期中重点专题：直线与圆的位置关系解答题（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

中小学教育资源及组卷应用平台
期中重点专题：直线与圆的位置关系解答题-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
1．如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证．
2．如图，是的直径，弦相交于点，，点F在的延长线上，，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求直径的长．
3．如图，在中，，点是上一点，以为圆心，为半径的圆分别交于点，平分．
(1)证明：直线是的切线；
(2)若，求的半径．
4．如图，内接于，且为直径，的角平分线交雨点E，交于点D，交过点B的一条直线于点F，．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
5．如图，在中，．
(1)在图1中作的外接圆；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，点I是内切圆的圆心，当，时，连接，求的长．（可在备用图中画出图形）
6．如图，四边形内接于是的直径，点是的中点，过点作的切线，连接，延长与相交于点．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
7．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图1中，的三个顶点均在格点上，请画出的外心．
(2)在图2中，的三个顶点均在格点上，请画出的内心I．
8．如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点．
(1)证明：是的切线；
(2)若的面积为，，求的长．
9．如图，为的直径，点在上，且点为弧的中点，过点作于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
10．如图，中，以为直径的交于点，过点作的切线交于点，．

(1)求证；
(2)若，，求的长．
11．如图，点在以为直径的上，、的延长线交于点，且，过点作交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)当点在上什么位置时，？求出此时的值．
12．如图，在中，，的平分线交AC于点E，是的外接圆，交于点F，圆心O在上．
(1)求证：是的切线；
(2)过点E作于点H，求证：平分．
13．如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点．
(1)判断与半圆的位置关系，并说明理由．
(2)若，求．
14．如图，是的外接圆，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径长．
15．如图，为的直径，为的半径，的弦与相交于点，的切线交的延长线于点，．．
(1)求证：；
(2)若的半径长为3，且，求的长．
16．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：直线与相切；
(2)若，，求的长．
17．如图，是的直径，是的弦，，垂足是点H，过点C作直线交的延长线于点E，且．
(1)求证：是的切线；
(2)如果，，求的长．
18．如图所示，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
19．如图1，在矩形中，边长，，其中a，b（）分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为秒．在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点Q．
(1)______；
(2)如图2，当t为多少时，点O运动到的角平分线上，此时，半圆O与有怎样的位置关系，并加以说明；
(3)如图3，当且半圆O与的边有两个交点时，则t的取值范围为 ．
20．综合与探究
如图，O为的边上的一点，以点O为圆心，的长为半径作圆，交于点D，过点A作，交于点E．
(1)如图1，连接，若，则______．
(2)如图2，连接，交于点F，连接，且．
①求证：为的切线．
②若求的面积．
《期中重点专题：直线与圆的位置关系解答题-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案
1．见解析
【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以．
【详解】证明：连接，
∵射线，与相切，切点分别为A，B，
∴，平分，
∴垂直平分，
∵的延长线交于点C，
∴．
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据，得出，根据，得出．结合三角形的内角和定理推出，即可推出是的切线．
（2）由可得，根据勾股定理的得出．设，则，．根据勾股定理得出，列出方程，求出x的值，即可解答．
【详解】（1）证明：，
．
，
，
，
，
，
是的直径，
是的切线；
（2）解：，
，
是的直径，
，
，
，
，
设，则，．
在中，，
，
解得，
，
．
3．(1)详见解析
(2)的半径长为2
【分析】（1）连接，则，所以，而，则，所以，则，即可证明直线是的切线；
（2）连接，由，得，则，求得，则，可证明是等边三角形则，可证明，则，即可求得的半径长．
【详解】（1）证明：如图，连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线；
（2）解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
的半径长为2．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键，
4．(1)见解析；
(2)3．
【分析】（1）连接．证明，是的中垂线，可得，可得，进一步证明，结合，可得，从而可得结论；
（2）过点E作于M，证明，，证明，可得，设，则，再进一步求解即可．
【详解】（1）证明：连接．
∵是的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴是的中垂线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，且是的直径
