期中重点专题：实际问题与一元二次方程（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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期中重点专题：实际问题与一元二次方程-2025-2026学年数学九年级上册人教版
1．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率．
2．利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克．
(1)当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润；
(2)当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价；
(3)请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由．
3．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为米．
(1)的长为________米（用含的式子表示）；
(2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值；
(3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米．
4．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加．
甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”
乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．”
(1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）；
(2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确．
5．某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克．
(1)当定价为13元/千克时，此时可以卖出______千克，利润为______元．
(2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？
6．如图，有一块长6米、宽5米的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分）．已知配色条纹的宽度相同，其所占面积是整个地毯面积的．
(1)求配色条纹的宽度；
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
7．如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建同样宽的两条相互垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为，求修建的路宽．
8．“绿色电力，与你同行”，新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据永州市某品牌新能源汽车经销商2024年4月至6月份统计，该品牌新能源汽车4月份的销售量为100辆，6月份的销售量为144辆，且销售量的月平均增长率相同．
(1)求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率；
(2)若该品牌新能源汽车的进价为15万元/辆，售价为17万元/辆，则该经销商4月至6月份共盈利多少万元？
9．随着科技的不断进步，人工智能正逐渐渗透到我们的生活和工作，从家庭助手到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在节假日期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票的收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元．某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数．
10．如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，求小路宽为多少．
11．国家统计局数据显示，我国快递业务收入逐年增加2020年某公司快递收入为400万元，2022年增长至576万元，假设该公司快递收入每年的增长率相同．
(1)求该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率．
(2)如果该公司业务收入的年平均增长率保持不变，那么2023年该公司快递业务收入应为多少万元？
12．益民商店经销某种商品，进价为每件80元，商店销售该商品每件售价高于80元且不超过120元．若售价定为每件120元时，每天可销售200件，市场调查反映：该商品售价在120元的基础上，每降价1元，每天可多销售10件，设该商品的售价为元，每天销售该商品的数量为件．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)商店在销售该商品时，除成本外每天还需支付其余各种费用1000元，益民商店在某一天销售该商品时共获利8000元，求这一天该商品的售价为多少元？
13．如图是一块矩形菜地，，，面积为．现将边增加．
(1)如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，求b的值．
(2)如图2，若边增加，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为，求S的值．
14．问题背景：在长方形几何图形设计里，满足长和宽比例相同的两个长方形图形设计问题，称为“和谐设计问题”，对应的长和宽的比称为“和谐比”．某数学小组围绕长方形封面边衬设计，开展“和谐设计问题”的探究．
信息一：2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，大家一同铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来．如图，玲玲制作纪念册，封面设计成长、宽的长方形，整个封面由中央图画以及四周边衬组成，封面整体和封面中央的图画是符合“和谐设计”的两个长方形．
信息二：要使四周边衬所占面积是整个封面面积的四分之一，其中上、下边衬等宽，左、右边衬等宽．
探究1
（1）根据材料可知，纪念册封面中央图画的面积是___________．
探究2
（2）根据“和谐比”，设中央图画的长、宽分别为，，求封面四周边衬的宽度．
探究3
（3）请你用与（2）不同的方法求四周边衬的宽度．（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比）
15．如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形筐所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d．
(1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果为： ； ； ；
(2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ；
(3)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．”
瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确．
16．年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件．
(1)若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？
17．如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动．设它们的运动时间为．当的面积等于三角形的面积的时，的值为多少秒．
