期中重点专题：圆周角问题（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

中小学教育资源及组卷应用平台
期中重点专题：圆周角问题-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
1．如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，连接，，与交于点．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
2．如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，求半径长．
3．如图，内接于，为的直径，．
(1)求的度数．
(2)若点是弧的中点，，求的长．
4．如图，在中，．求证是等边三角形．
5．如图，已知内接于，直径于点，交于点，且．
(1)若，且，求的长．
(2)求证：．
6．如图，内接于，．
(1)若，求的度数：
(2)延长交于点．
①求证：点是弧的中点；
②若，，求半径的长．
7．如图，是的直径，点C为上一点，D为弧的中点，过D作于点E，交于点F，交弦于点G，连接，．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
8．如图，是的直径，是的弦，如果．

(1)求的度数．
(2)若，求的长．
9．如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
10．如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接．
(1)若，，求的直径；
(2)若，求的度数；
(3)若弦分为的两部分，点F在上，求弦所对的圆周角的度数．
11．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C在格点上，点D是圆与竖直网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线．

(1)在图1中画出经过A、B、C三点的圆的圆心O；
(2)在图2中，在上作点E使得．
12．如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线，结果用实线）．
(1)在图1中画出圆心点O；
(2)在图2中的圆上画一点M，使平分．
13．如图，A，B，C，D是上四点，．
图（1）图（2）
(1)如图（1），，是直径，交于点E．
①证明；
②若，先用含字母d的式子直接表示和的长，再比较与之间的大小；
(2)如图（2），过点A作，垂足为E．若，，求的长．
14．已知，，是圆的两条弦，，过圆心作于点．
(1)如图，求证：；
(2)如图，当，，三点在一条直线上时，求的度数；
(3)如图，在的条件下，点E为劣弧BC上一点，，，连接交于点，求的长．
15．如图，是的外接圆，，P是上一点．请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
16．如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“美丽角”．
(1)如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“美丽角”吗？请说明理由；
(2)如图3，在（1）的条件下，若直径，的“美丽角”为，当时，求的长．
17．如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点，连接，点在弦上，，连接．
(1)求证：平分
(2)若求的长．
18．已知四边形内接于，且于点．
(1)如图1，过圆心作于点．
①若半径为5，，求的长；
②试判断与的数量关系，并写出证明过程．
(2)如图2，记，，，的面积分别为，，，，当时，求证：．
19．如图，是的外接圆，于点D，直径交于点E．
(1)若，求的度数．
(2)求证：．
(3)若，求长．
20．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．
【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：
（1）根据小明的思路，请你完成证明．
（2）若圆的半径为8，则的最大值为________．
【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值．
【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）．
《期中重点专题：圆周角问题-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，利用等腰三角形的性质证明 ，再利用中位线的性质可得答案；
（2）先证明， 求解 再利用角的和差关系可得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
为⊙O的直径，
，而 ，
，
，
；
（2）解：为⊙O的直径，
，而，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理的应用，三角形内角和定理等知识，熟悉以上重点图形的基本性质是解本题的关键．
2．(1)见解析
(2)半径长
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理；
（1）由四边形为圆内接四边形，得到，根据等腰三角形的性质得出，根据同弧所对圆周角相等得出，再结合和对顶角相等即可证明；
（2）连接，根据圆周角定理可得，再由勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵点，，，均在上，
∴四边形为圆内接四边形，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：如图所示连接，
∵
∴
设的半径为，则中，
解得：（负值舍去）
∴半径长
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可得，根据为的直径，得出，进而即可求解．
（2）根据已知可得则，进而根据三角形内角和定理以及等角对等边得出，等量代换可得，进而在中，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出，根据已知条件得出的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是圆的内接四边形，．
∴，
∵为的直径，
∴，
∴；
（2）解：∵点是弧的中点，
∴
∴，
又∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∵为的直径，
∴
∵
∴
∴，
∴，
又∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，弦与弧的关系，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
4．见解析
【分析】此题考查了圆周角定理、弧和弦之间的关系等知识．根据同圆中等弧对等弦得到，根据圆周角定理得到，即可证明是等边三角形．
【详解】解：∵在中，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
5．(1)6
