期中重点专题：垂径定理及其应用（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

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期中重点专题：垂径定理及其应用-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
1．如图是一段弧，和是圆弧的两条弦，的半径为2，，．
(1)作出圆心O的位置；（要求：尺规作图，保留作图痕迹不写作法）
(2)求的长度．
2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点A，B，C，现在以格点O为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系．
(1)标出该圆弧所在圆的圆心D，则圆心D的坐标为________；
(2)若点E的坐标是，判断点E与的位置关系，并说明理由．
3．如图所示，在中，半径弦，垂足为，，．
(1)求半径的长．
(2)作图：延长交于点并连接，求的长．
4．如图，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱下面的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）为
(1)求桥拱所在圆的半径．
(2)该地区连降暴雨，河水猛涨， 桥下水面提高了，求此时水面的宽度．
5．如图，是的直径，是上的一点．
(1)尺规作图：利用图1，在上作点，使得为的中点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接、，若，，求的半径．（在图2中画出必要的草图）
6．已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：．
7．如图，内接于，，于点E，交于点D．连接并延长分别交，于点F，G．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的半径．
8．如图，为的弦，为直线上两点，，求证：．
9．定义：关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题：
(1)请写出一个“经典方程”：____________________；
(2)求证：关于的“经典方程”必有实数根；
(3)如图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“经典方程”，求的度数．
10．如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接．
(1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积．
11．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径．
12．西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接、，已知，碗深，求的长．
13．如图，的直径与弦交于点，，．
(1)求的长．
(2)当时，求的长．
14．如图，一座石拱桥的形状是以点O为圆心，为半径的一段圆弧．
【实践与操作】
（1）请你确定的中点E；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
【应用与计算】
（2）若，，求石拱桥桥拱的高度．

15．中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，．
(1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段；
(2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）．
16．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长．
17．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于，，，四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径．
18．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）．
(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
19．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，．
(1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长；
(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少．
20．如图1是一名考古学家发现的一块古代车轮的碎片．
(1)图2中的是车轮上大圆圆弧，用尺规作图法，找出，所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)图3中，若点O是（1）中找出的所在圆的圆心，C是上一点，且为等腰三角形，底边，腰，求车轮大圆的半径R．
《期中重点专题：垂径定理及其应用-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图—作线段的垂直平分线，垂径定理，勾股定理，的直角三角形的性质；
（1）作和的垂直平分线，它们相交于点，点即为所作；
（2）如图，连接，利用垂径定理得到，，然后利用勾股定理求出，即可求出的度数，进而求出，根据的直角三角形的性质求出长解答即可．
【详解】（1）解：如图， 点即为所作；
（2）解：连接，
，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．(1)见解析，
(2)见解析
【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟悉这些知识是解题的关键．
（1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标；
（2）利用勾股定理求出，与求得的半径比较，即可判定位置关系．
【详解】（1）解：圆心D如图所示，
圆心坐标为；
（2）解：点E在内部；
由勾股定理得半径为：；
，而，
故点E在内部．
3．(1)5
(2)图见解析，
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，根据垂径定理得到，设，在利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答；
（2）延长交于点并连接，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∴半径的长为5；
（2）解：如图，
由（1）得，半径的长为5，
∴，
∴在中，，
∴的长为．
4．(1)50米
(2)此时水面的宽度为60米
【分析】题目主要考查垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，结合图形，熟练掌握运用垂径定理是解题关键．
（1）如图所示，点E为桥拱所在的圆的圆心，作，延长交圆于点C，连接，得出，设圆的半径为r，利用勾股定理求解即可；
（2）根据题意，假设水面上升到，且，连接，利用垂径定理及勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，点E为桥拱所在的圆的圆心，作，延长交圆于点C，连接，
∴，
设圆的半径为r，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴桥拱所在圆的半径为50米；
（2）根据题意，假设水面上升到，且，连接，如图所示：
由（1）得桥拱所在圆的半径为50米，
∴，
∴，
∴，
∴此时水面的宽度为60米．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图作角平分线，垂径定理，弧、弦、圆心角关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）作的角平分线与圆的交点即为，因为，根据弧、弦、圆心角关系定理，可得，即为的中点；
（2）连接，因为为的中点，由垂径定理可知且，利用勾股定理则可求，设圆半径为，在中，利用勾股定理列方程，求解即可．
【详解】（1）解：作的角平分线与圆的交点即为，
∵ ，
∴，
则为的中点；
（2）解：连接，交为
∵为的中点，
，
∵
，
∵，
，
设圆半径为，
中，，
解得．
6．见解析
【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题的关键．
先根据垂径定理得出，再证明即可得出．
【详解】证明：∵，于点E，
∴，
同理可证：．
∵
∴．
∵于E点，于点F
∴
在与中
，
∴，
∴．
7．(1)52°
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，垂直平分线基本性质，能够正确做出辅助线是解题关键．
（1）连接，，先通过“到线段两端的距离相等的点在垂直平分线上”，得到垂直平分，再通过三角形的内角和定理计算即可；
（2）延长CG交于点H，连接，先证得，再通过勾股定理算出，再在中利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：连接，．
∵，经过点，
∴，，且．
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：延长交于点H，连接．
∵，，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．
在中
由勾股定理得：，
∵，
∴．
设的半径为r，
在中，，
∴．
解得：．
8．证明见解析
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，过点作于，由垂径定理得，由等腰三角形三线合一得，进而即可求证，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】证明：如图，过点作于，则，
∵，，
∴，
∴，
即．
9．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考一元二次方程根的判别式，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握“经典方程”的定义，是解决问题的关键．
（1）由“经典方程”满足的条件，即可写出一个“经典方程”；
（2）由是“经典方程”，得且，，时，，方程有两个实数根，时，方程，，方程有实数根，得“经典方程”必有实数根；
（3）作于，延长交于，根据垂径定理得，，，根据勾股定理得，根据“经典方程”得，再证推出；
【详解】（1）解：∵中，，，
，，
∴，
∴满足“经典方程”，
∴“经典方程”可以为：，
故答案为：；
（2）证明：关于的方程是“经典方程”，
且，
①当时，
，
方程有两个实数根，
②当时，
方程为，，
该方程有实数根，
“经典方程”必有实数根；
（3）解：作于，延长交于，
，
，
∴，
，，
，
，
是“经典方程”，
，
，
，
，
，
，
∴，
．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图—复杂作图， 垂径定理，勾股定理，圆周角定理；
（1）过点作交于点，点即为所求；
（2）利用勾股定理求出，再求出，利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：∵是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形的面积．
11．的半径为．
【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理等；连接，设，可得，由线段和差得，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
设，
，
，
，
，
为直径，，
，
在中，
，
，
解得：（舍去），，
故的半径为．
12．
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键．
根据垂径定理得出，在中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：是的中点，
，
．
设，
，则．
在中，由勾股定理得，
即，解得，
的长为．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理及直角三角形的性质．
（1）过点作于点，根据是的直径，，，求出，进而利用勾股定理求出，再根据垂径定理即可求出；
（2）根据题意求出，利用勾股定理求出即可解答．
【详解】（1）解：如图，过点作于点．
是的直径，，
．
，
，
，
，即的长为；
（2）解：，，
．
又，，
，．
，即的长为．
14．（1）见解析；（2）
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，尺规作图—作垂线：
（1）作中垂线，与的交点即为点；
（2）利用垂径定理和勾股定理，进行求解即可．
【详解】解：（1）如图，点E即为所求的中点；

