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2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
第1课时 直线与圆锥曲线的位置
关系（一）
探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系的判定
探究点二 直线与圆锥曲线的相交弦弦长及其应用
探究点三 中点弦问题
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.通过类比直线与圆的位置关系,会用代数法判断直线与圆锥曲
线的位置关系；
2.能解决和弦的中点有关的简单问题.
知识点一 点与椭圆的位置关系
点与椭圆的位置关系 关系式
知识点二 直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆 的位置关系的判断方
法：由消去得到一个关于 的一元二次方程.
直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及 的取值的
关系如下表所示.
位置关系 解的个数
相交 ___ ______
相切 ___ ______
相离 ___ ______
2
1
0
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）已知椭圆与点,过点 可作出该椭
圆的一条切线.( )
×
[解析] 易知点在椭圆 的内部,因此过点
作不出椭圆的切线.
（2）直线与椭圆 的位置关系是相交.
( )
√
[解析] 易知直线过点 ,此点为椭圆的右顶点,且直线的
斜率为1,故直线与椭圆相交.
（3）当直线与椭圆只有一个交点时，一定满足直线与椭圆相切，
.( )
√
[解析] 联立直线方程与椭圆方程，消元后所得方程二次项系数一定
不能为0，所以此说法正确.
2.（1）已知直线与椭圆交于,
两点,设,,如何求出弦长
解：利用弦长公式
求出弦长.
（2）在一元二次方程中，如何求出 ？
解：显然,所以 .
知识点三 直线与双曲线的位置关系
一般地,设直线 ,
双曲线 ,
把①代入②得 .
（1）当,即时,直线与双曲线 的渐近线______,
直线与双曲线 ____________.
平行
相交于一点
（2）当,即 时,
.
判别式 位置关系 公共点情况
直线与双曲线______ ______________
直线与双曲线______ ______________
直线与双曲线______ ____________
相交
有两个公共点
相切
有一个公共点
相离
没有公共点
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若直线与双曲线交于一点,则直线与双曲线相切.( )
×
（2）过点作直线与双曲线 只有一个公共点,这样
的直线可作2条.( )
×
（3）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则该直线与双曲线有两个
交点.( )
×
[解析] 若直线与双曲线的一条渐近线平行，则该直线与双曲线只有
一个交点，故错误.
（4）直线与双曲线最多有两个交点.( )
√
知识点四 直线与抛物线的位置关系
设直线,抛物线 ,将直线方程与抛物线方
程联立,整理得关于的方程 .
（1）若 ,则有
判别式 位置关系 公共点情况
直线与抛物线______ ______________
直线与抛物线______ ______________
直线与抛物线______ ____________
（2）若 ,则直线与抛物线有______公共点,此时直线与抛物线的
对称轴____________.
相交
有两个公共点
相切
有一个公共点
相离
没有公共点
一个
平行或重合
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切.( )
×
[解析] 错误.直线与抛物线只有一个公共点,除了相切的情况,还有直
线与抛物线的对称轴平行或重合的情况.
（2）“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充
分条件.( )
√
（3）直线与抛物线 的位置关系是相交.( )
×
[解析] 错误.由可得,则 ,故直线
与抛物线相切,而非相交.
知识点五 弦长公式
已知斜率为的直线与圆锥曲线相交于, 两点：
1.若直线过椭圆或双曲线的焦点且垂直于对称轴不过顶点 ，
则 _ ___.
2.若直线过抛物线的焦点且垂直于对称轴,则 ____.
3.对形如的抛物线,若直线过抛物线的焦点 ,则
___________，___, _____.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）是抛物线上一点, 是抛物线的焦点,则
.( )
×
[解析] .
（2）过抛物线的焦点的弦长为 .( )
×
[解析] 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦（即通径）长为 .
（3）过抛物线的焦点作直线交抛物线于 ,
两点,则 .( )
√
[解析] 设抛物线的焦点为 ，则
.
探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系的判定
例1（1）已知两定点，，直线，在
上满足的点 有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
[解析] 设，因为， ，且
，所以点在椭圆 上.
因为直线过点，且点为椭圆 内一点，
所以直线与椭圆有2个交点，即在上满足的点 有
2个.故选C.
√
（2）已知双曲线,直线 与其右支有两个
不同的交点，则直线的斜率 的取值范围是___________________.
[解析] 由消去 得
.
设双曲线 的右支与直线的两个不同的交点
为, .
由题意可知
解得或 ，故的取值范围为 .
变式（1）已知双曲线与直线 有交点，
则双曲线的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 易知双曲线的一条渐近线的方程为 ，
因为双曲线与直线有交点，所以 ，则离心率
，即双曲线离心率的取值范围为
.故选C.
√
（2）若点到直线的距离小于1，则在曲线 ，
，,中，与直线 一定
有公共点的是__________.（写出你认为所有正确的序号）
①②③④
[解析] 若点到直线的距离小于1，则直线必与以点 为圆心，
1为半径的圆相交，即直线必与圆 相交.
对于①，作出抛物线与圆 ，
如图a所示，则过圆内的点的所有
直线与抛物线 都有交点，故①正确；
图a
对于②，作出圆与圆 ，如图b所
示，则过圆 内的点的所有直线与圆
都有交点，故②正确；
对于③，作出椭圆与圆 ，如图c所示，
则过圆内的点的所有直线与椭圆 都有交
点，故③正确；
图b
图c
对于④，作出双曲线与圆 ，如图d所示，
则过圆内的点的所有直线与双曲线 都有
交点，故④正确.故所有满足题意的曲线的序号为①②③④.
图d
［素养小结］
判断直线与圆锥曲线位置关系的方法:
将直线的方程和圆锥曲线的方程联立,消去
（或
）,要先讨论得到的
方程的二次项系数为0的情况，再考虑
的情况.若
,则直线与圆
锥曲线相交;若
,则直线与圆锥曲线相切;若
,则直线与圆锥
曲线相离.注意直线的斜率不存在的情况.
拓展 已知双曲线,直线 ,试确定满足下列条
件的实数 的取值范围.
解：由消去,得 .
当,即 时,
.
（1）直线 与双曲线有两个不同的公共点;
由得且,此时方程 有两
个不同的实数解,即直线 与双曲线有两个不同的公共点.
拓展 已知双曲线,直线 ,试确定满足下列条
件的实数 的取值范围.
（2）直线 与双曲线有且只有一个公共点;
解： 由得,此时方程 有两个相同的实数
解,即直线与双曲线有且只有一个公共点.
