(共75张PPT)
2.2 直线及其方程
2.2.4 点到直线的距离
探究点一 点到直线的距离公式的应用
探究点二 平行线间距离公式的应用
探究点三 距离公式的应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题;
2.会求两条平行直线间的距离;
3.了解点到直线的距离公式的推导.
知识点一 点到直线的距离
1.定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的______所得
________的长度．
2.公式：点到直线的距离 _ __________.
垂线
垂线段
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离.( )
√
（2）点到直线的距离为 .( )
×
[解析] 直线方程化为一般式为，则点 到直线
的距离为 .
（3）直线外一点与直线上任意一点距离的最小值就是点到直线的距
离.( )
√
[解析] 由直线外一点与直线上任意一点的连线中垂线段最短，且点
到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离，可知正确.
（4）设，向量是直线 的一个法向量，
是直线上任意一点，则点到直线的距离可以表示为 .
( )
√
2.如何求出点到垂直于 轴的直线的距离 点到直线的距离公
式适合吗
解：设垂直于轴的直线为，则点到直线 的距离
，点到直线的距离公式适合.
知识点二 两条平行直线间的距离公式
1.定义:两条平行线之间的距离等于其中一条直线上__________到另
一条直线的距离．
任意一点
2.求法: 转化为点到直线的距离.
3.公式:两条平行直线与 之间
的距离_______，不全为0， .
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）连接两条平行直线上任意两点,所得线段的长度即为两平行线间
的距离.( )
×
[解析] 两平行直线间的距离是两平行直线间的公垂线段的长度,并不
是两平行直线上各取一点这两点间的距离,故不正确.
（2）直线上有，， 三点，那
么点，，到直线 的距离相等.( )
√
[解析] 因为直线与直线平行，所以点，，到直线 的距离相等.
（3）两平行线间的距离是一条直线上任意一点到另一条直线的距离，
也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.( )
√
[解析] 由两平行线间距离的定义知正确.
（4）已知，且两平行直线间的距离为，若点, 分别是直线
,上的点，则 .( )
√
2.当两条直线都与轴或 轴垂直时,两条平行直线间的距离公式如何
表示
解：①当两条直线都与轴垂直时,若,, ，则
两直线间的距离 ;
②当两条直线都与轴垂直时,若,, ，则两直
线间的距离 .
探究点一 点到直线的距离公式的应用
例1（1）点到直线 的距离为__.
[解析] 点到直线的距离为 .
（2）点到直线 的距离为_____.
[解析] 点到直线的距离为 .
（3）过点且与点和点的距离相等的直线 的方程
是_______________________________.
或
[解析] 方法一:当过点的直线的斜率不存在时，直线 的方程为
，此时直线与，两点的距离不相等，故 不
符合题意.
当过点的直线的斜率存在时，设 的方程为，
即.
由点和点 到直线的距离相等，得，
解得或 ，
此时直线的方程为或 ，
即或.
综上所述，直线 的方程为或 .
方法二：由题意，直线经过点和点 的中点，或与点
和点所在直线平行.
若直线经过点和点 的中点，
则直线的斜率为，故直线 的方程为，
即；
若直线与点 和点所在直线平行,则直线的斜率为，
故直线 的方程为，即.
综上所述，直线 的方程为或 .
变式 已知中，，，，求 的面积.
解：由题得直线的斜率 ，
所以直线的方程为，即 ，
所以点到直线的距离为 ，
又，所以 的面积为
.
［素养小结］
解此类题目有两种方法：一是利用数形结合的方法,过一定点与两定
点距离相等的直线有两条,根据这两条直线的几何特征可求出其直线
方程；二是求此类问题的一般方法,应用点到直线的距离公式列方程
求解,但设所求直线的方程时,要注意考虑直线的斜率是否存在.
探究点二 平行线间距离公式的应用
例2（1）已知直线与 平行，则
与 间的距离为( )
A. B. C. D.
[解析] 由可得,因为 ，所以
，则两直线间的距离 .故选D.
√
（2）已知直线到两直线和 的
距离相等，则直线 的方程为______________.
[解析] 设直线的方程为 ，由题意得
，解得，故直线的方程为 .
变式（1）［2025·新疆石河子一中高二月考］若两平行直线
与之间的距离是 ，则
( )
A. B.0 C.1 D.
[解析] 因为直线与直线 平行，
所以，所以, ，
又因为这两条平行直线之间的距离为，所以，
解得或 （舍去），所以 .故选B.
