2025-2026学年苏科版九年级数学上册期中检测卷（1-2章）（含解析）

2025-2026学年九年级数学上册期中检测卷（1-2章）
一、选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
2．下图中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ）
A． B． C． D．
3．的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系是（ ）
A．点在外 B．点在内
C．点在上 D．不能确定
4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
5．反比例函数的图象与直线有个交点，且两交点横坐标的积为负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，，依此类推，则当多边形的边数为90时，该多边形是由正（ ）边形“扩展”得到的（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
8．如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A经过的路线长是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．方程的解为： ．
10．半径为、弧长是的扇形，面积为 ，此扇形的圆心角为 度．
11．已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为 ．
12．对于实数、，定义运算“⊙”：⊙
（1）则⊙ ．
（2）若、是一元二次方程的两个实数根，⊙ ．
13．如图，分别切于点A，B，，那么的长为 ．
14．如图，为圆的直径，弦于点，若，，则圆的直径为 ．

15．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少 ？
（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价 元时，商场日盈利可达到2000元．
16．如图，在中，，，，以为对称轴，作 ADE的轴对称图形，点A的对称点恰好与的内切圆圆心O重合，则，与圆周围成的阴影部分的面积为 ．
三、解答题（11小题，共68分）
17．解下列一元二次方程：
(1)； (2)
18．如图，在中，弦，相交于点，．求证：．
19．如图是一段弯形管道，其中，，中心线的两条圆弧半径都为．求图中管道的展直长度（取）．
20．如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于．
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值．
22．某店购进一批单价16元的商品，一段时间后，发现若按20元/件销售时，每月能卖360件；若按每件25元销售时，每月能卖210件，若每月销售件数（件）与单价（元/件）存在
(1)确定值；
(2)为使每月获利为1920元，商品应定价为每件多少元？
23．如图， ABC中，与相切于点D．
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设上有一动点P，连接．当的长最大时，求的长．
24．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为米．
(1)的长为________米（用含的式子表示）；
(2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值；
(3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米．
25．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1所示， ABC的外接圆的半径为2，，P为圆O中弧上一点，连接，，．
(1)若，求证：；
(2)如图2，若，若关于直线的对称图形为，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明你的结论．
26．在平面直角坐标系中，点，将 ABC绕点A逆时针旋转得到．
(1)画出，并写出点和点的坐标；
(2)求点B在旋转过程中运动的路径长（结果保留）；
(3)如果将扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是多少？
27．如图，在矩形中,，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动．设运动时间为t秒．
(1)当时, DPQ的面积为 ；
(2)在运动过程中 DPQ的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；
(3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值；
参考答案
一、选择题
1．D
【分析】本题考查解一元二次方程，根据一元二次方程的求根公式逐项判断即可．
【详解】解：A．中，，不合题意；
B．中，，不合题意；
C．，，不合题意；
D．中，，符合题意；
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了圆心的确定方法，网格内的图形问题须充分利用格线互相垂直的特点．
圆心是圆中两条不平行的弦的垂直平分线的交点，因此看图中弦的垂直平分线是否为网格线便可求解．
【详解】解：观察图形，根据圆的轴对称性，可知是正确的．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的关系进行判定即可求解．
【详解】解：设点到圆心的距离，
∵，
∴点在内，
故选：B ．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式列不等式，求得，再根据二次项系数，即得答案．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
又二次项系数，
的取值范围是且．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，将两个解析式联立，得出整式方程，由图象有两个交点，可得有两个不相等的实数根，由两交点横坐标的积为负数，可得，求不等式组的解集即可．
【详解】解：将与联立，得：，
化为整式方程，得：，
反比例函数的图象与直线有个交点，且两交点横坐标的积为负数，
有两个不相等的实数根，且，
，
解得，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，连接是解题的关键；
连接，利用圆周角定理求出，，再由求解即可．
【详解】解：如图，连接，
根据圆周角定理，可得，，
．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查图形的变化类，一元二次方程的解法，首先要正确数出这几个图形的边数，从中找到规律，进一步推广．正n边形“扩展”而来的多边形的边数为是解题关键．①边数是，②边数是，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为．
【详解】解：∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是，
②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是，
③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为，
④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为，
∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为．
当多边形的边数为90时，
∴，
解得：或（舍去），
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了弧长的计算以及旋转的性质．
根据题意得出翻滚一周时点A经过的路线长，进而求出即可．
【详解】解：如图所示：

