(共70张PPT)
2.2 直线及其方程
2.2.3 两条直线的位置关系
第2课时 与直线相关的垂直与对称
探究点一 两条直线垂直的判定
探究点二 两条直线垂直关系的应用
探究点三 与直线相关的对称问题
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握两条直线垂直的判定方法;
2.会判定两条直线的位置关系.
知识点 两条直线垂直
（1）由斜截式方程判断
若直线， ，则
.
（2）由一般式方程判断
设直线 ,
.因为是直线 的一个法向量,
是直线 的一个法向量，如图所示，则
.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存
在，则这两条直线垂直.( )
×
[解析] 一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，这两条直
线才垂直.
（2）已知直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角为 ，若 ，
则 .( )
×
[解析] 由得 .
（3）已知直线,的一个方向向量分别为, ，
若，则，从而 .( )
√
[解析] 由得，因此，即 ，故
.
（4）若两条直线垂直,则它们的斜率之积必为 .( )
×
探究点一 两条直线垂直的判定
例1 判断下列直线与 是否垂直.
（1）的倾斜角为，经过， 两点；
解：由题意知，直线的斜率 ，
直线的斜率，因为 ，
所以 .
（2）的斜率为，经过， 两点；
解：由题意知，直线的斜率，直线 的斜率
，因为，所以与 不垂直.
（3）的斜率为，的倾斜角为 ， 为锐角，且 ；
解：直线的斜率 ，因为，所以 ，
解得或，又因为 为锐角，所以.直线 的斜率
，因为，所以 .
例1 判断下列直线与 是否垂直.
（4）经过，两点，经过， 两点.
解：方法一：直线的斜率，直线 的斜率
，因为，所以 .
方法二：直线的一个方向向量为，直线 的一个方向
向量为，因为，所以，所以 .
例1 判断下列直线与 是否垂直.
变式 ［2024·云南大理高二期中］判断下列两直线是否垂直.
（1）直线的一个法向量为,直线 的一个法向量为
.
解： 所以两条直线不垂直.
（2）经过，两点，经过， 两点.
解：由题意，直线的斜率一定存在，直线 的斜率可能存在，
可能不存在.
①当直线的斜率不存在时，，即，此时 ，
满足 .
②当直线的斜率存在时,则 , .
若，则，即，可得 .
综上所述,当或时,当且时,与 不垂直.
变式 ［2024·云南大理高二期中］判断下列两直线是否垂直.
［素养小结］
两条直线垂直的判定：
（1）一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的
斜率不存在；再看另一条直线上的两点的纵坐标是否相等，若相等，
则垂直，若不相等，则进行第二步．
（2）二代：就是将点的坐标代入斜率公式.
（3）求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数
时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
探究点二 两条直线垂直关系的应用
例2（1）过点且与直线 垂直的直线方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 直线的斜率为， 所求直线的斜率为1，故所
求直线方程为，即 .故选B.
√
（2）已知直线, ，若
，则实数 的值是( )
A.0 B.2或 C.0或 D.
[解析] ，，解得或 .故选C.
√
变式 已知，， .
（1）若，，，可以构成平行四边形，求点 的坐标；
解：由题意得，， ，
设.若四边形是平行四边形，则， ，
即解得则 .
若四边形是平行四边形，则， ，
即解得则 .
若四边形是平行四边形，则， ，
即解得则 .
综上，点的坐标为或或 .
（2）在（1）的条件下，判断，，， 构成的平行四边形是否为菱形.
解：若点的坐标为，因为， ，所以
，所以 ，所以平行四边形 为菱形.
若点的坐标为，因为， ，
所以，所以平行四边形 不是菱形.
若点的坐标为，因为，直线 的斜率不存在，
所以平行四边形 不是菱形.
综上，平行四边形为菱形,平行四边形, 不是菱形.
变式 已知，， .
［素养小结］
（1）与直线垂直的直线方程可设为
为参数．
（2）与直线垂直的直线方程可设为．
（3）利用直线的斜率判定平面图形的形状时,一般先由图形作出猜测,
然后利用直线的斜率关系进行判定.
（4）由几何图形的形状求参数（一般是点的坐标）时,首先要考虑到
图形可能出现的各种情形，其次在运算时既要考虑运算对象,又要考
虑斜率是否存在.
