【2025-2026人教九全数学新考向阶段测试卷】第二十三章 旋转 检测卷（含答案）

班级：　　　　　　姓名：　　　　　　得分：　　　　
第二十三章检测卷
时间：90分钟　满分：120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 甲骨文是迄今为止我国发现的年代最早的成熟文字系统，下列甲骨文是中心对称图形的是（　　）
A B C D
2. 点A（－2，2）关于原点对称的点坐标是（　　）
A. （－2，－2） B. （－2，2） C. （2，2） D. （2，－2）
3. 下列现象是旋转的是（　　）
A. 升空的火箭 B. 移动的传送带
C. 飞驰的动车 D. 摆动的钟摆
4. 下列与环保节能相关的标志中可以看作是由一个“基本图案”通过旋转得到的是（　　）
5. 如图，将木条a，b与木条c钉在一起，木条b可绕钉子所在的点旋转，若∠1＝70°，∠2＝30°.要使木条a∥b，则至少应将木条b逆时针旋转（　　）
第5题图
A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°
6. 若点A（2＋m，－m）关于原点的对称点在第二象限，则m的取值范围为（　　）
A. m＞0 B. m＜－2
C. －2＜m＜0 D. m＜－2或m＞0
7. 如图，图形乙是由图形甲经过旋转得到的，则旋转中心是（　　）
第7题图
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
8. 如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，连接OB，OE，BD.若BO⊥AC，DE＝6，则BD的长为（　　）
第8题图
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
9. 如图，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，DE与BC交于点F，连接AF，则下列结论一定正确的是（　　）
第9题图
A. AB＝AF B. ∠BFD＝∠BAD
C. ∠BAF＝∠CAE D. EF＋CF＝BC
10. 如图，在等边△ABC中，点M是AB的中点，点N是BC上的一个动点，连接AN，将△ACN绕点A顺时针旋转60°得到△ABN'，连接MN'，若AB＝12，则MN'的最小值为（　　）
第10题图
A. 6 B. 6 C. 3 D. 3
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 请写出一个既是中心对称，又是轴对称图形的特殊四边形：　　　　　　　.
12. 如图，在平面直角坐标系中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△DEF是由△ABC，经过变换得到的，则该图形的变换方式可以是　　　　　　　　　　　　　.
13. 如图，绕图案中心至少旋转　　　　后，才能与原来的图形重合.
第13题图
太极图，也称阴阳鱼，是我国古代关于太极思想的图示，包含黑白两种颜色，分别代表阴阳.如图，在边长为1的正方形内画一幅面积最大的太极图，其黑色部分的面积为　　　　.
第14题图
如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P为CD边上的中点，连接AP，将△ADP绕点A旋转90°后得到△AD'P'，则P'C的长为　　　　.
第15题图
三、解答题（共8小题，共75分，解答应写出过程）
16. （6分）在如图所示的网格中，画出小旗绕点O逆时针旋转90°得到的图形.
第16题图
17. （9分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，此时点B在边DE上，点A，B的对应点分别是点D，E，延长AC交DE于点F，AB与DC交于点G.求证：△ECF≌△BCG.
第17题图
18. （9分）如图，请你仔细观察图①三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题.
　　　　
第18题图①
（1）图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是　　　　图形；（填“轴对称”或“中心对称”）
（2）请你在图②，图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同特征.
　　
第18题图
19. （9分）如图，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ADE绕共同顶点A旋转一定的角度后，连接BD，CE.
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若DE⊥AC，求∠BAD的度数.
第19题图
20. （9分）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AD边上，且AE＝2，点F在BC边上，且EF平分正方形ABCD的面积，求EF的长.
第20题图
21. （9分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（－2，4），B（－4，4），C（－5，2），D（－2，3）.
（1）将四边形ABCD向右平移4个单位长度得到四边形A1B1C1D1，请画出四边形A1B1C1D1；
（2）如果将四边形ABCD各个顶点的坐标均乘－1，得到四边形A2B2C2D2，请画出四边形A2B2C2D2，并说明它是由四边形ABCD经过怎样变换得到的；
（3）在（1）和（2）的基础上，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2成中心对称吗？若成中心对称，求出对称中心的坐标；若不成中心对称，请说明理由.
第21题图
22. （12分）如图，在等边△ABD中，点E为△ABD内一点，连接AE，BE，DE，将线段BE绕点B顺时针旋转至线段BC的位置，连接CE，CD，已知∠DBC＝∠ABE.
