【新情境·新趋势】北师大版（2012）初中数学九年级上册第四章 图形的相似 情境模拟卷（含解析）

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初三数学上册第四章模拟卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．如图，若，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，直线，直线、与、、分别交于点、、，、、，若，，，则的长为（ ）．
A．7 B． C．8 D．
3．平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，在中，，，，则（ ）
A．15 B．20 C．25 D．45
5．若，则下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在平行四边形中，E是延长线上一点，交于点F，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，G是的重心，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．15 B．25 C．20 D．10
8．（新情境试题·学科交叉型）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是 ．
10．若，则分式 ．
11．如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使恰好经过点，则的长为 ．
12．（新情境试题·生活应用型）小玲很想知道法门寺合十舍利塔的高度，于是，她带着测量工具来到合十舍利塔进行测量．测量方案如下：如图，首先，小玲在点C处放置一平面镜，她从点C处沿后退，当后退到点E处时，恰好在镜子中看到塔顶A的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为；然后，小玲沿的延长线继续后退到点G处，用测倾器测得舍利塔的顶端A的仰角为，此时，测得，测倾器的高度．已知点在同一水平直线上，且均垂直于，则合十舍利塔的高度为 m．
13．（新情境试题·学科交叉型）黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）．
三、解答题（本题共13小题，共81分。其中：14-20每题5分，21题每题6分，22-23题每题7分，24-25题每题8分，26题10分）。
14．如图，在网格图中，已知和点．
(1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2；
(2)写出各顶点的坐标．
15．（1）已知，求的值．
（2）已知，求证：．
16．如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：．
17．如图，在中，在边上，连接，，，，求证：．
18．如图，在中，点分别在边上，，为边上的一点（不与点重合），连接，交于点．求证：．
19．如图，，B是线段AD上的一点，且．求证：．
20．（新情境试题·生活应用型）某学校兴趣小组测量学校旗杆的高度，如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，．且，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，该同学身高米，点到旗杆底部的水平距离为米，求旗杆的高度．
21．（新情境试题·生活应用型）如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，．
(1)若，则 ；
(2)求这栋楼的高度．
22．如图2，在中，，点在边的延长线上，且．
(1)求的值；
(2)在图2的基础上作的平分线，交线段于点，交线段于点（如图3）．
①求的度数；
②当时，求线段的长．
23．（新情境试题·生活应用型）如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.6米，两个路灯的高度都是8米，且．
(1)求两个路灯之间的距离；
(2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？
24．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒．
(1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？
(2)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
25．如图1，已知中，顶点、在直线右侧，满足．
(1)求证：；
(2)连接，求的值；
(3)如图2，过点作于点交边于点．当，且点在线段延长线上时，求的长．
26．（新情境试题·综合与实践）【问题提出】
（1）如图①，在中，D为边延长线上的点，过点D作交延长线于点E．若，，求的长．
【学以致用】
（2）如图②，在中，D是边上的点，E为边的中点，连接、交于点F．若，则的值为______．
温馨提示：可以过点E作的平行线或过点D作的平行线．如有更好的解法，请尝试．
【拓展延伸】
如图③，在中，D是边上的点，E为边延长线的点，连接、交延长线点F．若，，且的面积为1，则四边形的面积为______．
答案解析部分
1．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
C．若添加，不能证明，故本选项符合题意；
D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线等分线线段定理、找准对应关系是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理得到比例式求出的长，再根据线段的和差计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得∶
，
∴．
故选B．
3．A
【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，由得到，即可得到，由平行四边形得到，，进而得到．
【详解】∵
∴，
∴
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴
∴与相似的三角形有2个．
故选：A．
4．D
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
根据平行线的性质证明，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴；故A选项错误；B选项正确；
∴；故C选项错误；
；故D选项错误；
故选B．
6．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，根据平行四边形的性质可证，再根据相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故、、正确，
根据已知条件无法判断，故不正确，
故选：．
7．A
【分析】本题考查三角形重心定理，三角形的中线平分面积，三角形的重心到中点的距离等于到顶点距离的一半，据此求解即可．
【详解】∵G是的重心，
∴，，
∵，
∴，．
故选：A．
8．C
【分析】根据，得，得到，代入计算解答即可．
本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，
∴，
∴，
解得，
故选：C．
9．6
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，即，
解得，，
故答案为：6．
10．
【分析】本题考查比例的性质、分式求值，根据已知可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
，
，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，得到是解题的关键．
先证明，运用勾股定理得到在，则，在中，，再代入求值即可．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，且旋转至矩形，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
故答案为：．
12．
【分析】根据题意可得米，米，米，，，米，证明对应边成比例求出的值，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，过点作于点H．
根据题意可知，，，
．
设，
则．
根据题意可知，，
，
，
，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
故合十舍利塔的高度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
13．/
【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，
∴，
∴，
故答案为：．
14．(1)图见详解
(2)
【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键．
（1）延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，从而得到；
（2）利用（1）所画图形可得到的各顶点坐标．
【详解】（1）解：延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，连接，即为所求作的；
（2）解：由图可得：
15．（1）；（2）见解析
【分析】分析片段
已知，将变形为，即，求得，将变形为，即可求解.
