1.3
探索三角形全等的条件
第1课时
【基础训练】
1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，则有△ABC≌_______，理由是_______；且有∠ACB＝_______，AC＝_______．
2．如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌_______，理由是_______；△ABF≌_______，理由是_______．
3．如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，_______＝_______，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．
4．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若AB＝AD，AC＝AE，则还需条件(
)．
A．∠B＝∠D
B∠C＝∠E
C．∠1＝∠2
D．∠3＝∠4
5．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于(
)．
A．60°
B．50°
C．45°
D．30°
【提优拔尖】
6．如图，如果AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，那么△ADF和ACBE全等吗？请说明理由．
7．如图，已知AD与BC相交于点O，∠CAB＝∠DBA，AC＝BD．求证：
(1)∠C＝∠D；
(2)△AOC≌△BOD．
8．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．
9．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：
“如图(1)，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使么QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，则BQ＝CP．”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图(1)的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP．之后，他将点P移到等腰三角形ABC外，原题中其他条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图(2)说明理由．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．
11．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．
参考答案
1．△DCB
SAS
∠DBC
DB
2．△ACE
SAS
△ACD
SAS
3．BC
AD
4．C
5．A
6．全等
7．略
8．AE⊥BD．
9．略
10．略
11．略1.3
探索三角形全等的条件
第5课时
【基础训练】
1．不能使两个直角三角形全等的条件是(
)．
A．一条直角边及其对角对应相等
B．斜边和两条直角边对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
2．在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'．AC＝A'C'，高AD＝A'D'，则∠C和∠C，的关系是( )．
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．以上都不对
3．如图，已知BD⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B、C，CD＝BD，AD平分∠BAC吗，为什么？
4．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．那∠AF与BF＋EF相等吗？请说明理由．
5．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高，如果BD＝CE，试证明AB＝AC．
【提优拔尖】
6．如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC＝BD，BC、AD相交于点E
(1)请说明AE＝BE的理由；
(2)若∠AEC＝45°，AC＝1，求CE的长．
7．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E、F，BE＝CF．
(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；
(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明．
8．如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD＝AE，AB平分∠DAE交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．
9．已知点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．
(1)如图(1)，若点O在BC上，求证：AB＝AC；
(2)如图(2)，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；
(3)若点O在△ABC的外部，AB＝AC还成立吗？请画图表示．
10．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是(
)．
A．AB＝AC
B．∠BAC＝90°
C．BD＝AC
D．∠B＝45°
11．如图(1)，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．
(1)求证：△ADF≌△CBE；
(2)求正方形ABCD的面积；
(3)如图(2)，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．
参考答案
1．D
2．C
3．略
4．相等
5．略
6．(1)略
(2)1
7．(1)3对．分别是：
△ABD≌△ACD；
△ADF≌△ADF；
△BDE≌△CDF．
(2)略
8．(1)△ADB≌△ADC、△ABD△
△ABE、△AFD≌△AFE、△BFD≌
