高三数学一轮复习第二章不等式第二节基本不等式 课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
第二节　基本不等式
学习目标
1. 掌握基本不等式的证明过程．
2．能用基本不等式解决简单的最值问题．
3．掌握基本不等式在实际生活中的应用．
真题分布
2024年新高考Ⅱ卷T8，北京卷T9
2022年新高考Ⅱ卷T12
知识清单
1.基本不等式：
(1)基本不等式成立的条件：__________．
(2)等号成立的条件：当且仅当 ____时取等号．
(3)其中，________叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
a＞0，b＞0
a＝b
2．利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0.
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值_____ (简记：积定和最小)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy取得最大值________(简记：和定积最大)．
注意　应用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正”“二定”“三相等”．
2
【常用结论】
自主诊断
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的．(　　)
(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(3)x>0且y>0是≥2的充分不必要条件.(　　)
(4)函数y＝sinx＋，x∈(0，)的最小值为4.(　　)
×
×
√
×
2．(必修一P46T3改编)当x＝____时，x2＋取得最小值，最小值是__．
±1
2
解析：∵x2>0，∴x2＋≥2，当且仅当x2＝，即x＝±1时取得最小值．
3．(必修一P45例1改编)已知x<0，则x＋的最大值为____．
－2
解析：∵x<0，∴－x>0，∴x＋＝－[(－x)＋]≤－2 ＝－2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立．
4．(必修一P48练习T3改编)做一个体积为32 m3，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长为___m时，用纸最少．
4
解析：设长方体的底面长为x(m)，则宽为＝(m)，所以长方体的表面积为S＝2(2x＋16＋2×)＝32＋4(x＋)≥32＋4×2 ＝64，当且仅当x＝，即x＝4时取“＝”，此时用纸最少为64 m2，所以底面的长与宽都为4 m时用纸最少，为64 m2.
命题点一利用基本不等式求最值
考向1　配凑法
例1(1)函数y＝3x＋(x>1)的最小值是(　　)
A．4 B．2－3 C．2 D．2＋3
答案：D
解析：因为x>1，所以y＝3(x－1)＋＋3≥2 ＋3＝2＋3，当且仅当3(x－1)＝，即x＝1＋时等号成立，所以函数y＝3x＋(x>1)的最小值是2＋3.
(2)(2025·河北沧州模拟)若x>3，则f(x)＝有(　　)
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
答案：D
解析： (2)∵x>3，∴x－3>0，∴f(x)＝＝＝(x－3)＋≥2 ＝2，当且仅当x－3＝，即x＝4时等号成立，f(x)有最小值2.
考向2　常数代换法
例2(1)(2024·河南南阳一模)已知正实数x，y满足＝1，则4xy－3x的最小值为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
答案：B
解析：由x>0，y>0，且＝1，可得xy＝x＋y，所以4xy－3x＝4x＋4y－3x＝x＋4y.又因为x＋4y＝(x＋4y)·()＝5＋≥9，当且仅当＝，即x＝3，y＝时取等号，所以4xy－3x≥9.
(2)已知x，y>0且x＋2y＝2xy，则x＋y的最小值为________．
解析： 由x＋2y＝2xy得＝1，x＋y＝(x＋y)()＝≥2 ＝，当且仅当＝，即x＝1＋，y＝时，x＋y取得最小值.
考向3　消元法
例3若正数x，y满足x2－xy＋2＝0，则x＋y的最小值是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．6
答案：C
解析：由题设及x2－xy＋2＝0，可得 y＝x＋，所以x＋y＝x＋x＋＝2(x＋)≥4 ＝4，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，此时y＝3>0符合题意．所以x＋y的最小值为4．
考向4　构造不等式法
例4已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为__．
6
解析：由已知得xy＝9－(x＋3y)，又因为x>0，y>0，所以x＋3y≥2，所以3xy≤()2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，将xy＝9－(x＋3y)代入不等式，整理得(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y≥6.
学霸笔记：(1)基本不等式使用的前提是“一正、二定、三相等”．
(2)配凑、常数代换、消元的目的都是为了凑出和为定值或者积为定值的形式．
(3)多次使用基本不等式时，尤其要注意等号能否同时成立．
跟踪训练1　(1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则的最小值为(　　)
A．4 B．4 C．6 D．2＋3
答案：D
解析：因为x>0，y>0，且2x＋y＝1，所以＝＝()(2x＋y)＝＋3≥2 ＋3＝2＋3，当且仅当＝，即x＝，y＝－1时取等号．
(2)(衔接·必修一P48T1(2)改编)的最大值为__．
5
解析：∵＝5，∴当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，所以的最大值为5.