√
（2）与直线平行且到直线 的距离为2的直线的
方程为____________________________________.
或
[解析] 方法一：设所求直线的方程为， 两直线
间的距离为2，，解得或 ，故所求直
线的方程为或 ．
方法二：设所求直线的方程为 ，在直线
上取一点，则点到直线
的距离，
由题意得，解得 或，故所求直线的方程为
或 ．
［素养小结］
求两平行线之间的距离一般有两种方法:
（1）转化法:将两平行线之间的距离转化为其中一条直线上的任意
一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此在选点
时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
（2）公式法:直接用公式
,但要注意两直线方程中
,
的系
数必须分别相同.
探究点三 距离公式的应用
例3（1）已知点到直线 的距离的最大值为2，
则实数 的取值范围是_________.
[解析] 因为点到直线 的距离不超过2，所以
，解得，故实数的取值范围是 .
（2）已知，满足，则 的最小值
为____.
[解析] 根据题意，表示直线 上的
点到点的距离，其最小值为点到直线 的
距离 .
变式 ［2025·河南南阳一中高二月考］ 已知直线
,，点和点 分别是直线, 上的动点.
（1）若直线经过原点，且，求直线 的方程；
解：将, 化为一般式
方程，得, ,易知两直线平行，
则两直线之间的距离 .
因为，所以直线 与两直线垂直，
因为,的斜率为，所以，又因为直线经过原点 ，
所以直线的方程为 .
（2）设线段的中点为，求点到原点 的最短距离.
解：因为与平行，所以线段的中点 的轨迹方程为
，即,所以点到原点 的最短距离
即为点到直线 的距离.
因为点到直线的距离为 ，
所以点到原点的最短距离为 .
变式 ［2025·河南南阳一中高二月考］ 已知直线
,，点和点 分别是直线, 上的动点.
［素养小结］
距离公式应用的三种常见类型：
（1）最值问题
①利用对称转化为两点之间的距离问题；
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离；
③利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值.
（2）求参数问题
利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组
求值.
（3）求方程的问题
立足于确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形
式，结合直线的位置关系（平行直线系、垂直直线系及过交点的直
线系），巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.
1.点到直线 的距离是( )
A. B. C.1 D.
[解析] 由点到直线的距离公式可得点到直线 的
距离 .故选A.
√
2.已知点到直线的距离为3，则实数 的值
为( )
A.0 B. C.3 D.0或
[解析] 由点到直线的距离 ，
解得或 .
√
3.已知直线与直线 平行，则它们
之间的距离为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为两直线平行，所以 ，所以两直线方程分别为
和，即 和
，所以两直线之间的距离为 .故选B.
√
4.若两平行直线和之间的距离是 ,
则 的值为____.
[解析] 由两直线平行得，方程 可化为
,应用距离公式得,所以 ,所以
.
5.在直线 上存在一点，该点到原点的距离和到直线
的距离相等，则该点的坐标是________________.
或
[解析] 设所求点的坐标为，则 ,
解得，所以所求点的坐标为或 .
1.求点到直线的距离,首先要把直线方程化成一般式,然后再套用点到
直线的距离公式.要注意几种特殊情况的点到直线的距离:①点
到直线的距离;②点 到直线
的距离 .
例1 已知直线经过直线和的交点，且点
到直线的距离等于，求直线 的方程.
解：由得则直线过点 ，
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，不符合题意；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即
，因为点到直线的距离等于 ，
所以 ，解得或，所以直线的方
程为 或 .
2.求平行线间的距离一般有两种思路:
（1）利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线
上任意一点到另一条直线的距离.
（2）直接用平行线间的距离公式 ,但要注意两直线方程中
, 的系数必须分别相同.
例2 已知的两顶点,在直线上, 的顶点
在直线上.若的面积为2,则 边的长为____.
[解析] 由直线,直线,可知 ,
所以两平行线,间的距离 ,
根据三角形的面积公式得,解得 .
例3 ［2024·甘肃兰州西北师大附中高二期末］已知直线
和直线 .
（1）试判断， 能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离；
解：因为，所以的斜率 ，
，若，则的斜率必存在，所以
且的斜率 .
令，解得或 .
当时，，，此时与 重合，
不符合题意；
当时，，，此时 ，所
以， 能平行，两平行线之间的距离 .
（2）若原点到的距离最大，求此时的直线 的方程.
解：由，得 ，所以直线
过定点 ，
当时，原点到 的距离最大，
此时直线的斜率为0，直线的斜率不存在，所以此时的直线 的
方程为 .