当,即 时, 直线与双曲线的渐近线平行,方程可化
为,故方程 只有一个实数解,即直线与双曲线有且只有一个
公共点.
综上，当 或时,直线 与双曲线有且只有一个公共点.
拓展 已知双曲线,直线 ,试确定满足下列条
件的实数 的取值范围.
（3）直线 与双曲线没有公共点.
解： 由得或,此时方程 无实数解,
即直线 与双曲线没有公共点.
探究点二 直线与圆锥曲线的相交弦弦长及其应用
例2（1）［2025·山东菏泽高二期末］经过椭圆 的左焦点
作倾斜角为 的直线，直线与椭圆相交于， 两点，则线段
的长为( )
A. B. C.2 D.
√
[解析] 在中，，，所以 ，
则，所以，
又，所以直线 的方程为，与
联立，消去得 ，则.
设， ，则， ，所以
.故选B.
（2）过双曲线的右焦点作直线，设 与双曲线
交于，两点，且，若这样的直线有且只有两条，则实数
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 如果，两点在双曲线的同一支上，则有 ；
如果，两点在双曲线的两支上，则.
因为与 不可能同时等于6，所以要使得满足 的直线有且只
有两条，则或可得或.
故实数 的取值范围是 .故选D.
变式 在平面直角坐标系中，椭圆 的离
心率为，过焦点的直线与椭圆交于, 两点.
（1）求椭圆 的标准方程.
解：依题意得可得
故椭圆的标准方程为 .
（2）从下面两个条件中任选其一作为已知，证明另一个成立.
；②直线的斜率满足 .
解： 设， ，选①作为已知条件.
证明： 当直线的斜率不存在时，的方程为， 与椭圆的交点坐
标为，此时 ，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设的方程为，由
消去得，则 ，
， ，
则 ，
又，所以，解得 .
选②作为已知条件.
证明：依题意得，，则直线的方程为 .
由消去得 ，
则 ，
所以，所以 .
［素养小结］
直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法：
（1）直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直
接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.
（2）弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.设直
线与圆锥曲线交于， 两 点，则有
注意：（1）如果直线倾斜角不确定，要注意直线斜率不存在的情况.
为直线斜率且 .
（2）在应用根与系数的关系时，应保证 .
探究点三 中点弦问题
例3（1）设直线与椭圆交于,两点,且点 为线
段的中点,则直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设,,则,.
将点, 的坐标代入椭圆方程得
两式作差得 ,
, 直线的斜率为, 直线 的方程为
,即 .故选B.
（2）已知双曲线 .
①求直线 被双曲线截得的弦长.
解：设直线与双曲线的交点为 ,
， ，
由消去得 ，
解得,，所以, ，
所以弦长 .
（2）已知双曲线 .
②过点能否作一条直线与双曲线交于,两点,且点 是线段
的中点？
解：假设存在直线与双曲线交于,两点,且点是线段 的中点.
设,,易知,
由 两式相减得 ,
又,，所以 ,
所以 ,
故直线的方程为,即 .
由消去得 ,
因为,
所以不存在一条直线与双曲线交于, 两点, 且点是线段 的中点.
变式 ［2025·贵州贵阳高二期中］ 已知斜率为的直线 与椭圆
交于，两点，线段的中点为 ，则
实数 的取值范围是_ __________.
[解析] 设,，因为点,在椭圆 上，所
以, ，两式相减可得
，所以 ，
又,,，所以 ，
又点在椭圆内，所以，则 ,
所以.故实数的取值范围是 .
［素养小结］
解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数的关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，
消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标
公式解决.
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别
代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.具体
如下：已知，是椭圆 上两个
不同的点，是线段的中点，则由 ，
得 ，变形得
，即 .
1.直线与椭圆总有公共点，则 的取值范围是
( )
A. B.
C.且 D.且
[解析] 由方程表示椭圆，可得且 ，
又直线过点，直线与椭圆总有公共点，所以点
在椭圆内或椭圆上，所以，
又，所以.
综上所述， 且 .故选C.
√
2.直线与抛物线有且只有一个公共点，则， 满
足的条件是( )
A. B.，
C.， D.或
[解析] 当时，直线与抛物线 有且只有一个公共点，
符合题意；
当时，由 可得，若直线
与抛物线 有且只有一个公共点，则
，可得 .综上所述，或 ，故选D.
√
3.对于抛物线，若点满足 ，则直线
与抛物线 ( )
A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点
C.有一个或两个公共点 D.没有公共点
[解析] 由消去得 ，所以
，
因为，所以 ，所以直线与抛物线 无公共点.故选D.
√
4.［2025·天津静海区高二期末］已知椭圆 ，过点
的直线交于，两点，且是线段的中点，则直线 的
斜率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 若轴，则线段的中点在 轴上，不符合题意，所以
直线的斜率存在.
设，，由是线段 的中点，可得，
，
因为点, 在椭圆上，所以两式相减可得
，所以，得，
所以直线 的斜率为 ，经验证此时直线与椭圆有两个交点.故选A.
5.已知椭圆，过点的直线与交于, 两点，且
为线段的中点，则 的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为，所以点在椭圆内部，易得直线
的斜率存在.
设,,直线的斜率为 ，由题意得
两式相减得 ，
则，解得.
故 的方程为，即 .故选C.
1.直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们
的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注
意分类讨论思想和数形结合思想的运用.
例1 ［2025·甘肃武威一中高二期中］已知点和点 ，
若直线上存在点，使得，则称该直线为“
型直线”.给出下列四条直线：
；；； .
其中“ 型直线”的条数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为点满足，所以点 的轨迹
是以和为焦点，10为长轴长的椭圆，所以点 的轨迹
方程为.
由题意知“型直线”与点 的轨迹有交点.
√
对于①，点在直线上，而点在椭圆 的
内部，所以直线与椭圆有交点，故①是“ 型直线”；
对于②，直线过原点，而原点在椭圆 的内部，所以直
线与椭圆有交点，故②是“ 型直线”；
对于③，易知直线与椭圆没有交点，故③不是“ 型
直线”；
对于④，易知直线与椭圆没有交点，故④不是“ 型
直线”.故选B.
2.解决与椭圆有关的中点、弦长问题的方法：
（1）根与系数的关系:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一
个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
（2）点差法:利用交点在椭圆上,交点坐标满足椭圆方程,将两交点坐
标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出弦中点坐标和弦所在直线斜率
的关系.具体步骤如下:已知, 是椭圆
上的两个不同的点,是线段 的中点,
则
由,得 ,
变形得 ,
即 .
