第二十三章 旋转-- 关于原点对称的点的坐标 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十三章 旋转-- 关于原点对称的点的坐标 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、求关于原点对称的点的坐标
平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2． 点关于原点的对称点是（ ）
A． B． C． D．
3． 在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，已知点，则点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
4． 点关于原点对称的点坐标是 ．
二、已知关于原点对称的点的坐标求参数的值
已知点与点是关于原点的对称点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6． 已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且点A与点B关于原点对称，，则的值为（ ）
A． B． C．-3 D．3
7． 若点与关于坐标原点对称，则a，b的值分别为（ ）
A．和3 B．2和3 C．2和 D．和
8． 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则 ．
9． 若点与点关于原点成中心对称，则的值是 ．
三、已知两点坐标求对称方式
把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（ ）
A．B．C． D．
11． 在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
12． 在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为
四、利用关于原点对称求平行四边形中的点的坐标
平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是 ．
五、有关原点对称的作图问题
如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)请画出关于坐标原点O成中心对称的；
(2)若绕原点O顺时针旋转后得到，请直接写出点的坐标为（___， ）；
(3)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，则旋转中心坐标为_______．
15． 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，
(1)画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标；
(2)求出图中C绕O点旋转到所经过的路径长．
16． 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
(2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的．
六、原点对称与三角形面积问题
如图，在的正方形网格中，每个格子的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点上，将先向右平移2格，再向下平移3格，得到．
(1)请在网格图中画出平移后的；
(2)若与关于点成中心对称．请在网格图中画出；
(3)若在格点上存在点，且点异于点，使得，这样的点一共有_____个．
七、原点对称与平行四边形问题
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，）
(2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，）
(3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______．
八、原点对称与线段最值
如图，三个顶点的坐标分别为，，.
(1)请画出关于原点对称的；
(2)在轴上求作一点P，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标．
九、关于原点对称的变化规律问题
如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为( )
A． B． C． D．
21． 在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，若按此规律继续以、、为对称中心重复操作，依次得到，，，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
十、函数新定义问题与原点对称
22． 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
23． 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
提升练
24．（22-23九年级上·四川南充·期末）如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为（ ）．
A．2 B． C．6 D．
25．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，把菱形绕点O逆时针旋转，使点A落到y轴上，则旋转后点B的对应点的坐标为（ ）

A． B．
C．或 D．或
26．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）若函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数称为“美好函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”．若点是关于的“美好函数”上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧．有下列结论①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
27．（24-25九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点．对于点给出如下定义：若，，点在x轴下方，点关于原点的对称点为Q，我们称点Q为点P关于点M为直角顶点的“变换点”；则P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为 ；若直线（）上存在点P关于点M为直角顶点的“变换点”，则k的取值范围为 ．
28．（24-25九年级上·北京·期中）对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，．
(1)在点，，中，点 是线段关于原点O的“伴随点”；
(2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
(3)已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
答案
一、求关于原点对称的点的坐标
1． 解：点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均取相反数；
因此，原横坐标变为，原纵坐标变为，
对称点的坐标为．
故选：D．
解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为．
∴关于原点的对称点坐标为．
故选C．
