高三数学一轮复习仿真模拟卷(一)（含解析）

仿真模拟卷(一)
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合A＝{x∈N||x－1|<2}，则集合A＝(　　)
A．{1，2} B．{0，1，2} C．{0，1，2，3} D. {－1，0，1，2，3}
2．函数 f(x)＝的图象大致是(　　)
3．已知数列{an}为等差数列，m，n，s，t∈N*，设p：m＋n＝s＋t，q：am＋an＝as＋at，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若x＋x2＋…＋xn能被5整除，则x，n的一组值可能为(　　)
A．x＝2，n＝6 B．x＝4，n＝6 C．x＝8，n＝4 D．x＝14，n＝4
5．已知锐角α满足3sin α＋4cos α＝4，则tan ＝(　　)
A． B． C． D．
6．已知△ABC中，AC＝1，BC＝，AB＝2，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是(　　)
A． B．[0，1] C． D．[0，3]
7．已知平面直角坐标系中不同的三点A(0，5)，B(x，0)，C(0，y)，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为(x，y)，则点M的轨迹方程为(　　)
A．x2 ＝5y(y≠0) B．y2＝5x(x≠0)
C．y2＝－5x(x≠0) D．x2 ＝－5y(y≠0)
8．三棱锥P-ABC的体积为18，△ABC和△PBC都是等边三角形，∠PBA＝∠PCA＝90°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(　　)
A．36π B．54π C．72π D．108π
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的是(　　)
A．已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为
B．马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种
C．已知z1，z2 ∈C，z1z2＝0，则z1，z2中至少有一个为0
D．袋中装有8个白球，2个黑球，从中随机连续取3次，每次取一个球，取后不放回，设取出黑球个数为X，则X～H(10，3，2)
10．已知F1，F2分别是椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点，点B为短轴的一个端点，点M是C上的任意一点，则下列结论成立的是(　　)
A．1≤|MF1||MF2|≤4 B．0≤≤3
C．0≤|MB|≤2 D．7－4
11．对于函数f(x)＝下列结论中正确的是 (　　)
A．任取x1，x2∈[1，＋∞)，都有|f(x1)－f(x2)|≤
B．f＋…＋f＝2－，其中k∈N
C．f(x)＝2kf(x＋2k)(k∈N*)对一切x∈[0，＋∞)恒成立
D．方程f(x)＝k(k>0)有两个相异实根x1和x2，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线l：y－1＝k(x－1)被圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝r2(r>0) 截得的最短弦长为2，则r＝________．
13．已知等比数列{an}的前n项的积为Tn，即Tn＝a1a2a3…an－1an，又已知a1＝4，q＝，则Tn的最大值为________．
14．若实数x，y满足＝1，设z＝(x2＋y2)－20(ln x＋ln y)，则z的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)△ABC的内角∠A，∠ABC，∠C所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线交AC于点D，BE为△ABC的中线．若sin －sin ＝0，a＝1，c＝2.
(1)求BE的长；
(2)求BD的长．
16． (15分)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，所有棱长为2，点O1和O分别为上、下底面的中心，且∠A1AB＝∠A1AD＝.
(1)求证：平面A1BD⊥平面ABCD；
(2)求平面O1BC与平面BCC1B1所成角的余弦值．
17．(15分)函数f(x)＝e2x＋(a－2)ex－ax.
(1)当a＝－2e时，求函数f(x)的极值和极值点；
(2)若f(x)≥a－1在x∈[0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
18．(17分)在平面直角坐标系xOy中，若在曲线E1的方程F(x，y)＝0中，以(λx，λy) (λ为正实数)代替(x，y)得到曲线E2的方程F(λx，λy)＝0，则称曲线E1，E2关于原点“伸缩”，变换(x，y)→(λx，λy)称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
(1)已知双曲线E1的方程为＝1，伸缩比λ＝，求E1关于原点伸缩变换后所得双曲线E2的方程；
(2)已知椭圆E1：＋y2＝1经“伸缩变换”后得到椭圆E2，若射线l：y＝x(x≥0)与椭圆E1，E2分别交于A，B两点，且|AB|＝，求椭圆E2的方程；
(3)已知抛物线Ei：x2＝2piy作“伸缩变换”(x，y)→(λix，λiy)，得到Ei＋1：x2＝2pi＋1y，其中i＝1，2，…，n，若p1＝1，λn＝2n，求数列{pn}的通项公式．
19．(17分)泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布(记作X～π(λ))，则其概率分布为P(X＝k)＝e－λ，k∈N，其中e为自然对数的底数．
(1)当λ≥20时，泊松分布可以用正态分布来近似；当λ≥50时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为X～N(λ，λ)．若X～π(100)，求P(110(2)某公司制造微型芯片，次品率为0.1%，各芯片是否为次品相互独立．以X记产品中的次品数．
①若 X～B(n，p)，求在1 000个产品中至少有2个次品的概率；
②若X～π(λ)，λ＝np，求在1 000个产品中至少有2个次品的概率．
通过比较计算结果，你发现了什么规律？
(3)若X～π(λ)，且P(X>1)<0.01，求λ的最大值(保留一位小数)．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则有 P(μ－σ仿真模拟卷(一)
1．解析：由－2答案：B
2．解析：函数定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除BC；当x取正数且x→0时，sin x>0，lg (x2＋e)>0，所以f(x)>0，排除D.故选A.