（3）弦长问题可用弦长公式解决.
例2 已知椭圆的离心率为，且过点 ，
直线与交于， 两点.
（1）求椭圆 的方程；
解：由题意知 可得
所以椭圆的方程为 .
例2 已知椭圆的离心率为，且过点 ，
直线与交于， 两点.
（2）若线段的中点为，求直线 的方程；
解：设， ，
因为线段的中点为，所以 即
又，是椭圆上的点，所以
两式相减得，则 ，
所以直线的斜率为，
所以直线 的方程为，即 .
例2 已知椭圆的离心率为，且过点 ，
直线与交于， 两点.
（3）若直线的斜率不为0且经过的左焦点，点是 轴上的一点，
且，，求直线 的斜率.
解：椭圆的左焦点为，直线 的斜率不为0，设直线
，, .
由消去得 ，所以
， ，则
.
设线段的中点为，则 ，
因为点在轴上，且，，所以 垂直平分线段
，且 ，所以线段的中垂线的方程为
，
令 ，可得 ，所以 .
，所以 ，
解得，所以直线的斜率为 .
3.直线与双曲线位置关系的判断方法:一般联立方程，结合一元二次
方程根的情况解决,有时候利用直线与渐近线的位置关系直观判断.
例3 若直线过点,且与双曲线 只有一个公共点,则满
足条件的 有( )
A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条
[解析] 数形结合分析知,只有过点 且平行于两条渐近线的两条直
线符合要求.
√
4.直线与双曲线交点个数的问题一般利用代数方法或几何方法求解.
例4 直线与双曲线 的交点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.4
[解析] 双曲线的渐近线方程为 ,而直线
与渐近线平行,故直线 与双曲线只有1个交点.
√
练习册
一、选择题
1.已知双曲线的渐近线方程为 ，则
直线交抛物线 所得的弦长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
√
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 ，
所以，所以，代入抛物线方程 ，消
去得.
易知直线 过抛物线的焦点，设直线与抛物线的
交点为,，则 ,所以
.故选D.
2.过原点的直线与曲线相交,若直线被曲线 所截得的
线段长度等于,则直线的斜率 的值可以是( )
A. B. C. D.1
√
[解析] 由题意知直线的斜率存在.设直线的方程为,直线 与曲
线交于点,.
由消去 ，得,
则, ,
所以 ,
解得 .故选D.
3.已知直线被双曲线截得弦，弦的中点为 ，
则直线 的斜率为( )
A.1 B.2 C. D.
[解析] 设，，显然，则有 ，
，两式作差可得 ，即
，
因为弦的中点为 ，所以，，
则，所以直线 的斜率为1，
√
此时直线的方程为，即.
由 消去得，
则 ，即直线与双曲线有两个交点，
所以直线 的斜率为1满足条件.
4.［2025·天津河北区高二期中］若曲线 与曲线
恰有两个不同的交点，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 如图所示，方程表示起点为 的
两条斜率分别为1和的射线.
当 时，曲线，即 是一个
圆，易知此时曲线与曲线 有三个不同的交
点，不满足题意；
当，时，曲线 为椭圆，
√
易知曲线过椭圆的上、下顶点，
若曲线 与曲线恰有两个不同的交点，
则点 在椭圆内，即，解得；
当时，曲线 为焦点在轴上的双曲
线，其渐近线方程为 ，
易知曲线过双曲线 的上、下顶点，要使曲线
与曲线 恰有两个不同的交点，只需，
解得.
故实数 的取值范围是 .故选C.
5.已知椭圆的上顶点为 ，左、右焦点分别
为,，离心率为.过且垂直于的直线与交于, 两点，
，则 的周长是( )
A.19 B.14 C. D.13
[解析] 因为椭圆的离心率 ，所以
， ，如图，
因为，所以 为
正三角形，
又因为直线过且垂直于 ，
√
所以 ，所以直线 的方程为.
设点的坐标为，点 的坐标为，将
直线方程与椭圆方程 联立，消去，
整理得 ，则，
，所以 ，所以，.
因为直线垂直平分线段 ，所以的周长等于的周长，为 .故选D.
6.直线与曲线 的公共点的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 当时，方程，即 ，
表示双曲线在轴右侧的部分（包括 轴），
该双曲线的一条渐近线的方程为 ，直线
与渐近线平行；
√
当 时，方 程，即，表示椭圆 在 轴左侧的部分.
画出曲线和直线的图象，如图所示，
根据图象知直线与
曲线 有2个公共点.故选B.
7.已知椭圆，若椭圆上存在两点， 关于直线
对称，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设椭圆上两点,关于直线 对称，
的中点为，则， ，
所以 ，所以
，则，
代入直线方程 ，得，则，
即.
又点 在椭圆内部，所以，解得
，则 的取值范围是 .故选A.
8.（多选题）［2025· 福建莆田高二期中］ 已知椭圆 的
左、右焦点分别为，，直线交椭圆于， 两点，则( )
A. 的周长为4
B.当时，的面积为
C.若直线经过点，则 的最小值是3
D.若线段的中点为，则直线的方程为
√
√
√
[解析] 对于A，假设直线经过点，由椭圆的定义可知 的周
长为 ，
故A错误；
对于B，设, ，由椭圆的定义可得
，在中，由余弦定理可得 ，将
代入上式，整理得，解得 ，则
，所以 ，故B正确；
对于C，易知，设,，若直线 的斜率存在，
不妨设其方程为，由 可得
，则 ，
，所以
，若直线的斜率不存在，则其方
程为 ，与椭圆方程联立易得，所以 ，故C
正确；
对于D,因为， 在椭圆
上，所以可得 ，则
，由线段的中点为 ，得
，所以，所以直线 的方程为
，即，故D正确.故选 .
9.（多选题）已知椭圆过点 ，直线
与椭圆交于，两点，且线段的中点为，
为坐标原点，直线的斜率为 ，则下列结论正确的是( )
A.的离心率为
B.的方程为
C.若，则
D.若，则椭圆上存在，两点，使得，关于直线 对称
√
√
[解析] 设，，则 ，即，
因为，在椭圆上，所以 ，，两式相减
得 ，即，又
，所以 ，即，又，
所以，所以离心率 ，故A正确.
因为椭圆过点，所以，解得 ，
，所以椭圆的标准方程为，故B错误.
若 ， 则直线的方程为，由得 ，解得，，则 ，故C正确.
若，则直线的方程为.假设椭圆上存在 ，
两点，使得，关于直线对称，设，，
的中点为，所以，.因为， 关于直线对称，所以且点在直线上，即, .
