第二十三章 旋转--几何图形中的旋转综合问题 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十三章 旋转--几何图形中的旋转综合问题 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、线段的旋转
1．如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．
(1)______°；
(2)取中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
2．已知，点B，C分别在射线上，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作的垂线交射线于点
(1)如图1，当点D在射线上时，求证：C是的中点；
(2)如图2，当点D在内部时，作，交射线于点F，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
二、直角三角形的旋转
3．综合与探究
【问题情境】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，数学课上，同学们用两个全等的直角三角形进行探究．
【探索发现】
（1）如图1，已知，，，，将点与重合，点与点重合，与交于点，发现此时线段，请尝试证明．
【猜想证明】
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点分别为，，当点落在线段上时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
【深入探究】
（3）在旋转过程中，当时，直接写出线段的长度．
4．综合与实践
数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究．
【活动一】拼接
（1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点与点重合，点与点重合），求四边形的周长；
【活动二】平移
（2）在图2中，将纸片沿射线的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形，如图3所示．
①求证：四边形是平行四边形；
②若点为的中点，则四边形的周长为_________．
【活动三】旋转
（3）在图3中，当点为的中点时，将绕点顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数．
三、等腰三角形的旋转
5．【问题背景】如图①，在和中，，，，连接，．
【特例研究】
（1）当点D在上，时，与的数量关系为______；
【拓展探究】
（2）将绕点A旋转至图②位置，（1）中结论是否成立？说明理由；
【迁移应用】
（3）将绕点A旋转，当时，若，，______．
6．综合与实践
已知等边三角形中，点，分别在，边上，且，将绕点旋转，连接，．
【问题背景】
（1）如图①，当点，分别在，边上时，线段和的数量关系为________；
【问题迁移】
（2）当旋转到如图②的位置时，线段和的数量关系为________；和的数量关系为________，并说明理由；
【问题拓展】
（3）当点旋转到线段上时，如图③所示，若，，则的长为________；
（4）若，，则在旋转的过程中，当时，的长为________．
四、菱形的旋转
7．如图1，在菱形中，，，连接，交于点．
(1)求菱形的面积；
(2)如图2，将菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形，点，，，的对应点分别为，，，．
①当点落在上时，判断与的位置关系，并说明理由；
②连接，当平行于菱形ABCD一边时，求出的值；
(3)在（2）的条件下，连接，当垂直于菱形的一边时，直接写出的长．
8.在菱形中，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点E的位置随点P的位置变化而变化．
(1)如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)如图2，当点P、E都在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图3，若四边形为正方形，点P在对角线上，，交边于点E，连接交于点F．请求出的度数并直接写出线段之间的数量关系．
五、矩形的旋转
9．如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点F恰好落在的延长线上．

(1)证明：；
(2)证明：的延长线经过点B．
10．综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动，探究求某条线段长度的不同方法，体验数学的无穷魅力．
已知矩形，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接．
(1)操作发现：
如图1，当时，______，如图2，当时，______；
(2)初步探究：
如图3，当边经过点时，求的长；
(3)拓展延伸：
如图4，若，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积和的长．（结果用含的式子表示）
六、正方形的旋转
11．如图1，在正方形 和正方形 中，点 C在边 上，连接，．
(1) 与 的位置关系是 ；
(2)将正方形 绕点 D按顺时针方向旋转，使点 E 落在 边上，如图 2，连接 ，，与 有怎样的位置关系？并证明你的结论．
12．如图①，四边形与四边形是共一个顶点的两个大小不同的正方形．
【操作发现】
（1）如图②，正方形绕点A逆时针旋转，使点E落在边上，线段与的数量关系是________，与的关系是________．
【猜想证明】
（2）如图③，正方形绕点A逆时针旋转某一角度时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图④，正方形绕点A逆时针旋转，使点F落在直线上，当时，直接写出的长度．
提升练
一、单选题
1．如图，线段在直角坐标轴中，已知，将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，将绕点A逆时旋转α（）得到（点B与点D对应），线段交线段于点O，当时，旋转角α为（ ）
A． B． C． D．
3．把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，点，将菱形绕点逆时针旋转得到四边形，使得点的对应点落在的延长线上，交于点，则点的横坐标为（ ）
A．2 B． C． D．
5．如图，在矩形中，，以点为旋转中心，将矩形按顺时针方向旋转，得到矩形，点的对应点分别是点．当点落在矩形对角线的延长线上时，的面积为（ ）
A． B． C． D．8
答案
一、线段的旋转
1． （1）解：根据题意得，
∴，
故答案为：；
（2）解：如下图所示，延长至点，使，连接，
∵为中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
（1）证明：连接，
由题意得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点C是的中点；
（2）解：，理由如下：
在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
二、直角三角形的旋转
3． （1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
