沧州市普通高中 2026 届高三复习质量监测
数学试卷
班级 姓名
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知命题 ，则 ：（ ）
A. B.
C. D.
2. 设复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则 在复平面对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若椭圆 的短轴长为焦距的 倍，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 平面直角坐标系 中，已知点 ，则 （ ）
A B. C. D.
5. 已知函数 ，若 ，则 （ ）
A. B. 0 C. 2 D. 4
6. 记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. 320 B. 400 C. 480 D. 560
第 1页/共 4页
7. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三
角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 在三棱锥 P－ABC 中，点 P 到平面 ABC 的距离为 6，点 D，E 为边 PA，PB 的中点，且△CDE 为正三角
形.若 CA＝CB＝2DE，则点 P 到平面 CDE 的距离为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知偶函数 满足：当 时， ，则（ ）
A. B. 当 时，
C. D. 函数 在区间 上有零点
10. 对于集合 M 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：
① ， ；
② ，若 ，则 ；
③ ，若 ， ，则 .
则称“-”是集合 M 的一个等价关系.例如：“图形的相似性”是所有平面几何图形构成的集合的一个等价关
系，而“直线的平行关系”不满足条件①，所以不是等价关系.据此，下列关系中为等价关系的是（ ）
A. 方程的同解 B. 向量的共线
C. 集合的包含 D. 命题的充要条件
11. 已知抛物线 的焦点为 F，C 是直线 上一点，过点 C 作抛物线的两条切线与抛物线分别切
于点 A，B，连接 AF，BF，设直线 AB 与 x 轴交于点 P，直线 CF 与直线 AB 交于点 D，（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 样本数据 的极差和第 70 百分位数之和为__________.
第 2页/共 4页
13. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l： 上两点 A，B 关于原点 O 的对称点分别为点 C，D，且
四边形 ABCD 是正方形，则四边形 ABCD 的外接圆方程为__________.
14. 现有 6 个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取 3 个球：
甲从所有球中一次性随机抽取 3 个；乙将小球平均分为 A，B 两堆后，先从 A 堆中一次性取 i 个，再从 B 堆
中一次性取 个（ ），则乙的不同取法种数比甲多__________种.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图， 直三棱柱 中， 平面 ， .
（1）证明： ；
（2）若直线 与平面 所成角为 ，求 .
16. 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 且 .
（1）若 ，求 a；
（2）若 的周长为 4c，求 的面积.
17. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，
其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方
地区的经济发展.我国于 2020 年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用.以 2020 年为第 1 年，我国连
续 5 年小麦产量如下：
年份 1 2 3 4 5
产量/千万吨 13.4 13.7 13.8 13.6 14.0
现规定 表示第 i 年的年份， 表示第 i 年的产量，经计算得 ， ，
第 3页/共 4页
.
（1）求样本 （ ，2，…，5）的相关系数（精确到 0.01）；
（2）现从这 5 年中随机抽取 2 年，记这 2 年中共有 X 年的小麦产量不低于 13.7 千万吨，求 X 的分布列与
期望.
附：样本相关系数 ， .
18. 已知双曲线 E： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，其上一点 满足
.
（1）求 E 方程.
（2）记 E 右顶点为 B，射线 BA 上两点 P，Q 满足 .
（ⅰ）若点 P 的横坐标为 m，求点 Q 的坐标（用 m 表示）；
（ⅱ）已知 ， ，若 的面积为 ，求 .
