青海省西宁市大通回族土族自治县第二完全中学2025-2026学年高二上学期第一次教学质量检测数学试卷（含解析）

青海省西宁市大通回族土族自治县第二完全中学2025-2026学年高二上学期第一次教学质量检测数学试卷
一、单选题
1．在空间四边形中，（ ）
A． B． C． D．
2．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在长方体中，M为棱的中点. 若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为60°，则t等于（ ）
A．1 B．－1 C．－1或1 D．2
6．已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．3
7．已知正四棱锥的各棱长均相等，点E是的中点，点F是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（ ）．
A． B． C． D．
8．已知三棱锥的体积为13，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题
9．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．已知四边形是平行四边形，，，，则（ ）
A．点D的坐标是 B．
C． D．四边形的面积是
11．在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（ ）
A．平面平面
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，存在点，使得
D．当时，存在点，使得平面
三、填空题
12．在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为 .
13．已知向量，若向量、、共面，则实数等于 ．
14．在四棱柱中，四边形是正方形，，，，则的长为 .
四、解答题
15．已知，.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
16．已知正四面体的棱长为2，点G是的重心，点M是线段的中点.
(1)用，，表示，并求出；
(2)求.
17．如图，在四棱锥中，，，平面平面ABCD，，M，N分别是AD，CQ的中点．
(1)证明：；
(2)若，直线MN与平面QBC所成角的正弦值为，求QM的长度．
18．如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点.
(1)证明：平面；
(2)当点为棱的中点时，证明：平面平面；
(3)若二面角的余弦值为，求的值.
19．在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．
(1)求经过的直线的点方向式方程；
(2)已知平面，平面，平面，若，证明：；
(3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C C C D C ABD BD
题号 11
答案 ABD
1．B
【详解】.
故选：B．
2．B
【详解】因为A，B在直线l上，所以，
与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线.
故选：B
3．A
【详解】由题意得，.
故选：A．
4．C
【详解】已知向量，，
则向量在向量上的投影向量为.
故选：C
5．C
【详解】因为法向量，所成的角与两平面所成的角相等或互补，
所以，得t＝±1．
故选：C．
6．C
【详解】因为，，则，
点在平面内，点平面外，
平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故选：C.
7．D
【详解】设相交于点O，根据题意，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
不妨设，则，，
则，，，，，
因为点E是的中点，点F是的中点，
所以，，
所以，，
则，
因为异面直线夹角的取值范围是,
所以异面直线和所成角的余弦值是．
故选:D．
8．C
【详解】由
，
因为，所以在平面内存在一点，使得
成立，即，
，
故选：C

9．ABD
【详解】A中，，所以，，共面，故A正确；
B中，，所以，，共面，故B正确；
C中，假设，，共面，则存在非零实数，满足，
整理可得，故，
不存在满足条件的实数，故假设不成立，所以，，不共面，故C错误；
D中，，所以，，共面，故D正确.
故选：ABD.
10．BD
【详解】不妨设点D坐标为，因为四边形是平行四边形，所以，
即，所以，，，所以点D坐标为，故A错误；
，故B正确；
，，所以，故C错误；
因为，所以四边形的面积，故D正确.
故选：BD
11．ABD
【详解】以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，.
设平面的一个法向量为，，，
则，令，解得，，
所以平面的一个法向量，
又，，
因为，
故.设平面的一个法向量为，
则，令，解得，，
所以平面的一个法向量，又，所以，
所以平面平面，故A正确；
当时，点，设平面的一个法向量，，，
则，
令，解得，，所以平面的一个法向量为，
且，所以点到平面的胜离为，
又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确；
当时，此时，所以，，
所以，
所以不存在点，使得，故C错误；
当，此时，所以，，，
因为，要使平面，
则，解得，符合题意，
故存在点，使得平面，故D正确.
故选：ABD
12．
【详解】点关于轴对称点的坐标为.
故答案为：
13．10
【详解】因为向量、、共面，所以存在实数、使得．
所以，所以．
故答案为：
14．
【详解】如图所示：

由题意知，
所以
，
所以，即的长为.
故答案为：.
15．(1)
(2)或
【详解】（1），，
若，则，
即，，，解得.
（2），，
若，则，
即，化简可得，
解得或.
16．(1)，
(2)
【详解】（1）因为点M是线段的中点，点G是的重心，
所以，
因为，
所以
，
∴.
（2）
.
17．(1)证明见解析；
(2)或
【详解】（1）∵M是AD中点，，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，平面QAD，
∴平面ABCD，又平面ABCD，∴．
（2）取BC中点F，连接MF，
∵M，F分别为AD，BC中点，，
∴，又，∴；
以F为坐标原点，，正方向为x，y轴正方向，过F作z轴，可建立如图所示空间直角坐标系
设，
∵，，
∴，，，，，
∴，，；
设平面QBC的法向量，则，
令，解得，，∴；
∴，
解得或，故QM的长为或
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）取的中点，连接，
在中，为中位线，所以，且，
因为四边形为直角梯形，，所以，
又，所以，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）易知两两垂直，以为坐标原点，
以直线，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
因为，
且，
所以，即，
因为平面，所以平面，
又平面，故平面平面.
（3）设，则由（2）知，所以，
设平面的一个法向量，则，即，
取，解得，所以，
由（2）可知，向量是平面的一个法向量，
因为二面角的余弦值为，
所以，
整理，得，解得，或（舍去），
所以，则，故.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由得，直线的方向向量为，
故直线的点方向式方程为．
（2）由平面可知，平面的法向量为，
由平面可知，平面的法向量为，
设交线的方向向量为，则，
令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，即，
且，所以．
（3）因平面经过三点，可得，
设侧面所在平面的法向量，
则，令，解得，可得，
由平面可知，平面法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，解得，即，
则，
故平面与平面夹角的大小为．