∵，，，
∴，
∴翻滚一周时点A经过的路线长是：．
故选：C．
二、填空题
9．，
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键．首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个因式的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．
【详解】解：移项得：，
即，
于是得：或，
则方程的解为：，．
故答案为：，．
10． 125.6 144
【分析】本题考查了弧长公式与扇形面积的计算，掌握弧长与扇形面积计算公式是解题的关键，由弧长及半径即可计算扇形的面积，由弧长利用方程即可计算扇形圆心角．
【详解】解：扇形面积为，
设扇形圆心角为度，则，
解得：，
即扇形圆心角为，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，倒数，解一元一次方程，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，．
根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据已知条件“该方程的两根互为倒数”可得，于是可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：，
又该方程的两根互为倒数，即：，
，
解得：，
12． 或8
【分析】本题考查新定义运算以及一元二次方程的求解，解题关键是：对于新定义运算，要根据所给的运算规则，判断、的大小关系，然后选择对应的运算公式进行计算．
（1）已知，，因为，根据新定义运算“⊙”，当时，；
（2）先求解一元二次方程，解得，，所以、的值为2和4，分两种情况讨论：①若，，即；②若，，即；分类求解即可．
【详解】解：（1），
6⊙3；
（2），
解得：，
①若，，即
⊙；
②若，，即
⊙；
综上所述⊙或8．
13．2
【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键．
由切线长定理知，根据已知条件即可判定是等边三角形，由此可求得的长．
【详解】解：∵分别切于点A，B，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．连接，如图，设的半径为r，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理得到，然后解方程即可．
【详解】解：连接，如图，设的半径为r，则，

∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴的直径为20．
故答案为：20．
15． 1692 25
【分析】（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；
（2）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
【详解】解：（1）当天盈利：（元）；
故答案为：1692．
（2）设每件商品降价x元，
根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∵商城要尽快减少库存，
∴．
故答案为：25．
16．
【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，含30度角的直角三角形，扇形面积的计算，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．设的内切圆与三边相切于点F，G，H，连接，，，得四边形为正方形，设正方形的边长为r，然后利用含30度角的直角三角形和切线长定理可以求出，再利用扇形面积公式即可解决问题．
【详解】解：如图，设的内切圆与三边相切于点F，G，H，连接，，，
可得四边形为正方形，
设正方形的边长为r，
在中，，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
由翻折可知：，
∴，与圆周围成的阴影部分的面积为．
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
18．证明：，
，
，
．
19．解：由图可知，
，
答：图中管道的展直长度为．
20．解：如图，点P即为所作．
21．（1）证明：
，
故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：，，
，
，
，
，．
故m的值为或．
22．（1）解：每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系式为，
∴根据题意得：
，
解得；
（2）解：根据解析（1）可知：每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系式为：，
∵每月获利为1920元，
∴，
解得：．
答：为了获得1920元的利润，商品价格每件应定为24元．
23．（1）解：连接，
，，，
，
，
∵⊙A与相切于点，
，
，
；
（2）解：延长交于P，连接，此时的长最大，
，
，
，，
．
24．（1）解：由题意得：（米），
故答案为：．
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
答：的值为10．
（3）解：假设该实验田的面积能为240平方米，
则，
整理得：，
这个方程根的判别式为，方程没有实数根，假设不成立，
答：该实验田的面积不能为240平方米．
25．（1）证明：如图，在上截取，连接，
∵，，
∴ ABC是等边三角形，
∴，，
由圆周角定理得：，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，证明如下：
如图，过点作，且，连接，，
∵，且，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
由圆周角定理得：，
∵和关于直线的对称，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
即．
26．（1）解：如图，
将 ABC绕点A逆时针旋转，则；
（2）解：，
点B在旋转过程中运动的路径为以为圆心，的长为半径的圆的，
故路径长度为；
（3）解：由（2）知圆锥底面圆的周长为，
∴半径为．
27．（1）解：由题意得，
∴，，
∴，，，
∴（）；
（2）解：在运动过程中 DPQ的面积不能为，理由如下：
根据题意得，
整理得，
∵，
∴方程无实数根，
∴ DPQ的面积不可能为，
（3）解：∵，
∴A、P、D三点在以为直径的圆上，
若点Q也在圆上，则，
∵，，，
当，
∴，
解得，，
∴或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上．