例3 ［2024·甘肃兰州西北师大附中高二期末］已知直线
和直线 .
3.应用距离公式求解最值问题
（1）两点间距离、直线的斜率等的最值问题要注意数形结合；
（2）两条平行直线上的点的距离的最小值为两条平行直线间的距离；
（3）直线外一点到过定点的直线的距离的最大值为 ，最小
值为0.
例4 ［2024·四川遂宁高二期中］已知直线 ，
，直线垂直于，，且垂足分别为， ，若
，，则 的最小值为____________.
[解析] 由直线垂直于，，可设的方程为 .
易知.由得 ，
由 得，又，，
所以
表示动点到定点与 的距离的和，动点
在直线上，
易知点与在直线 两侧，所以
，所以 的最小值为 .
例5 两条互相平行的直线分别过点和 ，并且各自绕
着，旋转，两条平行直线间的距离为 .求：
（1） 的取值范围；
解：显然有 ，
而 ，
故的取值范围为 ．
（2）当 取最大值时两条直线的方程.
解：当取最大值时，两条直线均垂直于 ， ，
所以两条直线的斜率均为 ，
故所求直线的方程分别为， ，
即， .
例5 两条互相平行的直线分别过点和 ，并且各自绕
着，旋转，两条平行直线间的距离为 .求：
练习册
一、选择题
1.［2024·安徽亳州高二期中］已知直线的一个法向量为 ，
且直线经过点，则原点到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得直线的方程为，所以原点 到直线
的距离为 .故选D.
√
2.到直线 的距离为2的直线的方程是( )
A.
B.
C.或
D.或
[解析] 到直线 的距离为2的直线与直线
平行，设所求直线方程为 ，则
，解得或 .故选C.
√
3.［2024·安徽马鞍山二中高二期中］已知， 两点到
直线的距离相等，求 的值( )
A. B. C.或 D.或
[解析] 因为,两点到直线 的距离相
等，所以，即 ，化简得
，解得或 .故选C.
√
4.下列选项中，到直线的距离为 的点的坐标是
( )
A. B. C. D.
[解析] 设到直线的距离为的点的坐标为，则 ，
即或，选项中符合条件的坐标为 .故选C.
√
5.已知直线过直线与直线 的
交点，且点到直线的距离为2，则这样的直线 有( )
A.2条 B.3条 C.1条 D.0条
[解析] 依题意，设经过直线，交点的直线 的方程为
，即
.
由题意得 ，化简得，
解得或，代入得直线 的方程为或，
所以满足条件的直线 有2条.故选A.
√
6.［2024·山东潍坊高二期中］已知入射光线在直线 上,
经过轴反射到直线上,再经过轴反射到直线上.若点是直线 上
一点,则点到直线 的距离为( )
A.6 B.3 C. D.
[解析] 由题易知，,则直线上一点到直线的距离即为与
之间的距离.因为与关于轴对称,所以的方程为 ,
因为与关于轴对称,所以的方程为.则与 之间的距离
,所以点到直线的距离为 .
√
7.［2024·四川内江高二期末］当点 到直线
的距离最大时，其最大值以及此时的直线 的
方程分别为( )
A.； B.；
C.； D.；
√
[解析] 直线的方程 可化为，
由可得所以直线 过定点.
当时，点到直线 的距
离最大，最大值为 .
因为，直线的斜率为，所以此时 ，
解得，所以此时直线的方程为 ，
即 .故选A.
8.（多选题）已知直线过点且点，到直线 的
距离相等，则直线 的方程可以是( )
A. B.
C. D.
[解析] 设所求直线的方程为 ，即，
由题知，解得 或，
故所求直线方程为或 .
故选 .
√
√
9.（多选题）定义点 到直线
的有向距离.已知点 ,到直线的有向距离分别为, ，
给出以下命题，其中为假命题的是( )
A.若，则直线与直线 平行
B.若，则直线与直线 平行
C.若，则直线与直线 垂直
D.若，则直线与直线 相交
√
√
√
[解析] 设点,的坐标分别为,,则 ,
.
对于A，若，则 ,所以
,当 时，,
此时点,都在直线 上,即此时直线与直线 重合，故A为假命题；
对于B，C,由A知，当时，满足，但此时直线
与直线 重合，故B，C均为假命题；
对于D，若 ，则，即
,所以点,分别位于直线的两侧，所以直线与
直线 相交，故D为真命题.故选 .
