第四章 指数函数与对数函数 章末能力闯关试题 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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指数函数与对数函数 章末能力闯关试题
2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．若是奇函数，则（ ）
A．2 B． C．3 D．5
2．函数与在同一坐标系下的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，，，则有（ ）
A． B． C． D．
4．若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．某种药物的含量在病人血液中以每小时的比例递减.现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若函数在区间上是减函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．形如的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字,故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数 (且)有最小值,则当时的“囧函数”与函数的图象交点个数为
A． B． C． D．
8．已知关于的方程的两个实根为满足则实数的取值范围为
A． B． C． D．
二、多选题
9．(多选)已知函数的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，则a，b满足的关系有（　　）
A． B．
C． D．
11．已知函数的定义域为，若对，，使得成立，则称函数为“函数”．下列所给出的函数中是“函数”的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是 .
13．给出下列结论：
①，，y的值域是[2，5]；
②幂函数图象不过第四象限；
③函数的图象过定点（1，0）；
④若，则a的取值范围是；
⑤若，，，则.
其中正确的序号是 .
14．已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知函数.
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若的值域为，求实数的取值范围.
16．已知函数，
(1)当时，求函数在的值域
(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．
17．已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)解关于的不等式；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：
15 20 25 30
105 110 105 100
设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.
(1)求的值；
(2)给出以下四种函数模型：
①；②；③；④.
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
(3)利用问题（2）中的函数，求的最小值.
19．对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．
（1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由；
（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D B D C D ABC ABD
题号 11
答案 BD
1．B
【分析】结合的解析式以及的奇偶性求得.
【详解】依题意得：．
故选：B
2．C
【分析】利用函数图象变换可得出合适的选项.
【详解】函数的图象可看作是把函数的图象向上平移个单位得到，
函数的图象可看作是把函数的图象向右平移个单位得到，
故合乎条件的选项为C.
故选：C.
3．A
【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系.
【详解】指数函数为增函数，则；
对数函数为增函数，则，即；
对数函数为增函数，则.
因此，.
故选：A.
【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值、的大小关系，考查推理能力，属于基础题.
4．D
【分析】根据题意得到判别式大于0，解出的范围即可.
【详解】由题意得，令，
则，解得或，
故选：D.
5．B
【分析】结合题意由指数函数模型求解即可；
【详解】由题意知，该种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了2 000 mg该药物，
x个小时后病人血液中这种药物的含量为，
故选：B.
6．D
【分析】利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性，结合对数函数的定义域列式求解即得.
【详解】设，则函数由函数和复合而成，
而是减函数，则在上是增函数，
从而，所以，
由当时，恒成立，
所以当时，，解得，
综上，的取值范围为.
故选：.
7．C
【详解】当时，，而有最小值，故.令，，其图像如图所示：
共4个不同的交点，选C.
点睛：考虑函数图像的交点的个数，关键在于函数图像的正确刻画，注意利用函数的奇偶性来简化图像的刻画过程.
8．D
【分析】利用二次方程实根分布列式可解得.
【详解】设,
根据二次方程实根分布可列式:,即,
即,解得:.
故选D.
【点睛】本题考查了二次方程实根的分布.属基础题.
9．ABC
【分析】先判断函数图象恒过的定点A，再逐一判断选项函数是否过该定点A即可.
【详解】令，得，即函数的图象恒过点．
选项A中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；
选项B中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；
选项C中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；
选项D中，函数，令，得，此时函数图象不过点，不满足题意．
故选:ABC．
10．ABD
【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质可判断A正确，根据，结合基本不等式可判断BCD的正误.
【详解】由，则，
A：，正确；
B：由A知：且，所以，即，故正确，
C：由A、B知：，而，故错误，
D：由上，，故正确.
故选：ABD.
11．BD
【解析】根据函数”的定义，逐一判断各函数是否为“函数”即可.
【详解】由已知，在函数定义域内，对任意的 都存在着，使所对应的函数值与所对应的函数值互为相反数，即，故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“函数”的条件.
