线 与的交点
在第一象限，则的倾斜角 的取值范围是 .
三、解答题
13.（13分）已知直线 和直线
，求实数 为何值时，分别有：
（1）与 相交；
解： 直线 和直线
相交，
,解得且 .
（2） ；
解： 直线 和直线
平行，,解得 .
（3）与 重合.
解： 直线 和直线
重合，,解得 .
13.（13分）已知直线 和直线
，求实数 为何值时，分别有：
14.（13分）［2024·湖北荆州四中高二期中］ 已知平行四边形的两
邻边所在直线的方程是和 ，对角线的交
点是 ，求另外两边所在直线的方程.
解：设平行四边形为，边所在直线的方程为 ，
边所在直线的方程为 .
由得 ，
因为是的中点，且，所以 .
易知，所以 ，
所以边所在直线的方程为，即 .
易知，所以 ，
所以边所在直线的方程为，即 .
综上，另外两边所在直线的方程为， .
15.已知是两条直线 与
的交点,则过, 两点的直线方程
为________________.
[解析] 方法一：因为是两条直线, 的交点,所以
, ,两式相减得
,即,
所以直线 的斜率,
故所求直线的方程为 ,
即.
又,所以过 ,
两点的直线的方程为 .
方法二：由两条直线过点知
由此方程组可知点与在直线上，
故过 , 两点的直线方程为 .
16.（15分）［2024·安徽阜阳太和中学高二月考］ 已知直线
, .
（1）判断直线与 能否平行 并说明理由.
解：假设直线与, 平行，
则且,显然矛盾，所以直线与 不能平行.
（2）若直线与重合,求证:点与点 在同一条直线上.
证明:若直线与重合,则,所以点与点 在同一
条直线上.
（3）求证:直线与 的交点的轨迹是一条直线.
证明:若直线与相交,则 ,
由得所以直线与 的交点坐标为
,都在直线上，故直线与 的交点的轨迹是一条
直线.
16.（15分）［2024·安徽阜阳太和中学高二月考］ 已知直线
, .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1 无数 0 相交 重合 平行
知识点二 （1） 且 且
（2）
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√ （4）× （5）√
（2）
变式（1） （2） 课堂评价 1.A 2.B 3.B 4.B 5.0或
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.C 2.D 3.C 4.C 5.A 6.B 7.C 8.AB 9.ABD
二、填空题
10. 11.2 12.
三、解答题
13.（1且 （2） （3）
14. ，
思维探索 15.
16.（1）与不能平行 （2）证明略（3）证明略2.2.3 两条直线的位置关系
第1课时 两条直线的相交、平行与重合
【课前预习】
知识点一
1 无数 0 相交 重合 平行
知识点二
(1)①k1≠k2 ②k1=k2且b1≠b2 ③k1=k2且b1=b2
(2)①A1B2≠A2B1 ②A1B2=A2B1
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ [解析] (1)若两直线斜率都不存在,则两直线平行或重合.
(2)如果两条直线平行,那么这两条直线的方向向量平行,但不一定相等.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由可得所以l1与l2相交,且交点的坐标为.
(2)将l1的方程化成斜截式可知l1:y=x+,因为l1与l2的斜率相等,截距也相等,所以l1与l2重合.
(3)将l1与l2的方程分别化为斜截式可知l1:y=(1-)x+3,l2:y=(1-)x+2-2,因为l1与l2的斜率相等,截距不相等,所以l1与l2平行.
(4)易知l1与l2平行.
变式 解:设直线l1的方程为A1x+B1y+C1=0,直线l2的方程为A2x+B2y+C2=0,
则A1=9,B1=-1,C1=a+2,A2=a,B2=a-2,C2=1.
(1)若直线l1与直线l2相交,则A1B2-A2B1≠0,
即9(a-2)-a×(-1)≠0,∴a≠,
故当a≠时,直线l1与直线l2相交.
(2)若l1∥l2,则即
∴故当a=时,直线l1与直线l2平行.
(3)若直线l1与直线l2重合,则
∴无解,故直线l1与直线l2不可能重合.
