高三数学一轮复习仿真模拟卷(三)（含解析）

仿真模拟卷(三)
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题p： x>0，x3＝x2，q： x∈R，x4>0，则(　　)
A．p和q都是真命题 B．p和 q都是真命题
C． p和q都是真命题 D． p和 q都是真命题
2．已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|x2－ax－3>0}，若1∈A且1∈ RB，则a的取值范围是(　　)
A．[－2，1) B．(－2，1) C．[－2，＋∞) D．(－∞，1)
3．已知点A(1，2)到抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线的距离为3，则C的焦点坐标为(　　)
A．(1，0) B．(0，1) C．(2，0) D．(0，2)
4．已知e1，e2为单位向量，a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，若a⊥b，则e1与e2的夹角为(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
5．记Sn为非零数列{an}的前n项和，若Sn＋1＝2Sn，n∈N*，则＝(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
6．已知过P(－2，1)作与圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0相切的两条直线PA，PB，切点分别为A，B，且cos ∠APB＝，则m＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．如图是一个圆柱容球，O2，O1为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径r＝2，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为(　　)
A．2π B．
C． D．
8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)为奇函数，且y＝f(2x)的图象关于直线x＝1对称，若f(0)＝－1，则＝(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z1，z2，则下列说法正确的是(　　)
A．若|z1|＝
B．若＝0，则z1＝±z2
C.若z1＝a－i(a∈R)，z2＝2i，则|z1－z2|的最小值为3
D．若z1≠0且∈R，则z1，z2均为纯虚数
10．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1>0，{an}的公差为d，且(S8－S6)S13<0，则(　　)
A．a8<0 B．S8C．d∈ D．满足Sn>0的n的最大值为15
11．“∞”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点F1(－a，0)，F2(a，0)(a>0)的距离之积为定值．则下列说法正确的是(　　)
(参考数据：≈2.236)
A．若|F1F2|＝12，则C的方程为(x2＋y2)2＝72(x2－y2)
B．若C上的点到两定点F1，F2的距离之积为16，则点(－4，0)在C上
C．若a＝3，点(3，y0)在C上，则<3
D．当a＝3时，C上第一象限内的点P满足△PF1F2的面积为2＝18
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是________．
13．在函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω>0)的图象与直线y＝的交点中，任取两点与原点O组成三角形，这些三角形的面积的最小值为，则ω＝________．
14．椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：＝1(0四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．(13分) 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＋b2－ab＝(b cos A＋a cos B)2.
(1)求角C；
(2)若b＝4，c＝4，求△ABC的面积．
16．(15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD＝1，BC＝3，∠ABC＝45°，△PCD为等边三角形，平面PBC⊥平面PCD，PB＝，M为CD的中点．
(1)证明：PM⊥平面ABCD；
(2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
17．(15分)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P是E的右支上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为3.
(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点F2的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别为kAM和kBN，求kBN的最小值．
18．(17分)已知函数f(x)＝(x－2)ex－mx，g(x)为f(x)的导函数．
(1)当m＝0时，求曲线g(x)在(1，g(1))处的切线方程；
(2)若f(x)的两个极值点分别为x1，x2(x1≠x2)．
①求实数m的取值范围；
②证明：x1＋x219．(17分) 拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上．
(1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？
(2)假设原来有n个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为Dn种，写出Dn＋1和Dn，Dn－1(n≥2)之间的递推关系，并证明：数列{Dn－nDn－1}(n≥2)是等比数列；
(3)假设让站好的一排n个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为Pn，证明：当n无穷大时，Pn趋近于.(参考公式：ex＝1＋x＋…)
仿真模拟卷(三)
1．解析：当x＝1时，命题p：x3＝x2成立，所以命题p是真命题，命题 p是假命题；当x＝0时，命题q：x4>0不成立，所以命题q是假命题，命题 q是真命题．
答案：B
2．解析：因为1∈A且1∈ RB，所以解得－2≤a<1.
答案：A
3．解析：抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，由题意可知2－＝3，解得p＝2，所以C的焦点坐标为(0，1)．
答案：B
4．解析：由a⊥b得a·b＝(e1－2e2)·(2e1＋e2)＝2e_(1)^(2)－3e1 ·e2 －＝0，所以e1·e2＝0，即e1⊥e2，所以e1与e2的夹角为90°.
答案：A
5．解析：在非零数列{an}中，S1＝a1≠0，由Sn＋1＝2Sn，n∈N*，得数列{Sn}是等比数列，Sn＝2n-1a1，因此a5＝S5－S4＝24a1－23a1＝8a1，所以＝8.
