第二十一、二十二章 阶段能力综合检测试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一、二十二章 阶段能力综合检测试题 2025-2026
学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．若是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A． B．3 C． D．9
2．抛物线y=(x-2) 2 +1的对称轴是（ ）
A．x=2 B．x=-2 C．x=1 D．x=-1
3．用配方法解方程，配方后方程变形为（ ）
A． B． C． D．
4．关于方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个互为倒数的实数根 B．有两个互为相反数的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
5．已知点在函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．抛物线与坐标轴有3个交点，则（ ）
A． B．且 C． D．且
9．若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的图象与直线有4个交点，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．函数的图象过点，则 ．
12．写出一个对称轴是y轴且开口向下的二次函数表达式： ．
13．已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为 ．
14．二次函数图象的顶点坐标是 ．
15．若点和点均在二次函数的图象上，则 （填“”、“”或“”）．
16．如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米，设矩形菜园的面积为，的长为x，则S关于x的函数关系式是 ．

17．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是
18．如果m是方程的一个根，那么代数式的值为 ．
19．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ．
20．已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：下列结论：
x 0 1 2
y 1 3 1
①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为；③当时，函数值y随x的增大而增大；④抛物线与x轴有两个不同交点．其中正确的结论有 ．
三、解答题
21．用适当的方法解方程：
(1)
(2)
22．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
(1)填空：________，________；
(2)求，；
(3)已知，求的值．
23．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A和点D，与y轴交于点B，且经过第一象限内的点C，已知点A的坐标为，点C的坐标为．

(1)求出二次函数的解析式，并求出点B和点D的坐标；
(2)在图中描出点A、点B、点C和点D，画出这个二次函数的图象；
(3)直接在图中画出直线，根据图象直接写出不等式的解集．
24．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
25．阅读下面的材料并完成解答． 《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：

(1)将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 步；
(2)中间小正方形的面积为 平方步；
(3)若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为 ；
(4)你依据（2）（3）列出关于x的方程，并求矩形田地的宽．
26．如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米，设的长为米，矩形菜园的面积为平方米．
(1)用含的代数式表示______．
(2)若，求的值；
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取最大值，最大值为多少？
27．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计安阳麦秆画的销售方案
素材1 麦秆画是中国独有的特色工艺品之一，是河南安阳市民间剪贴画的一种，被称为“中华一绝”“中国手工艺术精品”，具有极高的收藏价值．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅．
素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅．
素材3 这种麦秆画在实体店的销售价为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上销售的影响，平均每天的销售量为幅．
问题解决
任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式；［毛利润日销量（销售单价成本单价）］
任务2 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？
28．如图，抛物线与轴交，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2．
(1)求抛物线的解析式和点的坐标；
(2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值和此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当线段取得最大值时，请直接写出四边形的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C D A B A B D A
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程--直接开平方法．根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，求得c的值；然后利用直接开平方法求得方程的另一根．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴
解得，；
故方程的另一根是；
故选：A．
2．A
【分析】根据抛物线的顶点式即可解题．
【详解】解：∵是顶点式,
∴对称轴为直线，
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线的性质,属于简单题,熟悉抛物线顶点式是解题关键．
3．C
【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，根据配方法解一元二次方程的步骤解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值，进而即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴方程没有实数根，
故选：．
5．A
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
根据解析式求得对称轴为直线，开口向上，可知离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大，即可求解．
【详解】∵函数的对称轴为，且二次项系数，
∴抛物线开口向上，在对称轴右侧，随的增大而增大．
∵点在对称轴上，点、在对称轴右侧，且，
综上，，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系．根据一次函数通过的象限确定a、b的正负是解题的关键．
根据一次函数的位置确定出，再结合二次函数的图像与系数的关系逐选项去分析即可．
【详解】解：由图象可知，一次函数的图象经过一、二、三象限，可得，
A． 由二次函数图象可知，，不符合题意；
B． 由二次函数图象可知，，符合题意；
C． 由二次函数图象可知，，不符合题意；
D． 由二次函数图象可知，，不符合题意；
故答案为：B．
7．A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式．根据题意用含x的代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案．
【详解】解∶ 设矩形的边，则，
根据题意，得，
故选∶A．
8．B
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点情况，由已知条件可知抛物线与x轴有两个交点，只需即可．
【详解】解：∵抛物线的图象与坐标轴有3个交点，且抛物线与y轴必有一个交点，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴，即，
解得：，
∵当时，抛物线过原点，此时抛物线与坐标轴只有两个交点，
∴，
∴k的取值范围为：且，
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，即得，进而即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故选：．
10．A
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的性质，根据题意得函数的图象过，直线与函数的图象有3个交点，此时，当直线与函数的图象相切时，有3个交点，根据判别式可求出，从而可得出函数的图象与直线有4个交点时b的取值范围．
【详解】解：如图，
根据题意得函数的图象过，
所以，直线与函数的图象有3个交点，此时；
当直线与函数的图象相切时，有3个交点，
∴，
整理得，，
∴，
解得：，
所以，函数的图象与直线有4个交点时，b的取值范围为，
故选：A．
11．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点代入二次函数解析式计算即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵函数的图象过点，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键．
根据题意写出符合题意的二次函数解析式即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴，
∴则一次项系数为0，
取常数项为，二次项系数为，
∴满足题意的二次函数的解析式可以为：．
故答案为：（答案不唯一）
13．2
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根．
【详解】解：由题意可知，，
那么有
即方程的另一个根为2．
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，化为顶点式进行求解．将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数的顶点坐标为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的对称性和增减性，是解题的关键．
根据关于y轴的对称点为，当时，y随x的增大而增大，且，可得．
【详解】解：∵二次函数的开口向上，对称轴为y轴，
∴点关于y轴的对称点为，
∵当时，y随x的增大而增大，，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查的是列二次函数关系式，不等式组的应用，由，，再利用面积公式建立二次函数关系式即可，利用边长的限制条件列不等式组可得x的取值范围．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：，．
17．且
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据方程有两个实数根，得出且，求出k的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：由题意知：且，
解得：且．
则k的取值范围是且．
故答案为：且．
18．15
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
根据一元二次方程的解的定义得到，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵ m是方程的一个根，
，
，
∴
故答案为：15．
19．，
【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可．
【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点，
将代入，得，
∴，
∴原方程为，
解得：，．
故答案为：，．
20．①②③④
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x的交点，解答本题的关键是掌握二次函数的图象及性质，根据图象上两点得出抛物线的对称轴．
由表中数据运用待定系数法可得出二次函数的解析式，根据开口方向可判断①；根据解析式得出对称轴，可判定②；根据函数图形的性质和增减性可判断③；对于，令，则，其判别式，据此判断④；
【详解】把，，代入，
得到，
解得：，
所以函数解析式为．
①由，可得抛物线的开口向下，故①正确；
②由函数的解析式，可得对称轴为，故②正确；
③由函数的对称轴以及二次项系数，可得当时，随的增大而增大，故③正确；
④对于一元二次方程，，所以抛物线与轴有两个不同交点，解得，故④正确．
正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
21．(1)，
(2)，
【分析】本题考查的知识点是因式分解法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，；
（2）解：，
，
，
，．
22．(1)，；
(2)，；
(3)．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
（）利用根和系数的关系即可求解；
（）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；
（）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由根与系数的关系得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
∴．
23．(1)，，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，分别令，求出相对应的值，即可得出答案；
（2）先确定点的坐标，再描点画函数图象即可；
（3）根据图象，找到直线在二次函数上面的范围即可得出答案．
【详解】（1）把和分别代入二次函数解析式，得
解得
∴二次函数解析式为．
当时，；
当时，，
解得，
∴，
（2）如图：