(2)证明见解析
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题关键．
（1）连接，设，则，，，，从而可得，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得；
（2）连接，先证出四边形是菱形，根据菱形的性质可得，再证出，从而可得，由此即可得证．
【详解】（1）解：如图，连接，
设，则，
∴，
，
，
是的直径，
，
，
∵直径于点，，
，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
，
在中，．
（2）证明：如图，连接，
∵，，，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．(1)
(2)①见解析 ②
【分析】（1）延长交于点E，连接，根据是直径，得到，继而得到，结合得到，根据，结合，计算的度数即可．
（2）①延长交于点D，连接，根据是直径，得到，继而得到，结合得到，根据，得到继而得证点是弧的中点．
②连接，根据得到，结合，利用勾股定理得到，利用计算即可．
【详解】（1）解：如图，延长交于点E，连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）①解：如图，延长交于点D，连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点是弧的中点．
②如图，连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直径对的圆周角是直角，圆周角定理，勾股定理，弧，弦之间的关系，熟练掌握勾股定理，圆周角定理是解题的关键．
7．(1)见解析；
(2)5．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题的关键是掌握垂径定理的内容．
（1）根据证明，可得结论；
（2）先根据垂径定理可得，设的半径为，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：是的中点，
，
为的直径，，
，
，
，，
，
；
（2）解：如图，连接交于点，
为的直径，，
，
，
，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
的半径为5．
8．(1)
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
（1）根据圆周角定理得到，利用互余可计算出，再利用圆周角定理即可求解；
（2）利用圆周角定理结合含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理求解即可
【详解】（1）解：是的直径，
，
，
，
；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
9．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理的定义等知识．
（1）利用垂径定理得出，利用同圆中等弧所对的圆心角相等以及圆周角定理即可得出答案．
（2）利用垂径定理得出，再利用勾股定理求出，进而可得出答案．
【详解】（1）解：∵是的一条弦，，
∴
∴．
（2）解：∵是的一条弦，，
∴，即，
在中，
，
∴
10．(1)20
(2)
(3)或
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解即可；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形的外角和定理得到，再根据三角形的内角和定理，结合已知求得，进而可求解；
（3）先根据弧和圆心角的关系求得，再分点F在优弧上和点F在劣弧上，利用圆周角定理求解即可．
【详解】（1）解：设的半径为r，
∵，，，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
解得，
∴⊙O的直径为20；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：如图，连接、、，
∵分为的两部分，
∴，
若点F在优弧上，
∴；
若点F在劣弧上，
∴．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、圆周角定理、弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系和运用是解答的关键．
11．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—复杂作图，平行四边形的性质，圆周角定理．
（1）利用网格作线段的垂直平分线与的交点即为圆心；
（2）取点，作直线与网格交于点，连接交圆于，点即为所作．
【详解】（1）解：点即为所作，
；
（2）解：如图，点即为所作，
；
∵由网格特点和垂径定理可得：，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了垂径定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握垂径定理．
（1）根据格点特点，连接，则，交于一点，该点即为O点；
（2）连接并延长，交于一点，该点即为点M．
【详解】（1）解：如图，连接，交于一点O，
则点O即为所求作的圆心；
（2）解：连接并延长，交于一点M，则点M即为所求．
连接，
根据格点特点可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
13．(1)①见详解；②，，
(2)4
【分析】（1）①首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，结合“直径所对的圆周角为直角”可得，进而可得，证明为等边三角形，进而证明．
②根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，根据，得，结合和的长，比较与之间的大小即可；
（2）在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质可得，即为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，进而由，即可获得答案．
【详解】（1）解：①∵，
，
∵是直径，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，即．
②，
∴在中，，
∵，即，
，
在中，，
∴，
．
（2）解：在上截取，连接，如下图，
，
，
又，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
14．(1)见解析；
(2)
(3)．
【分析】连接，根据圆心角、弧、弦的关系可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立；
连接，根据垂径定理可证，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可证，从而可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可知；
