高三数学一轮复习第二章不等式第一节等式性质与不等式性质 课件(共55张PPT)

(共55张PPT)
第一节 等式性质与不等式性质
学习目标
1. 掌握等式的性质．
2．理解用作差法比较两个实数大小的理论依据．
3．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．
知识清单
1.两个实数比较大小的方法
<
＞
2.等式的性质
3.不等式的性质
性质 性质内容
对称性 a＞b ________
传递性 a＞b，b＞c ________
可加性 a＞b a＋c＞b＋c
可乘性 a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ________
同向可加性 a＞b，c＞d ____________
同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0 ________
同正可乘方性 a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)
b＜a
a＞c
ac＜bc
a＋c＞b＋d
ac＞bd
【常用结论】
1．倒数性质：若02．若a>b>0，m>0，则<>(b－m>0)．
3．若a>b>0，m>0，则><(b－m>0)．
自主诊断
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)
(3)若>1，则a>b.(　　)
(4)a>b>0，c>d>0 >.(　　)
√
×
×
√
2．(多选)(必修一P42练习T2改编)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b，cb－d
B．若a>b>0，cbd
C．若a>b>0，那么>
D．若a>b>c>0，那么<
答案：AD
解析：若a＞b，c3．(必修一P40T2改编)设M＝(x＋3)(x＋7)，N＝(x＋4)(x＋6)，则M与N的大小关系为________．
M解析：M－N＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，所以M4．(必修一P43T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式=_____________．
＞
解析：因为b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，所以糖水的浓度为.再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶解)，糖水的浓度为.糖水变甜了，即糖水的浓度增加了，所以＞.
命题点一比较数(式)的大小
例1(1)设互不相等的三个实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b>a>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a
答案：D
解析：由b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，得b＝1＋a2，于是b－a＝1－a＋a2＝(a－)2＋>0，即b>a，
而c－b＝(2－a)2≥0，且三个实数a，b，c互不相等，因此c>b，
所以a，b，c的大小关系是c>b>a.
(2)eπ·πe与ee·ππ 的大小关系为__________．
eπ·πe＜ee·ππ
解析：＝＝()π－e，又0＜＜1，0＜π－e＜1，所以()π－e＜1，即<1，又ee·ππ＞0，eπ·πe>0，所以eπ·πe＜ee·ππ．
题后师说
比较数(式)大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数， 利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练1　(1)(多选)(衔接·必修一P43T3改编)下列不等式中正确的是(　　)
A．x2＋5x＋6<2x2＋5x＋9
B．(x－3)2>(x－2)(x－4)
C．当x>1时，x2D．x2＋y2＋1>2(x＋y－1)
答案：ABD
解析：对于A，x2＋5x＋6－2x2－5x－9＝－x2－3<0，所以x2＋5x＋6<2x2＋5x＋9，故A正确；对于B，(x－3)2－(x－2)(x－4)＝x2－6x＋9－(x2－6x＋8)＝1>0，所以(x－3)2>(x－2)(x－4)，故B正确；对于C，当x>1时，x2－x2＋x－1＝x－1>0，所以x2>x2－x＋1，故C不正确；对于D，x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0，故x2＋y2＋1>2(x＋y－1)，故D正确．
(2)若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a答案：B
解析：方法一　对于函数y＝f(x)＝，y′＝，易知当x>e时，函数f(x)单调递减．因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c方法二　易知a，b，c都是正数，＝＝<1，所以a>b,＝＝>1，所以b>c，即c命题点二不等式的性质
例2(1)若a＞b，则(　　)
A．ln (a－b)＞0 B．3a＜3b
C．a3－b3＞0 D．|a|＞|b|
答案：C
解析：方法一　由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln (a－b)＜0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a＞b时，3a＞3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a＞b时，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b＜a＜0时，|a|＜|b|，故D不正确．
方法二　当a＝0.3，b＝－0.4时，ln (a－b)＜0，3a＞3b，|a|＜|b|，故排除ABD.