18．如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动，设两点移动的时间为，在、两点移动的过程中，的长能否等于？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．
19．水果店老板李叔叔准备到水果批发市场购进一种水果，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果的钱现在可以买．
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？
(2)李叔叔在销售这些水果时，发现水果的销售量（）与销售价（元/千克）满足如图所示的一次函数关系式，请你帮李叔叔拿个主意，将这些水果的销售售价定为多少元时，能获取1100元的利润？
20．综合与实践
主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具．
素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）．
目标：
(1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．
(2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒．
《期中重点专题：实际问题与一元二次方程-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
1．3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】解：设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为．
2．(1)每天销售量为240千克，每天利润为1920元
(2)25元/千克或35元/千克
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是根据题意，列出方程．
（1）求出每天销售量，即可求解；
（2）设这种水果的售价为元/千克，依题意列出方程，再解一元二次方程，即可解答本题；
（3）设这种水果的售价为元/千克，，依题意列出方程，再利用判别式解答即可．
【详解】（1）解：当这种水果售价为28元/千克时，
每天销售量为：（千克），
每天利润为：（元），
当这种水果售价为28元／千克时，每天销售量为240千克，每天利润为1920元．
（2）解：设这种水果的售价为元/千克，
依题意可列方程为，，
整理得，
解得
当时，销售量为300千克；当时，销售量为100千克．
这种水果的售价为25元/千克或35元／千克时，商场每天销售利润为1500元．
（3）解：设这种水果的售价为元/千克，依题意可列方程为，
整理得：，
此时方程，方程无实数解，
这种水果每天销售利润不能达到2200元．
3．(1)
(2)10
(3)不能
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）根据题意列出，计算整式的加减即可得；
（2）根据题意建立方程，解方程求出的值，再根据位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米即可得；
（3）根据题意建立方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可得．
【详解】（1）解：由题意得：（米），
故答案为：．
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
答：的值为10．
（3）解：假设该实验田的面积能为240平方米，
则，
整理得：，
这个方程根的判别式为，方程没有实数根，假设不成立，
答：该实验田的面积不能为240平方米．
4．(1)甲和乙
(2)丙的说法不正确
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）根据每一个人每周能够号召个人参加列出代数式求解即可得；
（2）根据题意建立方程，解方程，结合为正整数求解即可得．
【详解】（1）解：由题意可知，第一周结束后，包括小颖在内有人参加了“传递正能量志愿服务者”，
第二周新参加“传递正能量志愿服务者”的有人，
所以甲和乙的说法都正确，
故答案为：甲和乙．
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得或（舍去），
又∵是正整数，
∴不符合题意，
所以丙的说法不正确．
5．(1)40，320
(2)单价应定为8元
【分析】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
（1）根据这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克即可求出当定价为13元/千克时每天可卖出的千克数，再根据总利润=每千克的利润销售数量即可得出答案；
（2）该水果单价应定为元/千克，根据题意列出一元二次方程解答，再结合为了让利于顾客，即可得出答案．
【详解】（1）解：当定价为13元/千克时，
此时可以卖出：千克，
利润为：元，
（2）解：该水果单价应定为元/千克，
由题意知， ，
解得．
为了让利于顾客，
答：单价应定为8元．
6．(1)配色条纹的宽度为1米
(2)地毯的总造价为4800元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键．
（1）设配色条纹的宽度为米，根据题意可知空白部分的地毯所占面积是整个地毯面积的，据此列方程求解即可；
（2）分别求出配色条纹和其余部分的造价，再相加即可．
【详解】（1）解：设配色条纹的宽度为米，
依题意得
解得：（不合题意，舍去）
答：配色条纹的宽度为1米；
（2）解：配色条纹造价：
其余部分造价：
地毯的总造价为：元，
答：地毯的总造价为4800元．
7．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出等量关系是解题的关键．
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植园地是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【详解】解：设道路的宽应为米，
由题意有：，
整理得：，
解得（不合题意，舍去）．
答：道路的宽应为．
8．(1)
(2)728万元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，根据该品牌新能源汽车4月份的销售量为100辆，6月份的销售量为144辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）求出5月份销售新能源汽车数量，再列式求解，即可解决问题．
【详解】（1）解：设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意舍去），
该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为．
（2）解：5月份销售新能源汽车（辆），
（万元），
答：该经销商4月至6月份共盈利728万元．
9．18人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设参加活动的学生人数为人，先判断出，再根据题意建立方程，解方程可得的值，然后根据人均旅游费用不得低于170元确定的值，由此即可得．
【详解】解：设参加活动的学生人数为人，
∵，
∴，
由题意得：，
整理得：，
解得或，
当时，人均费用为，符合题意；
当时，人均费用为，不符合题意，舍去；
答：参加活动的学生人数为18人．
10．小路宽为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
设小路宽为，根据“花坛所占面积为空地面积的一半”列出一元二次方程，解方程即可得解．
【详解】解：设小路宽为，
由题意可得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴小路宽为．
11．(1)
(2)万元
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为，根据2020年收入（1增长率）2022年收入列方程求解即可；