(3)(衔接·必修一P58T5改编)若a，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
[9，＋∞)
解析：由题意，ab＝a＋b＋3≥2＋3，当且仅当a＝b＝3时等号成立，即()2－2－3＝(－3)(＋1)≥0，解得≥3，即ab≥9.
命题点二　证明不等式
例5已知a，b∈R，求证：－b＋.
证明：因为6a＋2＋≥2＝12，当且仅当6a＋2＝，即a＝－1时取等号，
所以＝，当且仅当6a＋2＝，即a＝－1时取等号，
因为－b＋＝(b－)2＋，
所以－b＋.
学霸笔记：证明不等式时，可依据求证的不等式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证．
跟踪训练2　(衔接·必修一P49T4)已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
证明：由x，y，z都是正数，x＋y≥2，
当且仅当x＝y时取等号，
y＋z≥2，当且仅当y＝z时取等号，
z＋x≥2，当且仅当z＝x时取等号，
可得(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥2·2·2＝8xyz，当且仅当x＝y＝z时取等号，
故(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz成立．
命题点三基本不等式的实际应用
例6(2025·广东梅州模拟)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价 20元．试求：
(1)仓库面积S的取值范围是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
解析：(1)设正面铁栅长度为x m，一堵砖墙长度为y m，故S＝xy，
则40x＋2×45y＋20xy＝3 200，即40x＋90y＝3 200－20xy.
由基本不等式得40x＋90y≥2＝120，
故3 200－20xy≥120，即3 200－20S≥120，当且仅当40x＝90y，即x＝15，y＝时等号成立，
故(＋16)(－10)≤0，
因为＋16>0，故－10≤0，S≤100，
由于面积大于0，故0(2)由(1)可知，当x＝15，y＝时，S取得最大值，最大值为100 m2，
此时花费40×15＋90×＋20×100＝3 200(元)，满足要求，
故正面铁栅的长应设计为15 m．
题后师说
利用基本不等式解实际应用问题的技巧
跟踪训练3　(衔接·必修一P49T6)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站10 km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？请求出该值．
解析：设y1＝，y2＝tx，当x＝10时，＝2，10t＝8，
∴k＝20，t＝0.8，∴y1＝，y2＝0.8x，
∴两项费用之和为z＝y1＋y2＝＋0.8x≥2 ＝8，
当且仅当＝0.8x，即x＝5时等号成立．
即这家公司应该把仓库建在距离车站5 km处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元．
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．下列函数最小值为4的是(　　)
A．y＝x＋ B．y＝x2＋
C．y＝|x＋4| D．y＝(x＋4)2
答案：B
解析：对于A，x<0时，y＝x＋<0，最小值不是4，A错误；对于B，由基本不等式知y＝x2＋≥4，当且仅当x＝±时等号成立，B正确；对于CD，当x＝－4时，函数最小值为0，CD均错误．故选B.
2．已知a>0，b>0，a＋b＝6，则ab的最大值为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．36
答案：B
解析：因为a>0，b>0且a＋b＝6，由基本不等式可得ab≤＝9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，所以ab的最大值为9.故选B.
3．(2025·河南南阳模拟)若a>0，b>0，a＋3b＝1，则的最小值是(　　)
A．2 B．4 C．3 D．8
答案：B
解析：因为a>0，b>0，a＋3b＝1，故由 =()(a＋3b)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当＝时等号成立．由解得即当且仅当a＝，b＝时，取得最小值4.故选B.
4．函数y＝x2＋(x2>5)的最小值为(　　)
A．2 B．5 C．6 D．7
答案：D
解析：由x2>5可得x2－5>0，所以y＝x2＋＝x2－5＋＋5≥2＋5＝7，当且仅当x2－5＝，即x＝±时等号成立．故选D.
5．若a＋b＝2，则3a＋3b的最小值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：C
解析：3a＋3b≥2＝2＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号．故选C.
6．(2025·山东泰安模拟)在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平称取药品. 实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡．则在这两个实验中小明和小芳共称得的药品(　　)
A．大于20克 B．小于20克
C．大于等于20克 D．小于等于20克
答案：C
解析：设天平左、右两边臂长分别为a，b，小明、小芳放入的药品的克数分别为x，y，则由杠杆原理得5a＝bx，ay＝20b，于是x＝，y＝，故x＋y＝≥2＝20，当且仅当a＝2b时取等号. 故选C.