又，在椭圆上，所以， ,两式相减得
，即 ，所
以，即，由
解得即.又，所以点在椭圆外，这与 是弦的中点矛盾，所以椭圆上不存在，两点，使得，关于直线对称，故D错误.故选 .
二、填空题
10.［2024·北京卷］若直线与双曲线 只有一
个公共点，则 的一个取值为___________.
（或）
[解析] 由消去 并整理得
.
由题意得 或.
由①解得；方程组②无解.故 .
11.已知顶点在原点,焦点在轴上的抛物线截直线 所得
的弦长为 ,则此抛物线的方程为____________________.
或
[解析] 设抛物线的方程为，由 消去
，得
直线与抛物线有两个交点，，解得或 .
设两交点分别为，，则， ，
.
，，即，解得或，故所求抛物线的方程为或 .
12.已知抛物线的焦点为,直线与 交于
,在轴上方两点,若,则实数 的值为_________.
[解析] 由解得 或
因为在轴上方，所以 ，
.
因为抛物线的方程为，所以 ，
所以， ,
又 ，
所以 ，可得
.
三、解答题
13.（13分）已知抛物线的焦点为,斜率为的直线与 的
交点为,,与轴的交点为 .
（1）若,求 的方程;
解：设直线，， .
由题意得， ，所以 .
由得 ，
则 ,即,
所以 ，所以，解得 ，
所以的方程为 .
13.（13分）已知抛物线的焦点为,斜率为的直线与 的
交点为,,与轴的交点为 .
（2）若,求 .
解： 由，可得 .
由整理得，所以 ，
所以，解得 ，则，
所以， ，所以 .
14.（15分）［2025·福建厦门高二期中］ 已知椭圆
的左、右焦点分别为,，椭圆上的点
到两焦点的距离之和是4，且长轴长是焦距的2倍.
（1）求椭圆 的方程.
解：由已知可得则
故椭圆的方程为 .
14.（15分）［2025·福建厦门高二期中］ 已知椭圆
的左、右焦点分别为,，椭圆上的点
到两焦点的距离之和是4，且长轴长是焦距的2倍.
（2）已知直线 .
①当直线与椭圆相交时，求 的取值范围;
解： 由消去得
当直线与椭圆相交时， ，
解得,即 .
14.（15分）［2025·福建厦门高二期中］ 已知椭圆
的左、右焦点分别为,，椭圆上的点
到两焦点的距离之和是4，且长轴长是焦距的2倍.
（2）已知直线 .
②当时，直线与椭圆相交于，两点，求 .
解： ，将代入可得 ，
设,，则
所以 .
15.［2025·山东泰安高二期末］已知直线 与曲线
恰有三个不同的交点，则实数 的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 可化为.
当 时，，
则 ，
此时曲线为椭圆 的上半部分；
当 时，，则
，此时曲线为双曲线 的上半部分，其
渐近线方程为.
如图，当直线过点 时， ，解得；
当直线与椭圆
的上半部分相切时，由 消
去整理得 ，
由 ，得，
又直线与椭圆 的上半部分相切，所以，所以 .
由图可知要使直线与曲线 恰有三个不
同的交点，则实数 的取值范围为 . 故选D.
16.（15分）已知曲线的方程是 ，其中
，且，直线的方程是 .
（1）请根据的不同取值，判断曲线 是何种圆锥曲线.
解：，即 .
当时，曲线表示焦点在 轴上的椭圆；
当时，曲线表示焦点在 轴上的双曲线.
16.（15分）已知曲线的方程是 ，其中
，且，直线的方程是 .
（2）若直线交曲线于，两点，且线段 的中点的横坐标是
，求 的值.
解：设， ，因为，在曲线上，所以
， ，两式相减得
，即，
则 ，
故线段的中点坐标为，代入直线 的方程得
，解得或（舍），故 .
16.（15分）已知曲线的方程是 ，其中
，且，直线的方程是 .
（3）若，试问曲线上是否存在不同的两点，，使得 ，
关于直线 对称？并说明理由.
解：假设曲线上存在，，使得，关于直线对称，直线 的方
程为，曲线的方程为 .
设，，线段的中点坐标为，
因为， 关于直线对称，所以线段的中点在直线上，， 所在
直线的斜率为 ,
又因为，在曲线上，所以， ，
两式相减得 ，
即，即 ，
又，所以， ，
此时直线的方程为 ， 即，
由消去整理得 ，
此方程无解，故曲线上不存在，，使得，关于直线 对称.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
知识点二 2
1 0
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）√ 2.（1）略（2）略
知识点三 （1）平行 相交于一点 （2）相交 有两个公共点 相切 有一个公共点
相离 没有公共点 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√
知识点四 相交 有两个公共点 相切 有一个公共点 相离 没有公共点 一个
平行或重合 【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）×
知识点五 1. 2. 3. 【诊断分析】（1）×（2）×（3）√
课中探究 探究点一 例1（1）C （2） 变式（1）C （2）①②③④
拓展 （1）且（2）或（3）或
探究点二 例2（1）B （2）D 变式（1）（2）略
探究点三 例3（1）B （2）① ②不能，理由略 变式
课堂评价 1.C 2.D 3.D 4.A 5.C
练习册
一、1.D 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.A 8.BCD 9.AC
二、10.
（或
） 11.
或
12.
三、13. （1）
（2）
14.（1）
（2）① ②<
思维探索 15.D
16.（1）当
时，曲线表示焦点在
轴上的椭圆；当
时，曲线表示
焦点在
轴上的双曲线
（2）
（3）不存在2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系(一)
【课前预习】
知识点一
= < >
知识点二
2 Δ>0 1 Δ=0 0 Δ<0
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)易知点P(b,0)在椭圆+=1(a>b>0)的内部,因此过点P作不出椭圆的切线.
(2)易知直线y=x-a过点(a,0),此点为椭圆的右顶点,且直线的斜率为1,故直线与椭圆相交.
(3)联立直线方程与椭圆方程,消元后所得方程二次项系数一定不能为0,所以此说法正确.
2.解:(1)利用弦长公式|AB|==|x1-x2|·求出弦长.
(2)显然a≠0,所以|x1-x2|==.
知识点三
(1)平行 相交于一点
(2)相交 有两个公共点 相切 有一个公共点 相离
没有公共点
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] (3)若直线与双曲线的一条渐近线平行,则该直线与双曲线只有一个交点,故错误.