（1）判断△BEC的形状，并说明理由；
（2）若BE⊥DE，∠AEB＝150°，求证：CE＝AE.
第22题图
23. （12分）（综合与实践·费马点）法国数学家费马曾提出这样的一个问题：“在三角形所在平面内求一点，使该点与三角形各顶点的距离之和最小.”后来人们称该点为费马点.在三个内角都小于120°的三角形中，费马点就是与三角形三个顶点的连线两两夹角为120°的点.
【阅读理解】
（1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，判断点P是否为费马点.
为了解决本题，小明的想法是将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，得△ACP'≌△ABP，△APP'为等边三角形，根据勾股定理逆定理得△PP'C为直角三角形，从而求出∠APB的度数进行比较，请根据小明的思路完成求解过程；
【理解应用】
（2）请根据第（1）题的思想方法解答下列问题：
如图②，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，M是BC的中点，点P是矩形ABCD内部一点，连接AP，PM，PD，求MP＋AP＋DP的最小值.
第23题图
参考答案
第二十三章检测卷
1. C
2. D
3. D　【解析】选项A，B，C都属于平移运动，选项D是旋转运动.
4. D
5. A　【解析】由题图可知，∠1与∠2为同位角， ∴要使木条a∥b，则需使∠1＝∠2，∵∠1＝70°，∠2＝30°，∴至少应将木条b逆时针旋转40°.
6. A　【解析】∵点A关于原点的对称点在第二象限，∴点A在第四象限，∴2＋m＞0，－m＜0，解得m＞0.
7. B　【解析】由旋转的性质可知，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等.如解图，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，交于点B，∴点B为旋转中心.
第7题解图
8. B　【解析】∵点A与点D为对应点，∴AO＝DO，∵BO⊥AC，∴BO为AD的垂直平分线，∴AB＝BD，∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称，∴AB＝DE＝6，∴BD＝AB＝DE＝6.
9. B　【解析】由旋转可知AB＝AD，但不一定等于AF，选项A错误；由旋转可知∠B＝∠D，∵∠B＋∠BAD＝∠D＋∠BFD，∴∠BFD＝∠BAD，选项B正确；∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，选项C错误；∵BC＝DE＝DF＋EF＝BF＋CF，BF不一定等于 EF，选项D错误.
10. D　【解析】∵△ACN绕点A顺时针旋转60°得到△ABN'，∴∠ABN'＝∠C＝60°，∵AB＝12，点M是AB边的中点，∴BM＝6，当MN'⊥BN'时，MN'的长最小，此时∠BMN'＝30°，∴BN'＝BM＝3，∴ MN'＝ ＝ 3，∴MN'的最小值是3.
11. 菱形（答案不唯一）
12. 将△ABC先绕点B顺时针旋转90°，再向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度（答案不唯一）
13. 72°　【解析】∵该图形被等分为5部分，360°÷5＝72°，∴绕图案中心至少旋转72°后，该图案可以与原图案重合.
14. 　【解析】∵正方形的边长为1，∴太极图的半径为.∵太极图为中心对称图形（不考虑颜色），∴黑色部分和白色部分面积相同，∴S黑色部分＝×π×（）2＝.
15. 或3　【解析】如解图①，将△ADP绕点A逆时针旋转90°后得到△AD'P'，连接P'C，过点P'作P'E⊥BC交BC于点E，易得四边形D'P'EB为矩形，∵正方形ABCD的边长为2，点P为CD边上的中点，∴D'P'＝DP＝1，AD'＝2，∴P'E＝4，EC＝1，在 Rt△P'EC 中，P'C＝＝；如解图②，将△ADP绕点A顺时针旋转90°后得到△AD'P'，则点D'与点B重合，P'，B，C三点共线，∵D'P'＝1，BC＝2，∴P'C＝3.综上所述，P'C的长为或3.