探究点二
例2 (1)C (2)A [解析] (1)当a=4时,l1:3x+2y+1=0,l2:3x+2y-1=0,两直线的斜率都为-,且两直线不重合,所以两直线平行;当两直线平行时,(a+2)(a-2)-a(a-1)=0,解得a=4,经检验,当a=4时,两直线平行,故a=4.综上可知,“a=4”是“直线l1:(a+2)x+ay+2=0和直线l2:(a-1)x+(a-2)y-1=0平行”的充要条件.故选C.
(2)易知直线kx-y+1-k=0过定点(1,1),因为点(1,1)不在直线3x+5y+16=0上,所以直线kx-y+1-k=0与直线3x+5y+16=0不重合,若A∩B≠ ,则两直线不平行,即k≠-,故实数k的取值范围为.
变式 (1)3 (2)(1,4) -1 [解析] (1)因为直线l1与l2平行,所以2×3-a(a-1)=0,且a×1-2×(-1)≠0,可得a=3.
(2)由得所以l1与l2的交点坐标为(1,4).易知直线l3过定点(3,0),若直线l1,l2,l3不能围成三角形,则l3经过点(1,4)或l1与l3平行或l2与l3平行.当l3经过点(1,4)时,1-4a-3=0,解得a=-;当l1与l3平行时,-3a=-1,解得a=;当l2与l3平行时,-a=1,解得a=-1.
探究点三
例3 解:(1)设过直线l1和l2的交点的直线方程为x+2y-6+m(x-2y+2)=0,
即(m+1)x+(2-2m)y+2m-6=0①.
把(1,4)代入方程①,化简得3-5m=0,解得m=,
所以过点P与Q的直线的方程为x+y-=0,即2x+y-6=0.
(2)由两直线平行,得-3(m+1)=2-2m,解得m=-5,所以所求直线的方程为-4x+12y-16=0,即x-3y+4=0.
变式 (1)x+y-1=0 [解析] 设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,∵点P(1,0)在直线上,∴1-2+λ(3+2)=0,解得λ=,∴所求直线方程为x+2y-2+×(3x-2y+2)=0,即x+y-1=0.
(2)解:∵(m+1)x-y-7m-4=0,∴m(x-7)+(x-y-4)=0,令解得∴点P的坐标为(7,3).
【课堂评价】
1.A [解析] 两条直线l1与l2不重合,由“l1与l2的斜率相等”可得“l1与l2平行”;由“l1与l2平行”可得“l1与l2的斜率相等”或“l1与l2的斜率均不存在”.故“l1与l2的斜率相等”是“l1与l2平行”的充分不必要条件.故选A.
2.B [解析] 直线x-2y+3=0的斜率为,所以所求直线的方程是y-3=(x+2),即x-2y+8=0.故选B.
3.B [解析] 由题得(5+m)(3+m)-8=0,整理得m2+8m+7=0,解得m=-1或m=-7.经验证,当m=-1时,两条直线重合,所以m=-7.故选B.
4.B [解析] 由可得两直线的交点坐标为.因为00,所以交点在第二象限.
5.0或 [解析] 由题意可知直线x+2my-1=0与(3m-2)x-my-1=0平行,则1×(-m)=2m(3m-2),解得m=0或m=.若m=0,则两直线方程分别为x=1,x=-,两直线平行,符合题意;若m=,则两直线方程分别为x+y-1=0,x+y+2=0,两直线平行,符合题意.综上所述,m的值为0或.2.2.3 两条直线的位置关系
第1课时 两条直线的相交、平行与重合
【学习目标】
1.掌握两条直线相交的判定方法,会求两条相交直线的交点坐标;
2.掌握两条直线平行的判定方法,注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行的差别;
3.灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系.
◆ 知识点一 两直线的交点
已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0),则l1与l2的位置关系和方程组的解的情况有下列关系:
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2的公共点的个数
直线l1和l2的位置关系
◆ 知识点二 两条直线相交、平行、重合
(1)几何方法判断
若两直线的斜率均存在,我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系,其方法如下:
设l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
①l1与l2相交 ;
②l1∥l2 ;
③l1与l2重合 .
(2)向量方法判断
设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量,v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量.
①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线,即 .
