【新情境·新趋势】北师大版（2012）初中数学九年级上册第五章 投影与视图 情境模拟卷（含解析）

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初三数学上册第五章模拟卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（新情境试题·生活应用型）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（ ）
A．始终不变 B．由长逐渐变短
C．由短逐渐变长 D．先变短后变长
2．（新情境试题·学科交叉型）下列投影是平行投影的是（　　）
A．孙敬“悬梁”在灯下读书的影子
B．朱买臣“负薪”在日光下读书的影子
C．车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子
D．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子
3．如图是由几个小立方块所搭成的几何体，那么这个几何体的主视图是（ ）．
A． B． C． D．
4．下列几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A．圆锥 B．长方体
C．圆柱 D．正方体
5．如图，这是一个几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（新情境试题·生活应用型）在同一时刻、同一地点，甲、乙两根竿子垂直于地面置于阳光之下，看到它们的影长相等，那么这两根竿子的长度关系为（ ）
A．无法确定 B．甲竿比乙竿长
C．甲竿比乙竿短 D．甲、乙两竿一样长
7．如图是几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．下列投影中，是正投影的是 （填序号）．
10．如图是10个棱长为a的正方体摆放成的图形，则这个图形的表面积为
11．（新情境试题·生活应用型）如图所示是小红在某天四个时刻看到一个棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是 ．
12．一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，根据图形可以判断组成这个几何体最多需要m个小正方体，最少需要n个小正方体，则 ．
13．（新情境试题·生活应用型）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ．
三、解答题（本题共13小题，共81分。其中：14-20每题5分，21题每题6分，22-23题每题7分，24-25题每题8分，26题10分）。
14．（新情境试题·生活应用型）某一时刻，一棵树在阳光下的影子如图所示，同一时刻，小丽站在A处，树和小丽均垂直于地面．请画出图中此时表示小丽影长的线段．
15．（新情境试题·生活应用型）根据要求画出图形：如图，一根木棒竖直立在地面上，请你画出它在灯光下的影子．
16．（新情境试题·生活应用型）如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．

(1)请你在图中画出此时在阳光下的投影．
(2)根据题中信息，求出立柱的长．
17．如图所示的是由7个同样大小的小正方体（小正方体的棱长均为1）摆成的几何体，请你借助下面的虚线网格（网格中小正方形的边长均为1）画出该几何体的三视图．
18．如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，请你画出它的主视图和左视图．
19．（新情境试题·生活应用型）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示．求该工件的体积．
20．把个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按图中的方式拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积
21．（新情境试题·生活应用型）如图，公路旁有两个高度相等的路灯．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯的底部C处．晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处．
(1)在图中画出小明的位置（用线段表示），并画出光线，标明太阳光、灯光．
(2)若上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为，他离里程碑E恰好，求路灯高．
22．（新情境试题·生活应用型）张师傅根据某直三棱柱零件（如图1），按的比例画出准确的三视图如图2．已知中，，，，．

(1)求的长．
(2)求出这个直三棱柱的体积．
23．（新情境试题·生活应用型）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上．
(1)请在图中画出路灯灯泡P的位置；
(2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息：
①求与四边形的面积比．
②求灯泡P距离地面的高度．
24．（新情境试题·综合与实践）综合与实践 主题：利用投影生成轴对称图形．
素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）．
操作与探究：
(1)分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线）
(2)在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明；
(3)在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度．
25．（新情境试题·实验探究型）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线．
(1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义．
(2)路灯的高度是____________m．
(3)设的坡角为．
①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度．
②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
26．（新情境试题·实验探究型）小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）．
问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 　 　个小立方体组成．
探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 　 　个长方体．
探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 　 　个长方体．
探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 　 　个长方体．
探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 　 　个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 　 　．
答案解析部分
1．D
【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长．
【详解】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，
所以他在地上的影子先变短后变长．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查平行投影与中心投影的区分．平行投影的光源为平行光线（如日光），而中心投影的光源为点光源（如灯光、萤火虫光）．
根据平行投影的定义判断即可．
【详解】A．灯是点光源，光线发散，形成中心投影；
B．太阳光近似平行光线，形成平行投影；
C．萤火虫为点光源，光线发散，形成中心投影；
D．灯光为点光源，光线发散，形成中心投影；
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查了组合体的三视图，根据主视图是从正面看求解即可．
【详解】解：从正面看可知，由三列小正方体，从左边看第一列有1块小正方体，第二列有3块小正方体，第三列有2块小正方体，
故选:D.
