第二十三章 旋转--图形的旋转 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十三章 旋转--图形的旋转 常见题型总结练
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、找旋转中心、旋转角、对应点
1．如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点、、、中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是 ．
2．如图， 与都是等腰直角三角形，，和都是直角，如果经旋转后能与重合，那么旋转中心是点 ，绕中心逆时针旋转了 ．
3．如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，小明发现：线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的坐标可以是 ．
4．如图所示，在三角形中，，D是边上的一点，三角形经过旋转后到达三角形的位置．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果M是的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？
二、求绕某点旋转90°点的坐标
5．已知点，将线段OA绕点O旋转90度得到线段，则点A的对应点的坐标是 ．
6．如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是 ．
7．如图，直线分别与轴，轴交于点，将绕着点顺时针旋转90°得到，则点的对应点的坐标是 ．
8．在平面直角坐标系中，把点向右平移8个单位得到点，再将点绕原点旋转得到点，则点的坐标是 ．
三、平面直角坐标系中旋转作图
9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，按要求解答问题：
(1)将向下平移4个单位得到，画出图形；
(2)将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，画出图形；
(3)直接写出的长度．
10．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．
(1)作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标．
(2)作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标．
11．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）．
(1)将绕点旋转得到，作出；
(2)将向上平移4个单位得到，作出；
(3)已知是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，写出中的对应点的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，，将绕点逆时针方向旋转得到，点的对应点的坐标为，点在轴上．
(1)点的坐标是 ，旋转角的度数为 ；
(2)画出旋转后的；
(3)线段的延长线与线段交于点，则的长为 ．
四、坐标与旋转规律问题
13．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是 ．
14．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系（如图所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别落在轴正半轴和轴正半轴上，．若将正方形绕点按顺时针方向依次旋转后得到正方形、正方形、正方形、正方形……则点的坐标是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限，点，，，且．将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的纵坐标为 ．
五、旋转综合题——几何变换
17．如图，绕点A逆时针旋转得到（点与点B是对应点，点与点C 是对应点，点与点D 是对应点），点恰好落在边上．求的度数．
18．如图，中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
19．如图，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针方向旋转得到．
(1)连接交于点．若点、、三点共线，求的度数；
(2)若，，，求的长．
20．知：，其中，直线交直线于点．

(1)图1中，点在上，求证：；
(2)若将图1中的绕点按顺时针方向旋转，如图2，图3，你认为（1）中的结论还成立吗？请直接写出，与之间的数量关系；
(3)若，，则___________．
提升练
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，是由绕点旋转得到，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，将绕点A逆时针方向旋转得到，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5． 如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，设，下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数，使得；④取中点，连接，，的面积随着的增大而增大，正确的有（ 　）
个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，已知，将点A绕原点逆时针旋转45度得到点B，则点B的坐标为 ．
7．如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点落在上，且，则旋转角等于 度．
8．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为 ．
9．如图，在中，，，点M为中点，点N在直线上运动，连接以，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接，则点N在运动过程中，的最小值为 ．
10．如图，在中，，，绕点C逆时针旋转到位置，，的延长线相交于点F．
（1）若，则 ；
（2）请用等式表示与之间的数量关系： ．
答案
一、找旋转中心、旋转角、对应点
1． 解：如图，
旋转中心为点，旋转角为
故答案为：．
解：∵与都是等腰直角三角形，和都是直角，点C在上，
∴与都是，
而经过旋转后能与重合，
那么旋转中心为点B，旋转角为，
∴旋转角度为．
故答案为：B，．
解：延长交于，建立平面直角坐标系，如图所示：
，
，，
，
，
即，
可以看作线段绕一点旋转得到线段，
如图，作和的垂直平分线交点为，得，
如图，作和的垂直平分线交点为，得
故答案为：或．
（1）解：∵经旋转后到达，它们的公共顶点为，
∴旋转中心是点；
（2）解：∵
∴是等边三角形
∴
线段旋转后，对应边是就是旋转角，也是等边三角形的内角，是，
∴逆时针旋转了；
（3）解：旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点，
∴点转到了的中点．
二、求绕某点旋转90°点的坐标
5． 解：如图，
∴点A的对应点的坐标是或；
故答案为：或
6． 解：由题意得，平移前，，
将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，
平移方式为向右平移3个单位长度，
平移后点A的对应点的坐标为，
如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，
，
由旋转的性质可得，，