答案：A
3．解析：数列{an}为等差数列，其首项为a1，公差为d，m，n，s，t∈N*，
若m＋n＝s＋t，则am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，as＋at＝2a1＋(s＋t－2)d，
则可得am＋an＝as＋at，所以p是q的充分条件；
若等差数列{an}是常数列，则对于任意m，n，s，t∈N*，都有am＋an＝as＋at，
所以p不是q的必要条件．
综上，命题p是命题q的充分不必要条件．故选A.
答案：A
4．解析：x＋x2＋x3＋…＋xn＝(x＋1)n－1，
当x＝2，n＝6时，36－1＝(33＋1)(33－1)＝28×26，不能被5整除；
当x＝4，n＝6时，56－1，不能被5整除；
当x＝8，n＝4时，94－1＝(92＋1)(92－1)＝82×80，能被5整除；
当x＝14，n＝4时，154－1＝(152＋1)(152－1)＝226×224，不能被5整除．故选C.
答案：C
5．解析：因为锐角α满足3sin α＋4cos α＝4，即3sin α＝4(1－cos α)，且sin α≠0，
由tan .故选B.
答案：B
6．解析：
方法一　如图，建立平面直角坐标系，则线段AB的方程为＝0，
设P(1－m))，Q(1－n))(m，n∈[0，1])，则＝mn＋3(1－m)(1－n)＝3－3(m＋n)＋4mn≤(m＋n)2－3(m＋n)＋3.
令t＝m＋n(0≤t≤2)，则y＝t2－3t＋3＝2＋，
当t＝0时，即m＝n＝0时，ymax＝3.故排除AB；
当CP⊥CQ时，＝0.故选D.
方法二　特值法
当P，Q分别与A，B重合时，＝0.当P，Q都与B重合时，＝3.
答案：D
7．解析：由已知得线段AC是动圆的直径，故AB⊥CB，
于是＝0，即(x，－5)·(x，－y)＝0，可得x2＝－5y，又B，C不重合，所以原点除外．故选D.
答案：D
8．解析：
取BC的中点为M，PA的中点为O，设正三角形的边长为a，则PM＝AM＝a，
PA＝a，所以OM＝a，
因为∠PBA＝∠PCA＝90°，
所以PA为三棱锥P-ABC外接球的直径，
又BC⊥PM，BC⊥AM，PM∩AM＝M，所以BC⊥平面PAM.
所以由VP-ABC＝18可得，BC·S△PAM＝，
所以a3＝216，解得a＝6，所以PA＝2R＝6，即R＝3，
所以三棱锥P-ABC外接球的表面积S＝4πR2＝72π.故选C.
答案：C
9．解析：Ω＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A＝{(男，女)，(女，男)}，所以P(A)＝，故A错误＝20，故B正确．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i＝0，所以①
视①为关于a，b的二元一次方程组，可得
所以a(c2＋d2)＝0.
当c2＋d2＝0，即z2＝0时，①有无数多个解；
当c2＋d2≠0，即z2≠0时，①有且只有唯一解a＝b＝0，即z1＝0；
因此当z1z2＝0时，z1，z2中至少有一个为0.故C正确．
从中随机连续取3次不放回，所以X服从超几何分布，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
10．解析：由已知可知，F1，F2，不妨设B(0，1)，
M(x，y)，则|MF1|＝2＋＝2－x，
|MF1|·|MF2|＝4－|MF2|≤4，A正确；
＝＝，所以x2－2∈[－2，1]，B错误；
|MB|＝，当y＝－∈[－1，1]时，ymax＝，C错误；
，因为－2≤x≤2，所以7－，D正确；或－1，当时，D正确．故选AD.