(2)(多选)(2025·河南南阳模拟)已知<<0，则下列不等式一定成立的有(　　)
A．>1 B．<0 C．< D．bc答案：BD
解析：由<<0，得c≠0，当c>0时，得0>>，即ab>0，综上ab>0>c，上述两种情况均可得0<<1，故A错误；当ab>0>c时，得<0，故B正确；令a＝－1，b＝－，c＝1，则＝2，＝0，从而得>，故C错误；由a>b>0>c或a学霸笔记：(1)利用不等式的性质验证，应用时注意前提条件；
(2)利用特殊值法排除错误选项，进而得出正确选项；
(3)根据式子特点，构造函数，利用函数的单调性进行判断．
跟踪训练2　(1)(多选)(衔接·必修一P43T8改编)下列命题错误的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若a>b>0，则a2>b2
C．若aD．若a答案：ACD
解析：对于A，c2＝0时ac2>bc2不成立，∴A错误；对于B，∵a>b>0，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，∴a2>b2，∴B正确；对于C，aab>b2，∴C错误；对于D，∵a，∴D错误．
(2)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a＋b≥b－c B．ac≥bc
C．>0 D．(a－b)c2≥0
答案：D
解析：令a＝3，b＝2，c＝－10，a＋bb得acb a－b>0，但c＝0时，＝0，C错误；a>b a－b>0，又c2≥0，所以(a－b)c2≥0，D正确．
命题点三不等式性质的综合应用
例3 设2(5，13)
(2，14)
(2，13)
(1，7)
解析：∵2学霸笔记：利用不等式的性质求取值范围时，应注意同向不等式具有可加性与正值可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
跟踪训练3　(1)(衔接·必修一P43T5改编)已知2(2，5)
解析：∵2(2)已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是________．
(－1，－)
解析：∵a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，b＝－2a－c.∵a＞b＞c，∴－2a－c＜a，即3a＞－c，得<－.将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得>－1.∴－1＜＜－.
课内提升一类特殊类型的范围问题
例4已知a－b∈[0，1]，a＋b∈[2，4]，则4a－2b的取值范围是(　　)
A．[1，5] B．[2，7] C．[1，6] D．[0，9]
答案：B
解析：方法一　设4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，所以解得
所以4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)，又a－b∈[0，1]，a＋b∈[2，4]，
所以3(a－b)∈[0，3]，4a－2b∈[2，7]，故ACD错误．故选B.
方法二　令∴
∴4a－2b＝4×－2×＝3m＋n∈[2，7].故选B.
学霸笔记：利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解．
跟踪训练4　设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(3)的取值范围是________．
[15，30]
解析：由1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，得1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，则f(3)＝9a＋3b.设∴∴f(3)＝9a＋3b＝9×＋3×＝3m＋6n∈[15，30].
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．已知0A．x2>>x B．>x2>x C．x>>x2 D．>x>x2
答案：D
解析：因为00，所以－x＝＝>0，所以>x，又x－x2＝x(1－x)>0，所以x>x2，所以>x>x2.故选D.
2．已知a>0，b>0，M＝，N＝，则(　　)
A．M>N B．M答案：A
解析：由题意得M2＝a＋b＋2，N2＝a＋b，而a>0，b>0，得M>N.故选A.
3．如果a<0，－1A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
答案：D
解析：由选项可知，仅需要比较a，ab，ab2三个数的大小，显然，a<0，ab>0，ab2<0，所以ab最大，由－10，即ab2>a，可得ab>ab2>a.故选D.
4．平流层是指地球表面以上10 km(不含)到50 km(不含)的区域，下述不等式中，x能表示平流层高度的是(　　)
A．|x＋10|<50 B．|x－10|<50
C．|x＋30|<20 D．|x－30|<20
答案：D
解析：如图，设点A表示10，点B表示50，则AB的中点M表示30，
由距离公式可得|x－30|<20.故选D.
5．设α∈(－)，β∈[0，π]，那么2α－的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(－)
C．[－) D．(－，π)
答案：D
解析：因为α∈(－)，β∈[0，π]，所以－<2α<π，－≤－≤0，则－<2α－<π.故选D.
6．(2025·黑龙江伊春模拟)已知a＝，b＝，c＝a2，则(　　)
A.c>a>b B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c
答案：D
解析：因为b＝＝，所以由>＋1>0可得b>a，又因为00可得a>c，故得b>a>c.故选D.