知识点四
相交 有两个公共点 相切 有一个公共点 相离
没有公共点 一个 平行或重合
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)错误.直线与抛物线只有一个公共点,除了相切的情况,还有直线与抛物线的对称轴平行或重合的情况.
(3)错误.由可得y2-2y+1=0,则Δ=0,故直线与抛物线相切,而非相交.
知识点五
1. 2.2p 3.x1+x2+p -p2
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)|PF|=x1+.
(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦(即通径)长为2p.
(3)设抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,则|AB|=|AF|+|BF|=y1++y2+=p+y1+y2.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)(-∞,-1)∪(1,+∞) [解析] (1)设P(x,y),因为M(-1,0),N(1,0),且|PM|+|PN|=4>|MN|=2,所以点P在椭圆C:+=1上.因为直线l:y=-2x+3过点Q,且点Q为椭圆+=1内一点,所以直线l与椭圆C有2个交点,即在l上满足|PM|+|PN|=4的点P有2个.故选C.
(2)由消去y得(1-k2)x2+2k2x-(2k2+1)=0.设双曲线x2-y2=1的右支与直线y=k(x-)的两个不同的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).由题意可知解得k<-1或k>1,故k的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).
变式 (1)C (2)①②③④ [解析] (1)易知双曲线的一条渐近线的方程为y=x,因为双曲线与直线y=2x有交点,所以>2,则离心率e==>=,即双曲线离心率的取值范围为(,+∞).故选C.
(2)若点(2,0)到直线l的距离小于1,则直线l必与以点(2,0)为圆心,1为半径的圆相交,即直线l必与圆(x-2)2+y2=1相交.对于①,作出抛物线y2=8x与圆(x-2)2+y2=1,如图a所示,则过圆(x-2)2+y2=1内的点的所有直线与抛物线y2=8x都有交点,故①正确;对于②,作出圆(x-3)2+y2=4与圆(x-2)2+y2=1,如图b所示,则过圆(x-2)2+y2=1内的点的所有直线与圆(x-3)2+y2=4都有交点,故②正确;对于③,作出椭圆+=1与圆(x-2)2+y2=1,如图c所示,则过圆(x-2)2+y2=1内的点的所有直线与椭圆+=1都有交点,故③正确;对于④,作出双曲线x2-=1与圆(x-2)2+y2=1,如图d所示,则过圆(x-2)2+y2=1内的点的所有直线与双曲线x2-=1都有交点,故④正确.故所有满足题意的曲线的序号为①②③④.
图a 图b 图c 图d
拓展 解:由消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0(*).当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4×(4-3k2).
(1)由得-
(2)由得k=±,此时方程(*)有两个相同的实数解,即直线l与双曲线有且只有一个公共点.当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双曲线的渐近线平行,方程(*)可化为2x=5,故方程(*)只有一个实数解,即直线l与双曲线有且只有一个公共点.综上,当k=±或k=±1时,直线l与双曲线有且只有一个公共点.
(3)由得k<-或k>,此时方程(*)无实数解,即直线l与双曲线没有公共点.
探究点二
例2 (1)B (2)D [解析] (1)在+y2=1中,a2=2,b2=1,所以c2=a2-b2=1,则c=1,所以F1(-1,0),又tan 60°=,所以直线l的方程为y=(x+1),与+y2=1联立,消去y得7x2+12x+4=0,则Δ=122-4×7×4>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,所以|AB|=×=.故选B.
(2)如果A,B两点在双曲线的同一支上,则有|AB|min==;如果A,B两点在双曲线的两支上,则|AB|min=2a.因为与2a不可能同时等于6,所以要使得满足|AB|=6的直线有且只有两条,则或可得a>3或0变式 解:(1)依题意得可得
故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),选①作为已知条件.
证明:当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,l与椭圆的交点坐标为,此时4|AB|=12≠15,不符合题意.
当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx-k,由消去y得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=,x1x2=,Δ=(-8k2)2-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1)>0,则|AB|=|x1-x2|=·=12·,
又|AB|=,所以=12·,解得k2=.
选②作为已知条件.
证明:依题意得,k=±,则直线l的方程为y=±(x-1).由消去y得4x2-2x-11=0,则Δ=(-2)2-4×4×(-11)=180,所以|AB|=|x1-x2|=×=,所以4|AB|=15.
探究点三
例3 (1)B [解析] 设M(x1,y1),N(x2,y2),则=,=.将点M,N的坐标代入椭圆方程得两式作差得+=0,∴=-3×=-3,∴直线l的斜率为-3,∴直线l的方程为y-=-3,即3x+y-2=0.故选B.
(2)解:①设直线y=x+1与双曲线x2-=1的交点为T(x1,y1),Q(x2,y2),x1由消去y得x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,所以T(-1,0),Q(3,4),
所以弦长|TQ|==4.
②假设存在直线l与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点.
设A(x3,y3),B(x4,y4),易知x3≠x4,由
两式相减得(x3+x4)(x3-x4)-=0,
又=1,=1,所以2(x3-x4)-(y3-y4)=0,所以kAB==2,
故直线l的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
由消去y得2x2-4x+3=0,因为Δ=16-24=-8<0,所以不存在一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点.
变式 [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为点A,B在椭圆C:+y2=1上,所以+=1,+=1,两式相减可得+(y1-y2)(y1+y2)=0,所以=-·,又k=,x1+x2=2,y1+y2=2m,所以k=-·=-,又点M(1,m)(m>0)在椭圆C内,所以+m2<1,则0【课堂评价】
1.C [解析] 由方程+=1表示椭圆,可得m>0且m≠5,又直线y=kx+1过点(0,1),直线与椭圆总有公共点,所以点(0,1)在椭圆内或椭圆上,所以≤1,又m>0,所以m≥1.综上所述,m≥1且m≠5.故选C.
2.D [解析] 当k=0时,直线y=b与抛物线y2=4x有且只有一个公共点,符合题意;当k≠0时,由可得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,若直线y=kx+b与抛物线y2=4x有且只有一个公共点,则Δ=(2kb-4)2-4k2b2=0,可得kb=1.综上所述,kb=1或k=0,故选D.
3.D [解析] 由消去x得y2-2y0y+4x0=0,所以Δ=4-4×4x0=4(-4x0),因为<4x0,所以Δ<0,所以直线l与抛物线C无公共点.故选D.
4.A [解析] 若AB⊥x轴,则线段AB的中点在x轴上,不符合题意,所以直线AB的斜率存在.设A(x1,y1),B(x2,y2),由M是线段AB的中点,可得x1+x2=-2,y1+y2=2,因为点A,B在椭圆上,所以两式相减可得+=0,所以=·=kAB=-kAB=-,得kAB=,所以直线l的斜率为,经验证此时直线与椭圆有两个交点.故选A.
