第二十三章 旋转 章末能力检测试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十三章 旋转 章末能力检测试题 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到．当恰好落在上时，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（ ）
A．与关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称
C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，每次旋转．已知第1次旋转结束时，得到（点，，均为格点），则第82次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线与轴交于点，为轴负半轴上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③
10．如图，正六边形的顶点对应的坐标分别为和，将正六边形沿轴正方向滚动，每滚动一次都会有一条边落在轴上，有下列说法：
①滚动一次后，点落在点处；
②正六边形的顶点不可能和点重合；
③在滚动过程中，顶点可能和点的重合．
其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
11．如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是 ．
12．如图，与关于点成中心对称，，，，则点到的距离是 ．
13．如图，将绕点旋转得到，若点的坐标为，则点A的坐标为 ．

14．如图所示，在 中，，，，将 绕顶点 C 逆时针旋转得到， 与 相交于点 P．则 的最小值为 ．
15．一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得；交x轴于点；…若是其中某段抛物线上一点，则 ．
16．已知中，，，，分别是，的中点，连接，将绕顶点旋转，当点到直线的距离为1时，的长为 ．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)平移，使得点A的对应点的坐标为，画出平移后的；
(2)画出关于原点的中心对称图形．
(3)将绕原点逆时针旋转得，画出 ．
18．如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点．
(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数；
(2)求的长．
19．图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）
（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
20．如图，在中，点D是边的中点，已知，．

(1)画出关于点D的中心对称图形；
(2)根据图形说明线段长的取值范围．
21．如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，．
(1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点；
(2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______．
23．已知：如图1，中，，D、E分别是上的点，，不难发现的关系．
(1)将绕A点旋转到图2位置时，写出的数量关系；
(2)当时，将绕A点旋转到图3位置．
①猜想与有什么数量关系和位置关系？请就图3的情形进行证明；
②当点C、D、E在同一直线上时，直接写出__________．
24．【综合实践】
中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形．
【操作体验】
（1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形；
【深入探究】
（2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B A A C D A D
1．C
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律．根据原点对称的性质，两个对称点的横纵坐标均互为相反数，直接应用即可得出答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
根据中心对称图形的定义解答即可．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为，
∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合，
∴角的大小可以为，
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键．
由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
∴，
在中，，
∴，
解得：．
故选：B
5．A
【分析】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称的性质进而可得答案．
【详解】解：绕点O旋转得到，
A、与关于点O成中心对称，符合题意
B、点B和点E关于点O对称，说法正确，不符合题意；
C、∵绕点O旋转得到，
∴，，
∴，
∴说法正确； 不符合题意；
D、∵绕点O旋转得到，
∴，
∴，
∴说法正确； 不符合题意；
故选A．
6．A
【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为，同时旋转中心在和的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标，然后得到每旋转4次一个周期，由得到第82次旋转结束时，点的对应点的坐标和点H的坐标相等，进而求解即可．掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为，
∴交点在和的垂直平分线上，如图，
∴旋转中心的坐标为，
如图所示，设旋转中心为M，将绕点M顺时针旋转得到，将绕点M顺时针旋转得到，将绕点M顺时针旋转得到，
∴每旋转4次一个周期
∵
∴第82次旋转结束时，点的对应点的坐标和点H的坐标相等
∴点的对应点的坐标为．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角．
根据平行四边形的性质得到，由旋转的性质得到，，根据等边对等角得到，即可求出旋转角的度数．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵绕顶点A按顺时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
故选：C
8．D
【分析】本题考查二次函数的图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键．先求出，然后设点的坐标为，过点作于点，证得，即可得点的坐标为，代入二次函数解析式即可求解．
【详解】解：令，则，
，
设点的坐标为，过点作于点，
由旋转可得：，，
，
，
，
，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
把代入得，
解得，舍去，
点的坐标为，
故选：D．
9．A
【分析】连接，根据旋转性质可以确定，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出结论①；根据旋转性质证明从而得出结论②；证明，通过勾股定理从而得出结论③；延长交于点H，通过平行线的判定与性质即可证明结论④．
【详解】解：如图，连接，
矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，
，
F为的中点，
，故①正确；
矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，
，，
，
，
， F为的中点，
，
，
，
，
又，，
，
，故②正确；
，,，
，
，
为等腰直角三角形，
，故③正确；
如图，延长交于点H，
，，
，
，
，即，
，
，
，故④正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质求解，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
10．D
【分析】本题主要考查了正多边形的性质和旋转的性质．核心素养表现为空间观念和推理能力．
根据正多边形的内角和定理得到，，如图，连接，过点作于点，由含角的直角三角形的性质，旋转的性质，数学结合分析即可求解．
【详解】解：在正六边形中，每个内角的度数为，即，
∵顶点对应的坐标分别为和，
∴正六边形的边长为2，即，
如图，连接，过点作于点，则，
，，
，，，
滚动一次后，点落在处，
点的坐标为，①正确；
点的坐标为，每滚动一次，落在轴上的边的右侧顶点的横坐标就会增加2，
正六边形的顶点不可能和点重合，②正确；
由图可知，当正六边形滚动三次后，点的坐标为，③正确．
故选：D．
11．
【分析】本题考查了旋转的性质、找旋转中心，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．
先根据旋转的性质得出点的对应点为点，点的对应点为点，连接、，作线段、的垂直平分线，它们的交点为，即可得到答案．
【详解】解：绕某点旋转，得到，
点的对应点为点，点的对应点为点，
如图，连接、，作线段、的垂直平分线，它们的交点为，
，旋转中心的坐标是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键．过点作于点，先根据中心对称图形的性质可得，，，利用勾股定理可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵与关于点成中心对称，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即点到的距离是，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的判断与性质等知识点，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
分别过点和点作y轴的垂线，构造出全等三角形即可解答．
【详解】解：如图：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为D、E，

