高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语第二节常用逻辑用语 课件(共61张PPT)

(共61张PPT)
第二节　常用逻辑用语
学习目标
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．
2．理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．
3．理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
真题分布
2024年新高考Ⅱ卷T2，全国甲卷T9
2023年新高考Ⅰ卷T7
2022年北京卷T6
知识清单
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的________条件，q是p的________条件 p是q的________________条件 p q且q p
p是q的________________条件 p q且q p
p是q的________________条件 p q
p是q的________________条件 p q且q p
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
2.全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作________，用符号“___”表示．
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作________，用符号“__”表示．
全称量词

存在量词

3．全称量词命题与存在量词命题及其否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 ________________ x∈M，p(x)
否定 x∈M， p(x) ________________
x∈M，p(x)
x∈M， p(x)
【常用结论】
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定真假性相反．
自主诊断
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(　　)
(4)命题“ x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题.(　　)
√
√
√
×
2．(必修一P31习题T1，2改编)下列命题为假命题的是(　　)
A．有些实数是无限不循环小数
B．每一个末位是0的整数都是5的倍数
C．至少有一个整数n，使n2＋1是4的倍数
D．对任意负数x，x2的平方是正数
答案：C
解析：对于A，实数包含有理数和无理数，其中无理数包含无限不循环小数，故A为真命题；B为真命题；对于C，假设有一个整数n，使n2＋1是4的倍数，则n2＋1能被4整除，故n2＋1为偶数，所以n2为奇数，即n为奇数，设n＝2k＋1，k∈N，则n2＋1＝4k2＋4k＋2，故n2＋1除以4的余数为2，与题设矛盾，因此不存在整数n，使n2＋1是4的倍数，故该命题为假命题；D为真命题.
3．(多选)(必修一P18例1改编)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　)
A.若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直
B．若x2＝1，则x＝1
C．若a＝b，则ac＝bc
D．若x，y为无理数，则xy为无理数
答案：AC
解析：A中p q，所以p是q 的充分条件；B中由于(－1)2＝1，但－1≠1，所以p q，所以p不是q 的充分条件；C中由等式的性质知，p q，所以p是q 的充分条件；D中为无理数，但＝2为有理数，p q，所以p不是q 的充分条件．
4．(必修一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是_______________________．
任意一个偶数都不是素数
命题点一充分条件、必要条件的判定
例1(1)(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知x>0，y>0，则“x≥4，y≥6”是“xy≥24”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：因为x＞0，y＞0，则“x≥4，y≥6，所以xy≥24”，所以“x≥4，y≥6”是“xy≥24”的充分条件；当x＝2，y＝13时，可满足xy≥24，所以“x≥4，y≥6”是“xy≥24”的不必要条件．
(2)(链接·2024年北京卷)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，可得a2＝b2，即|a|＝|b|，即(a＋b)·(a－b)＝0等价于|a|＝|b|，若a＝b或a＝－b，则|a|＝|b|，即(a＋b)·(a－b)＝0，可知必要性成立；若(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|＝|b|，无法得出a＝b或a＝－b，例如a＝(1，0)，b＝(0，1)，满足|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，可知充分性不成立．综上所述，“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的必要不充分条件．
题后师说
判断充分、必要条件的两种常用方法
跟踪训练1　(1)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：因为“a2＝b2” “a＝－b或a＝b”， “a2＋b2＝2ab” “a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．
(2)(衔接·必修一P23T5改编)设a，b，c∈R，命题a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc的充要条件是_______．
a＝b＝c
解析：由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc得(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，∴a＝b＝c，反之也成立．
命题点二充分条件、必要条件的应用
例2 (2025·河南南阳模拟)已知p：log3x<3，q：|x－a|<2，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
[2，25]
解析：对于p，由log3x<3可解得0学霸笔记：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点的检验．
跟踪训练2　(衔接·必修一P23T6改编)设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c.我们知道，如果△ABC为直角三角形，那么a2＋b2＝c2(勾股定理)．反过来，如果a2＋b2＝c2，那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理)．由此可知，a2＋b2＝c2是△ABC为直角三角形的充要条件．
请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件．
答案：若△ABC是锐角三角形，则a2＋b2>c2；
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则a2＋b2命题点三全称量词与存在量词
考向1　含有量词命题的否定
例3(2025·江苏扬州模拟)命题“ x∈(－∞，1)，x3＋2x－1<0”的否定是(　　)
A． x∈[1，＋∞)，x3＋2x－1≥0
B． x∈(－∞，1)，x3＋2x－1≥0
C． x∈[1，＋∞)，x3＋2x－1≥0
D． x∈(－∞，1)，x3＋2x－1≥0
答案：D
解析：根据全称量词命题与存在量词命题的关系可得，命题“ x∈(－∞，1)，x3＋2x－1<0”的否定是“ x∈(－∞，1)，x3＋2x－1≥0”．
考向2　含有量词命题的真假判断
例4 (链接·2024年新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1，命题q： x>0，x3＝x，则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
答案：B
解析：对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题，对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．
考向3　含有量词命题的应用
例5(1)设命题 p： x∈(，2)，x＋>a，若 p是假命题，则实数a的取值范围是___________．
(2)已知命题 p： x∈R，ax2－ax≥1，若 p是真命题，则实数a的取值范围是________．
(－∞，2]
(－4，0]
解析：(1) p是假命题，故p是真命题．
又当x∈(，2)时，y＝x＋单调递增，其值域为(2，3)，
若满足题意，则2≥a，即a的取值范围为(－∞，2].