　　
第15题解图
16. 解：画出小旗绕点O逆时针旋转90°得到的图形如解图. （6分）
第16题解图
17. 证明：由旋转的性质得，CE＝CB，∠BCE＝∠ACD＝∠FCD＝90°，∠E＝∠CBG，
∴∠BCE－∠FCB＝∠FCD－∠FCB，
∴∠ECF＝∠BCG，
在△ECF和△BCG中，
∴△ECF≌△BCG（ASA）. （9分）
18. 解：（1）中心对称； （3分）
（2）所求作图形如解图①，②（答案不唯一）. （9分）
　　　
第18题解图
19. （1）证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴ ∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE 中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）； （4分）
（2）解：由（1）知AD＝AE，∠DAE＝90°，∠BAD＝∠CAE，
∵DE⊥AC，
∴在等腰Rt△ADE中，AC是∠DAE的平分线，
∴∠CAE＝∠DAE＝45°，
∴∠BAD＝∠CAE＝45°. （9分）
20. 解：如解图，作正方形ABCD的对角线，交点为点O，作直线EO，与BC边交于点F，则EF平分正方形ABCD的面积.
∵正方形ABCD是中心对称图形，EF平分正方形ABCD的面积，
∴AE和CF关于点O成中心对称，对称中心坐标为（2，0），
∴CF＝AE＝2. （4分）
过点E作EG⊥BC于点G，则四边形ABGE为矩形，
∴BG＝AE＝2，EG＝AB＝8，
∴FG＝BC－BG－CF＝4，
∴在Rt△EFG中，EF＝＝4. （9分）
第20题解图
21. 解：（1）四边形A1B1C1D1如解图所示； （2分）
（2）四边形A2B2C2D2如解图所示； （4分）
说明如下：∵四边形ABCD的各个顶点的坐标均乘－1得到四边形A2B2C2D2，
∴四边形 A2B2C2D2的顶点坐标为A2（2，－4），B2（4，－4），C2（5，－2），D2（2，－3），
∴四边形 A2B2C2D2是由四边形ABCD关于原点中心对称得到的； （6分）
（3）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2成中心对称.
如解图，连接 A1A2，B1B2，A1A2，B1B2交于一点P，
则P（2，0），且对应的点到点P的距离相等，
∴四边形 A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2成中心对称，对称中心坐标为（2，0）. （9分）
第21题解图
22. （1）解：△BEC是等边三角形，理由如下：
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵∠DBC＝∠ABE，
∴∠DBC＋∠DBE＝∠ABE＋∠DBE，
即∠CBE＝∠ABD＝60°，
根据旋转的性质可得BE＝BC，
∴△BEC是等边三角形； （5分）
（2）证明：由（1）可知，△ABD和△BEC都是等边三角形，
∴AB＝DB，∠BCE＝∠BEC＝60°，BE＝BC，
在△ABE 和△DBC 中，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE＝CD，∠DCB＝∠AEB＝150°，
∴∠DCE＝∠DCB－∠BCE＝150°－60°＝90°，
又∵BE⊥DE，
∴∠BED＝90°，
∴∠CED＝∠BED－∠BEC＝90°－60°＝30°.
在Rt△CDE中，DE＝2CD，
∴CE＝＝＝CD，
∴CE＝AE. （12分）
23. 解：（1）点P不是费马点. （1分）
理由如下：
将△ABP绕顶点A逆时针旋转得到△ACP'，
∴△ACP'≌△ABP，
∵∠PAC＋∠CAP'＝∠BAC＝60°，PA＝P'A＝3，
∴△APP'为等边三角形，PP'＝AP＝3，
又∵P'C＝PB＝4，PC＝5，
∴PP'2＋P'C2＝32＋42＝52＝PC2，
∴△PP'C为直角三角形，∠PP'C＝90°，
∴∠APB＝∠AP'C＝60°＋90°＝150°，
∵∠APB≠120°，
∴点P不是费马点； （5分）
（2）如解图，将△APD绕点A逆时针旋转90°得到△AP'D'，连接PP'，D'M，则△APD≌△AP'D'，DP＝D'P'，AP＝AP'，AD＝AD'.
∵∠PAP'＝90°，
∴△P'AP是等腰直角三角形，
∴PP'＝AP，
∴MP＋AP＋DP＝MP＋PP'＋D'P'≥D'M，
当D'，P'，P，M四点共线时，MP＋AP＋DP有最小值，最小值为线段D'M的长.
在矩形ABCD中，∵BC＝2AB＝4，M为BC的中点，
∴BD'＝AB＋AD'＝2＋4＝6，BM＝BC＝2.
在Rt△D'BM中，D'M＝＝＝2，
∴MP＋AP＋DP的最小值为2. （12分）
第23题解图