期中重点专题：一元二次方程解答题（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

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期中重点专题：一元二次方程解答题-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
1．白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克．
(1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？
(2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？
2．某农场要建一个饲养场（长方形），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米，设饲养场（长方形）的宽为米．
(1)饲养场的长__________．（用含的代数式表示）
(2)若饲养场的面积为，求的值．
3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒．
(1)当时，的面积为__________；
(2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由；
4．我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程．
(1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程；
(2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________．
(3)若方程为“状元来”方程，求证：．
5．年第十届中国（太原）国际茶产业博览会于7月4日—7日在晋阳湖国际会展中心举办．养生茶是以食材或药材制作的茶饮品，让人们通过饮茶的方式达到养生保健的目的．陈皮茶具有祛痰止咳，促进消化的功效．某电商主播以每罐元的价格购进了一批陈皮茶，根据以往的销售经验，当售价定为每罐元时，每天可售出罐．经市场调研发现，若每罐陈皮茶的售价每上涨2元，则平均每天少售出罐．电商平台规定：在该电商平台销售的商品利润率不能高于．若该主播希望通过销售陈皮茶平均每天获得元的利润，求每罐陈皮茶的售价．
6．已知一元二次方程的两根分别是和．
(1)小明说m的值可能是11，你认为他说得对吗？请说明理由．
(2)已知等腰的一边长是4，另外两边长分别是和，求的值．
7．山东潍坊杨家埠木版年画有“画乡”之称．某校社团准备制作一张长方形年画《瑞虎迎春》，长和宽分别记为，（单位：）．已知，是关于的方程的两个实数根．
(1)当为何值时，这张年画恰好是正方形？
(2)若制作时要求四周各留的空白边（即实际画面长，宽），且满足，求的值．
8．张先生家有一面长4米、宽3米的白墙，装修时设计师在墙上设计了一幅长方形的创意壁画作为电视背景墙（如图），壁画的面积占了白墙面积的，并在墙的上部空间和左侧空间留出了宽度为的长方形区域用来安装横向和纵向的置物架．壁画的长和宽分别是多少？
9．利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克．
(1)当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润；
(2)当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价；
(3)请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由．
10．如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
(1)几秒后，的面积等于？
(2)的面积能否等于？说明理由．
11．已知关于的方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取最大整数值时，方程与有一个相同的根，求的值；
(3)若方程的两个根均为正整数，直接写出的值．
12．济南百年老字号鲁味斋（始创于1927年）现有真空五香虎皮猪蹄（非遗产品）．其生产成本为12元/袋，当门店定价20元/袋时，每天可售出60袋，市场调查反映：销售单价每上涨1元，则每天少售出4袋．设销售单价上涨x元．
(1)若日销售利润恰好达到408元，求x的值．
(2)每天的销售利润能否恰好达到520元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
13．已知关于的方程．
(1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)设方程两根为和，当时，求的值．
14．2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力．某商场以30元／件的进价购进一批坦克模型，当该坦克模型售价为50元／件时，第一周销售50件，第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72件．
(1)求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率；
(2)经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？
15．亲子装是现代家庭中的一种流行趋势，亲子装不仅能表达“我们是亲密的一家人”的浓浓亲情，同时家长可以过一把“孩童”瘾，某专卖店购进一批甲、乙两款亲子装，它们的进货单价之和是360元．甲款亲子装零售单价比进货单价多40元，乙款亲子装零售单价比进货单价的1.5倍少60元；按零售单价购买甲款亲子装4件和乙款亲子装2件，共需要1320元．
(1)分别求出甲、乙两款亲子装的进价；
(2)该专卖店平均每天卖出甲款亲子装20件和乙款亲子装12件．经调查发现，甲款亲子装零售单价每降低1元，平均每天就可多售出甲款亲子装2件．商店决定把甲款亲子装的零售单价下降元，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两款亲子装获取的总利润为1490元？
16．如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是．
(1)为何值时，在的垂直平分线上？
(2)为何值时，的长度为？
17．如图，正方形的边长为，动点P从点B出发，以的速度沿的方向向点D运动；动点Q从点A出发，以的速度沿的方向向点B运动．若两点同时出发，运动时间为．
(1)连接，是否存在t的值，使的面积为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(2)当点P在上运动时，直接写出使是以为一腰的等腰三角形的t的值．
18．年月日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”火箭模型，已知火箭模型每件的进货价为元，经市场调研发现，当该火箭模型的销售单价为元时，每天可销售件；当销售单价每增加元，每天的销售数量将减少件．设火箭模型的销售单价增加元．
(1)当天火箭模型的销售量为_____件；
(2)求当该火箭模型的销售单价为多少元时，该产品当天的销售利润是元．
19．阅读材料I：教材中我们学习了：若关于的一元二次方程的两根为，，根据这一性质，我们可以求出已知方程关于的代数式的值．
问题解决：
（1）已知、为方程的两根，则：；；那么 ．（请你完成以上的填空）
阅读材料II：已知，且．求的值．
解：由可知
．
又，且，
即，
是方程的两根．
问题解决：
（2）若，且，则___________；
（3）已知，，且．求的值．
20．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，是“___________倍根方程”；