（3）

由图象可知，当时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，描点法画函数图象，二次函数与一次函数的交点等知识，熟练掌握各个知识点是解答关键．
24．(1)y关于x的函数表达式为；
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设，
∵经过点(0， )，
∴
解得∶
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数，当y=0时，有
∴，
解得∶， (舍去)，
∵>6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键．
25．(1)60
(2)144
(3)
(4)；矩形田地的宽为24步
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用：
（1）根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解；
（2）先求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解；
（3）设矩形田地的宽为x步，则长为步，，从而可得小正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可求解；
（4）由②③求得小正方形的面积相等即可得出方程．
【详解】（1）解：∵矩形田地的面积为864平方步，它的长与宽之和为60步，
∴大正方形的边长为 60步；
故答案为：60
（2）解：中间小正方形的面积为平方步；
故答案为：144
（3）解：设矩形田地的宽为x步，则长为步，
∴小正方形的边长为步，
∴小正方形的面积为平方步；
（4）解：由②③可得关于x的方程：．
∴(舍去) ，
∴
答：矩形田地的宽为24步．
26．(1)
(2)9
(3)；96平方米
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键．
（1）根据矩形的性质列式求出；
（2）根据题意得到方程，进而解方程并检验即可得到答案；
（3）先求出，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：
故答案为：.
（2）由题意：
解得：，
（也可以代入法舍去）
（3）
由题意：
当时，取最大值为96平方米.
27．任务1：；任务2：当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元．
【分析】本题主要考查实际问题与二次函数；
任务1：明确日销量和销售单价随降价的变化关系，根据毛利润日销量（销售单价成本单价）列出函数表达式即可；
任务2：根据网上和实体店的毛利润，构建总毛利润函数，将两个独立的利润表达式合并，再转化为二次函数求最大值即可．
【详解】解：任务1：．
任务2：设总毛利润为元．
，
，
当时，最大，最大值为4440，此时网上销售价为（元）．
当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元．
28．(1)；
(2)；；
(3)
【分析】（1）由题意得抛物线的解析式为：；即可求解　；
（2）求出直线的解析式为：；由题意得，，推出；
（3）根据即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交，，
∴抛物线的解析式为；
当时，；
∴；
（2）解：设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：；
由题意得：，，
∴；
∵，
∴当时，；
此时，，即；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与线段和面积的综合问题，掌握二次函数的相关性质是解题关键．
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