高三数学一轮复习第二章不等式第三节一元二次方程、不等式 课件(共63张PPT)

(共63张PPT)
第三节　一元二次方程、不等式
学习目标
1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数．
2．能借助二次函数的图象求解一元二次不等式．
3．了解简单的分式不等式、绝对值不等式的解法．
真题分布
2023年新高考Ⅰ卷T1
2022年新高考Ⅱ卷T1
知识清单
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
{x|x或x>x2}
【常用结论】
1．分式不等式的解法
(1)>0 f(x)g(x)>0.
(2)≥0
2．绝对值不等式的解集：|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)；|x|0)的解集为(－a，a)．
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 或
自主诊断
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
(3)不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)
√
×
×
√
2．(必修一P53T1(5)改编)不等式－2x2＋x≥－3的解集为__________．
{x|－1≤x≤}
解析：不等式－2x2＋x≥－3等价为2x2－x－3≤0，解得－1≤x≤，所以不等式－2x2＋x≥－3的解集为{x|－1≤x≤}．
3．(必修一P54T1改编)使有意义的x的取值范围是_________________．
{x|x≤－4，或x≥3}
解析：要使有意义，则x2＋x－12≥0，解得x≤－4或x≥3.
4．(必修一P55练习T3改编)某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元．
[15，20)
解析：设这批削笔器的销售价格定为x元/个，x≥15，由题意可得[30－(x－15)×2]x>400，即x2－30x＋200<0，解得10命题点一一元二次不等式的解法
例1(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．{2}
答案：C
解析：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]所以M＝{－2}．故选C.
(2)(2025·山东枣庄模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|≤0，x∈Z}，则的子集的个数是(　　)
A．2　　 　B．4 C．8　　 　D．16
答案：C
解析：因为A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|≤0，x∈Z}＝{x|－1(3)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解析：由不等式ax2－2≥2x－ax，可得ax2＋(a－2)x－2≥0，
若a＝0，不等式可化为－2x－2≥0，解得x≤－1，即解集为{x|x≤－1} .
若a≠0，不等式可化为a(x＋1)(x－)≥0.
当a>0时，不等式为(x＋1)(x－)≥0，解得x≤－1或x≥，即不等式的解集为{x|x≤－1，或x≥} .
当a<0时，不等式为(x＋1)(x－)≤0,
①当－1>，即－2②当－1＝，即a＝－2时，解得x＝－1，解集为{x|x＝－1}；
③当－1<，即a<－2时，解得－1≤x≤，解集为{x|－1≤x≤}．
综上，当a>0时，不等式的解集为{x|x≤－1，或x≥}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当－2当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，不等式的解集为{x|－1≤x≤}．
学霸笔记：(1)分式不等式与一元二次不等式的关系：
≥0
≤0
(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．
跟踪训练1　(1)(衔接·必修一P55T5改编)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A＝__．
R
解析：A＝{x|x2－16<0}＝{x|－40}＝{x|x<1，或x>3}，所以A＝R.
(2)解关于x的不等式12x2－ax>a2
解析：因为12x2－ax>a2，
所以12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，
不等式的解集为{x|x<－，或x>}；
②当a＝0时，x2>0，不等式的解集为{x|x≠0}；
③当a<0时，－>，
不等式的解集为{x|x<，或x>－}．
综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x|x<－，或x>}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为{x|x<，或x>－}．
命题点二三个二次之间的关系
例2(多选)(2025·福建宁德模拟)已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)－2>0的解集是(x1，x2)，其中x1A．x1＋x2＋2＝0 B．－3C．|x1－x2|>4 D．x1x2＋3<0
答案：AB
解析：由题意可得a<0，a(x－1)(x＋3)－2＝a(x－x1)·(x－x2)，即ax2＋2ax－3a－2＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2，即有即x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＝－>0，故A正确，D错误；令a(x－1)(x＋3)＝0，其根为x3＝－3，x4＝1，结合二次函数性质可得－3学霸笔记
给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
跟踪训练2　(2025·河南濮阳模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx－c<0的解集为{x|30的解集为(　　)
A．{x|x<，或x>}
B．{x|x<－，或x>－}
C．{x|D．{x|－答案：D
解析：因为关于x的一元二次不等式ax2＋bx－c<0的解集为{x|30且方程ax2＋bx－c＝0的解为3，5，所以－＝8，－＝15，所以b＝－8a，c＝－15a,则不等式cx2＋bx－a>0，即为不等式－15ax2－8ax－a>0，则15x2＋8x＋1<0，解得－0的解集为{x|－命题点三一元二次不等式恒成立问题
考向1　在R上恒成立问题
例3不等式(a－2)x2＋(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，2)
B．(－2，2]
C．(－∞，－2)
D．(－∞，－2)
答案：B
解析：由题意，不等式(a－2)x2＋(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，当a－2＝0时，即a＝2时，不等式－1<0恒成立，符合题意；当a－2≠0时，即a≠2时，要使得不等式(a－2)x2＋(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则满足解得－2考向2　在给定区间上恒成立问题
例4 已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为________．
[－7，2]
解析：f(x)＝x2＋ax＋3－a的图象开口向上，对称轴为直线x＝－，
当x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，则有：当－≤－2，即a≥4时，f(x)≥f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，即a无解，不合题意；当－2<－<2，即－4考向3　在给定参数范围内的恒成立问题
例5 已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为___________________．
(－∞，1)
解析：当a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，即当a∈[－1，1]时，不等式(x－2)a＋x2－4x＋4>0恒成立．
设f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，即当a∈[－1，1]时，f(a)>0，
所以即解得x>3或x<1.
