2025-2026学年人教版九年级数学上册期中检测卷（21-23章）（含解析）

2025-2026学年九年级数学上册期中检测卷（21-23章）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．数学图形以其独特的结构、精确的线条和丰富的内涵展现出一种独特的美感．下列数学图形中，属于中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．对二次函数的图象下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴为
C．当时随增大而增大 D．最小值是4
4．如果关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
5．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则（ ）
A．12 B． C．1 D．
6．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，可获得1870元的利润，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，函数和 (a是常数，且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
E．
8．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将 ABC先向左平移个单位，再绕原点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
11．设a，b是方程的两个根，则 ．
12．抛物线的图象不经过第一、二象限，那么a的取值范围是 ．
13．如图，已知， ADE绕着点A逆时针旋转后能与 ABC重合，则的度数是 ．
14．二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ．
16．苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为 米．
三、解答题（9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）
17．已知一元二次方程的右边被墨水污染．
(1)若方程的一个解为，求“”的值．
(2)若“”表示3x，求x的值．
18．抛物线与x轴的一个交点为．
(1)求k的值；
(2)求该抛物线与x轴的另一个交点坐标．
19．画出平行四边形绕B点逆时针转 后的图形．
20．观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：，方程的两个根分别是．
第2个方程：，方程的两个根分别是．
第3个方程：，方程的两个根分别是．
第4个方程：，方程的两个根分别是．
……
(1)请按照此规律写出一元二次方程的两个根，分别是___________．
(2)定义：如果关于的一元二次方程满足．那么我们称这样的方程为“归零方程”
①一元二次方程 （填“是”或“不是”）“归零方程”；
②试说明“归零方程”有实数根．
(3)已知关于的方程是“归零方程”，且是这个“归零方程”的一个根，求的值．
21．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
22．如图，抛物线的顶点，且经过原点O；
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若抛物线与x轴的另一个交点为P，求点P的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的坐标分别为．
(1)在图中作出 ABC关于x轴的对称图形；
(2)直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______；
(3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹）
24．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的两个端点都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面直角坐标系，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．