探究点三 与直线相关的对称问题
例3 ［2025·湖北随州高二期末］已知直线 ,点
.求:
（1）点关于直线的对称点 的坐标;
解：设,则解得 所以
.
（2）直线关于直线对称的直线 的方程;
解：在直线上取一点,则点关于直线的对称点在 上.设对
称点为 ,则解得所以.
设与 的交点为,由可得，
又因为经过点 ,所以由两点式得直线的方程为
.
例3 ［2025·湖北随州高二期末］已知直线 ,点
.求:
（3）直线关于点对称的直线 的方程.
解：设为上任意一点,则关于点 的对称点为
,
因为点在直线 上,所以,
即.故直线 的方程为 .
例3 ［2025·湖北随州高二期末］已知直线 ,点
.求:
变式 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽
火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军
饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮
马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，
设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点 处出发，
河岸线所在的直线方程为 ，则“将军饮马”的总路程最短为
( )
A. B.5 C. D.
√
[解析] 设点关于直线的对称点为 ，则
解得则 ,
所以 ，
故“将军饮马”的总路程最短为 .故选A.
［素养小结］
有关对称问题的两种主要类型
（1）中心对称.
①点关于点的对称点满足
②直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决.
（2）轴对称.
①若点关于直线的对称点为 ,
则
②直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决.
1.已知，，则直线与直线 的位置关系是
( )
A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交
[解析] 易知直线的斜率为0，直线 的斜率不存在，所以直线
与直线 垂直.
√
2.［2024·湖北武汉高二期中］在中,,,,则
边上的高所在的直线方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 设边上的高所在的直线为,因为,所以直线 的
斜率为,又直线过点,所以直线的方程为 ,
即 .故选A.
√
3.已知点与点关于直线对称，则点 的坐标为
( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则直线，且线段的中点在 上，即
解得所以点的坐标为 .故选D.
√
4.已知直线 与直线
垂直，则 ( )
A.2或1 B.1 C.2 D.2或
[解析] 当时，直线的方程为，显然不成立，故 .因为
直线与垂直，所以，所以 .故选B.
√
5.［2024·河南商丘高二期中］求直线 关于直线
对称的直线 的方程.
解：方法一:设为直线上任意一点,为直线 上
一点,且,两点关于直线 对称,
则消去,得 .
故直线的方程为 .
方法二:易知,为直线上的点,设,关于直线 的对称点
分别为, ,
则
解得则， ，所以
,所以所求直线的方程为 ,
即 .
1.点关于直线的对称问题
求关于的对称点 ，
利用可以求点 的坐标．
2.直线关于某点对称的问题
若两条直线，关于点对称，则：上任意一点关于点 的对称
点必在上，反过来，上任意一点关于点的对称点必在 上；②
若，则点到直线，的距离相等；③过点作一直线与 ，
分别交于，两点，则点是线段 的中点．
3.直线关于直线的对称问题
若两条直线，关于直线对称，则：上任意一点关于直线 的
对称点必在上，反过来，上任意一点关于直线的对称点必在 上；
②过直线上的一点且垂直于直线作一直线与，分别交于点 ，
，则点是线段 的中点．
总结：（1）一般地，求与直线关于 对称的直
线方程，先写成 的形式，再写成
形式，化简后即为所求.
（2）一般地，求与直线关于 对称的直线方程，
先写成 的形式，再写成
的形式，化简后即为所求.
（3）一般地，求与直线 关于原点对称的直线方程，只需把
换成，把换成 ，化简后即为所求.
（4）一般地，直（曲）线关于直线 的对称直（曲）线为
，即把中的换成， 换成 .
（5）一般地，直（曲）线关于直线 的对称直
（曲）线为，即把中的换成，
换成 .
1.已知两直线垂直,那么:①若两直线的斜率都存在,则两斜率互为负倒
数;②若两直线中一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为0.反
之,可判断两直线垂直.
例1 若点在直线上，则 与
的位置关系是______.
垂直
[解析] 因为点在直线 上，所以，
解得,所以直线 ，则,
又，所以,则 ，所以 .
例2 已知经过点和点的直线与经过点 和点
的直线互相垂直,求实数 的值.
解：由题意得，的斜率存在,且 .
当时,的斜率 ,
, ,即，得 ；
当时,,,直线与轴重合,,,直线
与轴重合,显然 .
综上可知,实数 的值为1或0.