(2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值；
(3)直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围．
《期中重点专题：一元二次方程解答题-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案
1．(1)龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克
(2)为了销售量尽可能大，每千克龙眼售价应定为14元
【分析】该题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意．
（1）根据“原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克”列式计算即可．
（2）设每千克龙眼售价为x元，根据利润数量每千克的利润，列方程解答即可．
【详解】（1）解：（千克）．
答：若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克．
（2）解：设每千克龙眼售价为x元，
由题意得，
解得，，
要保证销售量尽可能大，
每千克龙眼售价应定为14元．
2．(1)米
(2)
【分析】（）用总长减去再加上三个米宽的门即可求解；
（）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可求解；
本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确识图是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，饲养场的长米，
故答案为：米；
（2）解：由题意得，，
整理得，，
解得，，
当时，，不合题意；
当时，，符合题意；
∴的值为．
3．(1)
(2)的面积不能为，理由见解析
【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键．
（）根据计算即可；
（）由题意得，，即得，，进而得到，再根据根的判别式判断方程的解的情况即可求解．
【详解】（1）解：当时，由题意得，，
∴，，
∴
，
故答案为：；
（2）解：的面积不能为，理由如下：
由题意得，，，
∴，，
∴
，
当的面积为时，则，
即，
∵，
∴方程无实数解，
∴的面积不能为．
4．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
（1）利用因式分解法解方程可得，由此即可得；
（2）设这个方程的两个根为，则可得，，将代入化简即可得；化简可得，再根据可得，由此即可得；
（3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，代入化简即可得证．
【详解】（1）解：，
，
解得，
∵，
∴是4倍“梅石花”方程，
故答案为：4．
（2）解：设这个方程的两个根为，
∴，，
∴，
∴，为正整数，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为1，
故答案为：1．
（3）证明：∵可化成，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
5．元
【分析】本题考查一元二次方程的应用—销售问题，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键，设每罐陈皮茶的售价为元，根据题意列出方程，求得每罐陈皮茶的售价，再根据利润率不能高于，得到，从而得到答案．
【详解】解：设每罐陈皮茶的售价为元．根据题意，得：
．
整理，得．
解得，．
∵利润率不能高于，
∴．
解得：．
∴．
答：每罐陈皮茶的售价为元．
6．(1)小明说得不对，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先求出，再将代入计算即可得解；
（2）分两种情况：当为腰长时；当为底边时；分别求解即可．
【详解】（1）解：小明说得不对，理由如下：
∵一元二次方程的两根分别是和，
∴，
当时，，
∴当时，一元二次方程没有实数根，
∴小明说得不对；
（2）解：当为腰长时，将代入一元二次方程可得，
解得，
此时一元二次方程为，
解得，，
此时的三边为，，，但，不满足三角形三边关系，不符合题意；
当为底边时，则，
∴，
解得：或，
当时，此时一元二次方程为，解得，此时不构成三角形，舍去；
当时，此时一元二次方程为，解得，此时的三边为，，，且，满足三角形三边关系，符合题意；
综上所述，．
7．(1)当时，这张年画恰好是正方形；
(2)．
【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由这张年画恰好是正方形，则方程有两个相等的实数根，然后根据根的判别式即可求解，
（）由，是关于的方程的两个实数根，则，，然后代入即可求解．
【详解】（1）解：若这张年画恰好是正方形，则方程有两个相等的实数根，
∴，
整理得，
解得（负值已舍去），
即当时，这张年画恰好是正方形；
（2）解：∵，是关于的方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．壁画的长和宽分别是，．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设墙的左侧空间留出了宽度为，则墙的上部空间留出了宽度为，根据壁画的面积占了白墙面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙的长和宽，即可确定的值，即可解答．
【详解】解：设墙的左侧空间留出了宽度为，则墙的上部空间留出了宽度为，根据题意：
，即，
解得：或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
则壁画的长为，宽为，
答：壁画的长和宽分别是，．
9．(1)每天销售量为240千克，每天利润为1920元
(2)25元/千克或35元/千克
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是根据题意，列出方程．
（1）求出每天销售量，即可求解；
（2）设这种水果的售价为元/千克，依题意列出方程，再解一元二次方程，即可解答本题；
（3）设这种水果的售价为元/千克，，依题意列出方程，再利用判别式解答即可．
【详解】（1）解：当这种水果售价为28元/千克时，
每天销售量为：（千克），
每天利润为：（元），
当这种水果售价为28元／千克时，每天销售量为240千克，每天利润为1920元．
（2）解：设这种水果的售价为元/千克，
依题意可列方程为，，
整理得，
解得
当时，销售量为300千克；当时，销售量为100千克．
这种水果的售价为25元/千克或35元／千克时，商场每天销售利润为1500元．
（3）解：设这种水果的售价为元/千克，依题意可列方程为，
整理得：，
此时方程，方程无实数解，
这种水果每天销售利润不能达到2200元．
10．(1)1秒后，的面积等于
(2)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是理解题意，列出方程．
（1）根据题意，求出时间的取值范围，列出一元二次方程进行求解即可；
（2）列出一元二次方程判断根的情况即可得出结论．
【详解】（1）解：．
当运动时间为（）时，．
（1）依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：1秒后，的面积等于；
（2）解：不能，理由如下：
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴该方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
11．(1)
(2)