二、填空题
10.已知直线与 之间的距离小
于1，则 的取值范围是______________.
[解析] 由题易知，因为与 之间的距离小于1，所以
，解得，所以的取值范围为 .
11.已知,,,,且满足, ,则
的最小值为___.
1
[解析] 设点,,直线,直线 .
由题意知点在直线上,点 在直线
上,,
由 ,得 .
★12.若直线被两条平行线与 截
得的线段长为，则直线 的倾斜角是__________.
或
[解析] 如图，两平行线与 之间的距离.
不妨设直线过点，直线 被两平行线截得的线段长
，
由图易知，直线与的夹角为 ，又的倾斜角为 ，
［易错点］ 两条直线的夹角的范围是锐角或直角，本题容易忽略了
直线的位置关系而导致丢解.
所以直线的倾斜角为 或 .
三、解答题
13.（13分）［2025·宁夏银川二中高二期中］ 已知 的三个顶
点是,, .
（1）求边上的中线所在直线 的方程；
解：易知边的中点坐标为 ，
所以直线的方程为，即 .
（2）求 的面积；
解：直线的方程为，即 ，
点到直线的距离 ，
又 ，
所以的面积 .
13.（13分）［2025·宁夏银川二中高二期中］ 已知 的三个顶
点是,, .
（3）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线 的方程.
解：因为点，到直线的距离相等，
所以直线过线段 的中点或与直线 平行.
若直线过线段 的中点，
因为线段的中点为，所以直线 的方程为
，即 ；
13.（13分）［2025·宁夏银川二中高二期中］ 已知 的三个顶
点是,, .
若直线与直线平行，则方程为 ，
即 .
综上，直线的方程为或 .
14.（15分）已知三条直线， ，
，且原点到直线的距离是 .
（1）求 的值.
解：因为原点到直线的距离是 ，
所以，解得 .
（2）若，能否找到一点，使 同时满足下列三个条件：①点
在第一象限；②点到的距离是点到的距离的2倍；③点到
的距离与点到的距离之比为.若能，求点 的坐标；若不能，
请说明理由.
14.（15分）已知三条直线， ，
，且原点到直线的距离是 .
解：若，由（1）得，所以 .
假设存在点 满足题意，
由点到的距离是点到 的距离的2倍，得 ，
即 .
由点到的距离与点到的距离之比为 ，
得，即 ,
由①②可得, .故存在满足题意的点，点的坐标为 .
15.［2025·福建莆田五中高二月考］已知 ，则
的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 设点为直线 上的动点，
，则其几何意义为点到点的距离与点 到点 的距离之和.
√
设点,，则点关于直线 的对称点为点，
所以 ，且 ，
所以 ，当且仅当,, 三点共线时取等号，
所以的最小值为 .故选C.
16.（15分）［2024·云南师大附中高二月考］ 已知 ,
,试在直线上求一点 ,使得:
（1） 最大;
解：因为,在直线的同侧,所以直线与直线 的交点即为所求的点 .
直线的方程为 ,即,
由解得所以所求点 的坐标为 .
（2） 最小.
16.（15分）［2024·云南师大附中高二月考］ 已知 ,
,试在直线上求一点 ,使得:
解：设点关于直线的对称点为 ,
则解得 则,
所以直线的方程为
由解得所以所求点 的坐标为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.垂线 垂线段 2.
【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）√ （4）√ 2. 略
知识点二 1.任意一点 3.
【诊断分析】1.（1）×（2）√（3）√（4）√ 2. 略
课中探究 例1（1）
（2）
（3）
或
变式 例2（1）D （2）
变式（1）B （2）
或
例3（1）
（2）
变式（1） （2）
课堂评价 1.A 2.D 3.B 4. 5.或
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.D 2.C 3.C 4.C 5.A 6.C 7.A 8.AB 9.ABC
二、填空题
10. 11.1 12. 或
三、解答题
13.（1） （2） （3）<m>或
14.（1）
（2）存在满足题意的点
，点
的坐标为
思维探索 15.C 16.（1）（2）>2.2.4 点到直线的距离
【课前预习】
知识点一
1.垂线 垂线段 2.
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)√ [解析] (2)直线方程化为一般式为kx-y+b=0,则点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.
(3)由直线外一点与直线上任意一点的连线中垂线段最短,且点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离,可知正确.
2.解:设垂直于x轴的直线为x=b,则点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|,点到直线的距离公式适合.
知识点二
1.任意一点 3.