19. 已知函数 ．
（1）当 时，证明： ；
（2）当 时，若 ，求 最大值；
（3）若 恰有 2 个零点和 3 个极值点，证明： ．
第 4页/共 4页绝密★启用前
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数学试卷
班级
姓名
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上，
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效，
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的、
1.已知命题力：Vx∈Z,x2∈N,则hp为
A.3x∈Z,x2NB.3x∈Z,x2∈N
C.3xZ,2N
D.Hx∈Z,x2N
2.设复数之在复平面内对应的点位于第一象限，则三在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.若椭圆C的短轴长为焦距的√6倍，则C的离心率为
A
B哥
a
4.在平面直角坐标系xOy中，点A(3,2),B(3,1),C(1,4),则cos∠ABC=
A写
B晋
C.13
13
D.33
13
5.已知函数f(x)=sinx-4+2,若f(a)=4,则f(-a)-
x
A.-4
B.0
C.2
D.4
6.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S1o=100,a10=19,则S20=
A.320
B.400
C.480
D.560
7.已知函数f(r)=n(x+)+2cos工，则曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线与两坐标轴所
2x+1
围成的三角形的面积为
A
c号
号
高三数学第1页（共4页）
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8.已知在三棱锥P-ABC中，点P到平面ABC的距离为6，点D,E分别为边PA,PB的中点，
且△CDE为正三角形，若CA=CB=2DE,则点P到平面CDE的距离为
A.3
B.4
C.6
D.23
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=2r十xe,则
A.f(-1)>4
B.当x<0时，f(x)=2x+xex
C.f(x)≥1
D.函数g(x)=f(x)一6在区间(1,2)上有零点
10.对于集合M中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：①Hm∈M,m一m;②Hm,
n∈M,若m一n,则n一m;③Hm,n,p∈M,若m一n,n-p,则m一p.则称“-”是集合M的
一个等价关系.例如：“图形的相似”是所有平面几何图形构成的集合的一个等价关系，①一个
图形与其自身相似，②若图形A与图形B相似，则图形B与图形A相似，③若图形A与图形
B相似，图形B与图形C相似，则图形A与图形C相似，故“图形的相似”是等价关系.而“直
线的平行”不满足条件①，所以不是所有直线构成的集合的一个等价关系.据此，下列关系中
为等价关系的是
A.方程的同解
B.向量的共线
C.集合的包含
D.命题的充要条件
11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,C是直线x=一2上一点，过点C作抛物线的两条切线与抛
物线分别切于点A,B,连接AF,BF,设直线AB与x轴交于点P,直线CF与直线AB交于
点D,则
A.P(2,0)
-
c解-0
AC AP
D.BCT-TBP
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.样本数据5.8,5.9,5.9,6.0,6.1,6.1,6.3的极差和第70百分位数之和为
13.在平面直角坐标系xOy中，直线1：x一y+1=0上两点A,B关于原点O的对称点分别为点
C,D,且四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD的外接圆方程为
14,现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取
3个球：甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球随机均等分为A,B两堆后，先从A堆
中一次性取i个，再从B堆中一次性取3一i个(0≤i≤3)，则乙的不同取法种数比甲多
种
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数学试卷
班级 姓名
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知命题 ，则 ：（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定定义求解即可.
【详解】由命题 ，故 ： .
故选：A
2. 设复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则 在复平面对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】令 ,由复数的除法运算化简 ，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】由题可得 ,所以 ，对应点的坐标为
,
第 1页/共 17页
因为 , ,所以 在复平面对应的点位于第四象限.
故选：D
3. 若椭圆 的短轴长为焦距的 倍，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得 ，又 ，利用离心率的公式即可求解.
【详解】根据题意有 ，
所以 .
故选：B.
4. 平面直角坐标系 中，已知点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两点间距离公式计算 ，再利用余弦定理即可求得.
【详解】因为 ，三点不共线，
则 ，
，
，
由余弦定理，可得 .
故选：D.
5. 已知函数 ，若 ，则 （ ）
第 2页/共 17页
A. B. 0 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】结合正弦函数的奇偶性代入求解.
详解】 ，所以 ，
则 .
故选:B.
6. 记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. 320 B. 400 C. 480 D. 560
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，列式求出首项及公差，再求出前 20 项的和.
【详解】由 ，得 ，而 ，解得 ，公差 ，
所以 .
故选：B
7. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三
角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式即得切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，
利用三角形面积公式即可求得答案.
【 详 解 】 由 求 导 ， 可 得
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，
则 ，又 ，
则曲线 在点 处的切线为 ，
则切线与两坐标轴的交点分别为 ， ，故三角形的面积为 .