2.在用向量处理直线平行的问题时,要注意向量平行与直线平行的区
别,即向量平行时,向量所在的直线可以重合;在利用向量处理直线垂
直的问题时,只要它们的方向向量垂直即可.
例3 已知的三个顶点分别为,,,则实数 的
值为_________.
或
[解析] 在平面直角坐标系中,作出点,及点 可能的位置,如图所示.
由图可知,只有或可能为直角.,
, .
当为直角时,,
解得 ；
当为直角时,,解得 .
综上可知,实数的值为或 .
3.光线的入射、反射问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之
和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题.常见的有：求入射光
线、反射光线、入射点、光的路径等形式，抓住对称问题是核心问
题，是解决问题的关键.
例4 一条光线从点发出，经过轴反射，反射光线经过点 .
（1）求反射光线所在直线的方程；
解： 光线的反射线是 轴，
反射光线所在直线经过点关于轴的对称点 ，
直线的斜率 ，
直线的方程为，即 .
（2）求反射光线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积大小.
解：在直线的方程中，令，得， 直线交 轴于点 ，
在直线的方程中，令，得， 直线交 轴于点 ，
反射光线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积 .
例4 一条光线从点发出，经过轴反射，反射光线经过点 .
练习册
一、选择题
1.［2024·陕西咸阳高二期中］直线 和直线
的位置关系是( )
A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.重合
[解析] 当时,直线与直线相互垂直;
当 时,直线的方程可化为,直线 的方程可化为
,
因为,所以直线与直线 相互垂直.故选B.
√
2.顺次连接，，， 四点所构成的图形是
( )
A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对
[解析] ，, ,
，因为,,所以,与 不平行，
因为,所以,所以四边形 为直角梯形.故选B.
√
3.［2025·江苏宿迁高二期中］已知点与点关于直线
对称，则直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以，又线段的中点
在直线上，所以直线的方程为，即 .
故选A.
√
4.直线关于直线 对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 要求直线关于直线 对称的直线方程，
需用替换，用替换，可得所求直线方程为 ，即
.故选A.
√
5.若三条直线,和 能
围成一个直角三角形,则 ( )
A. B. C.或 D.或
[解析] 设, ,
，不垂直于,或.
若 , 则,解得;
若,则,解得 .
综上，或 .故选C.
√
6.将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次,使得点 与点
重合,若此时点与点也重合,则 的值为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意不妨设点与点关于直线对称,则点与点 也关于
直线对称.因为,所以直线的斜率为2,又因为线段 的中点
坐标为,所以直线的方程为,即 .
因为的中点在直线上,且 ,所以
解得所以 .故选A.
7.［2024·重庆万州区高二期中］已知直线过点，直线 与直
线的交点在第一象限，点为坐标原点.若三角形 为钝
角三角形，则直线 的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当三角形为直角三角形时，或 ，此时
直线的斜率或0.
当从顺时针旋转到 轴之间时，三角形为钝角三角形，
此时；
当从 逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形 为
钝角三角形，此时.
综上， ，故选C.
8.（多选题）已知直线的一个方向向量为，且直线 经
过点 ，则下列结论正确的有( )
A.直线的倾斜角为
B.直线与轴的交点坐标为
C.直线与直线 垂直
D.直线与直线 平行
√
√
[解析] 由直线的一个方向向量为，得直线 的斜率
，又直线经过点，所以直线 的方程为
，即.
设直线的倾斜角为 , 则，所以直线的倾斜角为 ，
故A正确；
当时，，故B错误；
，故C错误；
且，故D正确.故选 .
9.（多选题）［2025·辽宁大连高二期中］ 已知直线
，直线 ，直线
，直线 ，则下列说法正
确的是( )
A.对任意的,恒成立 B.对任意的, 恒成立
C.存在，使得成立 D.存在，使得 成立
√
√
√
[解析] 对于A，， ，
， 对任意的， 恒成立，
故A正确；
对于B，， ，
， 对任意, 不成
立，故B错误；
对于C， ，，当时，
，则，故C正确；
对于D， ，，当 时，
，且
，则 ，故D正确.故选 .
二、填空题
10.已知直线与直线 垂直，
则 _______.
或3
[解析] 由题意得，即 ,解得
或3.
★11.如果平面直角坐标系中的两点， 关于直线
对称，那么直线 的方程为_____________.