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√ [解析] (1)两平行直线间的距离是两平行直线间的公垂线段的长度,并不是两平行直线上各取一点这两点间的距离,故不正确.
(2)因为直线l1与直线l2平行,所以点A,B,C到直线l2的距离相等.
(3)由两平行线间距离的定义知正确.
2.解:①当两条直线都与x轴垂直时,若l1:x=x1,l2:x=x2,x1≠x2,则两直线间的距离d=|x2-x1|;
②当两条直线都与y轴垂直时,若l1:y=y1,l2:y=y2,y1≠y2,则两直线间的距离d=|y2-y1|.
【课中探究】
探究点一
例1 (1) (2)2 (3)4x+y-6=0或3x+2y-7=0 [解析] (1)点Q(-1,2)到直线3x=2的距离为=.
(2)点P(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离为=2.
(3)方法一:当过点 (1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,此时直线l与A(2,3),B(4, -5)两点的距离不相等,故x=1不符合题意.当过点 (1,2)的直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.由点A(2,3)和点B(4,-5)到直线l的距离相等,得=,解得k=-或k=-4,此时直线l的方程为y-2=-4(x-1)或 y-2=-(x-1),即4x+y-6=0或3x+2y-7=0.综上所述,直线l的方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
方法二:由题意,直线l经过点A(2,3)和点B(4,-5)的中点,或与点A(2,3)和点B(4,-5)所在直线平行.若直线l经过点A(2,3)和点B(4,-5)的中点(3,-1),则直线l的斜率为=-,故直线l的方程为y-2=-(x-1),即3x+2y-7=0;若直线l与点A(2,3)和点B(4,-5)所在直线平行,则直线l的斜率为=-4,故直线l的方程为y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0.综上所述,直线l的方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
变式 解:由题得直线AB的斜率k==1,
所以直线AB的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0,
所以点C到直线AB的距离为=,
又|AB|==5,所以△ABC的面积为×5×=.
探究点二
例2 (1)D (2)2x-y+1=0 [解析] (1)由2x-y+1=0可得x-y+=0,因为l1∥l2,所以a=-,则两直线间的距离d==.故选D.
(2)设直线l的方程为2x-y+C=0,由题意得=,解得C=1,故直线l的方程为2x-y+1=0.
变式 (1)B (2)5x-12y+32=0或5x-12y-20=0
[解析] (1)因为直线x+2y+m=0(m>0)与直线x-ny-3=0平行,所以=≠,所以n=-2,m≠-3,又因为这两条平行直线之间的距离为,所以=,解得m=2或m=-8(舍去),所以m+n=0.故选B.
(2)方法一:设所求直线的方程为5x-12y+m=0,∵两直线间的距离为2,∴=2,解得m=32或m=-20,故所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.
方法二:设所求直线的方程为5x-12y+c=0,在直线5x-12y+6=0上取一点P0,则点P0到直线5x-12y+c=0的距离d==,由题意得=2,解得c=32或c=-20,故所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.
探究点三
例3 (1)[-9,-1] (2) [解析] (1)因为点P(2,)到直线x+y+t=0的距离不超过2,所以≤2,解得-9≤t≤-1,故实数t的取值范围是[-9,-1].
(2)根据题意,表示直线x+y-3=0上的点到点(2,-1)的距离,其最小值为点(2,-1)到直线x+y-3=0的距离d==.
变式 解:(1)将l1:3(x-1)+4(y-1)=0,l2:3x+4(y+2)=0化为一般式方程,得l1:3x+4y-7=0,l2:3x+4y+8=0,易知两直线平行,则两直线之间的距离d==3.
因为|AB|=3,所以直线AB与两直线垂直,
因为l1,l2的斜率为-,所以kAB=,又因为直线AB经过原点O,所以直线AB的方程为y=x.
(2)因为l1与l2平行,所以线段AB的中点P的轨迹方程为3x+4y+=0,即3x+4y+=0,所以点P到原点O的最短距离即为点O到直线3x+4y+=0的距离.
因为点O到直线3x+4y+=0的距离为=,所以点P到原点O的最短距离为.
【课堂评价】
1.A [解析] 由点到直线的距离公式可得点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离d==.故选A.
2.D [解析] 由点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离d==3,解得m=0或m=.
3.B [解析] 因为两直线平行,所以m=4,所以两直线方程分别为x+2y-4=0和2x+4y+7=0,即x+2y-4=0和x+2y+=0,所以两直线之间的距离为=.故选B.