过点作延长线于，根据垂径定理可知，设，则，根据圆内接四边形对角互补可知，从而可得，根据直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，再根据求出结果．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
，
，
，
在和中，，
，
；
（2）解：如图所示，连接，
，
，
在一条直线上，
垂直平分，
，
，
，
为等边三角形，
；
（3）解：如图所示，过点作延长线于，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
或（舍弃），
，
．
【点睛】本题综合考查了与圆有关的基本性质、勾股定理，圆心角、弧、弦的关系．解决本题的关键熟练地掌握圆的基本性质．
15．见解析
【分析】此题主要考查了基本作图以及圆心角、弧、弦的关系等知识，如图①中，连接，就是的平分线，如图②中，连接并延长，与交于点D，连接，就是的平分线．
【详解】解：如图①，连接，即为所求角平分线；
如图②，连接并延长，与交于点D，连接，即为所求角平分线．
16．(1)是的“美丽角”，理由见解析
(2)的长为或
【分析】（1）根据垂径定理得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，根据“三线合一”的性质得出，利用对顶角相等，结合“美丽角”的定义即可得答案；
（2）如图，连接、，根据“美丽角”的定义得出，，即可得出，，根据圆周角定理可得，利用垂径定理结合等腰直角三角形的性质得出，，在中，利用勾股定理列方程可求出的值，根据等腰直角三角形的性质即可得答案．
【详解】（1）解：是的“美丽角”，理由如下：
如图，设、交于点，
∵是的直径，弦，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴。
∴是的“美丽角”．
（2）解：如图，连接、，
∵的“美丽角”为，
∴，，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴，
∵和分别是所对的圆周角和圆心角，
∴，
∵，
∴，，
设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：或，
∵，
∴或．
∴的长为或．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，理解并熟练运用新定义解答是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线、圆周角、三角形外角的定义和性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角的性质是解题关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，进而证明结论；
（2）连接，根据等腰直角三角形的性质求出，根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴平分．
（2）如图，连接，

∵为的直径，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，可有，
即，解得，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
18．(1)①3； ②，证明见详解
(2)见详解
【分析】（1）①连接，则，由垂径定理得，由勾股定理即可求得的长；
②延长，与交于点，连接．由三角形中位线定理得；设，则；由可得，从而得；
（2）通过面积关系，利用根式及完全平方公式运算，得到，再用两平行线间距离相等，得到，进而．
【详解】（1）解：①连接，则，
∵于点，
∴，
∴．
②．
证明：延长，与交于点，连接．
∵为直径，
∴．
在中，
∵O，H分别为，的中点，
∴，即，
设，则．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由两边同时平方化简得：
∵（等高，面积之比等于底之比）
∴
∴，即，
∴，，即
因为和共底，则它们的高相等，由平行线之间的距离处处相等
，
∴，
∴，
，
∴．
【点睛】本题是圆的综合，考查了圆周角定理，直径对的圆周角是直角，垂径定理，弧、弦、圆心角及圆周角的关系，三角形中位线定理，勾股定理，完全平方公式等知识，涉及较多的知识点，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
19．(1)
(2)见解析
(3)1
【分析】对于（1），根据“直径所对的圆周角是直角”得，即可求出，再根据“同弧所对圆周角相等”得出答案；
对于（2），先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得，再根据“等角的余角相等”可得答案；
对于（3），先根据“等角的余角相等”得，进而得出，根据“等角对等边”得，再设，表示，然后根据勾股定理得，求出解可得，最后根据得出答案．
【详解】（1）∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）连接，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴；
（3）∵，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
所以的长为1．
【点睛】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余等，弄清各角之间的数量关系是解题的关键．
20．初步探索：（1）证明见解析；（2）16；类比迁移：；拓展延伸：
【分析】初步探索：（1）由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则；
（2）当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是16；
类比迁移：先由证明是的直径，且圆心在上，则，，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，，此时的值最大，则，即可求得周长的最大值是；
拓展延伸：连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明≌，得，所以，则，所以的最小值为．
【详解】解：初步探索：（1）证明：由旋转得，，，，
，
，
、、三点在同一条直线上，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2）是的弦，且的半径为8，
当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，
的最大值是16，
故答案为：16；
类比迁移：如图，，，
是的直径，且圆心在上，
，，
将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，，
，
，
、、三点在同一条直线上，
，
，
当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，
的最大值为，
的最大值为，
周长的最大值是．
拓展延伸：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，
∴，，
，
连接、，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)