(3)5或8或9
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可得；
（2）先得出，再求出方程的解，代入方程求解即可得；
（3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再根据方程的两个根均为正整数分类讨论，代入计算即可得．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个实数根，
∴这个方程根的判别式，
解得．
（2）解：当取最大整数值时，则，
∴方程为，
解得，
∵方程与有一个相同的根，
∴，
解得．
（3）解：设关于的方程的两个根为，
∴，，
∵这个方程的两个根均为正整数，
∴①当时，，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
⑤当时，，
综上，的值为5或8或9．
12．(1)的值为9
(2)能，x的值为2或5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）用定价加上上涨价格减去成本得到单件利润，乘以销售量求出总利润，进而列方程求解即可；
（2）用定价加上上涨价格减去成本得到单件利润，乘以销售量求出总利润，进而列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
整理，得，
解得（不合题意，舍去），．
答：的值为9；
（2）解：每天的销售利润能恰好达到520元．
理由：根据题意，得，
整理，得，
解得，．
答：当销售单价上涨2元或5元时，每天的销售利润恰好达到520元．
13．(1)见解析
(2)1或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系：
（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合完全平方公式的变形解答即可．
【详解】（1）解：且无论取任何实数，完全平方式，
，即，
方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：方程两根为和，
∴，
即或，
的值为1或．
14．(1)
(2)7元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键．
（1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x，根据第一周的销量为50件和第三周的销量为72件建立方程求解即可；
（2）设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元，则每件的利润为元，销量为件，再根据总利润等于每一件的利润乘以销量建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为；
（2）解：设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元．
15．(1)甲款亲子装的进价为200元，乙款亲子装的进价为160元
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
（1）设甲款亲子装的进价为x元，乙款亲子装的进价为y元，根据等量关系：甲、乙两款亲子装，它们的进货单价之和是360元；按零售单价购买甲款亲子装4件和乙款亲子装2件，共需要1320元；列方程组求解即可；
（2）根据等量关系：总利润为1490元，列方程即可求解．
【详解】（1）解：设甲款亲子装的进价为x元，乙款亲子装的进价为y元
，
解得．
故甲款亲子装的进价为200元，乙款亲子装的进价为160元；
（2）解：依题意得
解得．
故当m为15时，商店每天销售甲、乙两款亲子装获取的总利润为1490元．
16．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由题意得，，则，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则，解方程即可得到答案；
（2）由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∵在的垂直平分线上，
∴，
∴，
解得，
∴当时，在的垂直平分线上；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴当或时，的长度为．
17．(1)不存在，见解析
(2)的值为或
【分析】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用．
（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；
（2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以为腰的等腰三角形即可说明．
【详解】（1）解：不存在，
理由：当点在上，即时，，， ，．
，
，
解得，，均不合题意，舍去．
当点在上，即时，，．
∵，
∴，解得(不合题意，舍去)．
不存在的值，使的面积为．
（2）由题意，得，，，．
当时，由题意，得，，
，
，即，
解得．
当时，在中，，
在中，，
，解得不合题意，舍去，．
综上：的值为或．
18．(1)
(2)当该火箭模型的销售单价为元时，该产品当天的销售利润是元
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程为解题关键．
（1）直接根据题意列出代数式即可；
（2）根据销售利润每件的销售利润当天的销售量，可列出关于的一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：当天火箭模型的销售量为件；
故答案为：；
（2）解：依题意，得．
整理得，即，
解得，
（元）．
答：当该火箭模型的销售单价为元时，该产品当天的销售利润是元．
19．（1）11；（2）；（3）．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，能够正确的理解材料的含义，并熟练地掌握根与系数的关系是解答此题的关键．
（1）根据根与系数的关系可求出和的值，然后利用完全平方公式将变形为，再代值求解即可；
（2）根据材料中的解法将等式变形，然后将a、看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，据此即可求解；
（3）根据材料中的解法将等式变形，然后将m和看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，据此即可求解．
【详解】解：（1）∵为方程的两根，
∴，，
故答案为：11；
（2），
由可知；
∴，
∴
又，且，即；
∴a、是方程的两根，
∴，即；
故答案为：；
（3）由可知；
∴，
∴，
又，且，即；
∴m、是方程的两根，
∴；
∴．
20．(1)四
(2)10或82
(3)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
（1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可；
（2）先解关于的方程得，由题意可得或，再代入求解即可；
（3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∵，
∴是“四倍根方程”；
（2）解：解关于的方程得，
∵关于的方程是“二倍根方程”，
∴或，
当时，；
当时，；
综上，的值为10或82；
（3）解：设直线解析式为，
把代入到中得，
∴，
∴直线解析式为；
∵一个五倍根方程的两个根为和，
∴，
∴点P的坐标为，
∴点P在直线上，
联立，解得，
联立，解得，
∵点在的内部（不包含边界），
∴．
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