(2)命题 p： x∈R，ax2－ax<1为真命题，则ax2－ax－1<0恒成立．
当a＝0时，－1<0恒成立；
当a≠0时，若ax2－ax－1<0恒成立，则解得－4综上，a的取值范围为(－4，0].
学霸笔记：(1)含量词命题的否定，一是要改变量词，二是要否定结论．
(2)判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x证明p(x)成立；判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x使p(x)成立即可．
(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与 p的关系，转化成由 p的真假求参数的范围．
跟踪训练3　(1)(衔接·必修一P35T7改编)下列命题的否定为真命题的是(　　)
A． a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根
B．每个正方形都是平行四边形
C． m∈N, ∈N
D．存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°
答案：D
解析：对于A，因为Δ＝(－a)2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0恒成立，故此方程对于任意的实数a都有实根，故命题的否定为假命题；对于B，因为所有的正方形都是平行四边形，所以不存在一个正方形不是平行四边形，故命题的否定为假命题；对于C，取m＝0∈N，有＝1∈N，故命题的否定是假命题；对于D，任意四边形ABCD的内角和都等于360°，故命题的否定是真命题．
(2)(多选)下面四个命题错误的是(　　)
A． x∈R，x2－3x＋2>0恒成立
B．3x∈Q，x2＝2
C． x∈R，x2＋1＝0
D． x∈R，4x2≥2x－1＋3x2
答案：ABC
解析：对于A，当1≤x≤2时，x2－3x＋2≤0，故A错误；对于B，由x2＝2，解得x＝±，是无理数，则3x也是无理数，故B错误；对于C，由于对任意实数x， x2＋1≠0都成立，故C错误；对于D，由原不等式得x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以 x∈R，都有4x2≥2x－1＋3x2成立，故D正确．
(3)(衔接·必修一P35T12(1)改编)
1＝12
1＋3＝22
1＋3＋5＝32
1＋3＋5＋7＝42
1＋3＋5＋7＋9＝52
……
这个事实含有量词的全称量词命题为
___________________________________________________________.
n∈N*，1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2025·安徽阜阳模拟)已知命题p： x>0，x＋>2，则 p为(　　)
A． x>0，x＋≤2 B． x≤0, x＋≤2
C． x≤0, x＋≤2 D． x>0, x＋≤2
答案：D
解析：根据全称量词命题与存在量词命题的关系可得，
命题p： x>0，x＋>2的否定是 x>0，x＋≤2.
2．下列命题为真命题的是(　　)
A． x∈R，x2＋1＝0 B． x∈R，x2>1
C． x∈R，|x|＋1＝0 D． x∈R，x＋2＝0
答案：D
解析：对于A，取x＝1，则x2＋1＝2，则“ x∈R，x2＋1＝0”为假命题；对于B，取x＝1，则x2＝1，则“ x∈R，x2>1”为假命题；对于C，x∈R时，|x|＋1≥1恒成立，则不存在x∈R，使得|x|＋1＝0，则其为假命题；对于D，由x＋2＝0，解得x＝－2，则“ x∈R，x＋2＝0”为真命题．
3．已知x∈R，若集合M＝{1，x}，N＝{1，2，3}，则“x＝2”是“M N”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若x＝2，则M＝{1，2}，所以M N，故充分性满足；若M N，则x＝2或3，显然必要性不满足．所以“x＝2”是“M N”的充分不必要条件．
4．“a＋1>b－2”是“a>b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：a＋1>b－2 a>b－3，所以所以“a＋1>b－2”是“a>b”的必要不充分条件．
5．(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：a3＝b3 a＝b，若a＝b，则3a＝3b，若3a＝3b，则a＝b，所以“a3＝b3”是“3a＝3b”的充分必要条件．故选C.