（2）利用2022年的收入（1增长率）即可求解．
【详解】（1）解：设该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为，
由题意得：，
解得：或（舍），
答：该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为；
（2）解：（万元），
答：2023年该公司快递业务收入为万元．
12．(1)
(2)这一天该商品的售价为110元
【分析】此题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出与的关系式是解题关键．
（1）首先可知降价元，那么销量增加件，进而求出每天可表示出销售商品数量；
（2）根据每件商品的盈利销售的件数各种费用商店的日盈利，列方程求解即可．
【详解】（1）解：该商品售价在120元的基础上，每降价1元，每天可多销售10件，设该商品的售价为元，每天销售该商品的数量为件．
（2）解：由题意可知，设该商品的售价为元，
解得
答：这一天该商品的售价为110元．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查整式的混合运算，涉及矩形面积，一元二次方程的判别式等，解题的关键是由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为列出关于S的方程．
（1）根据边减少，得到的矩形面积不变，得，可解得答案；
（2）根据题意得，，变形得，可解得答案．
【详解】（1）解：根据题意得，原长方形的面积为，
变化后矩形的面积为，
∵，边减少，得到的矩形面积不变，
∴，
解得：．
答：b的值为6．
（2）解：根据题意得，原长方形的面积为，
变化后矩形的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵有且只有一个a的值，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴S的值为．
14．（1）；（2）上、下边衬的宽度，左、右边衬的宽度；（3）见解析
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解“和谐设计”的定义是解题的关键．
（1）四周边衬所占面积是整个封面面积的四分之一，则纪念册封面中央图画的面积占整个封面面积的，由此可解；
（2）结合（1）中结论可得，求出x的值，进而可得结论；
（3）设上、下边衬的宽度，左、右边衬的宽度，则，根据“和谐设计”可得，推出，代入，解关于z的一元二次方程即可．
【详解】解：（1）纪念册封面中央图画的面积是：，
故答案为：；
（2）由题意知，即，
解得，
长度不能为负，
，
中央图画的长为，宽为，
上、下边衬的宽度，
左、右边衬的宽度．
答：上、下边衬的宽度，左、右边衬的宽度．
（3）设上、下边衬的宽度，左、右边衬的宽度，
则：，
由题意得，
，
，
整理得，
解得 ，
，
，
，
即上、下边衬的宽度，左、右边衬的宽度．
15．(1)
(2)552
(3)两人的说法都正确，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）观察日历表，即可用含a的代数式表示出b，c，d；
（2）观察日历表，可找出a的最大值，将其代入中，即可求出结论；
（3）两人说法都正确，根据的值为135，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，可得出结论；根据为84，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：．
故答案为：；
（2）观察日历表，可知：a的最大值为23，
的最大值为．
故答案为：552；
（3）两人的说法都正确，理由如下：
子怡的说法正确，理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
10月8日为周三，符合题意，
子怡的说法正确；
瑾萱的说法正确，理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
10月6日为周一，符合题意，
瑾萱的说法正确．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（）设月平均增长率为，已知月份销售量是万件，根据增长率公式，月份销售量为万件，3月份销售量为万件，列方程，即可解答；
（）设售价应降低元，已知进价为每件60元，原售价为每件元，原每天销售件，售价每降价1元，每天可售出件； 则降价后售价为元，每天销售量为件， 根据每天获利元，根据利润单件利润销售量的关系列出方程即可解答；
【详解】（1）解：设月平均增长率为，
可得方程，
因为增长率，
所以舍去，
解得，
即，
答：月平均增长率是；
（2）设降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
又∵要尽量减少库存，
∴，
答：售价应降低元．
17．的值为秒
【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及到了一元二次方程的求解，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据路程速度时间，表示出，，，根据的面积等于三角形的面积的时，列方程求解即可．
【详解】解：根据路程速度时间，可得：，，
则，
当的面积等于三角形的面积的时，则
即，
解得：．
∴当的面积等于三角形的面积的时，的值为秒．
18．的长能等于，的值为2或4
【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、一元二次方程等知识，根据勾股定理列方程是关键．
在中求出对角线的长度，过点作于点，用含的代数式表示出、的长度，然后在中利用勾股定理得出，根据的长度等于列方程求解．
【详解】解：的长能等于，理由如下：
在正方形中，，
．
由题意，得，，
，．
如图，过点作于点，
∵正方形中，，
∴，
∴，
∵由勾股定理可得，，
，
．
在中，
，
，
即，
解得，．
故在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为2或4．
19．(1)每千克20元
(2)销售售价定为元时，能获取1100元的利润
【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
（1）设现在实际购进这种水果每千克元，则原来购进这种水果每千克元，根据“买这种水果的钱现在可以买”建立一元一次方程求解；
（2）先求出销售量（）与销售价（元/千克）的一次函数关系式，再根据利润=（销售价-进价）销售量建立一元二次方程求解．
【详解】（1）解：设现在实际购进这种水果每千克元，则原来购进这种水果每千克元，由题意得：，
解得：．
故现在实际购进这种水果每千克20元；
（2）解：设与之间的函数关系式为，
将、代入，
得，解得，
∴与之间的函数关系式为，
∴由题意得：
整理得：，
解得：，
答：销售售价定为元时，能获取1100元的利润．
20．(1)剪去的小正方形的边长为
(2)玩具机械狗不能完全放入该收纳盒，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是利用等量关系建立相应的方程进行求解；
（1）设剪去的小正方形的边长x，根据底面的面积建立等式进行求解；
（2）设小长方形的宽为，长，根据等量关系列出二元一次方程组进行求解即可．
【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为x，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得：
，整理得：，
解得：（舍去），
∴剪去的小正方形的边长为．
（2）解：设小长方形的宽为，长为，由题意得：
，
解得：，
∴小长方形的宽为．
当和两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为．
∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒．
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