4．D
【分析】本题考查的是简单几何体的三视图，根据圆锥，长方体，圆柱，正方体的三视图进行判断即可．
【详解】解：A、圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角形，但是俯视图是一个圆形（含圆心），故本选项不符合题意；
B、长方体的主视图和左视图、俯视图都是长方形，但是长方形不一定相同，故本选项不符合题意．
C、圆柱的主视图和左视图都是长方形，但俯视图也是一个圆形，故本选项不符合题意；
D、正方体的主视图和左视图、俯视图都是大小一样的正方形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线．
根据俯视图是从上面看到的图形且能看到的线画实线，看不到的线画虚线，据此即可解答．
【详解】解：该几何体的俯视图是
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了平行投影特点，平行投影的特点是：在同一时刻、同一地点，不同物体的物高和影长成比例．再判断甲、乙两竿平行，再根据平行投影的特点可得答案．
【详解】解：因为在同一时刻，太阳光线可以看作是平行的，所以任何物体的高度与其影长之比都相等，
设甲、乙两竿的长度分别为、，影长分别为、，
则有，
又因为它们的影长相等，即，
所以，故甲、乙两竿一样长．
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了根据三视图还原几何体．
根据俯视图得出小立方块的行列分布，再根据数字即可得出主视图．
【详解】由俯视图可知，几何体有三列，第一列只有第一行有一个，第二列有二行，每行均有二个，第三列只有第二行有一个，
即这个几何体的主视图是，
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了简单组合体三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
【详解】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有1个正方形.
故选：A.
9．
【分析】本题考查了投影的概念和分类，即“一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面；包括正投影和斜投影两类。熟练掌握其概念和分类是解题的关键.
【详解】解：根据正投影的定义“ 投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”可知
是正投影
故答案为： ．
10．
【分析】本题考查了几何体的表面积，认识立体图形，熟练掌握这个组合体的三种视图是解题的关键．
根据这个组合体的三种视图解答即可求得．
【详解】解：每个小正方体的1个面的面积为，
正面有6个正方形，面积为：，
上面有6个正方形，面积为：，
左面有6个正方形，面积为：，
∴整个几何体的表面积为：，
故答案为：．
11．②①④③
【分析】本题考查了平行投影的特点和规律，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据平行投影中影子的变化规律可知先后顺序．
【详解】解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：影长由长变短再变长．
故答案为：②①④③ ．
12．
【分析】本题考查了三视图还原几何体，以及代数式求值，掌握俯视图确定位置，左视图确定个数是解题关键．由俯视图和左视图可知，这个几何体第一层有4个小正方体，第二层最多有4个小正方体，最少有2个小正方体，求出、的值，再代入计算即可．
【详解】解：由俯视图和左视图可知，这个几何体第一层有4个小正方体，第二层最多有4个小正方体，最少有2个小正方体，
则，，
所以，
故答案为：．
13．80
【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，证明，推出，构建方程求出EF即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：80．
14．见详解
【分析】本题考查平行投影，掌握相关知识是解题关键．根据树顶端与树影顶端确定光线方向，利用太阳光线都是平行的性质画出过小丽头部顶端的光线，则其影子即可得．
【详解】解：连接树顶端与树影顶端，过小丽头部顶端E作交直线于点B，则线段即为所求．
15．见解析
【分析】本题主要考查中心投影的应用，通过理解中心投影的原理，即从同一点(点光源)发出的光线形成的投影，来画出木棒在灯光下的影子．
根据木棒把光线挡住，照不到的地方形成影子，即可作出图形．
【详解】解：如图，线段即为所求：
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了投影作图与相似三角形的判定与性质，熟记相关几何结论是解题关键．
（1）连接，过D作即可完成作图；
（2）证，根据对应线段成比例即可求解．
【详解】（1）解：连接，过D作交延长线于F，
如图，即为在阳光下的投影：

（2）解：∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴
解得：，
17．见解析
【分析】根据三视图的定义画出图形即可.