6．(2025·辽宁沈阳模拟)已知命题p： x∈R，|x－1|<1，命题q：＋1<2，则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
答案：A
解析：对于p： x∈R，|x－1|<1，当x＝1时满足命题，p为真命题，所以 p为假命题；易知(＋1)2－(2)2＝3＋1＋2－8＝2－4＝<0，所以，即q：＋1<2为真命题， q为假命题．综上可得p和q都是真命题．
7．若p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则r是p的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则有q p，p q，q r，则r q p，又由p q，可得p r，则r是p的充分不必要条件．
8．(2025·江苏南通模拟)已知a，b∈R，则“ab＋1≠a＋b”的充要条件是(　　)
A．a，b都不为1 B．a，b不都为1
C．a，b不都为0 D．a2＋b2＝2
答案：A
解析：ab＋1≠a＋b (a－1)(b－1)≠0 a≠1且b≠1，即a，b都不为1.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．下列命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A． x∈R，x2－3x＋5>0
B． x∈R，x2－3x＋>0
C．至少存在两个质数的平方是偶数
D．存在一个直角三角形的三个内角成等差数列
答案：BD
解析：“ x∈R，x2－3x＋5>0”不是存在量词命题，故A不符合题意； x＝3，32－3×3＋＝>0，故B符合题意；因为只有质数2的平方为偶数，所以不存在两个质数的平方是偶数，故C不符合题意；内角为30°，60°，90°的直角三角形的三个内角成等差数列，D符合题意．
10．下面命题正确的是(　　)
A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B．“m<0”是“二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件
C．“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充要条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
答案：ABD
解析：对于A，由a>1可得0<<1，所以<1成立，所以“a>1”是“<1”的充分条件；由<1可得a<0或a>1，所以“a>1”是“<1”的不必要条件．综上可得“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确．对于B，“二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根一负根”等价于“x1x2＝m<0”，故B正确．对于C，由“x≤1且y≤1”可得“x＋y≤2”，但“x＋y≤2”时，如x＝－3，y＝4，此时“x≤1且y≤1”不成立，故C错误．对于D，因为a≠0推不出ab≠0，但ab≠0 a≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则ab>c2”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________．
2，－1，－2(答案不唯一)
解析：当a＝2，b＝－1，c＝－2时，满足a>b>c，但是ab＝－2，c2＝4，ab12．给出如下三个条件：①充要；②充分不必要；③必要不充分．请从中选择补充到下面横线上．
已知集合P＝{x|－1≤x≤5}，S＝{x|2－m≤x≤3＋2m}，存在实数m使得“x∈P”是“x∈S”的________条件．
②或③
解析：①“x∈P”是“x∈S”的充要条件时，则2－m＝－1，3＋2m＝5，此方程无解，故不存在实数m，则不符合题意．②“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件时，2－m≤－1，3＋2m≥5，2－m≤3＋2m，解得m≥3，符合题意．③“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件时，当S＝ 时，2－m>3＋2m，得m<－；当S≠ 时，需满足2－m≤3＋2m，2－m≥－1，3＋2m≤5，解得－≤m≤1.综上所述，实数m的取值范围为m≤1.
四、解答题
13．(13分)已知ab≠0，求证：a3＋b3＋ab－a2－b2>0的充要条件是a＋b>1.
证明：充分性(条件 结论)
因为ab≠0，所以a2－ab＋b2＝(a－)2＋b2>0，
又a＋b>1，所以a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>a2－ab＋b2，
所以充分性成立；必要性(结论 条件)
因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)>0，而a2－ab＋b2＝(a－)2＋>0，所以a＋b－1>0，
所以a＋b>1，所以必要性成立．
综上，a3＋b3＋ab－a2－b2>0的充要条件是a＋b>1.
14.(5分)若命题“ x∈[－1，3]，x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．3
答案：A
解析：因为x2－2x－a≤0，即x2－2x≤a，又因为x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，当且仅当x＝1时，等号成立，若 x∈[－1，3]，x2－2x－a≤0，即a≥－1，所以实数a可取的最小整数值是－1.
15.(5分)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈[，1]， x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________．
[，＋∞)
解析：依题意知f(x)max≤g(x)max.∵f(x)＝x＋在[，1]上单调递减，∴f(x)max＝f()＝.又∵g(x)＝2x＋a在[2，3]上单调递增，∴g(x)max＝g(3)＝8＋a ．因此≤8＋a，则a≥.
16．(15分)已知集合A＝，B＝{x|2x2＋x－3>0}．
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(2)若集合A∩ (RB)中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数m的取值范围．
解析：(1)B＝{x|2x2＋x－3>0}＝，
根据充分不必要条件的定义可知A B，
所以m＋1≤－或m－≥1，
解得m≤－或m≥，
故实数m的取值范围为(－∞，－，＋∞)．
(2)由(1)可知， RB＝，则集合 RB中含有整数元素－1，0，1，由集合A∩(RB)中只含有两个整数元素且这两个元素非负,可知解得0