答案：AD
11．解析：作出函数f(x)＝的图象如图所示，
所以f(x)max＝1，f(x)min＝－1，
对于A，任取x1，x2∈[1，＋∞)，都有|f(x1)－f(x2)|≤－f(x)min＝－(－1)＝，故A正确；
对于B，因为f，…，f＝，所以f＋…＋f＝，故B错误；
对于C，由f(x)＝f(x－2)，得到f(x＋2k)＝f(x)，即f(x)＝2kf(x＋2k)，故C正确；
对于D，函数f(x)＝k(k>0)有两个相异实根x1，x2.如图所示，
则所以x1x2＝x1(1－x1)＝－2＋，
当答案：ACD
12．解析：因为直线l经过点P(1，1)，又C(2，2)，所以|PC|＝，如果直线l被圆C截得的弦长最短，则l⊥PC，那么r2＝2＋2＝4，所以r＝2.
答案：2
13．解析：由已知，可得an＝4·，所以Tn＝.所以当n＝2或3时，Tn取得最大值8.
答案：8
14．解析：令x＋y＝t，则xy＝t，x，y可以看作m2－tm＋t＝0的解，则Δ＝t2－4t≥0，又因为x，y∈R＋，所以t≥4(利用均值不等式也可以做出这个判断)，(x2＋y2)－20(ln x＋ln y)＝(x＋y)2－xy－20ln (xy)＝t2－t－20ln t，
令f(x)＝x2－x－20ln x(x≥4)，则f′(x)＝x－1－，
f(x)在(4，5)上为减函数，(5，＋∞)上为增函数，
所以当x＝5时，f(x)min＝f(5)＝－20ln 5.
答案：－20ln 5
15．解析：依题意得sin －sin ＝＋cos B sin )－(－cos B sin )＝sin B＋cos B＝0，
解得tan B＝－，又0(1)因为BE为中线，所以，
所以BE2＝(c2＋a2＋2ac cos B)＝(4＋1－2)＝，
所以BE＝.
(2)由S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
可得caac，
因为a＝1，c＝2，所以＝，
解得|BD|＝.
16．解析：
(1)因为AA1＝AB＝AD，且∠A1AB＝∠A1AD＝，所以△A1AB≌△A1AD，连接A1O，
所以A1B＝A1D＝2，又O为BD的中点，所以A1O⊥BD，且A1O＝，
因为AB＝AD＝2，且AB⊥AD，所以AO⊥BD且AO＝，
在△A1AO中，因为AA1＝2，所以＝A1O2＋AO2，
所以A1O⊥AO，又AO∩BD＝O，AO 平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以A1O⊥平面ABCD，
因为A1O 平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面ABCD.
(也可证△A1OA≌△A1OB垂直)
(2)方法一　
由(1)可知，OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点所在直线分别为x
轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系O-xyz，则A1，A，
，C
因为O1为A1B1C1D1中心，所以＝，
所以＝.
设n＝(x1，y1，z1)为平面O1BC的法向量，
则令x1＝1，可得y1＝－1，z1＝0，
所以n＝(1，－1，0)．
设m＝(x2，y2，z2)为平面BB1C1C的法向量，
因为＝＝，所以
令x2＝1，可得y2＝－1，z2＝1，所以m＝(1，－1，1)．
设平面O1BC与平面BCC1B1所成角为θ，θ且为锐角，
则cos θ＝|cos 〈n，m〉|＝.
所以平面O1BC与平面BCC1B1所成角的余弦值为.
方法二　取B1C1的中点P，连接PO1和PC，
因为A1O1∥OC且A1O1＝OC，所以A1O∥O1C.
由(1)可知，O1C⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以O1C⊥BC，O1C⊥O1P.
因为BCC1B1为菱形，且∠B1BC＝∠A1AD＝，
所以PC⊥BC，
所以∠O1CP为平面O1BC与平面BCC1B1所成角的平面角，
在Rt△O1CP中，由(1)可知O1C＝，O1P＝1，
设平面O1BC与平面BCC1B1所成角为θ，cos θ＝.
17．解析：因为f(x)＝e2x＋(a－2)ex－ax，
所以f′(x)＝2e2x＋(a－2)ex－a＝(2ex＋a)(ex－1)．
(1)当a＝－2e时，f′(x)＝2(ex－1)(ex－e)，
由f′(x)>0得，x<0或x>1，由f′(x)<0得，0列表
x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
由上表可知，
函数有极大值点x＝0，此时极大值为f(x)极大值＝f(0)＝－2e－1；
函数有极小值点x＝1，此时极小值为f(x)极小值＝f(1)＝－e2.