【详解】解：由题意可知，几何体的三视图如图所示．
【点睛】此题考查了作图——三视图，解题关键是理解三视图的定义．
18．见解析
【分析】主视图有有4列，每列小正方形的数目分别是1，2 ，3，2，左视图有两列，每列小正方形的个数分别是3，2，根据此画出图形即可．
【详解】
解：如图所示：．
【点睛】本题考查了三视图的知识，解题关键在于画几何体的三视图时应注意小正方体的数目及位置．
19．
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆柱体体积的计算，正确得到几何体的形状是解题关键．
根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和，利用圆柱体体积的计算公式即可求解．
【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，
底面直径分别是和，
高分别是和，
体积为：．
答：该工件的体积是．
20．平方厘米
【分析】本题考查了几何体的表面积，简单组合体的三视图，解题关键是明确三视图的意义．
根据三视图可得，从左边看有8个面，右边8个面，前边个面，后边个面，上面看9个面，下面9个面，共个面，表面积就是平方厘米．
【详解】解：每个小正方体一个面的面积是（平方厘米），
三视图如图：
∴表面积是：（平方厘米）．
答：这个立体图形的表面积是平方厘米．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题综合考查了相似三角形的判定和性质的运用，掌握平行投影的光线是平行的是解题的关键．
（1）根据题意画出图形，即可求解；
（2）证明，即可求解．
【详解】（1）解：如图．
（2）解：∵上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为，
∴小明的影长为．
∵，，
∴，
∴，，
∴．
∴，
即，
解得：．
即路灯高．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三棱柱的三视图及三棱柱的体积计算：
（1）过点E作于点H，则根据题意可得出，然后由勾股定理计算即可得出答案；
（2）根据三棱柱的体积等于底面积乘以棱柱的高进行计算即可．
【详解】（1）解：过点E作于点H，如图．
在中，，，
所以可设．
根据勾股定理，得，解得，
∴，
由三视图，可知．
（2）解：直三棱柱的体积为．
23．(1)作图见解析
(2)①；②米
【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据熟练掌握中心投影的定义，相似三角形判定与性质解题关键．
（1）连接、并延长，相交于点，则点即是灯泡的位置；
（2）①先证明四边形是矩形，得出，，证明，得出相似比，再利用相似三角形的性质即可求解；
②过作，则即是灯泡距离地面的高度，利用，得出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接、并延长，相交于点，
则点即是灯泡的位置；
（2）解：①∵，，
∴，
∵米，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵（米），
∴相似比为，
∴，
∴；
②如图，过作，则即是灯泡距离地面的高度，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（米），
答：灯泡距离地面的高度是米．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)路灯距地面高度为米
【分析】（1）分别根据平行投影和中心投影作图即可；
（2）过点作交于点，证明四边形为平行四边形可得，即可证明；
（3）由题意可知，，三点在同一直线上，且，过点作于点，于点，可知四边形是矩形，根据轴对称图形得到米，证明，进而求出，求出的长即可.
【详解】（1）解：如图，线段与线段为所求作图形；
（2）证明：如图，过点作交于点．
则，
依题意
四边形为平行四边形．
米，
又米，
，
，即
（3）解：如图，路灯在点正上方．
，，三点在同一直线上，且，
过点作于点，于点，
则四边形是矩形．
米，米
米，米．
四边形是轴对称图形，
（米）．
，
米
（米）
答：路灯距地面高度为米.
【点睛】本题考查了投影作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键.
25．(1)横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处
(2)6
(3)①线段的倾斜程度更大；②
【分析】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处；
（2）根据题意列出方程，求得路灯的高度是；
（3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可；
②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小．
本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：，
横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处．
（2）解：由题意得：，
解得：，
∴路灯的高度是，
故答案为：6．
（3）①解：∵，设直线的解析式为，
把代入，得，
∴．
为小明在坡上任意一点，
∴此时m，影长m，m，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
∴线段的倾斜程度更大；
②如图，
：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，则，
：小明走到灯下处，到达，则，
对应图2中曲线的起点，，表示小明的高度，
设，其中，，表示小明在间，影长，
依题意，，则
∴
又∵，
∴
∴，
∴，
同理可得
∴
由（2）可得，，
即
∴
∴
设，其中，
当接近时，，则，则随的增大而增大
当接近时，，则，则随的增大而减小，
当取不同的值时，可能出现随的增大先减小后增大．
综上所述，当取不同的值时，可能出现的情况，
故答案为：．
26．探究一：6，20；探究二：18；探究三：；探究四：；探究五：72，124或142或158或164
【分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，由此求解即可；
探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
探究三：该几何体共有个a×b×c小立方体组成，该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段，由此求解即可；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体；
探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示求解即可．保留底层24个正方体不变，再将每4个一组共6组正方体的摆放顺序进行变化，分类讨论即可.
【详解】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体，
∵有1个小正方体组成的几何体有个长方体，有2个小正方体组成的几何体有个长方体，有3个小正方体组成的几何体有个长方体．．．．．．
∴可以得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，
∴，即，
解得或（舍去），
故答案为：6，20；
探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，
图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
故答案为：18；
探究三：∵该几何体共有个a×b×c小立方体组成，
∴该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段，
∴图1中一共包含个长方体，
故答案为：；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体；
探究五：∵拿走前后的三视图需要一样，
∴只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可， 如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方体，此时一共有48个小正方体，即为所求，
∴一共最多可以拿走6×5×4-48=72个小正方体，
①当剩下正方体按如下俯视图摆放时，
表面积为：6×5×2+（3+5）×2+6×4×2=124
②当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加16，表面积为124+16=142
③同理，当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加32，表面积为124+32=158
④当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加40，表面积为124+40=164
故答案为：124或142或158或164
【点睛】本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意．