[解析] 由题得，线段 的中点的坐标为
，因为点，关于直线 对称，所以
，所以直线的方程为，即 .
［点拨］ 本题已知对称关系求解对称轴，可以采用逆向思维，同样
满足对称点所在直线与对称轴垂直，对称的两个点的中点在对称轴上.
12.在中，，角的平分线 所在直线的方程为
，边上的高所在直线的方程为.则点
的坐标为_________.
[解析] 直线所在直线方程为， ，
，， 直线的方程为 ，
即.由解得
直线的方程为，即.
由 解得 点的坐标为 .
三、解答题
13.（13分）在中，,, ，求下列直线的方程
（用一般式表示）.
（1）边 上的中线所在直线的方程；
解：由已知得，边的中点的坐标为，则边 上的中线所在
直线的方程为，即 .
（2）边 上的高所在直线的方程；
解：因为边所在直线的斜率为 ,
所以边上的高所在直线的斜率为 ,
所以边上的高所在直线的方程为 ,
即 .
13.（13分）在中，,, ，求下列直线的方程
（用一般式表示）.
（3）边 的垂直平分线所在直线的方程.
解：由已知得，直线的斜率为,边的中点 的坐标为
，所以边的垂直平分线所在直线的斜率为 ，
所以边的垂直平分线所在直线的方程为 ，即
.
13.（13分）在中，,, ，求下列直线的方程
（用一般式表示）.
14.（13分）已知直线与 的交点为
，直线 .
（1）求过点且倾斜角为 的直线的方程；
解：由解得所以 ，
所以过点且倾斜角为 的直线的方程为 ，
即 .
（2）若点关于直线的对称点在轴上，求 的值.
解：由（1）知， ，
设点关于直线的对称点为 ，
则消去，得,
解得，故 的值为 .
14.（13分）已知直线与 的交点为
，直线 .
15.过点与点的直线，过点与点的直线 与
两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则 的值为( )
A. B.3 C. D.6
[解析] 直线的斜率,直线的斜率 ，
由题得，所以，解得 .
√
16.（15分）［2024·浙江杭州高二期中］ 如图，已知正方形 的
边长是，顶点是平面直角坐标系的原点，顶点，分别在轴和
轴上，为边上的一个动点，且，，当点 从
点运动到点时，可知点 始终在某函数的图象上运动，判断其函
数图象的形状.
解：由题可知点的坐标是 ，
设点的坐标是，点 的坐标是 ，
， ， .
， ，
.
把①代入②得 ，整理得 ，
，， ，又， ，
所求函数图象的形状是线段.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√ （4）×
课中探究
例1（1）（2）与不垂直 （3） （4）
变式（1）两条直线不垂直
（2）当或时，，当且时，与不垂直
例2（1）B （2）C 变式（1）>或或
（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形
例3（1） （2）m>（3） 变式 A
课堂评价 1.B 2.A 3.D 4.B 5. m>m>
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.B 2.B 3.A 4.A 5.C 6.A 7.C 8.AD 9.ACD
二、填空题
10.或3 11. 12.
三、解答题
13.（1） （2）（3）m>
14.（1）（2）
思维探索 15.B 16. 线段第2课时 与直线相关的垂直与对称
【课前预习】
知识点
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线才垂直.
(2)由l1⊥l2得α-β=±90°.
(3)由l1⊥l2得a⊥b,因此a·b=0,即1×1+k1×k2=0,故k1k2=-1.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由题意知,直线l1的斜率k1=tan=-,
直线l2的斜率k2==,因为k1k2=-×=-1,所以l1⊥l2.
(2)由题意知,直线l2的斜率k2==-,直线l1的斜率k1=-,因为k1k2=-×=1≠-1,所以l1与l2不垂直.
(3)直线l2的斜率k2=tan α,因为tan 2α=-,所以=-,解得k2=3或k2=-,又因为α为锐角,所以k2=3.直线l1的斜率k1=-,因为k1k2=3×=-1,所以l1⊥l2.
(4)方法一:直线l1的斜率k1==-,直线l2的斜率k2==2,因为k1k2=-1,所以l1⊥l2.
方法二:直线l1的一个方向向量为=(6,-3),直线l2的一个方向向量为=(3,6),因为·=0,所以⊥,所以l1⊥l2.
变式 解:(1)m·n=-11≠0,所以两条直线不垂直.
(2)由题意,直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能存在,可能不存在.