由旋转得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）如图3，将绕点逆时针旋转，点D，F的对应点分别为，，
∴，
∵，
∴，
∴，C，B三点共线，
过作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图4，将绕点逆时针旋转，点D，F的对应点分别为，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴C，B，三点共线，
∴过作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，线段的长度为或．
4． 解：(1)根据题意，由锐角直角三角形的性质可得：
，
．
∴四边形的周长为：
．
(2)①证明：∵平移前，，A、F两点重合，C、D两点重合，
∴，
∴，
∵，
∴根据平移的性质，，
∴四边形为平行四边形．
②根据题意可得和是的中位线，则，
由平行线四边形的性质，四边形的周长为：
．
故答案为：9．
(3)如图，
当顺时针旋转时位于；当△DEF顺时针旋转时位于．
①当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为．
∵，
．
，
为等边三角形，符合题意．
②当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为．
∵，
∴为等腰三角形，符合题意．
故旋转角为或．
三、等腰三角形的旋转
5． 解：（1）∵，点D在上，
∴点E在上，
∵，，
∴，
即；
（2）（1）中的结论成立；理由如下：
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴；
（3）过点A作于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
根据解析（2）可知：．
解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴即，
故答案为：；
（2），，理由如下：
∵是等边三角形，将绕点旋转，
∴，，
∴，
∵，
∴（）
∴，；
（3）过点作于，
由（2）得，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）如图，过点作于，
由（2）得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
四、菱形的旋转
7． （1）解：四边形是菱形，，
，，，，，
，
，，
，
；
（2）①，理由如下：
如图1，由（1）知，，
菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形，
，
，
，
四边形和四边形是菱形，
，，
；
②如图2，
当时，
，
由旋转性质得，，
，
，，
当时图中)，
同理可得，，
，
综上所述：或；
（3）如图2，
当时，设延长线交于，
则，
，，
，
，
，
当时，
则，
当时， ，
综上所述：的长为或．
8. （1）解：如图：连接，延长交于点F，
∵四边形为菱形，
∴，
又∵
∴是等边三角形，，
∵是等边三角形，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∵菱形的对角线平分对角，
∴
又∵
∴，
∵，
∴，
则，
即；
故答案为：，
（2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下：
如图：连接，设与相交于点H
∵四边形为菱形，
∴，
又∵
∴和都是等边三角形，
∴，
则
∵是等边三角形，
∴
∴
又
∴
∴
∵菱形的对角线平分对角，
∴
又∵
∴
∴
∴
则
即；
（3）解：如图所示：过点P分别作，垂足分别是，
∵四边形为正方形，
∴平分
∴，且
又∵，
∴
∴
∴，即为等腰直角三角形，
∴
把绕点A逆时针转，与重合，点P的对应点是
∴
∴，
∵
∴
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴在中，
∴
五、矩形的旋转
9． （1）解：如图：连接，
由旋转性质得，
又∵在矩形中，，
∴；
（2）解：延长交于点，

由旋转性质得，，，
在矩形中，，，
由（1）得，
∴，．
又∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴点与B重合．
∴的延长线经过点B．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形绕点按逆时针方向旋转，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
将矩形绕点按逆时针方向旋转，
∴，
∵，
∴点共线，
∴；
故答案为：，；
（2）解：∵旋转，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，；
（3）解：如图所示，连接，
∵将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，
∴，
∵点落在的延长线上，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，
如图所示，连接交于点，
∵，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
综上所述，四边形的面积为；的长为．
六、正方形的旋转
11． （1）解：；
证明：延长交于点，
在正方形与正方形中，，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：；
证明：延长和相交于点，
在正方形和正方形中，，
∴；
∴，
∴；
又 ∵，
∴，
又 ∵，
∴，
∴，
∴．
12.解：（1）∵四边形，四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）结论仍然成立，
理由如下：∵四边形，四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，当点落在上时，过点G作于H，
∵F落在边上，
∴，
∵，，
在中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当点落在延长线上时，过点G作交延长线与于H，
同理得：，
∴，
∴；
综上，的长度为或．
提升练
一、单选题
1． 解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ．
线段 绕点 逆时针旋转 ，
，，
，，，
，
，
，，
，，
，，
，
．
故选：D．
解：由旋转的性质得，，
∵，
∴，
故，
故选：C．
3． 解：连接、，
四边形是边长为5的正方形，
，，
，
，
把正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，
，，，
，点在上，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形的周长是，
故选：D．
解：∵点，
∴．
由旋转的性质，得，
．
，
，
．
设与轴交于点，
∵
∴，
∵，
∴
∴点的横坐标为，
故选 D．
解：如图，作于点，则，
四边形是矩形，，
，
，
，
，
，
将矩形旋转得到矩形，点在的延长线上，
，
，
，
，
故选：C．
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