∵，，
∴，，即，
由旋转可知，，
∵轴，轴，
，
在和中，
，
，
，
∴
∴点A的坐标为．
故答案为：．
14．
【分析】该题考查了旋转的性质，勾股定理，当与垂直时，有最小值，即为直角三角形斜边上的高，由勾股定理求出长即可．
【详解】解：当与垂直时，有最小值，如图．
，
，
，
由旋转的性质得，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据平移规律得出的解析式是解题的关键．
求出抛物线与轴的交点坐标，然后得到，，，，求出，，，的解析式，然后找到规律，求出的解析式，然后把点P的横坐标代入计算即可得解．
【详解】解：∵一段抛物线：，
∴图象与x轴交点坐标为：，，
∵将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；
∴，，，
∴的解析式为，的解析式为，的解析式为，的解析式为，
∵
∴的解析式为，
∴当时，．
故答案为：．
16．，或
【分析】根据三角形中位线求得，利用勾股定理求得的长度，再利用旋转的性质，根据点到直线的距离为1，分类讨论求解即可．
【详解】解∵中，，，分别是，的中点，
∴为直角三角形

∵
∴，，
∴
若点到直线的距离为1，则可分四种情况进行讨论，
①当点在直线的右侧，点在上方时，如图（1）过点作，
∵点到直线的距离为1，
∴，三点共线，
∵，
∴四边形是矩形
∴，，
∴
∴；
②当点在直线的左侧，点在上方时，如图（2）过点作交延长线于点，过点作，则
∵点到直线的距离为1，
∴
∴
由题意可得：四边形为矩形
∴，
∴
∴；
③当点在直线的左侧，点在下方时，如图（3）
∵点到直线的距离为1，
∴
∴四边形为矩形，
∴，三点共线
∴；
④如图（4）当点在直线的右侧，点在下方时，
，，点到直线的距离为1
可以确定点在线段上，且
则
综上，的长为，或,
故答案为：，或
【点睛】此题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解．
17．(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
（1）利用点和点的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出点、的对应点，从而得到；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可；
（3）利用网格特点和旋转的性质分别画出点、、的对应点，从而得到．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作；
（3）解：如图，为所作．
18．(1)旋转中心为点A，旋转角的度数为；
(2)．
【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质．
（1）先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角的大小；
（2）由旋转的性质，，再根据为的中点，据此求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
∴，
∵当逆时针旋转一定角度后与重合，
∴旋转中心为点A，旋转角的度数为；
（2）解：由旋转得，，，
∵为的中点，
∴，
∴．
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案；
（2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形．
．
【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了画中心对称图形，三角形三边关系的应用，根据题意正确作图是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质作图即可；
（2）根据中心对称图形的性质和三角形三边关系解答即可．
【详解】（1）解：如图所示，关于点D的中心对称图形即为所求：

（2）解：由中心对称的性质可得，点共线，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可知，，从而可求，进而可证，即得出；
（2）设相交于点F，则．由等边对等角结合三角形内角和定理可求出，从而可求出，进而可得．
【详解】（1）证明：由题意可知，，
∴，即．
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，设相交于点F，

∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
22．(1)是中心对称，图见详解
(2)
【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称图形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）证明四边形使得平行四边形可得结论；
（2）利用中心对称图形的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：是
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是中心对称图形，
如图，对角线的交点即为旋转中心．
（2）因为平分四边形的面积，
所以点是的中点，
设，则有，
，
．
故答案为：．
23．(1)
(2)①，，证明见解析；②或
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．
（1）证明，即可作答；
（2）①同理先证明，即有，在和中，根据，即有，则有，问题的解；
②分两种情况：第一种，当点C、D、E在同一直线上，且点D在线段上时，第二种：当C、D、E在同一直线上，且点E在线段上时，画出图形，结合等腰中，，以及，即可作答．
【详解】（1）解：，
即，
在和中，
，
；
（2）①，，
证明：，
，
即，
在和中，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
因此，；
②当点C、D、E在同一直线上，且点D在线段上时，如图所示，
在等腰中，，
，
，
；
当C、D、E在同一直线上，且点E在线段上时，如图所示，
在等腰中，，
，
，
，
故的度数为或．
24．（1）见详解（2），理由见详解，（3）
【分析】（1）按要求作图即可
（2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可；
（3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值；
【详解】（1）图即为所作，
（2）数量关系：，
理由如下：逆时针旋转
由题意得：如图，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
；
（3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，，
，
，，，，，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点共线时，有最小值，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键．
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