期中重点专题：旋转解答题（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

中小学教育资源及组卷应用平台
期中重点专题：旋转解答题-2025-2026学年数学九年级上册人教版
1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)画出关于原点O对称的；
(2)平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；
(3)将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；
(4)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
(1)将向左平移5个单位长度得到，画出，并写出点的坐标；
(2)将绕点顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标；
(3)若点为轴上一动点，求的最小值．
3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， 的顶点均在格点上，点的坐标为．

(1)在方格纸中作出与关于原点对称的；
(2)写出点，点，点的坐标．
4．是等边三角形，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转至，，．
(1)如图1，过点E作．交边于点F，求证：；
(2)如图2，点D在边上时，连接交边于点G，若，，求的长；
(3)当点D在的延长线上时，连接与射线交于点G，若，试探究的值（用含k的代数式表示）．
5．如图，在中，，．点是线段上一点，点是射线上一点，且满足，设．
(1)如图1，当时，直接写出的度数；
(2)如图2，当时，求出的度数（用含的式子表示）；
(3)如图3，当时，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，，请补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明．
6．如图，平面直角坐标系中，，，，，．
(1)求的面积；
(2)如图2，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒2个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，，，在同一直线上，求的值；
(3)如图3，点在线段上，将点向右平移4个单位长度至点，若的面积大于14，求点横坐标的取值范围．
7．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．
(1)将向下平移5个单位后得到，画出；
(2)将绕原点逆时针旋转后得到；
(3)①判断与是否关于原点成中心对称？直接回答“是”或“否”；
②连接，写出的形状．
8．如图，在平面直角坐标系中，，，，，连接，以为边在x轴上方作正方形．
(1)直接写出C，D两点的坐标；
(2)将正方形向右平移t个单位长度，得到正方形．
①当点落在线段上时，结合图形直接写出此时t的值；
②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记正方形和三角形重叠的区域（不含边界）为W，若区域W内恰有3个整点，直接写出t的取值范围．
9．如图，点P是正方形内一点，，，，绕点A顺时针旋转得到，连接，延长与相交于点Q．
(1)求线段的长；
(2)求的大小；
(3)求正方形的边长．
10．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请解答下列问题：
(1)画出向下平移3个单位的，并写出点的坐标；
(2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在x轴上有一点P，若的和最小，请直接写出P点坐标．
11．如图，在等边中，D是的延长线上一动点，连接，点E在线段上（不与端点重合），将射线绕点B逆时针旋转得到的射线与射线交于点F．
(1)依题意补全图1，并证明；
(2)若，判断点E的位置，并证明．
(3)在（2）的条件下，连接．若等边的边长为a，当线段AE的长取得最小值时，直接写出此时线段的长（用含a的式子表示）
12．如图（1），，是的平分线．
(1)如图（2），把三角板的直角顶点落在的任意一点上，并使三角板的两条直角边分别与，垂直，垂足分别为，，求证：．
(2)如图（3），把三角板绕点旋转，三角板的两条直角边分别交，于点，，与相等吗？请证明你的结论．
13．已知：如图1，中，，D、E分别是上的点，，不难发现的关系．
(1)将绕A点旋转到图2位置时，写出的数量关系；
(2)当时，将绕A点旋转到图3位置．
①猜想与有什么数量关系和位置关系？请就图3的情形进行证明；
②当点C、D、E在同一直线上时，直接写出__________．
14．已知为等边三角形，点D是线段的中点，，与线段相交于点E，与线段（或的延长线）相交于点F．
(1)如图1，若，垂足为E，，则______；
(2)如图2，将（1）中的绕点D顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点F．求证：；
(3)如图3，将（2）中的继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线交于点F，作于点N，若，求证：．
15．（1）（问题发现）如图，在等边内有一点，，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点．