4.±1 [解析] 由两直线平行得a=-4,方程3x-2y-1=0可化为6x-4y-2=0,应用距离公式得=,所以|c+2|=4,所以==±1.
5.或 [解析] 设所求点的坐标为(-3a,a),则=,解得a=±,所以所求点的坐标为或.2.2.4 点到直线的距离
1.D [解析] 由题意可得直线l的方程为x-2y-1=0,所以原点O到直线l的距离为=.故选D.
2.C [解析] 到直线3x-4y-1=0的距离为2的直线与直线3x-4y-1=0平行,设所求直线方程为3x-4y+C=0,则=2,解得C=9或C=-11.故选C.
3.C [解析] 因为A(-3,-4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,所以=,即|-3a-3|=|6a+4|,化简得27a2+30a+7=0,解得a=-或a=-.故选C.
4.C [解析] 设到直线l的距离为的点的坐标为(a,b),则=,即a+2b=6或a+2b=-4,选项中符合条件的坐标为(4,1).故选C.
5.A [解析] 依题意,设经过直线l1,l2交点的直线l的方程为2x+3y-8+λ(x-2y+3)=0(λ∈R),即(2+λ)x+(3-2λ)y+3λ-8=0.由题意得=2,化简得5λ2-8λ-36=0,解得λ=-2或λ=,代入得直线l的方程为y=2或4x-3y+2=0,所以满足条件的直线l有2条.故选A.
6.C [解析] 由题易知,l1∥l3,则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离.因为l1与l2关于x轴对称,所以l2的方程为y=-2x+3,因为l2与l3关于y轴对称,所以l3的方程为y=2x+3.则l1与l3之间的距离d==,所以点P到直线l3的距离为.
7.A [解析] 直线l的方程mx+y-m-1=0可化为m(x-1)+y-1=0,由可得所以直线l过定点A(1,1).当AP⊥l时,点P(-2,-1)到直线l:mx+y-m-1=0的距离最大,最大值为|AP|==.因为kAP==,直线l的斜率为-m,所以此时×(-m)=-1,解得m=,所以此时直线l的方程为x+y--1=0,即3x+2y-5=0.故选A.
8.AB [解析] 设所求直线的方程为y-4=k(x-3),即kx-y-3k+4=0,由题知=,解得k=2或k=-,故所求直线方程为2x+3y-18=0或2x-y-2=0.故选AB.
9.ABC [解析] 设点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则d1=,d2=.对于A,若d1-d2=0,则=,所以Ax1+By1+C=Ax2+By2+C,当d1=d2=0时,Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0,此时点P1,P2都在直线l上,即此时直线P1P2与直线l重合,故A为假命题;对于B,C,由A知,当d1=d2=0时,满足d1+d2=0,但此时直线P1P2与直线l重合,故B,C均为假命题;对于D,若d1·d2<0,则·<0,即(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0,所以点P1,P2分别位于直线l的两侧,所以直线P1P2与直线l相交,故D为真命题.故选ABC.
10.(-1,1)∪(1,3) [解析] 由题易知a≠1,因为l1与l2之间的距离小于1,所以<1,解得-1
11.1 [解析] 设点A(m,n),B(a,b),直线l1:3x+4y=6,直线l2:3x+4y=1.由题意知点A(m,n)在直线l1:3x+4y=6上,点B(a,b)在直线l2:3x+4y=1上,|AB|=,由l1∥l2,得|AB|min==1.
12.75°或15° [解析] 如图,两平行线l1与l2之间的距离|AH|==.不妨设直线m过点A,直线m被两平行线截得的线段长|AB|=|AC|=2,由图易知,直线m与l1的夹角为30°,又l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角为30°+45°=75°或45°-30°=15°.
[易错点] 两条直线的夹角的范围是锐角或直角,本题容易忽略了直线的位置关系而导致丢解.
13.解:(1)易知边BC的中点坐标为,
所以直线l1的方程为=,即8x+y-19=0.
(2)直线BC的方程为y-2=·(x-1),即2x+y-4=0,
点A到直线BC的距离d==,
又|BC|==3,
所以△ABC的面积S=×3×=.
(3)因为点A,B到直线l2的距离相等,所以直线l2过线段AB的中点或与直线AB平行.
若直线l2过线段AB的中点,
因为线段AB的中点为,所以直线l2的方程为y+4=·(x-4),即13x+5y-32=0;
若直线l2与直线AB平行,则方程为y+4=·(x-4),即x-y-8=0.
综上,直线l2的方程为13x+5y-32=0或x-y-8=0.