7．已知x>0，y>0，若x＋y＝xy，则2x＋y的最小值是(　　)
A．2 B．4 C．3＋2 D．3＋4
答案：C
解析：由题意，x>0，y>0，x＋y＝xy，∴＝1，∴2x＋y＝(2x＋y)()＝2＋＋1≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝即y＝＋1，x＝＋1时等号成立．故选C.
8．(2025·河北保定模拟)若log4x＋log4y＝2，则的最小值为(　　)
A． B． C． D．
答案：A
解析：∵log4x＋log4y＝2，∴x>0，y>0，log4(xy)＝2，xy＝16，
方法一　∴≥2 ＝2 ＝，当且仅当＝时等号成立，又xy＝16，可得x＝2，y＝4时，的最小值为.故选A.
方法二　∴＝，当且仅当＝时等号成立，又xy＝16，可得x＝2，y＝4时，的最小值为.故选A.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．下列命题正确的是(　　)
A．若a，b∈R，且ab>0，a＋b≥2
B．已知正数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为
C．若x>0，则2－3x－的最大值是2－4
D．若x＝(x－2)y，x>0，y>0，则x＋2y的最小值是9
答案：BC
解析：对于A，若a，b均为负数，不等式不成立，故A错误；对于B，∵x＋y＝1，所以x＋(1＋y)＝2，则2()＝[x＋(1＋y)]()＝＋5≥2 ＋5＝9，所以，当且仅当即时等号成立，故B正确；
对于C，因为x>0，3x＋≥2 ＝4，当且仅当3x＝,即x＝时等号成立，所以2－3x－≤2－4，故C正确；对于D，因为x＝(x－2)y，所以＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)()＝＋4≥2 ＋4＝8，当且仅当＝,即x＝4，y＝2时等号成立，所以x＋2y的最小值是8，故D错误．故选BC.
10．(2025·河北唐山模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A．ab≥ B．a2＋b2≥
C．2a＋2b≥4 D．≥4
答案：BD
解析：对于A，因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以a＋b≥2，即ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A错误；对于B，由A可知，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B正确；对于C，2a＋2b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C错误；对于D，＝＝2＋≥2＋2 ＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确．故选BD.
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．若函数f(x)＝x＋(x>3)在x＝a处取最小值，则a＝___．
4
解析：f(x)＝x＋＝x－3＋＋3≥2 ＋3＝5，当且仅当x－3＝,即x＝4时取等号，即x＝4时取最小值，故a＝4.
12．(2024·安徽安庆三模)若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是____．
解析：正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，故y＝＝，故x＋y＝x＋＝≥2 ＝，当且仅当＝，即x＝时等号成立．
四、解答题
13．(12分)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需要维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙长30米，旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x m，修建此矩形场地围墙的总费用为y元．
(1)写出y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解析：(1)由题意知2即y关于x的函数解析式为y＝＋225x－360，定义域为(2，30].
(2)∵＋225x≥2 ＝10 800(当且仅当＝225x，即x＝24时取等号)，∴y≥10800－360＝10 440，
∴当x＝24时，总费用最小，最小总费用为10 440元．
14.(6分)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
答案：BC
解析：由x2＋y2－xy＝1，得(x－)2＋(y)2＝1，令则所以x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin (θ＋)∈[－2，2]，所以A错误，B正确．x2＋y2＝(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ)2＝sin 2θ－cos 2θ＋＝sin (2θ－)＋∈[，2]，所以C正确，D错误．故选BC.
15.(5分)(2025·河北邯郸模拟)已知2a＋b＝1(a>0，b>0)，则的最小值为________．
解析：＝)(2a＋2＋b＋1)＝[7＋]≥，当且仅当＝，即6(b＋1)2＝(2a＋2)2，即a＝，b＝时等号成立．
16．(15分)已知a>b>c>0，求证：.某同学解这道题时，注意到结论中的三个量a－b，b－c，a－c.由已知条件得到a－b>0，b－c>0，a－c>0.进一步发现三者的关系：a－c＝(a－b)＋(b－c)．又观察左边式子的结构发现就是两个数的倒数和，从而联想到以前做过的题目“已知a>0，b>0，求证： (a＋b)()≥4”，类比其解法得到题目的解法：(a－c)(＋)＝[(a－b)＋(b－c)]()＝＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝时取等号，所以.求f(x)＝(0解析：因为a－c>0，a－x>0，x－c>0，
所以(a－c)()＝[(a－x)＋(x－c)]() ＝＋2≥2＋2＝4，即f(x)≥.
解方程＝ 得x＝，即当x＝时取等号，
所以f(x)的最小值为.