第二十一、二十二章 阶段能力综合试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一、二十二章 阶段能力综合试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．4，6，1 B．4，6，
C．4，，1 D．4，，
2．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
4．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
5．对于抛物线，下列结论正确的是（ ）
A．顶点坐标是 B．开口向下
C．当时，随的增大而增大 D．与轴没有交点
6．已知抛物线的对称轴为直线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．4或 D．或2
8．已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，抛物线交轴于点、，顶点为，若方程有实数根，则应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数的图象与轴交于点，，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．若方程的一根为，则 ．
12．抛物线的顶点坐标是 ．
13．我们学过用因式分解法解一元二次方程，请你根据经验写出方程的根： ．
14．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来共用了 ．
15．写出两根的和与两根的积相等的一元二次方程： ．（写一个方程即可）
16．已知关于x的不等式的解集为，则的解集为 ．
三、解答题
17．用适当的方法解方程：
(1)
(2)
18．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
(1)填空：________，________；
(2)求，；
(3)已知，求的值．
19．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A和点D，与y轴交于点B，且经过第一象限内的点C，已知点A的坐标为，点C的坐标为．

(1)求出二次函数的解析式，并求出点B和点D的坐标；
(2)在图中描出点A、点B、点C和点D，画出这个二次函数的图象；
(3)直接在图中画出直线，根据图象直接写出不等式的解集．
20．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
21．阅读下面的材料并完成解答． 《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：

(1)将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 步；
(2)中间小正方形的面积为 平方步；
(3)若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为 ；
(4)你依据（2）（3）列出关于x的方程，并求矩形田地的宽．
22．如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米，设的长为米，矩形菜园的面积为平方米．
(1)用含的代数式表示______．
(2)若，求的值；
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取最大值，最大值为多少？
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计安阳麦秆画的销售方案
素材1 麦秆画是中国独有的特色工艺品之一，是河南安阳市民间剪贴画的一种，被称为“中华一绝”“中国手工艺术精品”，具有极高的收藏价值．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅．
素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅．
素材3 这种麦秆画在实体店的销售价为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上销售的影响，平均每天的销售量为幅．
问题解决
任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式；［毛利润日销量（销售单价成本单价）］
任务2 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？
24．如图，抛物线与轴交，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2．
(1)求抛物线的解析式和点的坐标；
(2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值和此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当线段取得最大值时，请直接写出四边形的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C A D D A C A B
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，①一元二次方程的一般形式是 （为常数），②找项的系数时带着前面的符号．
根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，6，，
故选：B．
2．A
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程移项得：x2-8x=-9，配方得：x2-8x+16=7，即（x-4）2=7，
故选A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．C
【分析】根据函数图象的平移规则“上加下减，左加右减”，求解即可．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线的解析式为
故选：C
【点睛】此题考查了函数图象的平移，解题的关键是掌握函数图象的平移规则．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，以及一元二次方程解的定义，掌握一元二次方程的相关知识点是解题关键．根据一元二次方程的根可以使方程两边相等，求出，再根据一元二次方程的二次项系数不为0，求出，即可得解．
【详解】解：的一元二次方程的一个根是0，
，
，
，
，
，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据二次函数解析式，可得图象的开口方向，对称轴，以及顶点坐标，可判断A、B选项结论；根据二次函数的增减性可判断C选项；令，利用根的判别式，可判断D选项．
【详解】解：，
图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，A、B选项结论错误；
当时，随的增大而增大，C选项结论错误；
令，则，
此时，
图象与轴没有交点，D选项结论正确，
故选：D．
6．D
【分析】根据二次函数对称轴的公式可求出抛物线的对称轴为直线，求出的值即可．
【详解】解：，
对称轴为直线，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟记公式是解题关键．
7．A
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，令，则，整理得：，解出该方程再根据进行取舍即可；
【详解】解：令，则，
整理得：，解得：；
∵，
∴；
故选：A
8．C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键．
根据二次函数得到开口向下和对称轴，再根据距离对称轴远近进行判断即可．
【详解】解：在二次函数中
∵，,
∴图象开口向上，对称轴为直线，
点距离对称轴有2个单位长度，
距离对称轴有1个单位长度，
距离对称轴有3个单位长度，
根据距离对称轴越远，函数值越大可得：．
故选：C．
9．A
【分析】本题考查了根据二次函数图像确定相应方程根的情况，当抛物线与直线有交点时，方程有实数根；据此即可求解；
【详解】解：当抛物线与直线有交点时，方程有实数根；
∵抛物线顶点为，
∴当时，方程有实数根；
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，由函数图像开口向上推出；由二次函数的图象与轴交于点，，推出抛物线的对称轴为直线：；由函数图像与轴的交点在轴的负半轴，推出；据此即可判断；
【详解】解：∵函数图像开口向上，
∴；
∵二次函数的图象与轴交于点，，
∴抛物线的对称轴为直线：；
∴，即；
∵函数图像与轴的交点在轴的负半轴，
∴；
∴，故①错误；
∵二次函数的图象与轴有两个交点，
∴，故②正确；
由图像可知：当时，；故③错误；
∵，
∴，故④错误；
∵抛物线的对称轴为直线：，与轴的一个交点为，
∴　由图像可知，当时，，故⑤正确；
故选：B
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入方程解答即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵方程的一根为，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数的性质，将函数解析式化为顶点式，根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标．
【详解】解：∵
∴抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
13．，，
【分析】本题考查了因式分解法解一元三次方程，根据因因式分解法解答即可，理解因式分解法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴或或，
∴，，，
故答案为：，，．
14．3秒/
【分析】本题考查了抛物线的最值与刹车距离的关系，正确理解题意是解题的关键．
【详解】，
当时，是最大时间，
故答案为：．
15．（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元二次方程的解，由题意可得，取的一个值代入求出的值进而即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
当时，，
解得，
∴方程可以为，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查二次函数与不等式，将 整理为，再把整理为，由的解集为，可得，从而可得的解集．
【详解】解：∵，
∴，
又，
∴，
∵关于x的不等式的解集为，
∴关于x的不等式的解集为，
∴关于x的不等式的解集为，
∴，
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查的知识点是因式分解法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，；
（2）解：，
，
，
，．
18．(1)，；
(2)，；
(3)．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
（）利用根和系数的关系即可求解；
（）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；
（）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由根与系数的关系得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
∴．
19．(1)，，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，分别令，求出相对应的值，即可得出答案；
（2）先确定点的坐标，再描点画函数图象即可；
（3）根据图象，找到直线在二次函数上面的范围即可得出答案．
【详解】（1）把和分别代入二次函数解析式，得
解得
∴二次函数解析式为．
当时，；
当时，，
解得，
∴，
（2）如图：