对于中函数的值域为，值域不关于原点对称，故不符合题意；
对于中函数的值域为，值域关于原点对称，故符合题意；
对于中函数的值域为，值域不关于原点对称，故不符合题意；
对于中函数的值域为R,值域关于原点对称，故符合题意.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是函数的性质，考查学生对新定义的理解，以及会求给定的函数的值域，
考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.
12．
【分析】就的取值分类讨论后可得a的取值范围.
【详解】直线与的图象有两个公共点，
故有两个不同的解，
故和共有两个不同的解，
因为，故有且只有一个实数解.
若，则，故无解，而只有一个解，
故有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍；
若，因为只有一个解，故需有一解，
故，故.
故答案为：.
13．②④
【分析】对于①：判断出在是的单调性，直接求值域.
对于②：由幂函数的图像直接判断；
对于③：由对数函数的图像过定点坐标进行判断；
对于④：由对数函数的单调性解不等式；
对于⑤：化为同构的形式，利用单调性即可求解.
【详解】①当时，函数单调递减，时，函数单调递增，函数的最小值，函数的最大值，所以函数的值域是[1，5]，故①不正确.
②幂函数图象一定不过第四象限，②正确.
③因为，所以函数一定过定点，故③不正确.
④当时，，不成立；当时，，即，故④正确.
⑤原不等式变形为，，，设函数，则函数在单调递减，由，，，变形为，所以，即，故⑤ 不正确.
故答案为：②④.
14．
【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.
【详解】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.
故答案为：.
15．（1）；（2）
【解析】对研究：
（1）分类讨论和，时，应该有；
（2）分类讨论和，时，应该有；
【详解】（1）函数的定义域为，
即在上恒成立。
当时，得或.
当时，显然在上不能恒成立，故舍去；
当时，恒成立；
当，即时，则.
解得或.
综上可得，实数的取值范围为.
（2）设的值域为，
的函数值要取遍所有的正数，
即是值域的子集.
当时，得或.
当时，符合题意；
当时，不符合题意；
当时，函数为二次函数，
即函数的图象与轴有交点且开口向上，
则，解得.
综上可知，实数的取值范围为
【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域和值域．掌握对数函数的性质是解题基础．解题时注意对真数多项式中最高次项系数需分类讨论．
16．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，令，则，最后根据二次函数的性质计算可得；
（2）依题意可得有解，参变分离可得有解，再根据指数函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：∵，，
令，∵，∴，
∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，
∴的值域是.
（2）解：方程有解，
即有解，
即有解，
∴有解，
令，则，
∴.
17．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据对数的运算性质可化简由换元法结合二次函数的性质即可求解，
（2）由一元二次不等式以及对数不等式即可求解，
（3）分离参数，结合基本不等式求解最值即可求解.
【详解】（1）因为定义域为，
则
设，则，
所以值域为.
（2）不等式可化为，即解得或
即或，解得或
所以不等式的解集为或
（3）因为，
所以，
设，则，
原问题化为对任意，
即，
因为（当且仅当即时，取等号），
即的最小值为0，
所以.
18．(1)
(2)选择函数模型②，
(3)961
【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得的值.
（2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得，从而求得的解析式.
（3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案.
【详解】（1）因为第15天的日销售收入为1057元，
所以，解得.
（2）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减.
而函数模型①；③；④都是单调函数，
所以选择函数模型②.
由，解得，，.
所以日销售量与时间的变化关系为.
（3）由（2）知
所以
即.
当，时，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立.
当，时，单调递减，
所以.
综上所述：当时，取得最小值，最小值为961.
19．（1）不是；（2）；（3）．
【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；
（2）先根据幂函数确定出的解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围；
（3）将问题转化为“在上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出的取值范围.
【详解】（1）假设为“伪奇函数”，存在满足，
有解，化为，无解，
不是“伪奇函数”；
（2）为幂函数，，，
，
为定义在的“伪奇函数”，
在上有解，
在上有解，
令，在上有解，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，，时，，
，的值域为，
，；
（3）设存在满足，即在上有解，
在上有解，
在上有解，
令，取等号时，
在上有解，
在上有解（*），
，解得，
记，且对称轴，
当时，在上递增，
若（*）有解，则，，
当时，在上递减，在上递增，
若（*）有解，则，即，此式恒成立，，
综上可知，.
【点睛】关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.
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