5.C [解析] 因为+=<1,所以点P(1,1)在椭圆内部,易得直线l的斜率存在.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k,由题意得两式相减得+=+=0,则+=+k=0,解得k=-.故l的方程为y-1=-(x-1),即3x+5y-8=0.故选C.2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系(一)
1.D [解析] 因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以a=b,所以y=x-=x-1,代入抛物线方程y2=4x,消去y得x2-6x+1=0.易知直线y=x-1过抛物线的焦点,设直线y=x-1与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,所以|AB|=x1+x2+p=6+2=8.故选D.
2.D [解析] 由题意知直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx,直线l与曲线C交于点A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y,得(1+3k2)x2-3=0,则x1+x2=0,x1x2=-,所以|AB|=×=×=,解得k2=1.故选D.
3.A [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),显然x1≠x2,则有-=1,-=1,两式作差可得--+=0,即=,因为弦AB的中点为M(4,2),所以x1+x2=8,y1+y2=4,则=1,所以直线AB的斜率为1,此时直线AB的方程为y-2=x-4,即y=x-2.由消去y得x2-8x+12=0,则Δ=(-8)2-4×1×12=16>0,即直线与双曲线有两个交点,所以直线AB的斜率为1满足条件.
4.C [解析] 如图所示,方程|y|=x+2表示起点为A(-2,0)的两条斜率分别为1和-1的射线.当λ=1时,曲线C:+=1,即x2+y2=4是一个圆,易知此时曲线|y|=x+2与曲线C有三个不同的交点,不满足题意;当λ>0,λ≠1时,曲线C:+=1为椭圆,易知曲线|y|=x+2过椭圆C的上、下顶点,若曲线|y|=x+2与曲线C恰有两个不同的交点,则点A(-2,0)在椭圆内,即+<1,解得λ>1;当λ<0时,曲线C:+=1为焦点在y轴上的双曲线,其渐近线方程为y=±x,易知曲线|y|=x+2过双曲线C的上、下顶点,要使曲线|y|=x+2与曲线C:+=1恰有两个不同的交点,只需≤1,解得λ≤-1.故实数λ的取值范围是(-∞,-1]∪(1,+∞).故选C.
5.D [解析] 因为椭圆C的离心率e==,所以a=2c,b==c,如图,因为|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c,所以△AF1F2为正三角形,又因为直线DE过F1且垂直于AF2,所以∠DF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=(x+c).设点D的坐标为(x1,y1),点E的坐标为(x2,y2),将直线方程与椭圆方程+=1联立,消去y,整理得13x2+8cx-32c2=0,则x1+x2=-,x1x2=-,所以|DE|=×==6,所以c=,a=.因为直线DE垂直平分线段AF2,所以△ADE的周长等于△F2DE的周长,为4a=13.故选D.
6.B [解析] 当x≥0时,方程-=1,即-=1,表示双曲线-=1在y轴右侧的部分(包括y轴),该双曲线的一条渐近线的方程为y=x,直线3x-2y+6=0与渐近线y=x平行;当x<0时,方程-=1,即+=1,表示椭圆+=1在y轴左侧的部分.画出曲线和直线的图象,如图所示,根据图象知直线3x-2y+6=0与曲线-=1有2个公共点.故选B.
7.A [解析] 设椭圆上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=4x+m对称,AB的中点为M(x0,y0),则3+4-12=0,3+4-12=0,所以3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,所以=-·=-,则y0=3x0,代入直线方程y=4x+m,得x0=-m,则y0=-3m,即M(-m,-3m).又点(x0,y0)在椭圆内部,所以3m2+4·(-3m)2<12,解得-8.BCD [解析] 对于A,假设直线l经过点F1,由椭圆的定义可知△PF2Q的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=|PF2|+|QF2|+|PF1|+|QF1|=4a=8,故A错误;对于B,设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义可得m+n=4,在△PF1F2中,由余弦定理可得cos=,将n=4-m代入上式,整理得m2-4m+4=0,解得m=2,则n=2,所以=mnsin=×2×2×=,故B正确;对于C,易知F1(-1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),若直线PQ的斜率存在,不妨设其方程为y=kx+k,由可得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=-,x1x2=,所以|PQ|==·=3+>3,若直线PQ的斜率不存在,则其方程为x=-1,与椭圆方程联立易得|PQ|=3,所以|PQ|min=3,故C正确;对于D,因为P,Q在椭圆上,所以可得+=0,则·=-=·kPQ,由线段PQ的中点为(1,1),得x1+x2=y1+y2=2,所以kPQ=-,所以直线l的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0,故D正确.故选BCD.
9.AC [解析] 设M(x1,y1),N(x2,y2),则P,即kOP==,因为M,N在椭圆C上,所以+=1,+=1,两式相减得+=0,即+=0,又kMN==-,所以-=0,即b2=a2,又a2=b2+c2,所以c2=a2,所以离心率e==,故A正确.因为椭圆C过点,所以+=1,解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的标准方程为+=1,故B错误.若m=1,则直线l的方程为y=-x+1,由得x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2,则|MN|=×|2+1|=,故C正确.若m=,则直线l的方程为y=-x+.假设椭圆C上存在E,F两点,使得E,F关于直线l对称,设E(x3,y3),F(x4,y4),EF的中点为Q(x0,y0),所以x3+x4=2x0,y3+y4=2y0.因为E,F关于直线l对称,所以kEF=2且点Q在直线l上,即=2,y0=-x0+.又E,F在椭圆C上,所以+=1,+=1,两式相减得+=0,即+=0,所以y3+y4=-,即y0=-x0,由解得即Q.又+>1,所以点Q在椭圆C外,这与Q是弦EF的中点矛盾,所以椭圆C上不存在E,F两点,使得E,F关于直线l对称,故D错误.故选AC.
10. [解析] 由消去y并整理得(1-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0.由题意得1-4k2=0①或②.由①解得k=±;方程组②无解.故k=±.
11.x2=-4y或x2=12y [解析] 设抛物线的方程为x2=ay(a≠0),由消去y,得2x2-ax+a=0.∵直线与抛物线有两个交点,∴Δ=(-a)2-4×2×a>0,解得a<0或a>8.设两交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴|AB|===.∵|AB|=,∴=,即a2-8a-48=0,解得a=-4或a=12,故所求抛物线的方程为x2=-4y或x2=12y.