故选：D.
8. 在三棱锥 P－ABC 中，点 P 到平面 ABC 的距离为 6，点 D，E 为边 PA，PB 的中点，且△CDE 为正三角
形.若 CA＝CB＝2DE，则点 P 到平面 CDE 的距离为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D.
【答案】C
【解析】
【分析】设△CDE 的面积为 S，则△ABC 的面积为 4S，三棱锥 P－ABC 的体积为 ，设点 P 到平面
CDE 的距离为 h，三棱锥 的体积为 ，进而可得体积比，求得 h.
【详解】因为点 D，E 为边 PA，PB 的中点，
所以 2DE＝AB，因此 AB＝CA＝CB，故△ABC 也为正三角形，
且其边长为△CDE 的边长的两倍，面积是△CDE 的面积的四倍，
设△CDE 的面积为 S，则△ABC 的面积为 4S.
三棱锥 的体积为 ，设点 到平面 的距离为 h，
第 4页/共 17页
三棱锥 体积为 .所以三棱锥 C－PDE 的体积也为 ，
又因为点 D，E 为边 PA，PB 的中点，所以△PDE∽△PAB，
相似比为 ，面积比为 ，故三棱锥 C－PDE 与三棱锥 C－PAB 的体积之比为 ，
所以 ，所以 ，解得 h＝6，
所以点 P 到平面 CDE 的距离为 .
故选：C.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知偶函数 满足：当 时， ，则（ ）
A. B. 当 时，
C. D. 函数 在区间 上有零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用偶函数的定义、性质判断 ABC；利用零点存在性定理判断 D.
【详解】对于 A， ，A 正确；
对于 B，当 时， ，则 ，B 错误；
对于 C，当 时， ，当且仅当 时取等号，则 ，
当 时， ，因此 ，C 正确；
对于 D， ， ，即 ，
因此 在区间 上有零点，D 正确.
故选：ACD
10. 对于集合 M 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：
① ， ；
② ，若 ，则 ；
第 5页/共 17页
③ ，若 ， ，则 .
则称“-”是集合 M 的一个等价关系.例如：“图形的相似性”是所有平面几何图形构成的集合的一个等价关
系，而“直线的平行关系”不满足条件①，所以不是等价关系.据此，下列关系中为等价关系的是（ ）
A. 方程的同解 B. 向量的共线
C. 集合的包含 D. 命题的充要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】需要逐一分析每个选项，判断其是否满足等价关系的三个条件：自反性，对称性和传递性.
【详解】对于 A，①方程本身与其自身同解，②若方程 A 与方程 B 同解，则方程 B 与方程 A 同解，③若方
程 A 与方程 B 同解，方程 B 与方程 C 同解，则方程 A 与方程 C 同解，故方程的同解是等价关系，A 正确；
对于 B，零向量与任意向量共线，故不符合条件③，B 错误；
对于 C，若集合 A 包含集合 B，集合 B 不一定包含集合 A，不符合条件②，C 错误；
对于 D，①命题 p 是命题 p 自身的充要条件，②若命题 p 是命题 q 的充要条件，则命题 q 是命题 p 的充要
条件，③若命题 p 是命题 q 的充要条件，命题 q 是命题 r 的充要条件，则命题 p 是命题 r 的充要条件，D 正
确.
故选：AD.
11. 已知抛物线 的焦点为 F，C 是直线 上一点，过点 C 作抛物线的两条切线与抛物线分别切
于点 A，B，连接 AF，BF，设直线 AB 与 x 轴交于点 P，直线 CF 与直线 AB 交于点 D，（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】先设点进而得出切线方程计算求解判断 A，与抛物线联立再结合抛物线定义判断 B，应用角平分线
定理结合数量积公式计算判断 C，应用角平分线定理结合点到直线距离公式计算判断 D.
