第二十三章 旋转-- 利用旋转进行计算 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十三章 旋转-- 利用旋转进行计算 重点题型梳理 专题练
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、利用旋转结合等腰（边）三角形、垂直、平行的性质求角度
1.如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，则的度数是 ．
2.如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为 ．
3.如图，将△绕顶点旋转得到，且点刚好落在上．若，，则的度数为
4.如图，中，，将绕点逆时针旋转度（）后得到，点恰好落在上，，则 °．
二、利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度
5.如图，将绕点按顺时针方向旋转得到（即），连接．若，则 ．
6.如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段的长度是为 ．
7.如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ．
8.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接．则的长为 ．
三、利用旋转的性质求几何图形的面积
9.如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
10.如图，两个边长相等的正方形和，若将正方形绕点O按逆时针方向旋转，则两个正方形的重叠部分四边形的面积（ ）
A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大
11.将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 ．

12.如图，中，，对角线绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交于点E、F，若，则图中阴影部分的面积是 ．
综合练
一、单选题
1．如图，绕点旋转到，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，将绕点逆时针方向旋转60°到的位置，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．3 D．2
4．如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接．点D恰好落在线段上，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
5．如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，，，则为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题
6．如图，中，，将绕点O顺时针旋转得到，边与边交于点C（不在上），则的度数为 ．
7．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则 ．
8．如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角 ．
9．如图， 直角三角形 和直角三角形 中，，，，点 D 在边上，将图中的三角形 绕点 O 按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中， 在第 秒时， 边 恰好与边 平行 ．
10．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转度（），得到，，的对应点分别为，．边，分别交直线于，，当是直角三角形时，则 ．
答案
一、利用旋转结合等腰（边）三角形、垂直、平行的性质求角度
1. 解：由旋转的性质可得：，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
由图形旋转的性质可得，．
∵
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
解：由旋转的性质可得：，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
解：由旋转的性质可得，
∵中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
二、利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度
5. 解：∵绕点A按顺时针方向旋转得到，
即，，
是等边三角形，
，
．
故答案为：3．
6. 解：如图，在的上方作，且使，连接，．过点作于点
，，
，
∴，
，
∴，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
又，
，
，
，．
，
，
故答案为：．
三角形求出点的坐标是解题的关键．
解：过点作轴的垂线，垂足为，
，
，
又，
，
．
在和中，
，
，
，．
又∵，，
，，
所以点坐标为，
则，．
在中，
．
故答案为：．
解：在中，，，
故，
由旋转的性质可知：，，
∴，
在中，，，
故．
故答案为：．
三、利用旋转的性质求几何图形的面积
9. 解：如图，设分别交于点，交于点，
绕点顺时针旋转得到，，
，
∴，
，
，，，
．
故选A．
10. 解：∵四边形、四边形是两个边长相等正方形，
∴，
∴，
即，
∵在和中，
，
∴，
∴两个正方形的重叠部分四边形的面积是，
即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于，
故选：A．
解：如图，连接、，
，
，
，，
，
，
一个阴影部分的面积等于正方形的面积的，
四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积，
五个正方形的边长都为，
四块阴影面积的总和为，
故答案为：9．
解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
∵点O是的中点，
∴点O在上，且点O是的中点，
∴的面积＝的面积，
∵，
∴的面积＝的面积，
再由旋转性质同理可得，的面积，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：．
综合练
一、单选题
1． 解：∵绕点旋转到，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即的度数是．
故选：A．
解：∵将绕点A逆时针旋转得到．
∴，，
∴，
∴，，
∴；
故选：B
解：如图，过点作于点D，
∵将绕点A逆时针方向旋转到的位置，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，阴影部分的面积等于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即阴影部分的面积是．
故选B．
解：在中，，
∴；
由旋转可知，
∴，
由旋转得：，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
解：，，
，
绕点C逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
在中，，
，
解得．
故选：A．
二、填空题
6． 解：绕点顺时针旋转得到，，
，，
在中，．
故答案为：．
7． 解：∵绕点顺时针旋转后得到的，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
8． 解：在中，，
，
由旋转的性质可知，，
，
；
故答案为：．
解：设为x轴（点O为原点），
∵，点D在上，
∴为x轴，即与垂直．
在中，，故与轴）的夹角为，即的倾斜角（从x轴正方向逆时针测量）为．
在中，，，点D在上，初始时的倾斜角（从x轴正方向逆时针测量）为（由题意可知）．
设旋转时间为t秒，三角形顺时针旋转的角度为度，旋转后的倾斜角为．
当与平行时，分两种情况：
同向平行（倾斜角相等）：，解得，则秒；
反向平行（倾斜角相差：，解得（等效于顺时针旋转，因旋转一周为，则秒．
两种情况均在旋转一周秒）内，均为有效解．
故答案为：或．
解：∵在中，，，，
∴，，
∵是由绕点逆时针旋转得到，
∴，，，
∵是直角三角形，
∴当时，如图，
，
即，
解得，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
当时，连接，如图，
∵，
在，，
综上，的值为4或．
故答案为：4或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)