①当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,满足l1⊥l2.
②当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,则k1==,k2==.
若l1⊥l2,则k1k2=-1,即·=-1,可得a=0.
综上所述,当a=0或a=5时,l1⊥l2,当a≠0且a≠5时,l1与l2不垂直.
探究点二
例2 (1)B (2)C [解析] (1)∵直线x+y=0的斜率为-1,∴所求直线的斜率为1,故所求直线方程为y-(-2)=x,即x-y-2=0.故选B.
(2)∵l1⊥l2,∴a+a(a+2)=0,解得a=0或a=-3.故选C.
变式 解:(1)由题意得kAB==-,kAC==1,kBC==-2,设D(a,b).若四边形ABCD是平行四边形,则kCD=kAB,kAD=kBC,即解得则D(-1,6).
若四边形ABDC是平行四边形,则kCD=kAB,kBD=kAC,
即解得则D(7,2).
若四边形ACBD是平行四边形,则kBD=kAC,kBC=kAD,
即解得则D(3,-2).
综上,点D的坐标为(-1,6)或(7,2)或(3,-2).
(2)若点D的坐标为(-1,6),因为kAC=1,kBD==-1,所以kAC·kBD=-1,所以AC⊥BD,
所以平行四边形ABCD为菱形.
若点D的坐标为(7,2),因为kBC=-2,kAD==0,
所以kBC·kAD=0≠-1,所以平行四边形ABDC不是菱形.
若点D的坐标为(3,-2),因为kAB=-,直线CD的斜率不存在,所以平行四边形ACBD不是菱形.
综上,平行四边形ABCD为菱形,平行四边形ABDC,ACBD不是菱形.
探究点三
例3 解:(1)设A'(x,y),则解得所以A'.
(2)在直线m上取一点M(2,0),则点M关于直线l的对称点在m'上.设对称点为M'(a,b),
则解得所以M'.设m与l的交点为N,由可得N(4,3),又因为m'经过点N(4,3),所以由两点式得直线m'的方程为9x-46y+102=0.
(3)设P(x,y)为l'上任意一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P'(-2-x,-4-y),因为点P'在直线l上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0.故直线l'的方程为2x-3y-9=0.
变式 A [解析] 设点B(-2,0)关于直线x+2y=3的对称点为C(x1,y1),则解得则C(0,4),所以|AC|==,故“将军饮马”的总路程最短为.故选A.
【课堂评价】
1.B [解析] 易知直线MN的斜率为0,直线x=0的斜率不存在,所以直线x=0与直线MN垂直.
2.A [解析] 设AB边上的高所在的直线为l,因为kAB==,所以直线l的斜率为-2,又直线l过点C(2,3),所以直线l的方程为y-3=-2(x-2),即2x+y-7=0.故选A.
3.D [解析] 设Q(x,y),则直线PQ⊥l,且线段PQ的中点在l上,即解得所以点Q的坐标为(-3,-1).故选D.
4.B [解析] 当k=2时,直线l1的方程为3=0,显然不成立,故k≠2.因为直线l1与l2垂直,所以(k-2)(k-2)-(2-k)=0,所以k=1.故选B.
5.解:方法一:设P(x,y)为直线l上任意一点,Q(x0,4-2x0)为直线m上一点,且P,Q两点关于直线n:3x+4y-1=0对称,则消去x0,得2x+11y+16=0.故直线l的方程为2x+11y+16=0.
方法二:易知A(2,0),B(0,4)为直线m上的点,设A,B关于直线n的对称点分别为A'(a,b),B'(a',b'),则
解得则A',B',所以kl==-,所以所求直线l的方程为y+=-,即2x+11y+16=0.第2课时 与直线相关的垂直与对称
1.B [解析] 当m=0时,直线l1:x=-4与直线l2:y=2相互垂直;当m≠0时,直线l1的方程可化为y=x+,直线l2的方程可化为y=-x+2,因为-·=-1,所以直线l1与直线l2相互垂直.故选B.
2.B [解析] kAB==,kCD==,kAD==-3,kCB==-,因为kAB=kCD,kAD≠kCB,所以AB∥CD,AD与BC不平行,因为kAD·kAB=-1,所以AD⊥AB,所以四边形ABCD为直角梯形.故选B.
3.A [解析] 因为kAB==-,所以kl=3,又线段AB的中点在直线l上,所以直线l的方程为y-=3,即3x-y+2=0.故选A.