②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线,即 ;l1与l2重合的充要条件是存在实数λ,使得
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两直线斜率都不存在,则两直线平行. ( )
(2)如果两条直线平行,那么这两条直线的方向向量一定相等. ( )
(3)如果两条直线平行,那么这两条直线的倾斜角一定相等. ( )
(4)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交. ( )
(5)若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.( )
◆ 探究点一 两条直线位置关系的判定
例1 判断下列各组中两条直线的位置关系.
(1)l1:y=2x+1,l2:2x-6y+1=0;
(2)l1:2x-6y+4=0,l2:y=x+;
(3)l1:(-1)x+y=3,l2:x+(+1)y=2;
(4)l1:x=5,l2:x=6.
变式 已知l1:9x-y+a+2=0,l2:ax+(a-2)y+1=0,求当a为何值时,直线l1与直线l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合.
[素养小结]
两条直线位置关系的判定方法:
设两条直线l1,l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0.
(1)若A1B2-A2B1≠0或≠(A2≠0,B2≠0),则两直线相交.
(2)若A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0),或=≠(A2≠0,B2≠0,C2≠0),则两直线平行.
(3)若A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0),或==(A2≠0,B2≠0,C2≠0),则两直线重合.
◆ 探究点二 两条直线平行关系的应用
例2 (1)“a=4”是“直线l1:(a+2)x+ay+2=0和直线l2:(a-1)x+(a-2)y-1=0平行”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知集合A={(x,y)|3x+5y+16=0},B={(x,y)|kx-y+1-k=0},若A∩B≠ ,则实数k的取值范围是 ( )
A.
B.{k|k<-3或k>1}
C.{k|-3≤k≤1}
D.{k|-3变式 (1)已知直线l1:ax+3y-1=0与直线l2:2x+(a-1)y+1=0平行,则实数a= .
(2)已知直线l1:3x-y+1=0,l2:x+y-5=0,l3:x-ay-3=0,则l1与l2的交点坐标为 ;若直线l1,l2,l3不能围成三角形,则符合要求的实数a的一个值为 .
[素养小结]
(1)求与直线y=kx+b平行的直线的方程时,根据两直线平行的条件可巧设所求直线的方程为y=kx+m(m≠b),然后通过待定系数法,求参数m的值.
(2)求与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线方程时,可设该直线的平行系方程为Ax+By+m=0(m≠C),代入已知条件求出m的值即可.
(3)应用两条直线平行求参数的值时,应分斜率存在与不存在两种情况求解.
◆ 探究点三 直线相交系方程的应用
例3 已知两直线l1:x+2y-6=0和l2:x-2y+2=0的交点为P.求:
(1)过点P与Q(1,4)的直线的方程;
(2)过点P且与直线x-3y-1=0平行的直线的方程.
变式 (1)经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0的交点的直线方程为 .
(2)无论m为何值,直线l:(m+1)x-y-7m-4=0过定点P,求点P的坐标.
[素养小结]
已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0),直线l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0),则A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ是参数,且是实数)表示恒过直线l1,l2交点的直线系方程(不含l2).具体问题中可以先设出直线的相交系方程,根据条件求出参数λ即可.
1.已知直线l1与l2不重合,则“直线l1与l2的斜率相等”是“直线l1与l2平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.过点P(-2,3)且与直线x-2y+3=0平行的直线的方程是 ( )
A.2x-y+7=0 B.x-2y+8=0
C.x+2y-4=0 D.x-2y+7=0
3.已知直线l1:2x+(5+m)y=8,l2:(3+m)x+4y=5-3m,若l1∥l2则m= ( )
A.-7或-1 B.-7
C.-1 D.-3
4.[2024·四川凉山州高二期末] 当0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.[2025·江苏宿迁高二期中] 设m为实数,若矩形ABCD的边AB,CD所在的直线方程分别为x+2my-1=0,(3m-2)x-my-1=0,则m的值为 . 2.2.3 两条直线的位置关系
第1课时 两条直线的相交、平行与重合
一、选择题
1.[2024·甘肃白银高二期末] 直线2x-y+k=0和直线4x-2y+1=0的位置关系是 ( )
A.平行
B.不平行
C.平行或重合
D.既不平行也不重合
2.已知直线3x-(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k-3)y+2=0相交,则 ( )
A.k≠1或k≠9
B.k≠1或k≠-9
C.k≠1且k≠9
D.k≠1且k≠-9
3.过直线x+y=2与x-y=0的交点,且平行于向量v=(3,2)的直线的方程为 ( )
A.3x-2y-1=0
B. 3x+2y-5=0
C. 2x-3y+1=0
D. 2x-3y-1=0
4.[2024·湖南长沙一中高二月考] 已知直线l1:mx+y+1=0与直线l2:3x+my-=0,若l1∥l2,则直线l1的倾斜角为 ( )
A.30° B.60°
C.120° D.60°或120°
5.已知直线kx-y=k-1与直线ky-x=2k的交点在第二象限,则实数k的取值范围是 ( )
