高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语第一节集合 课件(共54张PPT)

(共54张PPT)
第一节　集合
学习目标
1.理解元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合．
2．理解集合间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．
3．理解集合间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集．
4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．
真题分布
2024年新高考Ⅰ卷T1，北京卷T1
2023年新高考Ⅰ卷T1，新高考Ⅱ卷T2
2022年新高考Ⅰ卷T1，新高考Ⅱ卷T1
知识清单
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：________、________、________．
(2)元素与集合的关系：①属于，记为___；②不属于，记为 .
(3)集合的表示方法：________、________、Venn图法．
确定性
互异性
无序性
∈
列举法
描述法
(4)常见数集的记法
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ________ ________ ______ ________ ________
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系 文字语言 符号语言
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B)
________
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
________
相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 ________
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
A B或
B A
A＝B
A B或
B A
3.集合的基本运算
运算 运算表示法 集合语言 图形语言 记法
并集 ________________________ ________
交集 ________________________ ________
补集 ________________________ ________
{x|x∈A，或x∈B}
A
{x|x∈A，且x∈B}
A
{x|x∈U，且x A}
UA
【常用结论】
1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个．
2．子集的传递性：A B，B C A C.
3．等价关系：A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
自主诊断
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}．(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　)
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B) (A∪B)恒成立．(　　)
×
×
×
√
2．已知集合M＝{x|x2－1＝0}，则(　　)
A．1 M B．－1 M
C．{－1，1} M D．{－1，1}∈M
答案：C
解析：集合M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，1∈M，故A错误；－1∈M，元素与集合之间不能用符号 ，故B错误；根据子集的定义，有{－1，1} M，故C正确；集合{－1，1}不是集合M中的元素，不能用符号∈，故D错误．
3．(必修一P14T4改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2{x|x≤2，或x≥10}
{x|2解析：∵A＝{x|2∴ R(A＝{x|x≤2，或x≥10}，( RA)＝{x|24．(必修一P14T6改编)已知全集U＝A＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩(UB)＝{1，3，5，7}，则集合B＝____________________．
{0，2，4，6，8，9，10}
解析：∵全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，
∴A∪B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
∵A∩( UB)＝{1，3，5，7}，
∴集合A中含有元素1，3，5，7，集合B中不含元素1，3，5，7，
∴B＝{0，2，4，6，8，9，10}．
命题点一集合的含义与表示
例1(1)(2025·河北正定中学月考)已知集合A＝{1，a2＋4a，a－2}，－3∈A，则a＝(　　)
A．－1 B．－3 C．－3或－1 D．3
答案：B
解析：∵－3∈A，∴－3＝a2＋4a或－3＝a－2.若－3＝a2＋4a，解得a＝－1或a＝－3，当a＝－1时，a2＋4a＝a－2＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝－3时，集合A＝{1，－3，－5}，满足题意，故a＝－3成立．若－3＝a－2，解得a＝－1，由上述讨论可知，不满足集合中元素的互异性，故舍去．综上所述，a＝－3.
(2)(2025·河南周口模拟)已知集合M＝{－1，1，2}，则集合N＝{y|x∈M，y－x∈M}中元素的个数是(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
答案：A
解析：当x＝－1时，y的可能取值为－2，0，1，当x＝1时，y的可能取值为0，2，3，当x＝2时，y的可能取值为1，3，4.故y的可能取值为－2，0，1，2，3，4，共6个．故选A.
题后师说
与集合中元素有关问题的求解策略
跟踪训练1　(1)(衔接·必修一P34T1改编)集合A＝{x∈N||x－1|<2}，则集合A＝(　　)
A．{1，2} B．{0，1，2}
C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}
答案：B
解析：集合A＝{x∈N||x－1|<2}＝{x∈N|－1(2)(2025·河北沧州模拟)已知集合A＝{x|x2－2<0}，且a∈A，则a可以为(　　)
A．－2 　 　 B．－1 C．　　　 D．
答案：B
解析： ∵x2－2<0，∴－命题点二集合间的基本关系
例2(1)(2025·安徽宣城月考)若全集U＝R，A＝{x|x<2}，B＝{y|y＝，x∈R}，则下列关系正确的是(　　)
A．A B B．B A C．B ( UA) D．( UA) B
答案：D
解析：全集U＝R，A＝{x|x<2}，则 UA＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝ex，x∈R}＝{y|y＞0}，所以( UA) B.
(2)(链接·2023年新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝(　　)
A．2　　　 B．1 C．　　　 D．－1
答案：B
解析：因为A B，则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述a＝1.
学霸笔记：(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练2　(1)(衔接·必修一P9T4改编)在平面直角坐标系中，集合C＝{(x，y)|y＝x}，集合D＝ ，则下列关系正确的是(　　)
A．D∈C B．D C C．C D D．C＝D
答案：B
解析：由题意得集合D表示直线2x－y＝1与直线x＋4y＝5的交点，由解得∴集合D＝{(1，1)}．又∵点(1，1)在直线y＝x上，∴集合C，D之间的关系为D C.