(2)①当a≥0时，2ex＋a>0，
由f′(x)>0，得x>0，函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(0)＝a－1，
即当a≥0时，f(x)≥a－1在[0，＋∞)上恒成立，所以f(x)≥a－1成立．
当a<0时，由f′(x)＝0，解得x1＝ln 或x2＝0.
②当x1由f′(x)>0，得x0，由f′(x)<0，得③当x1＝x2，即a＝－2时，f′(x)≥0恒成立，
则函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，f(x)≥f(0)＝a－1，所以符合题意．
④当x1>x2，即a<－2时，由f′(x)>0，得x<0或x>，由f′(x)<0，得0则f综上所述，当a≥－2时，f(x)≥a－1在x∈[0，＋∞)上恒成立．
18．解析：(1)由条件得＝1，整理得＝1，所以E2的方程为＝1.
(2)因为E1，E2关于原点“伸缩变换”，所以对E1作变换(x，y)→(λx，λy)(λ>0)，得E2：＋λ2y2＝1，
联立解得点A的坐标为，
联立解得点B的坐标为，
所以|AB|＝＝，所以，或，
所以λ＝2，或λ＝，因此椭圆E2的方程为x2＋4y2＝1或＝1.
(3)对En：x2＝2pny作伸缩变换(x，y)→(λnx，λny)，得En＋1：(λnx)2＝2pnλny，得x2＝y，
又因为x2＝2pn＋1y，所以pn＋1＝，即，
当n≥2时，，
得pn＝，p1＝1适用上式，所以数列{pn}的通项公式pn＝(n∈N*)．
19．解析：(1)因为当X～π(λ)，且λ＝100时，可近似地认为X～N(λ，λ)，即X～N(100，100)，这里μ＝100，σ＝＝10，所以P(110(2)①若X～B(n，p)，则P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－0.9991 000－×0.999999×0.001≈0.264 4.
②若X～π(λ)，λ＝np＝1，
P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－≈0.264 4，
比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是相等的，说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布．
此问的背景是：泊松分布可以作为二项分布的极限情况．当二项分布的试验次数n很大，且事件发生的概率p很小时，如果乘积λ＝np不太大，那么二项分布可以近似为泊松分布．这个事实在上述条件下可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算．(摘自《概率论与数理统计》陈希孺)
(3)由于X～π(λ)，所以P(X>1)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)，
由泊松分布概率公式可得P(X＝0)＝e－λ，P(X＝1)＝λe－λ，
故P(X>1)＝1－e－λ－λe－λ＝1－e－λ(1＋λ)．
方法一　因为P(X>1)<0.01，即e－λ(1＋λ)>0.99，构造函数g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝－<0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，由于g(1)＝<＝0.8<0.99，g(0)＝1，所以0当x＝0.1时，g(0.1)＝，
需要比较与0.99的大小，而0.99＝1－0.12，所以相当于比较e-0.1与1－0.1的大小，构造函数h(x)＝ex－x－1(－0.2所以h′(x)＝ex－1，当x∈(－0.2，0)时，h′(x)<0.
y＝h(x)在(－0.2，0)上单调递减，且h(0)＝0，所以e-0.1>1－0.1，即>0.99.当x＝0.2时，g(0.2)＝，需要比较与0.99的大小，而0.99＝1－0.12，所以相当于比较[1－(－0.2)]e-0.2与1－的大小，
构造函数m(x)＝(1－x)ex－(－0.5当x∈(－0.5，0)时，m′(x)>0，所以y＝m(x)在(－0.5，0)上单调递增，
即m(－0.2)因此λ的最大值为0.1.
方法二　因为P(X>1)<0.01，即e－λ(1＋λ)>0.99，构造函数g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝－<0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，由于g(1)＝<＝0.8<0.99，g(0)＝1，所以0当x＝0.1时，g(0.1)＝，
需要比较与0.99的大小，而0.99＝1－0.12，
构造函数h(x)＝－1＋x2(0则h′(x)＝2x－>0在(0，0.1)上恒成立，
所以h(x)在(0，0.1)上为增函数，所以h(0.1)>h(0)＝0，
即>1－0.01＝0.99.
当x＝0.2时，g(0.2)＝，
需要比较与0.99的大小，而0.99＝1－，
构造函数φ(x)＝x2(0则φ′(x)＝，
由ex≥x＋1，得e－x≥－x＋1>0在(0，0.2)上恒成立，
所以0所以φ(x)在(0，0.2)上为减函数，所以φ(0.2)<φ(0)＝0，即<0.99.
综上，λ的最大值为0.1.