（3）

由图象可知，当时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，描点法画函数图象，二次函数与一次函数的交点等知识，熟练掌握各个知识点是解答关键．
20．(1)y关于x的函数表达式为；
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设，
∵经过点(0， )，
∴
解得∶
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数，当y=0时，有
∴，
解得∶， (舍去)，
∵>6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键．
21．(1)60
(2)144
(3)
(4)；矩形田地的宽为24步
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用：
（1）根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解；
（2）先求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解；
（3）设矩形田地的宽为x步，则长为步，，从而可得小正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可求解；
（4）由②③求得小正方形的面积相等即可得出方程．
【详解】（1）解：∵矩形田地的面积为864平方步，它的长与宽之和为60步，
∴大正方形的边长为 60步；
故答案为：60
（2）解：中间小正方形的面积为平方步；
故答案为：144
（3）解：设矩形田地的宽为x步，则长为步，
∴小正方形的边长为步，
∴小正方形的面积为平方步；
（4）解：由②③可得关于x的方程：．
∴(舍去) ，
∴
答：矩形田地的宽为24步．
22．(1)
(2)9
(3)；96平方米
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键．
（1）根据矩形的性质列式求出；
（2）根据题意得到方程，进而解方程并检验即可得到答案；
（3）先求出，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：
故答案为：.
（2）由题意：
解得：，
（也可以代入法舍去）
（3）
由题意：
当时，取最大值为96平方米.
23．任务1：；任务2：当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元．
【分析】本题主要考查实际问题与二次函数；
任务1：明确日销量和销售单价随降价的变化关系，根据毛利润日销量（销售单价成本单价）列出函数表达式即可；
任务2：根据网上和实体店的毛利润，构建总毛利润函数，将两个独立的利润表达式合并，再转化为二次函数求最大值即可．
【详解】解：任务1：．
任务2：设总毛利润为元．
，
，
当时，最大，最大值为4440，此时网上销售价为（元）．
当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元．
24．(1)；
(2)；；
(3)
【分析】（1）由题意得抛物线的解析式为：；即可求解　；
（2）求出直线的解析式为：；由题意得，，推出；
（3）根据即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交，，
∴抛物线的解析式为；
当时，；
∴；
（2）解：设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：；
由题意得：，，
∴；
∵，
∴当时，；
此时，，即；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与线段和面积的综合问题，掌握二次函数的相关性质是解题关键．
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