14.解:(1)因为原点到直线l1的距离是,所以=,解得a=±3.
(2)若a>0,由(1)得a=3,所以l1:2x-y+3=0.
假设存在点P(m,n)(m>0,n>0)满足题意,
由点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍,得=2×,
即|4m-2n-1|=|8m-4n+12|①.
由点P到l1的距离与点P到l3的距离之比为∶,
得=,即|2m-n+3|=|m+n-1|②,由①②可得m=,n=.
故存在满足题意的点P,点P的坐标为.
15.C [解析] 设点P(x,y)为直线x+y=0上的动点,+=+,则其几何意义为点P到点(1,1)的距离与点P到点(2,0)的距离之和.设点M(1,1),N(2,0),则点M关于直线x+y=0的对称点为点M'(-1,-1),所以|PM|=|PM'|,且|M'N|==,所以+=|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|M'N|=,当且仅当P,M',N三点共线时取等号,所以+的最小值为.故选C.
16.解:(1)因为A,B在直线l的同侧,所以直线AB与直线l的交点即为所求的点P.
直线AB的方程为=,
即3x-y+8=0,由解得所以所求点P的坐标为(-9,-19).
(2)设点B关于直线l的对称点为B'(m,n),
则解得
则B',所以直线AB'的方程为27x+19y+16=0.
由解得所以所求点P的坐标为.2.2.4 点到直线的距离
【学习目标】
1.掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题;
2.会求两条平行直线间的距离;
3.了解点到直线的距离公式的推导.
◆ 知识点一 点到直线的距离
1.定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的 所得 的长度.
2.公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= .
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离. ( )
(2)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为. ( )
(3)直线外一点与直线上任意一点距离的最小值就是点到直线的距离. ( )
(4)设P(x0,y0),向量v是直线l:Ax+By+C=0的一个法向量,P1是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离d可以表示为d=. ( )
2.如何求出点P(x0,y0)到垂直于x轴的直线的距离 点到直线的距离公式适合吗
◆ 知识点二 两条平行直线间的距离公式
1.定义:两条平行线之间的距离等于其中一条直线上 到另一条直线的距离.
2.求法: 转化为点到直线的距离.
3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d= (A,B不全为0,C1≠C2).
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)连接两条平行直线上任意两点,所得线段的长度即为两平行线间的距离. ( )
(2)直线l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三点,那么点A,B,C到直线l2:x+y+1=0的距离相等. ( )
(3)两平行线间的距离是一条直线上任意一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离. ( )
(4)已知l1∥l2,且两平行直线间的距离为d,若点A,B分别是直线l1,l2上的点,则d≤|AB|.( )
2.当两条直线都与x轴或y轴垂直时,两条平行直线间的距离公式如何表示
◆ 探究点一 点到直线的距离公式的应用
例1 (1)点Q(-1,2)到直线3x=2的距离为 .
(2)点P(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离为 .
(3)过点(1,2)且与点A(2,3)和点B(4,-5)的距离相等的直线l的方程是 .
变式 已知△ABC中,A(-4,-2),B(1,3),C(-5,6),求△ABC的面积.
[素养小结]
解此类题目有两种方法:一是利用数形结合的方法,过一定点与两定点距离相等的直线有两条,根据这两条直线的几何特征可求出其直线方程;二是求此类问题的一般方法,应用点到直线的距离公式列方程求解,但设所求直线的方程时,要注意考虑直线的斜率是否存在.
◆ 探究点二 平行线间距离公式的应用
例2 (1)已知直线l1:x+ay-1=0与l2:2x-y+1=0平行,则l1与l2间的距离为 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知直线l到两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0的距离相等,则直线l的方程为 .
变式 (1)[2025·新疆石河子一中高二月考] 若两平行直线x+2y+m=0(m>0)与x-ny-3=0之间的距离是,则m+n= ( )
A.-1 B.0
C.1 D .
(2)与直线l:5x-12y+6=0平行且到直线l的距离为2的直线的方程为 .
[素养小结]
求两平行线之间的距离一般有两种方法:
(1)转化法:将两平行线之间的距离转化为其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此在选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
(2)公式法:直接用公式d=,但要注意两直线方程中x,y的系数必须分别相同.
◆ 探究点三 距离公式的应用
例3 (1)已知点P(2,)到直线x+y+t=0的距离的最大值为2,则实数t的取值范围是 .
(2)已知x,y满足x+y-3=0,则的最小值为 .