(1)图1中画出线段关于点O对称的图形（B与D对应）；
(2)图1中画出线段绕点O逆时针旋转后的图形（B与F对应）；
(3)图2中，点G和点H都在格点上，线段是由线段绕点P顺时针旋转得到的，请直接写出点P的坐标．
(4)图2中，连接，设，将绕点A顺时针旋转角度后的（点B与点M对应）
25．白鹿原隧道被称为“中国最大断面黄土隧道”，它的截面近似看作抛物线，某数学课题学习小组，为了研究隧道的截面，建立如图坐标系，已知隧道的净宽约为18米，净高（即抛物线最高点到地面的距离）约为12米．在隧道施工过程中，需要一个“凸”字形的支架支撑隧道的顶部，支架的下部分和上部分都分别由矩形和矩形组成，已知下部分矩形的长米，上部分矩形的长宽比（即），点A，D，E，H都在抛物线上．根据以上信息解决问题．
(1)求隧道截面抛物线的解析式；
(2)请确定支撑点的位置（即点的坐标）．
参考答案
一、选择题
1．D
【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法．
利用配方法进行求解即可．
【详解】解：
故选：D．
2．B
【分析】本题考查中心对称图形的概念，解题的关键是理解中心对称图形的定义，即把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对每个图形，依据中心对称图形的定义进行判断解．
【详解】解：图1，该图形绕着某个点旋转后，能与原来的图形重合，所以它是中心对称图形；
图2，此图形绕着某个点旋转后，不能与原来的图形重合，所以它不是中心对称图形；
图3，该图形绕着某个点旋转后，能与原来的图形重合，是中心对称图形；
图4，该图形绕着某个点旋转后，不能与原来的图形重合，不是中心对称图形故选．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
根据二次函数顶点式的性质分析各选项。顶点坐标为，对称轴为，开口方向由a的正负决定。当时，开口向上，有最小值k，且在对称轴右侧y随x增大而增大．
【详解】解：函数为，
故顶点坐标为，选项A的顶点坐标错误，
对称轴为，选项B中“”错误．
，开口向上，当时，y随x增大而增大，选项C正确．
开口向上时最小值为，选项D中“最小值是4”错误．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查的是一元二次方程的根的情况，考查的是对根的判别式的理解，掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．由方程是一元二次方程可得： ，由方程有实数根列不等式得的范围，综合得到答案．
【详解】解：因为一元二次方程 有实数根，
∴且，
解得：且．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键．利用关于原点对称点的性质，即它们的坐标互为相反数，得到a，b的值，再利用有理数的乘方法则计算得到答案．
【详解】解：点关于原点的对称点为，
，
，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，明确题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得：，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，故选项正确；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，，故选项错误；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式．
【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，
则y与x的函数关系式是，
故选：D．
9．C
【分析】本题考查坐标与图形变化旋转、坐标与图形变化平移，结合平移的性质、旋转的性质先画出图形，即可得答案．
【详解】解：由图可得，点的对应点的坐标为．
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
根据抛物线与y轴交点的位置、开口方向、对称轴位置即可判断A选项；根据抛物线与x轴有两个交点即可判断B选项；由图象可知，当时，对应点在x轴的上方可知，可判断C选项；根据图象经过点两点，即可得出对称轴为直线，可判断D选项．
【详解】解：A、由抛物线开口向上，可知，二次函数的图象与轴交于正半轴，则，对称轴为直线，，所以，所以，故A错误，不符合题意；
B、二次函数的图象与轴有两个交点，，故B错误，不符合题意；
C、由图可知，图象上横坐标为的点在轴上方，即，故C错误，不符合题意；
D、二次函数的图象经过点，，则对称轴为直线，故D正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题
11．2028
【分析】根据a是方程的根，将用a表示出来，将进行化简，根据a，b是方程的两个根求出，从而可得答案．
【详解】解：∵a是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵a，b是方程的两个根，
∴，
∴．
故答案为：2028．
12．
【分析】本题考查二次函数图象的性质，根据二次函数图象的开口方向即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线的图象不经过第一、二象限，
故抛物线图象必开口向下，故，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查旋转的性质．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．
根据旋转的性质，得到，，利用即可求解．
【详解】解：由题意得：，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次不等式的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．先根据二次函数图象与轴的一个交点和对称轴求出另一个交点，再根据函数图象在轴上方时确定不等式的解集．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线，
∴二次函数的图象与轴的另一个交点为，
∵不等式，即，
∴此时函数图象在轴上方，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解．
【详解】解：设的边上的高为，
长方形的长为，宽为，
，
的面积等于四边形面积的，
，
即，
解得，
动点从点出发沿运动，
点的坐标为或
故答案为或
16．4
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．将代入二次函数的解析式可得或，再根据二次函数的对称轴为直线，然后根据篮球框在抛物线的对称轴的右侧即可得．
【详解】解：由题意，将代入抛物线得：，
解得或，
抛物线的对称轴为直线，
∵篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且，
∴篮球出手至入筐过程中的水平距离长为4米，
故答案为：4．
三、解答题
17．（1）解：由条件可知，
“”的值为3．
（2）解：由题意知方程为，
．
，
，
，
．
18．（1）把代入可得，
，
∴；
∴抛物线的解析式为；
（2）∵，
解得，，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标．
19．如图，先画出绕点逆时针旋转后的线段，再依次画出、、．
20．（1）根据题意，得到方程的根为，
的根为，
故答案为：；
（2）①，一元二次方程是“归零方程”，
故答案为：是；
②，
，
，
“归零方程”有实数根．
（3）是“归零方程”，
，
，
．
是这个“归零方程”的一个根，
，
解得．
21．（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，,不符合题意，舍去；
当时，．
答：当长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
22．（1）解：∵抛物线的顶点，
∴设抛物线解析式为，
∵抛物线经过原点O，
∴，
解得：，
∴，
化为一般式为；
（2）解：令，
解得：，
∴点P的坐标为．
23．（1）解：关于x轴对称对应点分别为，如图所示：
；
（2）解：关于y轴对称点为，
故答案为：；
（3）解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求：
理由如下：
由对称可知，
的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立，
∴当P为与y轴的交点时，的周长最小．
24．（1）图形如下图；

（2）图形如下图；

（3）如图所示：或．

（4）如下图所示；

25．（1）解：由题意得，抛物线最高点到地面的距离约为12米，
∴，，
设抛物线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵矩形和矩形，
∴设抛物线的对称轴交于点，交于点，交于点，如图，
∴，
∴，
当时，，
∴米，，
∵，
∴设，，则，
∴点的纵坐标为，横坐标为，
∴点，
∵点在抛物线上，
∴，
整理得，
解得或(舍去)，
∴点．