①的度数为_______．
②求四边形的面积．
（2）（类比探究）如图，在中，，，点P是内一点，如果，，，那么的度数是_______．
16．已知在等边中，点E是的中点，以为斜边在的内部作，且，．
(1)如图1，过点D作直线交直线于点F，且，交于点G，请直接写出线段与的数量关系；
(2)将绕点C顺时针旋转到如图2所示的位置时，过点D作直线交直线于点F，且，过点B作的平行线交直线于点G，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，将旋转到E，D，G三点共线时，请直接写出的长度．
《期中重点专题：旋转解答题-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
1．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
(4)
【分析】本题考查了作图-旋转变换，作图-平移变换，属于基础题，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质．
（1）根据旋转的性质即可画出旋转后对应的；
（2） 点A向左平移2个单位，向下平移4个单位得到点，根据平移的性质即可画出平移后对应的；
（3）根据旋转的性质即可画出旋转后对应的；
（4）连接和，找出交点，根据旋转的性质即可得出旋转中心的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，根据旋转的性质画出的即为所求；
（2）解：如图所示，根据平移的性质，
点A向左平移2个单位，向下平移4个单位得到点，画出即为所求作；
（3）解：如图所示，即为所求作；
（4）解：如图，连接和，交点为，
∴旋转中心为，
故答案为：．
2．(1)图见解析，点的坐标为
(2)图见解析，点的坐标为
(3)的最小值为
【分析】本题考查了作图—旋转变换，平移变换，轴对称变换，勾股定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
（1）根据平移的性质即可将向左平移5个单位得到，进而可得的坐标；
（2）根据旋转的性质即可将绕点O顺时针旋转后得到，进而写出的坐标；
（3）找点A关于y轴的对称点，然后连接交y轴于点P，根据网格和勾股定理即可求的最小值．
【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为；
（2）解：如上图，即为所求，点的坐标为；
（3）解：如图，点与点关于轴对称，连接交轴于点，
∴，
的最小值为．
3．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据关于原点对称点的性质得出A，B，C对应点，进而得出答案；
（2）利用（1）中所画图形，即可得到点，点，点的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：点，点，点的坐标分别为．
4．(1)见解析
(2)4
(3)或
【分析】（1）利用平行线的性质以及等边三角形的性质得出，，进一步利用三角形外角的定义和性质进一步得出，根据证明即可得结论；
（2）过点E作交边的延长线于点F，证明和，可得，可得结论；
（3）设，则，分两种情况：点F在边上和在的延长线上，如图3和图4，过点E作．交射线于F，证明和，即可解答．
【详解】（1）证明∶∵是等边三角形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转至，
∴，．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过点E作交边的延长线于点F，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
设，则，
如图3，过点E作，交射线于F，
同理得：，
∴， ，
同理得：，
∴，
∴．
如图4，过点E作，交于F，
同理得： ，
∴，，
同理得：，
∴，
∴．
∴的值为或 ．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
5．(1)
(2)
(3)补全图形并证明见解析
【分析】（1）已知等腰直角三角形，通过作辅助线、，构造出等腰直角三角形和矩形，利用垂直平分线的性质得出，再结合已知角度，推导出，进而判定为等边三角形，得到．
（2）同样作辅助线构造等腰直角三角形和矩形，得出，再根据等腰三角形的性质，结合，推导出．
（3）先根据旋转变换的性质补全图形，然后利用旋转得到的线段和角度关系，结合等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质，证明，再通过等腰三角形的性质推导出．
【详解】（1）解：
已知为等腰直角三角形，，，
．
过点作于，于．
，，
是等腰直角三角形，
．
又，
．
由于四边形是矩形，
，
，即G是的中点．
，
垂直平分，
．
已知，，
．
又，
是等边三角形，
因此．
故答案为：．
（2）解：
过点D作于F，于G．
同理，是等腰直角三角形，，又，可得．
∵四边形是矩形，
，则，即G是中点，且，
，为等腰三角形．
此时，
，将代入可得：
．
（3）补全图形如图所示，
证明：连接，，
过点D作于H，于G，
由（1）（2）可知四边形是矩形，
垂直平分，
．
，且，
由旋转的性质得，，，
，
又，
．
，，
，，
．
是等腰直角三角形．
在中，由勾股定理得，
，即．