4.A [解析] 要求直线2y-x+1=0关于直线y-x=0对称的直线方程,需用x替换y,用y替换x,可得所求直线方程为2x-y+1=0,即y-2x-1=0.故选A.
5.C [解析] 设l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=0,l3:2mx-3y+12=0,∵l1不垂直于l2,∴l3⊥l1或l3⊥l2.若l3⊥l1,则2×m=-1,解得m=-;若l3⊥l2,则1×m=-1,解得m=-.综上,m=-或m=-.故选C.
6.A [解析] 根据题意不妨设点A与点B关于直线l对称,则点C与点D也关于直线l对称.因为kAB=-,所以直线l的斜率为2,又因为线段AB的中点坐标为(2,1),所以直线l的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.因为CD的中点在直线l上,且kCD=kAB=-,所以解得所以m+n=.故选A.
7.C [解析] 当三角形OAB为直角三角形时,OB⊥BA或OA⊥BA,此时直线l1的斜率k=-1或0.当l1从k=-1顺时针旋转到y轴之间时,三角形OAB为钝角三角形,此时k<-1;当l1从k=0逆时针旋转到与直线l2:y=x平行之间时,三角形OAB为钝角三角形,此时08.AD [解析] 由直线l的一个方向向量为u=(1,-),得直线l的斜率k=-,又直线l经过点(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-(x-1),即y=-x+-2.设直线l的倾斜角为α,则k=tan α=-,所以直线l的倾斜角为120°,故A正确;当y=0时,x=1-,故B错误;-×=-3≠-1,故C错误;-=-且-2≠2,故D正确.故选AD.
9.ACD [解析] 对于A,l2:xcos θ-ysin θ=1,l3:xsin θ+ycos θ=1,∵cos θsin θ+(-sin θcos θ)=0,∴对任意的θ∈R,l2⊥l3恒成立,故A正确;对于B,l1:xcos θ+ysin θ=1,l4:xsin θ-ycos θ=1,∵cos θ(-cos θ)-sin θsin θ=-1≠0,∴对任意θ∈R,l1∥l4不成立,故B错误;对于C,l1:xcos θ+ysin θ=1,l3:xsin θ+ycos θ=1,当θ=时,cos θsin θ+sin θcos θ=0,则l1⊥l3,故C正确;对于D,l2:xcos θ-ysin θ=1,l4:xsin θ-ycos θ=1,当θ=时,cos θ(-cos θ)-sin θ(-sin θ)=sin2θ-cos2θ=0,且-1×(-sin θ)-(-cos θ)×(-1)=≠0,则l2∥l4,故D正确.故选ACD.
10.-1或3 [解析] 由题意得a(a-2)+1×(-3)=0,即a2-2a-3=0,解得a=-1或3.
11.x-y+1=0 [解析] 由题得kAB==-1,线段AB的中点的坐标为,因为点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,所以kl=1,所以直线l的方程为y-=x-,即x-y+1=0.
[点拨] 本题已知对称关系求解对称轴,可以采用逆向思维,同样满足对称点所在直线与对称轴垂直,对称的两个点的中点在对称轴上.
12. [解析] ∵直线BH所在直线方程为2x-y-8=0,∴kBH=2,∵AC⊥BH,∴kAC=-,∴直线AC的方程为y-4=-(x-1),即x+2y-9=0.由解得∴A(7,1).∵角A的平分线AD所在直线的方程为y-1=0,∴kAB=-kAC=,∴直线AB的方程为y-1=(x-7),即x-2y-5=0.由解得∴点B的坐标为.
13.解:(1)由已知得,边AB的中点E的坐标为,则边AB上的中线所在直线的方程为=,即x-10y+30=0.
(2)因为边BC所在直线的斜率为=,
所以边BC上的高所在直线的斜率为-,
所以边BC上的高所在直线的方程为y=-(x-4),
即3x+2y-12=0.
(3)由已知得,直线AC的斜率为=-,边AC的中点F的坐标为,
所以边AC的垂直平分线所在直线的斜率为,
所以边AC的垂直平分线所在直线的方程为y-=(x-2),即8x-6y-7=0.
14.解:(1)由解得所以P(1,3),
所以过点P且倾斜角为135°的直线的方程为y-3=-1×(x-1),即x+y-4=0.