设，分别计算左边和右边，可以解决问题.
【详解】解：（1），
．
（2）证明：设，则．
将代入等式左右两边，得左边，右边，
左边右边，即．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用参数解决问题.
16．见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用平行四边形的性质及题中所给条件，找到证明相似所需要的条件是解题的关键．
由得，得，由得，由得，即可证明结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
．
17．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案．
【详解】证明：，，
，
，
，
．
18．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据平行的性质得到、，根据相似三角形的性质可以得到相似比，等量代换即可求解；熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题关键.
【详解】证明：由题可知；
两点分别位于上；
,
又为公共角；
,
，
同理可得
,
．
19．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，本题利用两角相等的两个三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例即可求证．
【详解】解：如图，，且．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．旗杆的高度为米．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，正确利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题的关键．
由题意可得四边形是矩形，，再证明，利用相似比可求出的长，则．
【详解】解：根据题意可证四边形为矩形，
，
在 和 中，
，
，
，
，
又，
，
，
，
答：旗杆的高度为 米．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，光的反射定律，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由光的反射定律即可得到答案；
（2）证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】（1）解：由光的反射定律可知；
（2）解：由题意得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
答：这栋楼的高度为．
22．(1)
(2)①；②
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理．
（1）根据已知可证，进而得到，求出，即可求出的值；
（2）①证明，推出，结合，得到，利用三角形内角和定理即可解答；②由①，推出，进而求出，，利用勾股定理求出，结合，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）知，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
②由①，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点是的中点，
∴．
23．(1)两个路灯之间的距离25米
(2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证明，利用相似比可进行求解；
（2）当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）解：根据题意得米，米，米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴米，
即两个路灯之间的距离25米；
（2）解：如图，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，
∵，
∴，
∴，即，
∴米，
答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米．
24．(1)或
(2)不能，见解析
【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据勾股定理结合和求出，分为①当时，②当时，分别列方程求解即可．
（2）作轴于，轴于，得出，，根据相似三角形的性质求出，，当的面积为6个平方单位时，即．整理得：，根据根判别式即可求解．
【详解】（1）解：、，
，，
，
①当时，
，
，
；
②当时，
，
，
，
当或时，以，，为顶点的三角形与相似；
（2）解：不能，理由如下，
作轴于，轴于，
，，
，
，
，
当的面积为6个平方单位时，即．
整理得：，
，
此方程无实数根，
的面积不能为6个平方单位．
25．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证明，结合，可得结论．
（2）由（1）可得：，可得，证明，可得，再进一步求解即可．
（3）如图，过作于，证明，设，求解，可得，，，由，可得，证明，设，则，证明，求解，证明，进一步可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图，过作于，
∵，，，
∴，设，
∴，
∴，
解得：，
∴，，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，经检验符合题意，
∴．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
26．（1）10；（2）；拓展延伸：
【分析】本题考查相似三角形的综合应用．
（1）证明，通过对应边成比例求解；
（2）作交于点M，通过，导出各边长比．
拓展延伸：连接，作交于点R，通过相似三角形导出线段比，再通过等底等高利用线段比导出面积比，分别求出与而求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）作交于点M，
∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
拓展延伸：连接，作交于点R，
∴，，
设，则，，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
故答案为：．