(2)(衔接·必修一P9T5(2)改编)已知集合A＝{x|0[2，＋∞)
解析：如图,

由图可知a≥2.
命题点三集合的基本运算
例3(1)(链接·2024年新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A．{－1，0} B. {2，3}
C．{－3，－1，0} D. {－1，0，2}
答案：A
解析：因为A＝{x|－(2)(链接·2024年北京卷)已知集合M＝{x|－3A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3}
C．{x|－3答案：C
解析：M＝{x|－3(3)(2025·广东广州调考)设集合P＝{x|－2①若Q≠ 且Q P，求a的取值范围；
②若P＝ ，求a的取值范围．
解析：①因为Q P，且Q≠ ，所以解得－≤a<，
所以a的取值范围为[－)．
②由题意，需分为Q＝ 和Q≠ 两种情形进行讨论．
当Q＝ 时，3a≥a＋1，解得a≥，满足题意；
当Q≠ 时，因为P＝ ，所以解得a≤－3，或无解．综上所述，a的取值范围为(－∞，－3]，＋∞)．
学霸笔记：(1)进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算．
(2)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
跟踪训练3　(1)设集合A＝{x|1<2x<8}，B＝{x||x＋1|<3}，则A＝(　　)
A．(0，3) B．(－4，3) C．(－4，2) D．(0，2)
答案：D
解析：A＝{x|20<2x<23}＝(0，3)，B＝{x|－3(2)(衔接·必修一P35T9)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，是否存在实数a使得A＝A？若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
解析：若A＝A，则B A，
∴a＋2＝3或a＋2＝a2，解得a＝－1或1或2.
∵a＝－1或1时，不满足集合元素的互异性，应舍去，
∴a＝2，
∴存在实数a＝2使得A＝A.
课内提升集合的新定义问题
例4设集合M＝{(x1，x2，x3，x4)|xi∈{0，1}，i＝1，2，3，4}. 对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素(y1，y2，y3，y4)，(z1，z2，z3，z4)，有y1＋y2＋y3＋y4＝z1＋z2＋z3＋z4，且y1＋z1，y2＋z2，y3＋z3，y4＋z4中有且只有一个为2，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是(　　)
A．一个“好子集”中最多有3个元素
B．一个“好子集”中最多有4个元素
C．一个“好子集”中最多有6个元素
D．一个“好子集”中最多有8个元素
答案：A
解析：y1＋z1，y2＋z2，y3＋z3，y4＋z4中有且只有一个为2，不妨设y1＝z1＝1，则y2＋z2，y3＋z3，y4＋z4三者为1或0，若y2＋z2，y3＋z3，y4＋z4三者均为0，则此时A中只有1个元素，即A＝{(1，0，0，0)}，不合要求，舍去；若y2＋z2，y3＋z3，y4＋z4三者中有1个0，则A＝{(1，1，0，0)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)}，有3个元素，满足要求；若y2＋z2，y3＋z3，y4＋z4三者中有2个0，或没有0，则此时不满足y1＋y2＋y3＋y4＝z1＋z2＋z3＋z4.综上，一个“好子集”中最多有3个元素．
学霸笔记：(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在．
(2)用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
跟踪训练4　(2025·广东深圳模拟)定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x N} ．已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A－(A－B)的子集个数是(　　)
A．2个 B．4个 C．8个 D．16个
答案：B
解析：因为A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，所以A－B＝{2}，所以A－(A－B)＝{3，5}，有两个元素，则A－(A－B)的子集个数是22＝4(个)．
1．(2025·河北邯郸模拟)设集合A＝{x|x2<4}，B＝{－1，0，2}，则A＝(　　)
A．{x|－2B．{x|－2C．{x|x≤3}
D．{－2，0，2}
答案：B
解析：由x2－4＝(x＋2)(x－2)<0解得－22．已知集合A＝{x|21}，则A∩(RB)＝(　　)
A．{x|2B．{x|3C．{x|3≤x<4}
D．{x|x<4，或x>5}
答案：C
解析：解不等式|x－4|>1得x<3或x>5，即B＝{x|x<3，或x>5}，所以 RB＝{x|3≤x≤5}，所以A∩(RB)＝{x|3≤x<4}．
3．(2024·河南郑州二模)已知全集U＝{x|－1A．0∈A B．1 A C．2∈A D．3 A
答案：B
解析：由U＝{x|－14．已知集合A＝{4，x，2y}，B＝{－2，x2，1－y}，若A＝B，则实数x的取值集合为(　　)
A．{－1，0，2} B．{－2，2}
C．{－1，0，2} D．{－2，1，2}
答案：B
解析：因为A＝B，所以－2∈A.当x＝－2时，2y＝1－y，解得y＝；当2y＝－2时， x＝2.故实数x的取值集合为{－2，2}．
5．满足集合{1，2}为M的子集且M {1，2，3，4，5}的集合M的个数是(　　)
A．6 B．7 C．8 D．15
答案：C
解析：因为集合{1，2} M {1，2，3，4，5}，所以集合M可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个．
6．(2024·广东江门二模)已知集合A＝{x∈N|x<4}，B＝{x|x＝n2－1，n∈A}，P＝A则集合P的非空子集共有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
答案：B
解析：因为A＝{x∈N|x<4}＝{0，1，2，3}，又B＝{x|x＝n2－1，n∈A}，所以B＝{－1，0，3，8}，所以P＝A＝{0，3}，则集合P的子集共有22＝4(个)，非空子集有4－1＝3(个)．
7．(2025·江西新余模拟)已知数集A，B满足：A＝{1，2，3}，A＝{1，2，3，4，5} ．若4 A，则一定有(　　)
A．5∈A B．5 A C．4∈B D．4 B
答案：C
解析：由A＝{1，2，3}，A＝{1，2，3，4，5}，得4∈A，4 B或4∈B，4 A, 由4 A.又得4∈B，同理，5∈A，5 B或5∈B，5 A，故选C.