解：∵点和点关于原点对称，点，，
∴点的坐标是，
故选：A．
解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
二、已知关于原点对称的点的坐标求参数的值
5． 解：根据题意，点与点是关于原点的对称点
∴，，
解得，，
∴．
故选：A．
6． 解：∵点与点关于原点对称，
∴，．
∵，
∴．
故选：D．
7． 解：∵点与关于坐标原点对称，
∴，
故选：C．
解：∵点关于原点对称的点为，
∴，，
，
故答案为：．
解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，，
∴．
故答案为：
三、已知两点坐标求对称方式
10． 解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称，
得到的图形是关于原点对称的图形，
故选：C．
11． 解：点和点的横纵坐标都互为相反数，
A、两点关于原点对称，
故选：C．
12． 解：∵，，两个点的横纵坐标均为相反数，
∴点关于原点对称，
∴对称中心的坐标为：；
故答案为：．
四、利用关于原点对称求平行四边形中的点的坐标
13． 解：∵平行四边形的四个顶点坐标分别是，
∴点A与点C关于原点对称，
∴点B与点D关于原点对称，
∴，
解得：，
故答案为：．
14． （1）解：如图，即为所作；
（2）由旋转作图可知，；
（3）解：如图，连接，，作线段和的垂直平分线，其交点D即为旋转中心，
∴由图可知旋转中心坐标．
五、有关原点对称的作图问题
15． （1）解：如图所示：
；
（2）解：如图可知，图中C绕O点旋转到所经过的路径长为以为圆心，4为半径圆周长的一半：．
16． （1）解：如图所示，为所求，点的坐标为；
（2）解：如图所示，为所求．
六、原点对称与三角形面积问题
（1）解：如图
（2）解：如图
（3）解：如图所示：
中为底，根据，可知点到的距离与到距离相等的格线与格点的交点（除）有3个，
所以点共3个．
故答案为：3．
七、原点对称与平行四边形问题
（1）解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，
∴，，，
如图：
故答案为：；
（2）解：∵关于原点O成中心对称的，
∴，，，
如图：
故答案为：；
（3）解：∵四边形是平行四边形，
∴，为对角线，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
八、原点对称与线段最值
（1）如图所示；
（2）作点关于x轴的对应点，连接交x轴于点P，则点P为所求的点，连接，则为所求的三角形．此时点P坐标为．
九、关于原点对称的变化规律问题
解：∵，
∴每旋转八次一个循环．
∵余4，
∴第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同．
连接和，
∵四边形是矩形，
∴和互相平分，
∴，，
∴，，
∴点D的坐标为．
又∵，
∴第4秒旋转结束时的点D与点关于坐标原点对称，
∴此时点D的坐标为．
即第100秒旋转结束时，点D的坐标为．
故选：B．
解：点关于点的对称点为，
点关于点的对称点为，
点关于点的对称点为，
点关于点的对称点为，
点关于点的对称点为，
点关于点的对称点为，
点关于点的对称点为，
……
观察发现，坐标每6个循环一次，依次为、、、、、，
，
点的坐标为，
故选：C
十、函数新定义问题与原点对称
解：∵点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，
∴点关于原点对称，
∴，
∴，
将代入中，，
解得：，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
∴，即，
∴，
故④正确，符合题意，
∵，
∴，，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴③错误，不符合题意，
综上所述：正确的是①②④，
故选：C．
解：∵点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴，，
∴，，
代入
得 ，
∴，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
∴，
∴，
∴，
∴④正确，符合题意，
∵，
∴，，
当时，，
∵，
∴，
∴，即，③错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
提升练
解：∵四边形菱形且对角线交于原点O，
∴点D与点B关于原点成中心对称，
∴，
∴．
故选：D．
解：如图，过点作轴于点，
，
由旋转的性质可得：
，，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
点的坐标为，
由题意可得，点旋转后在轴正半轴或负半轴，即当点旋转至轴的负半轴时所得到的菱形与点位于轴正半轴时得到的菱形关于原点中心对称，
点与点关于原点对称，
点的坐标为，
旋转后点的对应点（或）的坐标为或，
故选：．
解：∵点是关于x的“美好函数”上的一对“美好点”，
∴关于原点对称，
∴，
∴，
代入
得 ，
∴，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
∴，
∴，即
当时，两边同乘a得：，无公共解集，舍去．
当时，两边同乘a得：，
∴，
∴③正确，符合题意，
∵，
∴，
∵
∴，
整合条件：
三式相加得：，
∵时，，
∴，
∴④错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②③．
故选：A．
解：如图，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，关于原点对称，
∴，
∴P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为；
如图，，，过点作轴于点，
，
，
，
，
∴，
在和中
，
（），
，，
，
，
点关于原点的对称点为，
，即：P关于点A为直角顶点的“变换点”坐标为，
同理，点P关于点D为直角顶点的“变换点”坐标为，
点P关于点C为直角顶点的“变换点”坐标为，
如图，点关于点为直角顶点的“变换点”的轨迹为正方形，
直线上存在点关于点为直角顶点的“变换点”，
直线与正方形的边有交点，
当时，，
解得：，
直线经过定点，
（ⅰ）当直线经过时，
，
解得：；
（ⅱ）当直线经过时，
，
解得：；
综上所述：．
故答案为：，．
（1）解：∵，，
轴，
如图所示，点绕点O顺时旋转得到的对应点分别为：，
其中点，在线段上，
∴和是线段关于原点O的“伴随点”，
故答案为：和；
（2）解： ，，，
在第一象限，
∵点是关于原点O的“伴随点”，
∴点在第二象限，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则：，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
在第一象限，
，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴，
当在上时，m值最小，即，解得：，
当在上时，m值最大，即，解得：，
∴；
（3）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
∴其关于原点对称的抛物线解析式为，
如图：绕点O逆时针旋转得到，其中，
∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，
∴当过时，n的值最大，
把代入得，
解得：，
n的最大值为，
当过时，n的值最小，
把代入得，
解得：，
n的最小值为．
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