【点睛】考查的知识点有等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及旋转变换的性质．解题中用到了转化思想（将角的关系、线段关系通过作辅助线、利用三角形全等进行转化）、数形结合思想（结合图形分析角度和线段的位置与数量关系）；方法技巧包括利用特殊三角形（等腰直角三角形、等边三角形）的性质快速推导角度和线段关系，通过作辅助线构造矩形、全等三角形来搭建已知与未知的桥梁；解题关键是准确作辅助线，利用等腰直角三角形和旋转的性质找到全等三角形的条件，进而推导线段和角的关系；易错点在于对旋转后图形的角度和线段关系理解不清，以及在作辅助线和推导三角形全等、等腰三角形性质时，容易混淆角的位置和线段的对应关系．
6．(1)10
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的综合应用，结合绝对值、二次根式非负性的性质求解，准确理解点的平移规律是解题的关键．
（1）根据二次根式非负性和绝对值非负性，求出，，得到点，，的坐标，即可得到，的长，即可得解；
（2）根据等量关系求解即可；
（3）连接，，设，根据得到，根据点的平移得到，再根据代入计算即可．
【详解】（1）解：，，，
，，
，，
，
，，，
，，
；
（2）解：由题意知：，，
，
，
．
（3）解：连接，，设，
，
，
，
点向右平移4个单位长度得到点，
，
，
，
，
，
．
7．(1)见详解
(2)图见解析
(3)①否；②是等腰直角三角形
【分析】本题主要考查了图形的变换，勾股定理的运用，掌握图形平移，旋转的性质，勾股定理的计算是关键．
（1）根据图形平移的方法作图即可；
（2）根据图形旋转的方法作图即可；
（3）①根据中心对称图形的定义判定即可；②运用网格与勾股定理分别得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∴即为所求作图形；
（2）解：如图所示，即为所求作图形；
（3）解：①∵与的对称中心不是点O，
∴与不是关于原点O成中心对称，
故答案为：否；
②∵，将向下平移5个单位后得到，
∴，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
8．(1)点，点
(2)①，②或
【分析】本题考查平移的性质、面积法，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
（1）由正方形的性质可得，，，即可求解；
（2）由题意可得，借助面积法来建立关于的方程即可求解；由平移的性质可得点，利用图形可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵点，点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴点，点；
（2）解：如图，
∵，，将正方形向右平移个单位长度，
∴，
连接，
∴，
则，
∴；
如图，
∵将正方形向右平移t个单位长度，
∴，
∵区域W内恰有3个整点，
∴或，
∴或．
9．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质（对边相等、内角为 ）、图形旋转的性质（对应边相等、对应角相等）、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用旋转性质构造等腰直角三角形和直角三角形，将已知线段长度与角度关系转化到直角三角形中，通过勾股定理及其逆定理求解未知线段和角度．
（1）先根据正方形性质得，由旋转性质得，，判定为等腰直角三角形，然后用勾股定理计算的长；
（2）先由等腰直角三角形得，再计算、、（），通过勾股定理逆定理判定为直角三角形，得，最后根据平角定义计算；
（3）过作于，由判定为等腰直角三角形，结合求出，计算，最后在中用勾股定理求（正方形边长）．
【详解】（1）解：四边形为正方形，
，，
沿点旋转至，
，，
是等腰直角三角形，
；
（2）解：是等腰直角三角形，
在中，，，
，
，
为直角三角形，，
；
（3）解：作，垂足为，
，，
∴，且，
，
，
．
10．(1)见解析，；
(2)见解析，；
(3)见解析，．
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，一次函数的图像和性质．
（1）先根据要求作图，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可；
（2）先根据要求作图，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可；
（3）作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，点P即为所求，求出的解析式，进而可求P点坐标．
【详解】（1）如图，即为所求，由图可知
（2）如图，即为所求，由图可知
（3）如图，点即为所求，可知，
设的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
解得，
即．
11．(1)详见解析
(2)点E为的中点，证明见解析
(3)
【分析】（1）依题意补全图形，由等边三角形的性质，可得，从而得到，即可解答；
（2）过点D作，交的延长线于点G，可证，由，可得，可证明，可得到，即可得，即可解答；
（3）取的中点N，连接，过C作交延长线于P，可得是的中位线，从而得到E在过N且与平行的直线上运动，当时，最小，可证明，即可解答．
【详解】（1）解：补全图形如下：
证明：∵是等边三角形，
∴，
由旋转的性质得：，
，
∵，
∴；
（2）解：点E为的中点．理由如下：