答案：C
6．解析：圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0化为C：(x－2)2＋(y－1)2＝5－m，则圆心C(2，1)，半径r＝(m<5)，
由题意，知cos ∠APB＝1－2sin2∠APC＝，解得sin∠APC＝＝4，且，所以，解得m＝4.
答案：D
7．解析：由球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，过O作OG⊥DO1于G，如图所示，
则由题可得OG＝，设平面DEF截得球的截面圆的半径为r1，当EF在底面圆周上运动时，O到平面DEF的距离d1≤OG，所以，所以平面DEF截得球的截面面积最小值为，故D正确．
答案：D
8．解析：由f(x＋1)为奇函数，知f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(1)＝0，由f(0)＝－1，得f(2)＝－f(0)＝1.由y＝f(2x)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(4)＝f(0)＝－1，f(1)＝f(3)＝0，综上，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，由f(x)＋f(2－x)＝0，f(2－x)＝f(2＋x)，得f(x)＝－f(2＋x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，则4为f(x)的一个周期，所以＝0×12＋f(1)＋f(2)＝1.
答案：C
9．解析：A.由|z1|＝|z2|得|z1|2＝2 ，又z1 ＝ ，z2 ＝2 ，所以z1 ＝z2 ，A正确；B.当z1＝1，z2＝i时，满足＝|a－3i|＝≥3，C正确；D.当z1＝1－i，z2＝2－2i时，满足＝2∈R，但z1，z2均不为纯虚数，D错误．
答案：AC
10．解析：由(S8－S6)S13<0，得(a8＋a7)×<0，即
<0，又≥0，所以a8a7<0，又a1>0，若d>0，则a8>0，a7>0，不合题意，所以d<0，则a8<0，a7>0，A正确；结合①知，a8＋a7<0，所以S8－S6<0，则S8S6，所以S80，所以d>由a8＝a1＋7d<0，所以d<－，所以d<－，C正确；由Sn>0，得Sn＝na1＋>0，所以a1>－d，由C知，－6d答案：ABC
11．解析：已知原点O在C上，则|OF1|·|OF2|＝a2，设(x，y)为C上任意一点，则有a2＝，整理得．若，则C的方程为，故A正确；若2＝32(x2－y2)，显然点(－4，0)不在此曲线上，故B错误；若a＝3，点(3，y0)在C上，有＝9，整理得2＝405，所以－18≈2.124，故C正确；因为sin ∠F1PF2＝＝9，可得∠F1PF2＝90°，所以点P是曲线C：(x2＋y2)2＝18(x2－y2)和以F1F2为直径的圆x2＋y2＝9在第一象限内的交点，联立方程，解得x＝，即P2＝，故D正确．
答案：ACD
12．解析：将7个数据从小到大排列为70，73，85，90，95，97，98，因为7×75%＝5.25，所以这7人成绩的上四分位数是97，极差为98－70＝28，故上四分位数与极差之和是97＋28＝125.
答案：125
13．解析：原点O到直线y＝的距离为，设交点，且x1答案：
14．解析：根据椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|MN|＋|MF1|＝|MN|－|MF2|＋2a≤|NF2|＋2a，当且仅当M为射线NF2与椭圆的交点时，等号成立，因为|MN|＋|MF1|的最大值为6，且a＝2，则|NF2|＝＝2，解得c＝，则b＝.
设l切椭圆于点A，由椭圆的光学性质可得P，A，F1三点共线，|F1P|＝|F1A|＋|AP|＝|F1A|＋|AF2|＝2a＝4，
则点P的轨迹是以F1为圆心，半径为4的圆，所以到直线x＋y＋6＝0的距离为＝5，由圆的几何性质可知，点P到直线x＋y＋6＝0的距离最小值为5－4＝1，最大值为5＋4＝9，即d∈[1，9].
答案：　[1，9]
15．解析：(1)在△ABC中，b cos A＋a cos B＝b·＝c，
又a2＋b2－ab＝(b cos A＋a cos B)2，所以a2＋b2－ab＝c2，
由余弦定理得cos C＝，
又0(2)在△ABC中，C＝，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即a2－12a＋32＝0，解得a＝4或a＝8.
当a＝4，b＝4，c＝4时，可构成三角形，此时△ABC的面积为ab sin C＝；
当a＝8，b＝4，c＝4时，可构成三角形，此时△ABC的面积为＝.
16．解析：(1)因为△PCD为等边三角形，M为CD的中点，
所以PM⊥CD.