A. B.
C.(0,1) D.{-1}
6.[2025·山东济南高二期中] “m=-1”是“直线l1:mx+(2m+3)y+1=0与直线l2:x+my+3=0平行”的 ( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
★7.直线l被直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),则直线l的斜率为 ( )
A.1 B.3
C.-3 D.-2
8.(多选题)[2025·山东菏泽高二期中] 若直线(a-2)x+4y+a=0与直线(a-2)x+(a2+2a+4)y-2=0平行,则a的值可以是 ( )
A.0 B.2
C.-2 D.4
★9.(多选题)若直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,则m的值可以为( )
A. B.-
C. D.-
二、填空题
10.已知两条直线l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0,若l1与l2相交,则实数a满足的条件是 .
11.[2025·陕西西安高新一中高二月考] 三条直线x+y=5,3x+y=7,ax+2y=6相交于A,B两点.已知A(2,1),则a= .
12.若直线l1:y=kx-3与直线l2:2x+3y-6=0的交点M在第一象限,则直线l1的倾斜角α的取值范围是 .
三、解答题
13.(13分)已知直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和直线l2:6x+(2m-1)y-5=0,求实数m为何值时,分别有:(1)l1与l2相交;(2)l1∥l2;(3)l1与l2重合.
14.(13分)[2024·湖北荆州四中高二期中] 已知平行四边形的两邻边所在直线的方程是x+y+1=0和3x-y+4=0,对角线的交点是O'(3,3),求另外两边所在直线的方程.
15.已知P(2,3)是两条直线l1:a1x+b1y+1=0与l2:a2x+b2y+1=0的交点,则过A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直线方程为 .
16.(15分)[2024·安徽阜阳太和中学高二月考] 已知直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y+a=0(a∈R,b∈R).
(1)判断直线l1与l2能否平行 并说明理由.
(2)若直线l1与l2重合,求证:点P(a,b)与点Q(b,a)在同一条直线上.
(3)求证:直线l1与l2的交点的轨迹是一条直线.2.2.3 两条直线的位置关系
第1课时 两条直线的相交、平行与重合
1.C [解析] 当k=时,两直线重合,当k≠时,两直线平行.故选C.
2.D [解析] 因为直线3x-(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k-3)y+2=0相交,所以3(2k-3)-k[-(k+2)]≠0,解得k≠1且k≠-9.故选D.
3.C [解析] 方法一:由解得所以两直线的交点坐标为(1,1).由题知所求直线的一个方向向量为v=(3,2),所以直线的斜率k=,所以所求直线的方程为y-1=(x-1),即2x-3y+1=0.故选C.
方法二:设所求直线的方程为x+y-2+λ(x-y)=0(λ∈R),整理得(1+λ)x+(1-λ)y-2=0,由题知所求直线的一个方向向量为v=(3,2),所以λ=-5,故所求直线的方程为2x-3y+1=0.
4.C [解析] ∵l1∥l2,∴m×m=3×1,解得m=±.当m=时,l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,符合题意;当m=-时,l1:-x+y+1=0,l2:-x+y+1=0,两直线重合,不符合题意.故m=,则l1:x+y+1=0,其斜率为-,设直线l1的倾斜角为α,则tan α=-,又0°≤α<180°,所以α=120°.故选C.