∵，
∴点在上，
由垂径定理可知，点为的中点；
（2）由图可知：，，
∴
∴在中，，，
∴
∴，
答：石拱桥桥拱的高度是．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到，由垂径定理、勾股定理列出关于的方程．
（1）由垂径定理，即可得到答案；
（2）由勾股定理得到，求出即可得到这个月亮门的最大宽度．
【详解】（1）解：经过圆心O，且弦，
；
（2）解：连接，
∵，
∴，
设的半径为m，则，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴这个月亮门的最大宽度为．
16．的半径为米
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，连接交于，则米，米，，由垂径定理可得米，设的半径为米，则米，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：如图，连接，连接交于点，
由题意得，米，米，，
∴米，
设的半径为米，则米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为米．
17．
【分析】由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，取点为圆心，过点作于点，交于点，连接，，
∴，
∵纸条宽为，，．
∴，，，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴纸杯的直径长为．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，矩形的性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
18．(1)该圆的半径为5米
(2)水面上涨的高度为1米
【分析】此题考查勾股定理，垂径定理．
（1）过O作于点C，交于点D，根据垂径定理有米，设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可；
（2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，从而可求出水面上涨的高度．
【详解】（1）解：过O作于点C，交于点D，则，
∴（米）
设圆的半径为r米，则米，（米），
在中，，
即，
解得，
∴该圆的半径为5米；
（2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，
∴（米），
∵的半径为5米，
∴米
∴在中，（米），
∴（米），
∴水面上涨的高度为（米）．
19．(1)图见解析，
(2)
【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理的内容和正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由题意作出图形，由垂径定理和勾股定理即可得出答案；
（2）作出垂径，由垂径定理和勾股定理可得出弦长，根据题意即可得出答案．
【详解】（1）解：，
如图，连接，
为圆心，，，
，
，
，
在中， ，
，
的长为；
（2）过作，连接，
由题得，，
在中，，
，
，
水面截线减少了．
20．(1)图形见解析
(2)车轮大圆的半径为
【分析】本题考查了圆心的确定尺规作图，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理；
（1）分别取弦，，作它们的垂直平分线，垂直平分线的交点为圆心；
（2）连接，，，与的交点为，由等腰三角形的定义得，由圆的定义得，由线段垂直平分线的判定定理得，，由勾股定理得，，即可求解．
掌握线段垂直平分线的作法，作出适当的辅助线，构建直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，
点即为所在圆的圆心．
（2）解：如图，连接，，，与的交点为．
，
为等腰三角形，为底边，
，
，，
，
在中，
，
在中，，
，
解得
车轮大圆的半径为．
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