(2)由(1)知,P(1,3),
设点P关于直线l3的对称点为Q(m,0),
则消去m,得3k2+2k-3=0,解得k=,故k的值为.
15.B [解析] 直线l1的斜率k1==-,直线l2的斜率k2==k,由题得l1⊥l2,所以×k=-1,解得k=3.
16.解:由题可知点B的坐标是(a,a),
设点Q的坐标是(x,y),点P的坐标是(b,0)(0≤b≤a),
∵PQ⊥BP,∴×=-1,∴(x-b)2=①.
∵|PQ|=|BP|,∴=,∴(x-b)2+y2=(a-b)2+a2②.
把①代入②得+y2=(a-b)2+a2,整理得y2=(a-b)2,
∵y>0,b≤a,∴y=a-b,又0≤b≤a,∴0≤y≤a,
∴所求函数图象的形状是线段.第2课时 与直线相关的垂直与对称
【学习目标】
1.掌握两条直线垂直的判定方法;
2.会判定两条直线的位置关系.
◆ 知识点 两条直线垂直
(1)由斜截式方程判断
若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2 k1k2=-1.
(2)由一般式方程判断
设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.因为v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量,v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量,如图所示,则l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直. ( )
(2)已知直线l1的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为β,若l1⊥l2,则α-β=90°. ( )
(3)已知直线l1,l2的一个方向向量分别为a=(1,k1),b=(1,k2),若l1⊥l2,则a·b=0,从而k1k2=-1. ( )
(4)若两条直线垂直,则它们的斜率之积必为-1. ( )
◆ 探究点一 两条直线垂直的判定
例1 判断下列直线l1与l2是否垂直.
(1)l1的倾斜角为,l2经过M(-4,-),N(5,2)两点;
(2)l1的斜率为-,l2经过P(3,-2),Q(-6,4)两点;
(3)l1的斜率为-,l2的倾斜角为α,α为锐角,且tan 2α=-;
(4)l1经过A(-1,2),B(5,-1)两点,l2经过C(1,0),D(4,6)两点.
变式 [2024·云南大理高二期中] 判断下列两直线是否垂直.
(1)直线l1的一个法向量为m=(-1,3),直线l2的一个法向量为n=(2,-3).
(2)l1经过A(3,a),B(a-2,3)两点,l2经过C(2,3),D(-1,a-2)两点.
[素养小结]
两条直线垂直的判定:
(1)一看:就是看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在;再看另一条直线上的两点的纵坐标是否相等,若相等,则垂直,若不相等,则进行第二步.
(2)二代:就是将点的坐标代入斜率公式.
(3)求值:计算斜率的值,进行判断,尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式要对参数进行讨论.
◆ 探究点二 两条直线垂直关系的应用
例2 (1)过点(0,-2)且与直线x+y=0垂直的直线方程为 ( )
A.x+y-2=0 B.x-y-2=0
C.x+y+2=0 D.x-y+2=0
(2)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,若l1⊥l2,则实数a的值是 ( )
A.0 B.2或-1
C.0或-3 D.-3
变式 已知A(1,2),B(5,0),C(3,4).
(1)若A,B,C,D可以构成平行四边形,求点D的坐标;
(2)在(1)的条件下,判断A,B,C,D构成的平行四边形是否为菱形.
[素养小结]
(1)与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0(m为参数).
(2)与直线y=kx+m垂直的直线方程可设为y=-x+n(k≠0).
(3)利用直线的斜率判定平面图形的形状时,一般先由图形作出猜测,然后利用直线的斜率关系进行判定.
(4)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时,首先要考虑到图形可能出现的各种情形,其次在运算时既要考虑运算对象,又要考虑斜率是否存在.
◆ 探究点三 与直线相关的对称问题
例3 [2025·湖北随州高二期末] 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标;
(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m'的方程;
(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l'的方程.
变式 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为B(-2,0),若将军从山脚下的点A处出发,河岸线所在的直线方程为x+2y=3,则“将军饮马”的总路程最短为 ( )
A. B.5
C. D.
[素养小结]
有关对称问题的两种主要类型
(1)中心对称.
①点P(x,y)关于点O(a,b)的对称点P'(x',y')满足
②直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称.
①若点E(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点为E'(m,n),则
②直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决.