8．(2025·安徽合肥模拟)已知集合A＝{x|x2≤1，x∈N}，B＝{x|x>a}，若A B，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，0) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案：B
解析：因为集合A＝{x|x2≤1，x∈N}＝{0，1}，B＝{x|x>a}，
又A B，所以a<0，故实数a的取值范围是(－∞，0)．
9．设集合M＝{3，9，3x}，N＝{3，x2}，且N M，则x的值可以为(　　)
A．－3 B．3 C．0 D．1
答案：AC
解析：因为N M，所以x2＝9或x2＝3x，解得x＝±3或x＝0.当x＝3时，3x＝9，集合M中的元素不满足互异性，故舍去；当x＝－3时，符合题意；当x＝0时，也符合题意．
10．已知非空集合M，N，P均为R的真子集，且M N P.则(　　)
A．M＝M B．N (P
C． RP RN D．M∩ ( RN)＝
答案：CD
解析：因为M N P，对于A，可知M＝P，故A错误；对于B，因为P＝M，所以P为N的真子集，故B错误；对于C，可知 RP为 RN的真子集，故C正确；对于D，因为 RN为 RM的真子集，且M∩(RM)＝ ，所以M∩ (RN)＝ ，故D正确．
11．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝20}，N＝{(x，y)|x－y＝40}，则M＝____________．
{(30，－10)}
解析：解方程组得故M＝{(30，－10)}．
12．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2a，a2＋a}．若＝{2}，则a＝________．
－2
解析：当2a＝2时，a＝1，此时B＝{2，2}，不满足集合中元素的互异性，所以舍去；当a2＋a＝2时，a＝－2，或a＝1(舍)，此时，B＝{－4，2}，满足条件，所以a＝－2.
13．(17分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x||x－3|<1}，C＝{x|2a≤x≤a＋2，a∈R}．
(1)分别求A∩B，A∪(UB)；
(2)若B＝B，求a的取值范围；
(3)若A求a的取值范围．
解析：(1) ∵集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{x|1≤x≤3}，
B＝{x||x－3|<1}＝{x|2∴A＝{x|2∴A∪ (UB)＝{x|x≤3，或x≥4}．
(2)∵B＝B，∴C B，①当C＝ 时，2a>a＋2，解得a>2；
②当C≠ 时，则解得1综上所述，a的取值范围为(1，2)
(3)若A＝ ，
①当C＝ 时，2a>a＋2，解得a>2；
②当C≠ 时，或
解得a<－1或综上所述，若A＝ ，则a的取值范围为(－∞，－1)，＋∞)，
∴若A则a的取值范围为.
14.(5分)定义集合A，B的一种运算：A B＝{x|x＝b2－a，a∈A，b∈B} ．若A＝{1，4}，B＝{－1，2}，则A B中的元素个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
解析：因为A＝{1，4}，B＝{－1，2}，当a＝1，b＝－1时，x＝b2－a＝0，当a＝1，b＝2时，x＝b2－a＝3，当a＝4，b＝－1时，x＝b2－a＝－3，当a＝4，b＝2时，x＝b2－a＝0，所以A B＝{－3，0，3}，故A B中的元素个数为3.
15．(6分)(多选)已知集合A＝{x|(a2－4)x2＋(a＋2)x＋1＝0}有两个子集，那么a的取值可以是(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．
答案：CD
解析：因为集合A＝{x|(a2－4)x2＋(a＋2)x＋1＝0}有两个子集，说明集合A中只有一个元素，所以当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，若a＝2，则A＝{x|4x＋1＝0}＝{－}，符合题意，若a＝－2，则A＝{x|1＝0}＝ ，不符合题意；当a2－4≠0时，即a≠±2，且集合A有且仅有一个元素，则Δ＝(a＋2)2－4(a2－4)＝(a＋2)(3a－10)＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝，综上所述，a的可能取值为2或.
16.(5分)已知P，M，N是三个集合，且满足P＝{1，2，3，4，5}，M P，N P，则满足条件的有序集合对(M，N)的总数是______．(用数字作答)
1 024
解析：集合P＝{1，2，3，4，5}的子集共有25＝32(个)，因为M P，N P，所以集合M有32种情况，集合N有32种情况，所以满足条件的有序集合对(M，N)的总数是＝32×32＝1 024.