题后师说
恒成立问题的解法
(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式恒成立问题有两种常见类型，一是在R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．
对于第一种类型，恒大于0就是相应的二次函数的图象在R上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在R上全部在x轴下方；
对于第二种类型，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．
跟踪训练3　(1)(衔接·必修一P58T6)不等式2kx2＋kx－<0对一切x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________．
(2)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为____．
(－3，0]
－4
解析：(1)当k＝0时，－<0恒成立，符合题意；当k≠0，则
解得－3(2)∵当x∈[1，3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，∴a≥－(x＋)恒成立，又当x∈[1，3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号，∴－(x＋)≤－4，∴a≥－4，故a的最小值为－4.
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2025·河北邢台模拟)若集合A＝{x|<0}，B＝{x|2－x≤1}，则A＝(　　)
A．{x|1≤x<2} B．{x|－1≤x<0}
C．{x|x>2} D．{x|x<0}
答案：C
解析：<0，等价于x(2－x)<0，解得x>2或x<0，所以A＝{x|<0}＝{x|x<0，或x>2}，又因为B＝{x|2－x≤1}＝{x|x≥1}，所以A＝{x|x>2}．故选C.
2．已知集合M＝{x|x2－7x＋12<0}，N＝{x||x－1|<4}，则M＝(　　)
A．{x|x<5} B．{x|－3≤x≤4}
C．{x|6答案：D
解析：解不等式x2－7x＋12<0得33．设一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1A．－12 B．－7 C．12 D．7
答案：C
解析：由题可知－1，是ax2＋bx＋1＝0的两个根，且a<0，所以解得故ab＝12.故选C.
4．若一元二次不等式kx2－2x＋6k≥0的解集是空集，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－，＋∞)
B．(－)
C．[－]
D．(－∞，－)
答案：D
解析：因为一元二次不等式kx2－2x＋6k≥0的解集是空集，所以解得k<－，所以实数k的取值范围是(－∞，－)．故选D.
5．若00的解集为(　　)
A．(，t) B．(－∞，
C．(t，) D．(－∞，t)，＋∞)
答案：C
解析：因为0t，故(t－x)(x－)>0的解集为t6．已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3的图象与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m可能为(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．1
答案：B
解析：若m＋2>0，即m>－2，当x＝1时，y<0，即m＋2－2m－4＋3m＋3<0，2m<－1，m<－，∴－20，即m＋2－2m－4＋3m＋3>0，解得m>－，∴无解．故选B.
7．若“ x∈[，2]，使得3x2－λx＋1≥0成立”是真命题，则实数λ的最大值为(　　)
A． B．2 C．4 D．
答案：B
解析：因为 x∈[，2]，使得3x2－λx＋1≥0成立是真命题，所以 x∈[，2]，3x2－λx＋1≥0恒成立，所以λ≤3x＋在x∈[，2]上恒成立，所以λ≤(3x＋)min.因为 x∈[，2]，3x＋≥2＝2，当且仅当3x＝即x＝∈[，2]时等号成立，所以(3x＋)min＝2，所以λ≤2，即实数λ的最大值为2.故选B.
8．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式．某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　)
A．(10，20) B．[15，20) C．(16，20) D．[15，25)
答案：B
解析：由题意，得x[45－3(x－15)]>600，即x2－30x＋200<0，∴(x－10)(x－20)<0，解得10二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．下列不等式的解集为R的是(　　)
A．x2－3x＋8>0
B．－x2＋2x－3<0
C．x2－3x－4>0
D．ex>0(其中e是自然对数的底数)
答案：ABD
解析：对于A，x2－3x＋8＝(x－)2＋>0恒成立，不等式x2－3x＋8>0的解集为R，A是；对于B，－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2<0恒成立，不等式－x2＋2x－3<0的解集为R，B是；对于C，x2－3x－4>0 (x＋1)(x－4)>0，则x<－1或x>4，不等式x2－3x－4>0的解集不是R，C不是；对于D，函数y＝ex的值域为(0，＋∞)，即 x∈R，ex>0，D是．故选ABD.