7．(2024·河南驻马店二模)已知a>b>c>0，则下列说法一定正确的是(　　)
A．a>b＋c B．a2b2 D．ab＋bc>b2＋ac
答案：D
解析：当a＝3，b＝2，c＝1时，a＝b＋c，且acb>0，a>c>0，所以a2>bc，故B错误；ab＋bc－(b2＋ac)＝(b－c)(a－b)>0，故D正确．故选D.
8．若ab<0，且－<－，则下列各式中，恒成立的是(　　)
A．> B．< C．bc>ad D．bc答案：D
解析：由－<－，得>，而ab<0，则bc二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．若a<00，则下列说法正确的是(　　)
A．>－1 B．>0 C．a2答案：AC
解析：因为a<00，所以b>－a>0，所以<1，即>－1，故A正确；因为a＋b>0，ab<0，所以＝<0，故B错误；因为b>－a>0，所以b2>(－a)2＝a2，故C正确；当a＝－，b＝1时满足题设条件，但(a－1)(b－1)<0不成立，故D错误．故选AC.
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a>b>c，若f(1)＝0，则(　　)
A．b2>bc B．acac D．a2>c2
答案：BC
解析：由f(1)＝0，得a＋b＋c＝0，又a>b>c，所以a>0，c<0，且b的符号不确定，故b2－bc＝b(b－c)的符号也不确定，故A错误；由a>b，c<0，得acc，a>0，得ab>ac，故C正确；因为a>0>c，两边平方后不等式不一定成立，故D错误．故选BC.
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．有下列四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.其中不能推出<成立的条件的序号是________．
③
解析：利用不等式性质可知：①由b>0>a可得<0<，即可得<；②由0>a>b时，可得<；③由a>0>b可得>0>，故不能得出<；④由a>b>0，可得<.所以不能推出<成立的条件的序号是③.
12．已知b[0，3)
解析：∵b四、解答题
13．(13分)(1)设a，b为实数，比较a2＋b2与4a－2b－5的值的大小．
(2)已知a>b>0，c.
解析：(1)a2＋b2－(4a－2b－5)＝a2－4a＋4＋b2＋2b＋1＝(a－2)2＋(b＋1)2≥0，则a2＋b2≥4a－2b－5.
(2)证明：∵a>b>0，－c>－d>0，∴a－c>b－d>0，
∴<，又e<0，∴>.
14.(5分)已知实数m，n，p满足m2＋n＋4＝4m＋p，且m＋n2＋1＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．n≥p>m B．p≥n>m C．n>p>m D．p>n>m
答案：B
解析：因为m2＋n＋4＝4m＋p，移项得m2－4m＋4＝p－n，所以p－n＝(m－2)2≥0，可得p≥n，由m＋n2＋1＝0，得m＝－n2－1，可得n－m＝n－(－n2－1)＝n2＋n＋1＝(n＋)2＋>0，可得n>m，综上所述，不等式p≥n>m成立．故选B．
15.(5分)若x，y满足3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9，则z＝x＋2y的最小值为____．
－6
解析：设z＝x＋2y＝m(2x＋y)＋n(x－y)，故2m＋n＝1且m－n＝2，所以m＝1，n＝－1，故z＝x＋2y＝(2x＋y)－(x－y)，由于3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9，所以3＋(－9)≤2x＋y－(x－y)≤9＋(－6)，即－6≤x＋2y≤3，故Z=x+2y的最小值为－6．
16．(15分)港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案，每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油．
(1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格(平均价格＝总价格÷总升数).
(2)分别用m，n(m≠n)表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？请给出证明．
解析：(1)第一种方案，两次加油共花费30×5＋30×4＝270(元)，两次共加了60升燃油，所以平均价格为＝4.5(元/升)．
第二种方案，两次加油共花费200＋200＝400元，两次共加了()＝90升燃油，所以平均价格为＝(元/升)．
(2)由题意可得，第一种方案，两次加油共花费(30m＋30n)元，两次共加了60升燃油，所以平均价格为＝(元/升)；
第二种方案，两次加油共花费200＋200＝400元，两次共加了()升燃油，所以平均价格为＝(元/升)；
因为＝＝>0，所以选择第二种加油方案比较经济划算．