过点D作，交的延长线于点G，如图：
∴，
，
∴，
，
∴，
，
∵，
，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴点E为的中点；
（3）解：取的中点N，连接，过C作交延长线于P，如图：
由（2）知E为中点，
∴是的中位线，
∴，即E在过N且与平行的直线上运动，
∴当时，最小，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形性质及应用，三角形中位线定理，解题的关键是正确画出图形和作出辅助线．
12．(1)证明见解析
(2)相等，证明见解析
【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识点．
（1）由角平分线的性质可证明；
（2）过点P作，，分别交，于点M，N，推出，再证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵三角板的两直角边分别与，垂直，
∴，，
又∵平分，
∴；
（2）解：与相等，证明如下：
如图所示，过点P作，，分别交，于点M，N，
则（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵，，，
∴，
又∵，
∴，，
则，
在和中，
，
∴，
∴．
13．(1)
(2)①，，证明见解析；②或
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．
（1）证明，即可作答；
（2）①同理先证明，即有，在和中，根据，即有，则有，问题的解；
②分两种情况：第一种，当点C、D、E在同一直线上，且点D在线段上时，第二种：当C、D、E在同一直线上，且点E在线段上时，画出图形，结合等腰中，，以及，即可作答．
【详解】（1）解：，
即，
在和中，
，
；
（2）①，，
证明：，
，
即，
在和中，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
因此，；
②当点C、D、E在同一直线上，且点D在线段上时，如图所示，
在等腰中，，
，
，
；
当C、D、E在同一直线上，且点E在线段上时，如图所示，
在等腰中，，
，
，
，
故的度数为或．
14．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得，，，可求，由直角三角形的性质可求解；
（2）先推出，再由证，可得；
（3）由（2）可得，，，则，，可求，即可求解．
【详解】（1）解：∵点D是线段的中点，是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，过点D作于点M，作于点N，
则有，
∵为等边三角形，点D是线段的中点，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）证明：如图，过点D作于点M，
∵，
由上述知，，，，
∵，
∴，
∴，
．
在中，，，
∴．
15．（1）①；②；（2）
【分析】（1）①根据旋转的性质可得；
②先证明，得出，进而勾股定理的逆定理判断是直角三角形，根据，分别求得等边三角形以及直角三角形的面积，即可求解；
（2）根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，则，同（1）的方法证明，根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，即可求解．
【详解】（1）解：①∵绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点．
∴；
故答案为：．
②过点作垂直于点，
∵是等边三角形，
∴
，
是等边三角形，
，，
在中，
，
，
，
又，
，
是直角三角形，
，，
，
，
由勾股定理得，
∵，
，
，
∴，
即四边形ADCE的面积是，
（2）如图，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点，连接．
∴，
∴，，
同理可得，
∴，．
又∵，
∴．
∴是直角三角形，且．
∴．
故答案为：．
16．(1)
(2)（1）中的结论仍然成立，具体见解析
(3)的长为或
【分析】（1）先根据是等边三角形，得，再根据，，，证、是等边三角形，根据，得到，最终可证．
（2）根据，的特点延长至H，使得，证得是等边三角形，再证得，进而得到，
又结合， 可证， 再结合， 证四边形为平行四边形， 最终可证得．
（3）根据题意，把符合题意的图形画出，存在两种情况：分别根据勾股定理进行计算即可．
【详解】（1）解：
∵是等边三角形，
，
，，
，
，，
是等边三角形，是等边三角形，，
， ，，
，即，
．
（2）解：（1）中的结论仍然成立．
证明：如图1，延长至H，使得，连接、，并延长交于K，设与交于点，
，，
，，
又，
，
，
是等边三角形，
，
，
又在等边中，，
，
，
又，
，
又，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
又，
；
（3）解：的长为或；
①如图2，E，D，G三点共线时，，
在中，，
，，
在中，，
，
；
②如图3，E，D，G三点共线时，同①得，
；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形，勾股定理以及全等三角形的判定与性质的运用，第二问的关键是作辅助线构造全等三角形，第三问利用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)