12.5+2 [解析] 由解得
或因为P在x轴上方,所以P(5+2,2+2),Q(5-2,2-2).因为抛物线C的方程为y2=4x,所以F(1,0),所以=(-4-2,-2-2),=(4-2,2-2),又=λ,所以(-4-2,-2-2)=λ(4-2,2-2),可得λ==5+2.
13.解:设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题意得F,|AF|+|BF|=x1+x2+=4,所以x1+x2=.
由得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则Δ=[12(t-1)]2-4×9×4t2=144(-2t+1)>0,
即t<,所以x1+x2=,所以-=,解得t=-,所以l的方程为y=x-.
(2)由=3,可得y1=-3y2.
由整理得y2-2y+2t=0,所以y1+y2=2,
所以-3y2+y2=2,解得y2=-1,则y1=3,所以x1=3,x2=,所以|AB|=×=.
14.解:(1)由已知可得则故椭圆C的方程为+=1.
(2)①由消去y得7x2+8tx+4t2-12=0(*).
当直线l与椭圆C相交时,Δ=(8t)2-4×7(4t2-12)>0,解得t2<7,即t∈(-,).
②1∈(-,),将t=1代入(*)可得7x2+8x-8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则所以|AB|=×=×=.
15.D [解析] y=可化为4y2=|4-x2|(y≥0).当x∈[-2,2]时,4y2=4-x2(y≥0),则+y2=1(y≥0),此时曲线C为椭圆+y2=1的上半部分;当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,4y2=x2-4(y≥0),则-y2=1(y≥0),此时曲线C为双曲线-y2=1的上半部分,其渐近线方程为y=±x.如图,当直线l:y=-+m过点(2,0)时,0=-+m,解得m=1;当直线l:y=-+m与椭圆+y2=1的上半部分相切时,由消去y整理得x2-2mx+2m2-2=0,由Δ=4m2-4×2(m2-1)=-4m2+8=0,得m2=2,又直线与椭圆+y2=1的上半部分相切,所以m>0,所以m=.由图可知要使直线l:y=-+m与曲线C:y=恰有三个不同的交点,则实数m的取值范围为(1,).故选D.
16.解:(1)(1-a2)x2+y2+a2-1=0,即x2+=1.
当01时,曲线表示焦点在x轴上的双曲线.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),因为M,N在曲线C上,所以(1-a2)+=1-a2,(1-a2)+=1-a2,两式相减得(1-a2)(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,即-4(1-a2)+(y1+y2)=0,则y1+y2=4(1-a2),
故线段MN的中点坐标为(-2,2(1-a2)),代入直线l的方程得2(1-a2)=×(-2)-a,
解得a=或a=-(舍),故a=.
(3)假设曲线C上存在A,B,使得A,B关于直线l对称,直线l的方程为y=x-,曲线C的方程为x2-y2=1.设A(x3,y3),B(x4,y4),线段AB的中点坐标为(x0,y0),因为A,B关于直线l对称,所以线段AB的中点在直线l上,A,B所在直线的斜率为-,
又因为A,B在曲线C上,所以-=1,-=1,两式相减得(x3+x4)(x3-x4)-(y3+y4)(y3-y4)=0,
即(x3+x4)+(y3+y4)=0,即x0+y0=0,又y0=x0-,所以x0=1,y0=-,
此时直线AB的方程为y=-(x-1)-,
即y=-x+,由消去y整理得x2-2x+=0,此方程无解,故曲线C上不存在A,B,使得A,B关于直线l对称.2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系(一)
【学习目标】
1.通过类比直线与圆的位置关系,会用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系;
2.能解决和弦的中点有关的简单问题.
◆ 知识点一 点与椭圆的位置关系
点与椭圆的位置关系 关系式
点(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)上 + 1
点(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)内部 + 1
点(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)外部 + 1
◆ 知识点二 直线与椭圆的位置关系
直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法:由消去y得到一个关于x的一元二次方程.
直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如下表所示.
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交
相切
相离
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知椭圆+=1(a>b>0)与点P(b,0),过点P可作出该椭圆的一条切线. ( )
(2)直线y=x-a与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系是相交. ( )
(3)当直线与椭圆只有一个交点时,一定满足直线与椭圆相切,Δ=0. ( )
2.(1)已知直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),如何求出弦长|AB|
(2)在一元二次方程ax2+bx+c=0中,如何求出|x1-x2|
◆ 知识点三 直线与双曲线的位置关系
一般地,设直线l:y=kx+m(m≠0)①,
双曲线C:-=1(a>0,b>0)②,
把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)当b2-a2k2=0,即k=±时,直线l与双曲线C的渐近线 ,直线l与双曲线C .
(2)当b2-a2k2≠0,即k≠±时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
判别式 位置关系 公共点情况
Δ>0 直线与双曲线
Δ=0 直线与双曲线
Δ<0 直线与双曲线
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线与双曲线交于一点,则直线与双曲线相切. ( )
(2)过点A(1,0)作直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,这样的直线可作2条.( )
(3)若直线与双曲线的一条渐近线平行,则该直线与双曲线有两个交点. ( )
(4)直线与双曲线最多有两个交点. ( )
◆ 知识点四 直线与抛物线的位置关系
设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立,整理得关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.
(1)若k≠0,则有
判别式 位置关系 公共点情况
Δ>0 直线与抛物线
Δ=0 直线与抛物线
Δ<0 直线与抛物线
(2)若k=0,则直线与抛物线有 公共点,此时直线与抛物线的对称轴 .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切. ( )
(2)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件. ( )
(3)直线x-2y+1=0与抛物线y2=x的位置关系是相交. ( )
◆ 知识点五 弦长公式
已知斜率为k(k≠0)的直线与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点:
1.若直线AB过椭圆或双曲线的焦点F且垂直于对称轴(AB不过顶点),则|AB|= .
2.若直线AB过抛物线的焦点F且垂直于对称轴,则|AB|= .
3.对形如y2=2px(p>0)的抛物线,若直线AB过抛物线的焦点F,则|AB|= ,x1x2= ,y1y2= .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)P(x1,y1)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,则|PF|=x1+p. ( )
(2)过抛物线的焦点的弦长为2p. ( )
(3)过抛物线x2=2py(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=p+y1+y2. ( )
◆ 探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系的判定
例1 (1)已知两定点M(-1,0),N(1,0),直线l:y=-2x+3,在l上满足|PM|+|PN|=4的点P有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
(2)已知双曲线x2-y2=1,直线l:y=k(x-)与其右支有两个不同的交点,则直线l的斜率k的取值范围是 .