△BFE、△ABF≌△ACD．（写出其中的三对即可）(2)略
9．(1)略
(2)略
(3)不一定成立．
10．A
11．(1)略
(2)5
(3)S正方形ABCD=1.3
探索三角形全等的条件
第2课时
【基础训练】
1．如图，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF．
(1)若以“ASA”为依据，还缺条件_______；
(2)若以“AAS”为依据，还缺条件_______
2．如图，已知AD平分∠BAC，且∠ABD＝∠ACD，则由“AAS"可直接判定△_______≌△_______．
3．如图，已知AB＝AC，要根据“ASA”得到△ABE≌△ACD，应增加一个条件是_______．
4．如图，点P是∠AOB的平分线OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中有_______对全等三角形，它们分别是_______．
5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是(
)．
A．带①去
B．带②去
C．带③去
D．带①和②去
6．如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2，AB与AD相等吗？请说明理由．
7．如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知∠A＝∠D，∠B＝∠C，要使△ABF≌△DCE，需要补充的一个条件是_______．（写出一个即可）
8．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：
(1)△BFC≌△DFC；
(2)AD＝DE．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和高BE的交点，试说明BH＝AC．
【提优拔尖】
10．在一次数学课上，王老师在黑板上画出一幅图形（如图），并写下了四个等式：
①AB＝DC；②BE＝CE；③∠B＝∠C；④∠BAE＝∠CDE．
要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，以AE＝DE为结论．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
已知：
求证：AE＝DE．
证明：
11．如图，已知点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF．请你判断上面这个判断是否正确，如果正确，请给出说明；如果不正确，请添加一个适当条件使它成为正确的判断，并加以说明．
12．已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E．求证：BC＝ED．
13．如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB＝CD，③CE＝BF．
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题；（用序号写出命题书写形式：“如果，，那么”）
(2)选择(1)中你写出的一个，说明它正确的理由．
参考答案
1．(1)∠A＝∠D
(2)∠ACB＝∠F
2．ABD
ACD
3．∠B＝∠C
4．
4
△BPE≌△APD，△OFP≌△ODP，△OPB≌△OPA，△ODB≌△OEA
5．C
6．AB=AD
7．AB＝DC或
AF＝DE或
BE＝CF
或BF＝CE
8—10
略
11．不正确．
12．略
13．(1)1：如果①，②，那么③；2：如果①，③，那么②．(2)略1.2
全等三角形
【基础训练】
1．如图，△ABC≌△FED，且BC－ED，那么∠A＝_______，AD＝_______．
2．如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝_______．
3．如图，△ABC≌△AED，∠C＝40°，∠EAC＝30°，∠B＝30°，则∠D＝_______．
4．如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ADC绕点A顺时针旋转后，能与△AD'B重合，如果AD＝3，那∠AD'的长度为_______．
5．已知图中的两个三角形全等，则么a的度数是(
)．
A．72°
B．60°
C．58°
D．50°
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上的A'处，折痕为CD，则∠A'DB等于(
)．
A．40°
B．30°
C．20°
D．10°
7．如图，点A、D、C、F在同一直线上，△ABC≌△DEF，AC和DF是对应边，∠A与∠EDC是对应角，∠A＝80°，∠ACB＝50°，求∠F、∠E的度数．
【提优拔尖】
8．如图，已知△ABF≌△DCE，BE、FC在同一直线上，BE＝2
cm，求CF的长．
9．如图，已知△ABE≌△ADC，∠1＝36°，∠DAE＝76°，∠B＝25°．求∠DAC、∠C的度数．
10．如图，已知△ABC≌△DEF，点A、F、C、D在同一直线上，∠ABC＝135°，∠A＝20°．求∠DFE和∠E的度数．
11．如图，若△ABC≌△ADE，试说明∠BAD与∠CAE的大小关系．
12．如图，AB和CD相交于点O，△ACO≌△BDO，试说明AC∥BD．
13．如图，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B＝30°，∠C＝40°，求：
(1)顺时针旋转多少度，旋转后的△AB'C的顶点B'与原△ABC的顶点C和A在同一直线上；
(2)再继续旋转多少度，点C'与点A、点C在同一直线上．（原△ABC是指开始位置）
14．如图，△A'B'C是由△ABC沿射线AC方向平移2
cm得到，若AC＝3
cm，则A'C＝_______cm．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，
则阴影部分图形的周长为(
)．
A．15
B．20
C．25
D．30
16．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是(
)．
A．25°
B．
30°
C．
35°
D．
40°
参考答案
1．∠F
FC
2．30°
3．40°
4．3
5．D
6．D
7．50°.
8．2
cm
9．43°
10．25°.
11．∠BAD=∠CAE
12．略
13．(1)110°．(2)70°.