【详解】设 ， ， ，
则在 A，B 处的两条切线可写为 ，
将 代入可得 ，
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所以 ， 在直线 上，即直线 AB 为 ，
与 x 轴的交点为 ，即 ，故 A 正确；
对于 B，设直线的方程为 ，其中 ，
与抛物线联立可得 ，则 ， ，
若 成立，即 成立，
由抛物线定义得 ， ， ，
所以 ，故B
正确；
对于 C，若 成立，可知 为 的平分线，即证明 ，
等价于证明 ，即证明 ，
即证明 ，
又 ， ， ，
代入化简可得 ，
即 ，
即 ，故 C 正确；
对于 D，若 成立，则 为 的平分线，
所以点 P 到直线 AC 的距离等于点 P 到直线 BC 的距离，即
，
即只有当 时成立，故 D 错误.
故选：ABC.
第 7页/共 17页
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 样本数据 的极差和第 70 百分位数之和为__________.
【答案】6.6##
【解析】
【分析】根据极差及百分位数定义计算求解即可.
【详解】数据从小到大排列为 ，
样本数据的极差为 ，
由于 ，故样本数据的第 70 百分位数为第 5 个数 6.1，
所以两数之和为 ；
故答案 ： .
13. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l： 上两点 A，B 关于原点 O 的对称点分别为点 C，D，且
四边形 ABCD 是正方形，则四边形 ABCD 的外接圆方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设点再根据 C，D 两点均在直线 ： 上，再应用点到直线距离得出 ，进而
得出半径即可得出标准方程.
详解】设 ， ，则 ， ，
C，D 两点均在直线 ： 上，故直线 CD 即为 .
而直线 AB 与直线 CD 的距离 ，由 可知 ，
故由平面几何知识可得 ，
第 8页/共 17页
由对称性可知正方形 ABCD 的外接圆圆心为 O，半径为 1，于是四边形 ABCD 的外接圆方程为 ，
故答案为： .
14. 现有 6 个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取 3 个球：
甲从所有球中一次性随机抽取 3 个；乙将小球平均分为 A，B 两堆后，先从 A 堆中一次性取 i 个，再从 B 堆
中一次性取 个（ ），则乙的不同取法种数比甲多__________种.
【答案】380
【解析】
【分析】根据组合数的定义及分步乘法原理求解.
【详解】由于甲是在 6 个球中一次性取出 3 个，从而不同的取法数有 种；
对于乙，将小球平均分为 A，B 两堆有 种方法，
而对于每一个给定的分堆方式，其取法数为 ，
所以乙的不同取法数为 种，故乙的不同取法数比甲多 380 种，
故答案为：380.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在直三棱柱 中， 平面 ， .
（1）证明： ；
（2）若直线 与平面 所成角为 ，求 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
第 9页/共 17页
【分析】（1）由线面垂直分别推得 ， ，再由线线垂直证明线面垂直，最后利用线面
垂直的性质即可证得；
（2）根据（1）的结论，建系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得.
【小问 1 详解】
由 平面 ， 平面 ，可得 ，
在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，可得 .
【小问 2 详解】
由 平面 ， 平面 ，可得 .
因四边形 是矩形，故四边形 是正方形，则 ，
由（1）已得 平面 ， ，
故可以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 x、y、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，
不妨设 ，则 ， ， ，故 ，
由题易知平面 的一个法向量为 ，
则 ，
解得 ，因 ，则 .
第 10页/共 17页
16. 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 且 .
（1）若 ，求 a；
（2）若 的周长为 4c，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算求出 ，再应用两角和正弦公式结合正弦定理计算求解；
（2）先根据周长化简得出 ，再应用余弦定理计算求解得出 ，最后应用面积公式计算求解.
【小问 1 详解】
由 ，可得 ，
显然 ，故 ，
于是 ，
在 中，由正弦定理可知 ，故 .
【小问 2 详解】
由题可知 ，又 ，故 ，
由余弦定理可知 ，
即 ，化简得 ，故 （舍）或 ，
故 的面积 .
17. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，
其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方
地区的经济发展.我国于 2020 年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用.以 2020 年为第 1 年，我国连
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续 5 年小麦产量如下：
年份 1 2 3 4 5
产量/千万吨 13.4 13.7 13.8 13.6 14.0
现规定 表示第 i 年的年份， 表示第 i 年的产量，经计算得 ， ，
.
（1）求样本 （ ，2，…，5）的相关系数（精确到 0.01）；
（2）现从这 5 年中随机抽取 2 年，记这 2 年中共有 X 年的小麦产量不低于 13.7 千万吨，求 X 的分布列与
期望.
附：样本相关系数 ， .
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）先求出平均值，再应用已知数据结合相关系数公式计算求解；
（2）根据超几何分布求出概率，再写出分布列应用数学期望公式计算即可.
【小问 1 详解】
， ，
故样本相关系数
.
【小问 2 详解】
X 的取值可以为 0，1，2，
第 12页/共 17页
则 ，
，
，
于是 X 的分布列为
X 0 1 2
P
故 .
18. 已知双曲线 E： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，其上一点 满足
.
（1）求 E 的方程.
（2）记 E 的右顶点为 B，射线 BA 上两点 P，Q 满足 .
（ⅰ）若点 P 的横坐标为 m，求点 Q 的坐标（用 m 表示）；
（ⅱ）已知 ， ，若 的面积为 ，求 .
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线定义得出 ，再把点代入双曲线计算得出 即可求解；
（2）（ⅰ）先设直线方程进而设点 ，再根据 ，计算求参；
（ⅱ）应用正弦定理结合两点间距离公式计算得出正弦比.
【小问 1 详解】
第 13页/共 17页
因为 ，故 ，
将 代入 ，可得 ，解得 ，
故 E 的方程为 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）因为 ，而 ，故直线 AB 的斜率 ，
于是直线 AB 的方程为 ，
故 .设点 Q 的横坐标为 n，则 ，其中
于是 ，
故 ，于是点 Q 的坐标为 ，
（ⅱ）记 E 的半焦距为 c，则 ，故 ， .
于是 ，
故 的面积为 ，解得 ，故 ，
于是 ， ， ， ，
在 中，由正弦定理可知 ，
在 中，由正弦定理可知 ，
又 ，
两式作比，可得 ，
于是 .
第 14页/共 17页
19. 已知函数 ．
（1）当 时，证明： ；
（2）当 时，若 ，求 的最大值；
（3）若 恰有 2 个零点和 3 个极值点，证明： ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）1 （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）计算得 ，构造函数 ，求导得其单调性，则得到其最值，
从而判断出其小于等于 0；
（2）取 ，分 和 讨论即可；
（3）设 ，求导得其单调性，再假设新函数 ，求导
后利用极值点个数得到相关不等式，解出即可.
【小问 1 详解】
.
设 ，则 ，
故当 时， 在区间 上单调递增；
当 吋， 在区间 上单调递减，
故 ．
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因此 ，得证．
【小问 2 详解】
取 ，则 ，由（1）知 在区间 上单调递减，
故当 时， ，故必有 ,
当 时， ，则 ，
故当 时， 在区间 上单调递减；
当 时， 在区间 上单调递增，
故 ，符合题意，因此 的最大值是 1．
【小问 3 详解】
设 ，
则 ，
故当 时， 在区间 上单调递减；
当 时， 在区间 上单调递增，
所以当 时， 取极小值 ．
若 恰有 2 个零点，则 ，得 ．
，设 ，
则 ，由 恰有 3 个极值点，得 必有 2 个正零点，
记为 ，故 ，
即 ，
当 ，或 时， 区间 上单调递增，当 时，
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在区间 上单调递减，
当 时， 取极大值 ，当 时， 取极小值 ，
由 恰有 3 个极值点，则 必有 3 个正零点，
由 有 ，
故 ．
因为 ，
所以必有 ，即 ，
由 ，有 ，则 ．
由 ，有 ，即 ，
因为函数 在区间 上单调递增，若 ，
则 ，矛盾，
故 得证．
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