1.已知M(0,2),N(-2,2),则直线MN与直线x=0的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.重合 D.相交
2.[2024·湖北武汉高二期中] 在△ABC中,A(3,2),B(1,1),C(2,3),则AB边上的高所在的直线方程是 ( )
A.2x+y-7=0 B.2x-y-1=0
C.x+2y-8=0 D.x-2y+4=0
3.已知点P(2,4)与点Q关于直线l:y=-x+1对称,则点Q的坐标为 ( )
A.(-1,-2) B.(-1,-3)
C.(2,0) D.(-3,-1)
4.已知直线l1:(k-2)x+(2-k)y+3=0与直线l2:(k-2)x-y+1=0垂直,则k= ( )
A.2或1 B.1
C.2 D.2或-1
5.[2024·河南商丘高二期中] 求直线m:2x+y-4=0关于直线n:3x+4y-1=0对称的直线l的方程.第2课时 与直线相关的垂直与对称
一、选择题
1.[2024·陕西咸阳高二期中] 直线l1:2x-my+8=0和直线l2:mx+2y-4=0(m∈R)的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.重合
2.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所构成的图形是 ( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形 D.以上都不对
3.[2025·江苏宿迁高二期中] 已知点A(2,3)与点B(-1,4)关于直线l对称,则直线l的方程为( )
A.3x-y+2=0 B.x+3y+2=0
C.x+3y-2=0 D.3x-y-2=0
4.直线2y-x+1=0关于直线y-x=0对称的直线方程为 ( )
A.y-2x-1=0 B.y+2x-1=0
C.y+2x+1=0 D.2y+x+1=0
5.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0能围成一个直角三角形,则m= ( )
A.- B.-
C.-或- D.或-
6.将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次,使得点A(0,2)与点B(4,0)重合,若此时点C(7,3)与点D(m,n)也重合,则m+n的值为 ( )
A. B.
C. D.
7.[2024·重庆万州区高二期中] 已知直线l1过点A(0,1),直线l1与直线l2:y=x的交点B在第一象限,点O为坐标原点.若三角形OAB为钝角三角形,则直线l1的斜率的取值范围是( )
A.(-∞,-1]
B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.(-∞,-1)∪(0,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
8.(多选题)已知直线l的一个方向向量为u=(1,-),且直线l经过点(1,-2),则下列结论正确的有 ( )
A.直线l的倾斜角为120°
B.直线l与x轴的交点坐标为
C.直线l与直线y=x+2垂直
D.直线l与直线y=-x+2平行
9.(多选题)[2025·辽宁大连高二期中] 已知直线l1:xcos θ+ysin θ=1,直线l2:xcos θ-ysin θ=1,直线l3:xsin θ+ycos θ=1,直线l4:xsin θ-ycos θ=1,则下列说法正确的是 ( )
A.对任意的θ∈R,l2⊥l3恒成立
B.对任意的θ∈R,l1∥l4恒成立
C.存在θ∈R,使得l1⊥l3成立
D.存在θ∈R,使得l2∥l4成立
二、填空题
10.已知直线ax+y-a+1=0与直线(a-2)x-3y+a=0垂直,则a= .
★11.如果平面直角坐标系中的两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为 .
12.在△ABC中,C(1,4),角A的平分线AD所在直线的方程为y-1=0,AC边上的高BH所在直线的方程为2x-y-8=0.则点B的坐标为 .
三、解答题
13.(13分)在△ABC中,A(4,0),B(6,7),C(0,3),求下列直线的方程(用一般式表示).
(1)边AB上的中线所在直线的方程;
(2)边BC上的高所在直线的方程;
(3)边AC的垂直平分线所在直线的方程.
14.(13分)已知直线l1:x-y+2=0与l2:2x-y+1=0的交点为P,直线l3:y=kx.
(1)求过点P且倾斜角为135°的直线的方程;
(2)若点P关于直线l3的对称点在x轴上,求k的值.
15.过点与点(7,0)的直线l1,过点(2,1)与点(3,k+1)的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则k的值为 ( )
A.-3 B.3
C.-6 D.6
16.(15分)[2024·浙江杭州高二期中] 如图,已知正方形OABC的边长是a,顶点O是平面直角坐标系的原点,顶点A,C分别在y轴和x轴上,P为边OC上的一个动点,且BP⊥PQ,|BP|=|PQ|,当点P从点C运动到点O时,可知点Q始终在某函数的图象上运动,判断其函数图象的形状.