14．1
15．D
16．B第1章
全等三角形
1.1
全等图形
【基础训练】
1．判断：
(1)两个形状相同的图形，称为全等图形；
(
)
(2)两个圆是全等图形；
(
)
(3)两个正方形是全等图形；
(
)
(4)全等图形的形状和大小都相同；
(
)
(5)面积相同的两个直角三角形是全等图形．
(
)
2．用直线将下列图形中的全等图形连起来．
3．下列说法中，正确的是(
)．
A．全等图形是形状相同的两个图形
B．全等三角形是指面积相同的两个三角形
C．等边三角形都是全等三角形
D．全等图形的周长、面积都相等
4．如图，等边△ABC的边长为1
cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________cm．
5．你能将一个圆形纸片分成三个全等的图形吗？你是怎样分的？
6．你能将如图所示的正方形分成两个全等的三角形吗？能分成四个全等的三角形吗？
【提优拔尖】
7．你能否将下面的梯形划分为3个全等的图形？
8．玩具店有A、B、C三种型号的拼板（如图），其中A型板每块3元，B型板每块4元，C型板每块5元．小明现在想拼一个与右图6×6的正方形全等的图案，且只选一种型号的材料．那么小明选哪种材料最省钱，要用多少元？
9．观察图案，你能发现其中的全等图形吗？
10．如图，将Rt△ABC(其中∠B＝34°，∠C＝90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，旋转角最小是多少度？
11．你能把如图所示的一个三条边都相等的三角形分成两个全等的图形吗？能分成三个、四个、六个全等的图形吗？怎么分？
12．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A'B'C'．若∠A＝40°，∠B'＝110°，则∠BCA'的度数是(
)．
A．110°
B．80°
C．40°
D．30°
13．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠A＝75°，则∠1＋∠2等于(
)．
A．150°
B．210°
C．105°
D．
75°
参考答案
1．(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
(5)×
2．①与⑨，③与⑧，④与⑩，⑤与⑦
3．D
4．3
5．
6．
7．略
8．选A型材料，要36元．
9．略
10．124°
11．
12．B
13．A1.3
探索三角形全等的条件
第4课时
【基础训练】
1．下列关于作图的语句，正确的是(
)．
A．画直线AB＝10厘米
B．画射线OB＝10厘米
C．已知A、B、C三点，过这三点画一条直线
D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行
2．下列各条件中，不能作出唯一三角形的条件是(
)．
A．已知两边和夹角
B．已知两边和其中一条边所对的角
C．已知两角和夹边
D．已知两角和其中一角的对边
3．试把如图所示的角四等分．
4．如图，作△ABC的边BC上的高．
【提优拔尖】
5．如图，已知线段a，c，∠a，
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠a．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B．
(1)根据要求作图：
①作∠ACB的平分线交AB于点D；
②过点D作DE⊥BC，垂足为点E
(2)在(1)的基础上写出一对全等三角形并加以说明．
7．如图，在□ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC
与EF相交于点O．
(1)过点B作AC的平行线BG，延长EF交BG于点H；
(2)在(1)的图中，找出一个与△BFH全等的三角形，并证明你的结论．
8．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，在作图痕迹中，FG是(
)．
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的孤
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
9．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
(1)若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；
(2)若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
参考答案
1．D
2．B
3．略
4．略
5．略
6．(1)①正确作出角平分线CD；
②正确作出DE．(2)略
7．(1)以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧；两弧交于点G，连接BG，则BG为AC的平行线，，延长EF交BG于点H．(2)略
8．D
9．(1)33°
(2)略1.3
探索三角形全等的条件
第3课时
【基础训练】
1．如图，点C在线段AB的延长线上，AD＝AE，BD＝BE，CD＝CE，则图中共有_______对全等三角形，它们是_______．
2．如图，若AB＝CD，AC＝BD，则可用“SSS”证_______≌_______．
3．如图，已知AB＝DC，BE＝CF，若要利用“SSS”得到△ABE≌△DCF，还需增加的一个条件是_______．
4．如图所示是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若想固定其形状不变，需要加钉一根木条，可钉在(
)．
A．AE上
B．EF上
C．CF上
D．AC上
5．如图，已知E、C两点在线段BF上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF．求证：△ABC≌△DEF．
思维拓展提优
6．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O，AB＝DC，AC＝BD．
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)△OBC的形状是_______．（直接写出结论，不需证明）
7．如图，已知AC、BD相交于点O，AB＝DC，AC＝DB．试说明∠A＝∠D．
8．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线．根据做法，结合图形写出已知、求证、证明．
【提优拔尖】
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．你能说明∠C＝∠A吗？试一试．
10．已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2
cm，一个内角为40°．
(1)请你借助下图画出一个满足题设条件的三角形；
(2)你是否还能画出既满足题设条件，又与(1)中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图形的下面用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由；
(3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3
cm和4
cm，一个内角为40°，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有_______个．
友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
11．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是(
)．
A．CB＝CD
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCA
D．∠B＝∠D＝90°
12．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC＝EF，AD＝FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是_______．（只需填一个即可）
13．已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是(
)．
A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为β
B．两个角是β，它们的夹边为4
C．三条边长分别是4，5，5
D．两条边长是5，一个角是β
14．如图，已知AB＝DC，DB＝AC．
(1)求证：∠ABD＝∠DCA．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．
(2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
参考答案
1．3
△ADB≌△AEB，△ADC≌△AEC，△BDC≌△BEC
2．△ABC
△DCB
3．AF＝DE或AE＝DF
4．D
5．略
6．(1)
略
(2)等腰三角形
7．略
8．略
9．略
10．(1)如图(1)：(2)如图(2)：
(3)4
11．C
12．∠A＝∠F(答案不唯一)
13．D
14．略