5.A [解析] 由题知,当k=±1时,显然不符合题意;当k≠±1时,由解得由题意得解得06.B [解析] 当m=-1时,直线l1:y=x-1,直线l2:y=x+3,此时两直线斜率相等,截距不相等,所以两直线平行,故充分性成立;当直线l1:mx+(2m+3)y+1=0与直线l2:x+my+3=0平行时,解得m=-1或m=3,故必要性不成立.故选B.
7.C [解析] 设直线l与l1的交点是A(x1,y1),直线l与l2的交点是B(x2,y2),则y1=-4x1-3,y2=x2-1,由题得=-1,=2,即x1+x2=-2,(-4x1-3)+=4,解得x1=-2,x2=0,所以A(-2,5),B(0,-1),故直线l的斜率k==-3.故选C.
[点拨] 分别设出直线l与l1,l2的交点坐标,然后由中点坐标公式和斜率公式求解即可.
8.AB [解析] 因为两直线平行,所以由斜率相等得-=-,所以a-2=0或a2+2a+4=4,解得a=2或0或-2,当a=-2时两直线重合,舍去.故选AB.
9.ABD [解析] 若直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,则l1∥l3或l2∥l3或l3过l1与l2的交点.当l1∥l3时,=≠,解得m=-;当l2∥l3时,=≠,解得m=;当l3过l1与l2的交点时,由得代入l3的方程得2×1-3m×1=4,解得m=-.综上,m=-或m=或m=-.故选ABD.
[易错点] 三条直线不能构成三角形所满足的条件考虑不全而导致错误.
10.a≠2 [解析] 直线l1:ax+3y-3=0的斜率为-,直线l2:4x+6y-1=0的斜率为-.因为l1与l2相交,所以-≠-,解得a≠2.
11.2 [解析] 由解得所以A(2,1)是直线ax+2y=6上的点,则2a+2=6,解得a=2.
12. [解析] 易知直线l2:2x+3y-6=0在x轴和y轴上的截距分别为3,2,直线l1:y=kx-3恒过定点(0,-3).如图,设A(3,0),B(0,2),P(0,-3),连接AP,∵kPA=1,∴直线PA的倾斜角为.由图可知,要使直线l1:y=kx-3与l2:2x+3y-6=0的交点M在第一象限,则l1的倾斜角α的取值范围是.
13.解:(1)∵直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和直线l2:6x+(2m-1)y-5=0相交,
∴(m+2)(2m-1)≠6(m+3),解得m≠-且m≠4.
(2)∵直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和直线l2:6x+(2m-1)y-5=0平行,∴=≠,解得m=-.
(3)∵直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和直线l2:6x+(2m-1)y-5=0重合,∴==,解得m=4.
14.解:设平行四边形为ABCD,边AB所在直线的方程为x+y+1=0,边AD所在直线的方程为3x-y+4=0.由得A,
因为O'是AC的中点,且O'(3,3),所以C.
易知kAB=-1,所以kCD=-1,所以边CD所在直线的方程为y-=-,即x+y-13=0.
易知kAD=3,所以kBC=3,所以边BC所在直线的方程为y-=3,即3x-y-16=0.
综上,另外两边所在直线的方程为x+y-13=0,3x-y-16=0.
15.2x+3y+1=0 [解析] 方法一:因为P(2,3)是两条直线l1,l2的交点,所以2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0,两式相减得2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即=-,所以直线AB的斜率k==-,故所求直线的方程为y-b1=-(x-a1),即2x+3y-(3b1+2a1)=0.又2a1+3b1=-1,所以过A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直线的方程为2x+3y+1=0.
方法二:由两条直线过点P(2,3)知由此方程组可知点A(a1,b1)与B(a2,b2)在直线2x+3y+1=0上,故过A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直线方程为2x+3y+1=0.
16.解:(1)假设直线l1:ax-y+b=0与l2:bx+y+a=0(a∈R,b∈R)平行,
则a-(-b)=0且-a-b≠0,显然矛盾,所以直线l1与l2不能平行.
(2)证明:若直线l1与l2重合,则a+b=0,所以点P(a,b)与点Q(b,a)在同一条直线上.
(3)证明:若直线l1与l2相交,则a+b≠0,
由得所以直线l1与l2的交点坐标为(-1,b-a),都在直线x=-1上,故直线l1与l2的交点的轨迹是一条直线.