变式 [2025·河南南阳一中高二月考] 已知直线l1:3(x-1)+4(y-1)=0,l2:3x+4(y+2)=0,点A和点B分别是直线l1,l2上的动点.
(1)若直线AB经过原点O,且|AB|=3,求直线AB的方程;
(2)设线段AB的中点为P,求点P到原点O的最短距离.
[素养小结]
距离公式应用的三种常见类型:
(1)最值问题
①利用对称转化为两点之间的距离问题;
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离;
③利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题,通过配方求最值.
(2)求参数问题
利用距离公式建立关于参数的方程或方程组,通过解方程或方程组求值.
(3)求方程的问题
立足于确定直线的几何要素——点和方向,利用直线方程的各种形式,结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系),巧设直线方程,在此基础上借助三种距离公式求解.
1.点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离是 ( )
A. B.
C.1 D.
2.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m的值为 ( )
A.0 B. C.3 D.0或
3.已知直线x+2y-4=0与直线2x+my+m+3=0平行,则它们之间的距离为 ( )
A. B. C. D.
4.若两平行直线3x-2y-1=0和6x+ay+c=0之间的距离是,则的值为 .
5.在直线x+3y=0上存在一点,该点到原点的距离和到直线x+3y+2=0的距离相等,则该点的坐标是 . 2.2.4 点到直线的距离
一、选择题
1.[2024·安徽亳州高二期中] 已知直线l的一个法向量为n=(1,-2),且直线l经过点P(1,0),则原点O到直线l的距离为 ( )
A. B.
C. D.
2.到直线3x-4y-1=0的距离为2的直线的方程是 ( )
A.3x-4y-11=0
B.3x-4y+11=0
C.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0
D.3x-4y+11=0或3x-4y+9=0
3.[2024·安徽马鞍山二中高二期中] 已知A(-3,-4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,求a的值 ( )
A. B.-
C.-或- D.或-
4.下列选项中,到直线l:x+2y-1=0的距离为的点的坐标是 ( )
A.(-1,0) B.(-1,3)
C.(4,1) D.(6,-2)
5.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l有 ( )
A.2条 B.3条
C.1条 D.0条
6.[2024·山东潍坊高二期中] 已知入射光线在直线l1:2x-y=3上,经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上.若点P是直线l1上一点,则点P到直线l3的距离为 ( )
A.6 B.3
C. D.
7.[2024·四川内江高二期末] 当点P(-2,-1)到直线l:mx+y-m-1=0的距离最大时,其最大值以及此时的直线l的方程分别为 ( )
A.;3x+2y-5=0
B.;3x+2y-5=0
C.;2x-3y+1=0
D.;2x-3y+1=0
8.(多选题)已知直线l过点P(3,4)且点A(-2,2),B(4,-2)到直线l的距离相等,则直线l的方程可以是 ( )
A.2x+3y-18=0
B.2x-y-2=0
C.3x-2y+18=0
D.2x-y+2=0
9.(多选题)定义点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的有向距离d=.已知点P1,P2到直线l的有向距离分别为d1,d2,给出以下命题,其中为假命题的是 ( )
A.若d1-d2=0,则直线P1P2与直线l平行
B.若d1+d2=0,则直线P1P2与直线l平行
C.若d1+d2=0,则直线P1P2与直线l垂直
D.若d1·d2<0,则直线P1P2与直线l相交
二、填空题
10.已知直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+a=0之间的距离小于1,则a的取值范围是 .
11.已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则的最小值为 .
★12.若直线m被两条平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0截得的线段长为2,则直线m的倾斜角是 .
三、解答题
13.(13分)[2025·宁夏银川二中高二期中] 已知△ABC的三个顶点是A(2,3),B(1,2),C(4,-4).
(1)求BC边上的中线所在直线l1的方程;
(2)求△ABC的面积;
(3)若直线l2过点C,且点A,B到直线l2的距离相等,求直线l2的方程.
14.(15分)已知三条直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,l3:x+y-1=0,且原点到直线l1的距离是.
(1)求a的值.
(2)若a>0,能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:①点P在第一象限;②点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比为∶.若能,求点P的坐标;若不能,请说明理由.
15.[2025·福建莆田五中高二月考] 已知x+y=0,则+的最小值为 ( )
A. B.2
C. D.2
16.(15分)[2024·云南师大附中高二月考] 已知A(-2,2),B(-3,-1),试在直线l:2x-y-1=0上求一点P,使得:
(1)||PA|-|PB||最大;
(2)|PA|+|PB|最小.