∴是的切线．
（2）解：过点E作于M，
∵平分，，，
∴，，
在与中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，
∴，
解得
∴．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作圆，三角形的外接圆和内切圆的综合应用：
（1）根据圆周角定理，得到外接圆的圆心为斜边的中点，利用尺规作垂线和尺规作圆的方法，作图即可；
（2）设与各边的切点为D，E，F，连接，设的半径为r，易得四边形为正方形，切线长定理求出，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，设与各边的切点为D，E，F，连接，
则，，．
设的半径为r，则，
∵，
∴为的直径，
∵，，，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
在中，．
6．(1)见解析
(2)
【分析】（1）设交于点，根据切线的性质可得，根据垂径定理的推论可得，即可得证；
（2）根据弧与弦的关系得出，进而根据直径所对的圆周角是直角，得出，根据勾股定理求得，进而得出圆的半径为，设，在，中，根据勾股定理求得，进而根据中位线的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：设交于点．
是的切线，
．
，
（2）解：，
是的直径，，
，
．
设，
．
在中，．
在中，，
，
解得．
．
又
是的中位线，
，即的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理的推论，圆周角定理，勾股定理，中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查三角形外心，内心的定义，涉及垂直平分线的性质，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关性质作图即可求解；
（1）根据垂直平分线的性质，，的垂直平分线交点即是点，即为的外心；
（2）根据角平分线的性质，找到的中点为点，的中点为点，连接，即为的角平分线，交于点I，即为的内心．
【详解】（1）解：根据题意，点O为所求，作图如下：
（2）解：根据题意，点I为所求，作图如下：
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由可得，由得到，可得，推出，结合，即可求证；
（2）在中，根据三角形的面积公式求出，再由勾股定理求得，最后根据，即可求解；
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：在中，，
的面积为，，
，
,
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质，勾股定理及平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键．
（1）连接．根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可结论；可以两种方法证明；
（2）如图，连接交于，根据垂径定理得到，，求得，得到，设的半径为，根据勾股定理得到，，根据矩形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连接．
点为的中点，
，
，
，
．
，
．
，
，
为的半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接交于，
，
，，
，
．
，
设的半径为，
，
，
，
解得（负值舍去），
，
，
为的直径，
，
，
四边形是矩形，
．
10．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接．设，则．由，得到．求出．，进而求得，根据三角形的内角和得到，即可得到，从而得证结论；
（2）根据勾股定理求得．设，则，．中，根据勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】（1）证明：连接．
设，则．
，
．
为的直径，
，
∴．
是的切线，
．
∵，
∴．
．
∵中，．
．
．
（2）解：∵在中，，，
．
设，则，．
∵中，．
∴．
解得．
．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角为，切线的性质，三角形的内角和定理及外角性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键．
11．(1)详见解析
(2)点为中点时，，
【分析】本题主要考查切线的性质，等腰（等边）三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握圆与三角形的综合知识的运用是解题的关键．
（1）连接，得到，则，结合题意得到，即，再根据切线的定义即可求解；
（2）根据题意得到为等腰三角形，由等腰三角形的性质得到为的中点，则，所以若，则，此时为中点，设，则，，四边形是平行四边形，则有，，可证为等边三角形，得到，由此即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
为的半径，
是的切线；
（2）解：，
为等腰三角形，
，
为的中点，
，
若，则，此时为中点，
设，则，
，
，
，
由（1）得：，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，
．
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，圆周角定理，切线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质，圆内接四边形的性质是解题的关键．
（1）连接，由于是角平分线，则有；而，就有，等量代换有，那么利用内错角相等，两直线平行，可得；又，所以，即是的切线；
（2）根据等角的余角相等即可证明；
【详解】（1）证明：如图，连接．
，
，
平分，
，
，
，
，
是的切线；
（2）证明：，，
，
是是直径，
，
，，
，
平分．
13．(1)AE与半圆相切，理由见解析；
(2)