变式 (1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围为 ( )
A.(1, ) B.(1,]
C.(,+∞) D.[,+∞)
(2)若点(2,0)到直线l的距离小于1,则在曲线①y2=8x,②(x-3)2+y2=4,③+=1,④x2-=1中,与直线l一定有公共点的是 .(写出你认为所有正确的序号)
[素养小结]
判断直线与圆锥曲线位置关系的方法:
将直线的方程和圆锥曲线的方程联立,消去x(或y),要先讨论得到的方程的二次项系数为0的情况,再考虑Δ的情况.若Δ>0,则直线与圆锥曲线相交;若Δ=0,则直线与圆锥曲线相切;若Δ<0,则直线与圆锥曲线相离.注意直线的斜率不存在的情况.
拓展 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试确定满足下列条件的实数k的取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点;
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;
(3)直线l与双曲线没有公共点.
◆ 探究点二 直线与圆锥曲线的相交弦弦长及其应用
例2 (1)[2025·山东菏泽高二期末] 经过椭圆+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,则线段AB的长为 ( )
A. B.
C.2 D.
(2)过双曲线-=1(a>0)的右焦点F作直线l,设l与双曲线交于A,B两点,且|AB|=6,若这样的直线有且只有两条,则实数a的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(0,1)∪(3,+∞)
变式 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过焦点F(1,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)从下面两个条件中任选其一作为已知,证明另一个成立.
①4|AB|=15;②直线l的斜率k满足k2=.
[素养小结]
直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法:
(1)直接利用两点间距离公式:当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.
(2)弦长公式:当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式.设直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两 点, 则有|AB|===·==·(k为直线斜率且k≠0).
注意:(1)如果直线倾斜角不确定,要注意直线斜率不存在的情况.
(2)在应用根与系数的关系时,应保证Δ>0.
◆ 探究点三 中点弦问题
例3 (1)设直线l与椭圆C:+=1交于M,N两点,且点P为线段MN的中点,则直线l的方程为 ( )
A.3x-y+2=0 B.3x+y-2=0
C.3x-y-1=0 D.3x+y+1=0
(2)已知双曲线x2-=1.
①求直线y=x+1被双曲线截得的弦长.
②过点P(1,1)能否作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点
变式 [2025·贵州贵阳高二期中] 已知斜率为k的直线l与椭圆C:+y2=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0),则实数k的取值范围是 .
[素养小结]
解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法:
(1)根与系数的关系法:联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入圆锥曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系.具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点,则由①-②,得(-)+(-)=0,变形得=-·=-·,即kAB=-.
1.直线y=kx+1与椭圆+=1总有公共点,则m的取值范围是 ( )
A.m>1 B.m>0
C.m≥1且m≠5 D.02.直线y=kx+b与抛物线y2=4x有且只有一个公共点,则k,b满足的条件是 ( )
A.kb=1 B.k=0,b∈R
C.b≠0,k=0 D.kb=1或k=0
3.对于抛物线C:y2=4x,若点(x0,y0)满足<4x0,则直线l:y0y=2(x+x0)与抛物线C ( )
A.恰有一个公共点
B.恰有两个公共点
C.有一个或两个公共点
D.没有公共点
4.[2025·天津静海区高二期末] 已知椭圆C:+=1,过点M(-1,1)的直线l交C于A,B两点,且M是线段AB的中点,则直线l的斜率为 ( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆M:+=1,过点P(1,1)的直线l与M交于A,B两点,且P为线段AB的中点,则l的方程为 ( )
A.3x-5y+2=0 B.5x-3y-2=0
C.3x+5y-8=0 D.5x+3y-8=02.8 直线与圆锥曲线的位置关系
第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系(一)
一、选择题
1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,则直线y=x-交抛物线y2=4x所得的弦长为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.过原点的直线l与曲线C:+y2=1相交,若直线l被曲线C所截得的线段长度等于,则直线l的斜率k的值可以是 ( )
A. B.- C. D.1
3.已知直线被双曲线-=1截得弦AB,弦AB的中点为M(4,2),则直线AB的斜率为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
4.[2025·天津河北区高二期中] 若曲线|y|=x+2与曲线C:+=1恰有两个不同的交点,则实数λ的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1]
B.[1,+∞)
C.(-∞,-1]∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪[1,+∞)
5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 ( )
A.19 B.14 C. D.13
6.直线3x-2y+6=0与曲线-=1的公共点的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知椭圆+=1,若椭圆上存在两点A,B关于直线y=4x+m对称,则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2025·福建莆田高二期中] 已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l交椭圆于P,Q两点,则 ( )
A.△PF2Q的周长为4
B.当∠F1PF2=时,△PF1F2的面积为
C.若直线l经过点F1,则|PQ|的最小值是3
D.若线段PQ的中点为(1,1),则直线l的方程为3x+4y-7=0
9.(多选题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点,直线l:y=-x+m与椭圆C交于M,N两点,且线段MN的中点为P,O为坐标原点,直线OP的斜率为,则下列结论正确的是( )
A.C的离心率为
B.C的方程为+y2=1
C.若m=1,则|MN|=
D.若m=,则椭圆C上存在E,F两点,使得E,F关于直线l对称
二、填空题
10.[2024·北京卷] 若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为 .
11.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线截直线x-2y-1=0所得的弦长为,则此抛物线的方程为 .
12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:x-y-1=0与C交于P,Q(P在x轴上方)两点,若=λ,则实数λ的值为 .
三、解答题
13.(13分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
14.(15分)[2025·福建厦门高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆上的点P到两焦点的距离之和是4,且长轴长是焦距的2倍.
(1)求椭圆C的方程.
(2)已知直线l:y=x+t.
①当直线l与椭圆C相交时,求t的取值范围;
②当t=1时,直线l与椭圆C相交于A,B两点,求|AB|.
15.[2025·山东泰安高二期末] 已知直线l:y=-+m与曲线C:y=恰有三个不同的交点,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-,0)∪(0,)
B.[1,)
C.(0,)
D.(1,)
16.(15分)已知曲线C的方程是(1-a2)x2+y2+a2-1=0,其中a>0,且a≠1,直线l的方程是y=x-a.
(1)请根据a的不同取值,判断曲线C是何种圆锥曲线.
(2)若直线l交曲线C于M,N两点,且线段MN的中点的横坐标是-2,求a的值.
(3)若a=,试问曲线C上是否存在不同的两点A,B,使得A,B关于直线l对称 并说明理由.