10．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)则下列选项中正确的是(　　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集是(－∞，－6)
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为(－∞，－，＋∞)
答案：ABD
解析：对于A，∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)>0，A正确；对于BC，已知－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得则b＝－a，c＝－6a，所以不等式bx＋c>0，即－ax－6a>0，解得x<－6，B正确,，而a＋b＋c＝－6a<0，C错误；对于D，不等式cx2－bx＋a<0，即－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D正确．故选ABD.
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．若存在x0∈R，使得－2mx0＋9≤0成立，则实数m的取值范围为______________．
m≥3或m≤－3
解析：根据题意知不等式x2－2mx＋9≤0有解，由Δ＝4m2－36≥0，得m≥3或m≤－3.
12．若关于x的不等式x2－2ax－a2<0(a>0)的解集为{x|x1解析：关于x的不等式x2－2ax－a2<0(a>0)的解集为{x|x10)的实数根，∴Δ＝4a2＋4a2>0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－a2.∵x2－x1＝15，∴(x2－x1)2＝152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋4a2，又a>0，解得a＝.
四、解答题
13．(13分)(2025·广东梅州模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx－12≥0的解集为{x|x≤－3，或x≥4}．
(1)求a，b的值；
(2)求关于x的不等式bx2＋ax＋6≥0的解集．
解析：(1)关于x的不等式ax2＋bx－12≥0的解集为{x|x≤－3，或x≥4}，
∴a>0，且－3和4是方程ax2＋bx－12＝0的实数根，
由根与系数的关系知，解得
(2)由(1)知，a＝1，b＝－1，不等式bx2＋ax＋6≥0为－x2＋x＋6≥0，即(x＋2)(x－3)≤0，解得－2≤x≤3，
∴不等式bx2＋ax＋6≥0的解集是{x|－2≤x≤3}．
14.(5分)(2025·1月八省联考)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B. [－2，1] C．[－1，2] D. [－1，＋∞)
答案：B
解析：方法一　根据题意，f(2)≥0,于是2|2－a|－2a2≥0 －2≤a≤1，此时f(x)＝x(x－a)－2a2，x＝2在其对称轴x＝右侧，符合题意，因此a的取值范围是[－2，1].
方法二　f(x)＝x|x－a|－2a2>0 x(x－a)－2a2>0或x(a－x)－2a2>0，即(a＋x)(a－)<0或(a－)2＋x2<0，所以－x方法三　当a>2，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝当22时，f(x)>0，故a>2不符合题意；当02时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>2a，由于x>2时，f(x)>0，故2a≤2，解得02时，f(x)＝x2>0恒成立，符合题意；当a<0，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>－a，由于x>2时，f(x)>0，故－a≤2，解得－2≤a<0.综上，－2≤a≤1.故选B.
15．(5分)(2025·江西九江模拟)定义：如果集合U存在一组两两不交(两个集合的交集为空集时，称为不交)的非空真子集A1，A2，…，Ak(k∈N*)，且A1＝U，那么称子集族{A1，A2，…，Ak}构成集合U的一个k划分．已知集合I＝{x∈N|x2－6x＋5<0}，则集合I的所有划分的个数为___．
4
解析：依题意，I＝{x∈N|x2－6x＋5<0}＝{x∈N|116．(15分)(1)若关于x的不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0的解集为R，求a的取值范围．
(2)解关于x的不等式m(x2－x－2)>2(x－m－1)．
解析：(1)当a＝2时，不等式为－4<0恒成立，符合题意；
当a－2≠0时，由题意可得即
解得－2综上可知a的取值范围是(－2，2].
(2)将由m(x2－x－2)>2(x－m－1), 整理得 (mx－2)(x－1)>0，
当m＝0时，得x<1，解集为(－∞，1)；
当m<0时，(x－)(x－1)<0,得当00，得x<1或x>，解集为(－∞，1)，＋∞)；
当m＝2时，(x－1)2>0，得x≠1，解集为(－∞，1)；
当m>2时，(x－)(x－1)>0，得x<或x>1，解集为(－∞，
综上所述，当m＝0时，不等式的解集为(－∞，1)；
当m<0时，不等式的解集为(，1)；
当0当m＝2时，不等式的解集为(－∞，1)；
当m>2时，不等式的解集为(－∞，