【分析】（1）设半圆的圆心为，连接，，根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据正方形的性质得到根据切线的性质得到，设，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：与半圆相切，理由如下∶
设半圆的圆心为，连接，，
∵四边形是正方形，
∴
在与中
∴
∴
∵是半圆的半径，
∴与半圆相切；
（2）解：∵四边形是正方形
∴，，
∵是半圆的直径
∴是半圆的切线
∵与半圆相切，
∴．
设，
∴，，
∵
∴
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)的半径为
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键；
（1）连接，根据圆周角定理，得到，等边对等角，推出，即可得证；
（2）连接．根据为直径，推出，．进而推出．则，推出，即可求解．
【详解】（1）证明：连接．
，
，
，
．
，
．
．
，
是的半径，
是的切线．
（2）解：连接．
由（1）证可得，．
为直径，
，，
，
．
．
．
．
，
即的半径为．
15．(1)见解析
(2)1
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后根据等边对等角，等量代换求出，证得即可；
（2）设，则，，在中，利用勾股定理构建方程求出，然后根据计算得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
切于点，
，
，
，，
，，
又，
，
，
；
（2）解：设，则，，
在中，，
，
解得：，（舍去），
．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解一元二次方程，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
16．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，证明，得出，即可得出直线与相切；
（）由（）得：，则，所以，故有，，设，则，，再根据勾股定理求出的值，然后代入求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴直线与相切；
（2）解：由（）得：，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
由勾股定理得：，
∴，整理得：，
解得：（负值已舍去），
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）根据圆周角定理可得，再根据已知，可以得到，进而得到证明结论；
（2）根据垂径定理得到，然后根据勾股定理得到长，即可得到的长度，然后再利用勾股定理求出结果即可．
【详解】（1）证明：连接，则．
∵，
∴，则．
∵，，
∴，
∴，即，
∴是的切线．
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
18．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，垂径定理等．
（1）连接，再得到，，即可得到本题答案；
（2）利用垂径定理得到，再由勾股定理得，再设，则，列式即可求出本题答案．
【详解】（1）解：证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，解得，，
．
19．(1)5
(2)，半圆O与相切，说明见解析
(3)
【分析】（1）先解一元二次方程，得到，；根据矩形的性质，得到，利用勾股定理即可求解；
（2）运用角平分线性质定理得，可得是圆的切线，根据面积可求出，即可得到的值；
（3）根据题意，分为当半圆与有2个交点；当点半圆与有1个交点，与有1个交点；当点半圆与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到的取值范围．
【详解】（1）解：由，即，
解得：，，
，，其中，分别是方程的两个根，
，，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
故答案为：5；
（2）解：如图，过点作，垂足为点，
是的平分线，
又在矩形中，，，，
，
，
是的切线，即与相切，
又，
，
，即，
，
；
（3）解：如图，当半圆与相切时，此时半圆与的边有1个交点，即为切点，设切点为，连接，
由（2）知，，
如图，当点与点重合时，此时半圆与的边有2个交点，
此时，为半圆的直径，，
，
当时，半圆与有2个交点，
即半圆与的边有2个交点；
如图，此时，半圆与有1个交点，与有1个交点，
如图，当半圆与相切时，此时半圆与的边有3个交点，设与半圆的切点为，连接，
，
，
当时，半圆与有1个交点，与有1个交点，
即半圆与的边有2个交点；
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，切线的判定，矩形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论．
20．(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）由平行线的性质得，由圆周角定理得，即可求解；
（2）①证明，而为的直径，得到，即可求解；
②证明，设，则在中，由，得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵A，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）①证明：∵，
．
∵，
，
．
∵AD为的直径，
，
．
，
，
，
，
∴为的切线．
②如图，连接，并延长交于点G．
，
．
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴．
∵，
，
．
∵AD为的直径，
．
∵，
，
．
，
，
．
，
设，则在中，．
，
，
解得，即，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，圆切线的判定，圆内接四边形的性质，三角形全等，勾股定理的运用等，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)