，
，
≌，
，，
，
，，
，
点A的对应点的坐标是
故答案为：
解：在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，即，
故答案为：．
解∶ ∵把点向右平移8个单位得到点，
∴点的坐标为：，
如图所示：
将点绕原点逆时针旋转得到点，则其坐标为：，
将点绕原点顺时针旋转得到点，则其坐标为：，
综上， 故符合题意的点的坐标为或，
故答案为∶或．
三、平面直角坐标系中旋转作图
9． （1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）由图可知：．
10． （1）解：如图，线段即为所求；
由图可得，点Q的坐标为；
（2）解：如图，即为所求．
由图可得，，，．
（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）解：是内一点，其坐标为，
∵上的点是由上的点横纵坐标都乘以，然后横坐标不变，纵坐标得到的，
∴中的对应点的坐标为．
（1）解：如图，旋转中心P的坐标为，，则旋转角的度数为，
故答案为：，．
（2）解：如图，即为所求作，
（3）解：由旋转的性质可得，，，
∴
∴，又，
∴，
则．
设交于点，
∴
∴．
故答案为：．
四、坐标与旋转规律问题
13． 解：∵是等腰直角三角形，，
将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，
再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，
……，
∴依此规律，可知，，，依次在轴的负半轴，轴的负半轴，轴的正半轴和轴的正半轴上，每4次一个循环，
∵，
∴在轴的负半轴上，
又∵，，，…，
∴，
∴．
故答案为：．
14． 解：如图，
，
在第一象限的角平分线上，
叶片每秒绕原点顺时针转动，
，，，，
点的坐标以每秒为一个周期依次循环，
，
第秒时，点A的对应点的坐标与相同，为，
故答案为：．
解：∵将正方形绕点按顺时针方向依次旋转，
∴每旋转次后点回到初始位置，
∵
∴点的坐标与的坐标相等，
如图，过点作轴的垂线，垂足为点，
∵
∴
∴，即点的坐标是
故答案为：．
解：由题意知，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，每旋转4次则回到原位置，
∵，
∴第2025次旋转结束时，图形旋转了．
过点作于点E，过点作于点D，如图
有
∵点，，，且．
∴，，
∴，，
∴，即，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴点的纵坐标为．
故答案为．
五、旋转综合题——几何变换
17． 解∶ ∵旋转，
∴， ，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
18． （1）证明：，
，即．
将线段绕点旋转到的位置，
．
在与中，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
．
，，
，
．
（1）解：当点、、三点共线，如图，
将绕点逆时针方向旋转，使与重合，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
点、、三点共线，
，
；
（2）解：过作于，如图，
∵，，
∴
∵
∴，
∴，
，
，
，
，
∵
．
为当在线段上时及当在的延长线上时，两种情况进行讨论即可．
（1）证明：连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）：（1）中的结论不成立，
图2中，理由如下：
连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
图3中，理由如下：
连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：当在线段上时，由（1）知，
，
当在的延长线上时，由（2）可知，
；
综上所述，的长为3或13．
故答案为：3或13．
提升练
解：设点绕原点逆时针旋转后的点为，则，．
∵，即，．
，
点的坐标为，
故选： ．
解：分别作线段的垂直平分线，相交于点P，
则是由绕点P逆时针旋转得到，
∴点P的坐标为．
故选：C．
解：如图，延长交y轴于点E，
中，令，则，令，解得，
，，
，，
绕点逆时针方向旋转得到，
，，，
四边形是正方形．
，
，
点的坐标为．
故选：A．
解：，，，，
，
长方形的周长为，
设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，
根据题意得，
解得，
∴当时，P，Q第一次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为，
当时，P，Q第二次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为，
当时，P，Q第三次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为，
当时，P，Q第四次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为，
当时，P，Q第五次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为，
当时，P，Q第六次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为，
五次相遇循环一次，
，
点的坐标为．
故选：C．
5． 解：四边形是正方形，为对角线，
∴，，，
∵线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
又∵，，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故①正确；
∵正方形边长为，
∴，
∵，，，
∴，
∴，故②正确；
由题可知：，
要，则，
整理得：，
解得：，
∴有且只有一个实数，使得，故③正确；
如图，连接，作于点，
则，
∴，
∴与的边上的高相等，
∵，点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴的面积不随着的变化而变化，故④错误；
故选：C．
二、填空题
6． 解：如图，过A作x轴的垂线，垂足为C，绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作的垂线交于点D．连接．
∴，
∴，，
∴，，，
∴．
∴，，
∴E的坐标为．
∴所在直线的解析式为，
中，，，
∴，
∴点B在上．
设点B坐标为，
∵，
∴，
∴，
∵点B在第三象限，
∴，，
点B坐标为．
故答案为：．
解：四边形是矩形，
，，
矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，即旋转角等于45度．
故答案为：45．
解：∵，，，
∴，，
由旋转可得，，，
∴为等边三角形，
∴
故答案为：．
解：设的中点为，连接，过点作交直线于点，如图：
在中，，
，
∵点是的中点，
，
，
根据旋转可得，
，
，
，
在和中
，
，
，
∴当为最小时，为最小，
根据“垂线段最短”得：，
∴当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，
∴的最小值为线段的长，
在中，，
，
∴的最小值为．
故答案为：．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∵绕点C逆时针旋转到位置，
∴；
故答案为：150；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵绕点C逆时针旋转到位置，
∴，，
∴，
∵，，
∴．
∴与之间的数量关系为．
故答案为：．
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