过A作AE⊥BC，垂足为E，
因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD＝1，BC＝3，∠ABC＝45°，
所以BE＝AE＝2，则CD＝PC＝2，
由PB＝得BC2＋PC2＝PB2，所以BC⊥PC，
因为平面PBC⊥平面PCD，且平面PBC∩平面PCD＝PC，BC 平面PBC，
所以BC⊥平面PCD.
因为PM 平面PCD，所以BC⊥PM.
又BC∩CD＝C，BC，CD 平面ABCD，所以PM⊥平面ABCD.
(2)由(1)可知，BC，CD，PM两两垂直，以M为原点，过M且平行于BC的直线为x轴，MC，MP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则M(0，0，0)，A(1，－1，0)，B(3，1，0)，
＝(2，2，0)，＝，
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，
则令x＝，则m＝，
由(1)可知，x轴⊥平面PCD，不妨取平面PCD的法向量为n＝(1，0，0)，
则|cos 〈m，n〉|＝，
故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为.
17．解析：(1)设双曲线的半焦距为c(c>0)，
∵＝3，
∴|PF1||PF2|＝6.
由题可知|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2，即4c2－12＝4a2，
∴b2＝3.
又＝2，∴a2＝1.
故E的方程为x2－＝1.
(2)如图，
由题可知F2(2，0)，A(－1，0)，B(1，0)，且直线MN的斜率不为0，
设直线MN的方程为x＝ty＋2（-），M(),N()
将方程x＝ty＋2和x2－＝1联立，得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，
∴y1＋y2＝－.
∵kAM＝，
∴，
∴kBN＝－3kAM，∴2－1，
∵直线AM与E的右支有交点，∴－∴当kAM＝1，kBN＝－3时kBN取得最小值，且最小值为－1.
18．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝(x－2)ex，
则g(x)＝f′(x)＝(x－1)ex，g(1)＝0，
求导得g′(x)＝xex，则g′(1)＝e，
所以曲线g(x)在(1，g(1))处的切线方程为y＝ex－e.
(2)①f′(x)＝(x－1)ex－m，依题意，x1，x2是方程(x－1)ex－m＝0的两根，
即＝m，令p(x)＝(x－1)ex，则p′(x)＝xex，
当x<0时，p′(x)<0，当x>0时，p′(x)>0，
所以函数p(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，则p(x)min＝p(0)＝－1，
而当x<0时，p(x)<0，且p(1)＝0，方程(x－1)ex－m＝0有两根，即直线y＝m与函数y＝p(x)的图象有两个交点，
则－1②证明：由①不妨设x1<0由图象知，当x∈(－∞，1)时，直线y＝ex－e恒在曲线p(x)＝的下方.
令h(x)＝(x－1)ex－ex＋e(x<1)，求导得h′(x)＝xex－e，
设φ(x)＝xex－e(x<1)，求导得φ′(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，φ′(x)＜0，当x∈(－1，1)时，φ′(x)＞0，
函数φ(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，
当x<0时，φ(x)<－e，且φ(1)＝0，因此h′(x)＝xex－e<0在(－∞，1)上恒成立，
则函数h(x)在(－∞，1)上单调递减，h(x)>h(1)＝0，
于是(x－1)ex>ex－e(x<1)，
设(x0，m)在切线y＝ex－e上，则m＝ex0－e，x0＝＋1，
又x2∈(0，1)，则＝m＝ex0－e，即x2要证x1＋x2由①知－1所以x1＋x219．解析：(1)当有3个士兵时，重新站成一排有2种站法；
当有4个士兵时，假设先安排甲，有3种站法，若甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3种站法，
剩下的两个人都只有1种站法，由分步乘法计数原理可得有3×3×1×1＝9种站法．
(2)易知D1＝0，D2＝1.
如果有(n＋1)个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤：
第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有n种选法；
第二步：重排其余n个人，根据第一步，可以分为两类：
第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置上，这样的站法有Dn种；
第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置上，这样的站法有Dn－1种.
所以Dn＋1＝n(Dn＋Dn－1)，n≥2，又D2－2D1＝1，
所以
＝＝－1.
所以数列{Dn－nDn－1}，n≥2是首项为1，公比为－1的等比数列．
(3)由题意可知Pn＝，
由(2)可得Dn－nDn－1＝(－1)n，则.
对n进行赋值，依次得，
将以上各式左右分别相加，得，因为D1＝0，
则.
即得Pn＝，
当n无穷大时，Pn＝1－1＋＋…＝e-1＝，得证．