2025—2026学年九年级数学上学期第二次月考卷02
（测试范围：九年级上册浙教版，第3-4章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A B D D D A A C
1．C
本题主要考查点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①当点P在圆外时，，②当点P在圆上时，，③当点P在圆内时，，据此即可解答．
解：∵P在大圆内部，
∴，
∵P在小圆外部，
∴，
∴．
故选：C．
2．A
本题考查成比例线段的定义，对于四条线段a、b、c、d，如果两条线段之比与另两条线段之比相等，我们就说这四条线段成比例，本题解题关键是熟练掌握成比例线段的定义，正确找出对应比值．
由成比例线段知，证明线段a、b、c、d成比例，则需，分别求出比值是否相等即可得出答案．
解：A、，该选项符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选A．
3．A
此题主要考查了正多边形和圆，根据正方形内接于即可求解．
解：∵四边形是正方形，
∴的度数，
故选：A．
4．B
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线，
∵拱高为，
∴，
∵米，
∴米，
在中，根据勾股定理，得：，
即，
解得：，
即拱桥的半径为10米，
故选：B．
5．D
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，根据平行四边形的性质可证，再根据相似三角形的性质即可得解．
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故、、正确，
根据已知条件无法判断，故不正确，
故选：．
6．D
本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的性质，可得，，所以，再根据三角形外角的性质，即可求得答案．
解：是正方形的对角线
，
，，
，
，
．
故选：D．
7．D
本题考查作图—垂直平分线的作法、直线平行的性质、平行直线分线段成比例定理、含角的直角三角形的性质．根据作图方法可知垂直平分线段，从而可得，根据可得，再结合即可求得答案．
解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故选：D．
8．A
连接，根据等弧对等角求出，再利用圆内接四边形对角互补求出，最后利用三角形内角和定理即可得到答案．
本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题关键．
解：如图，连接，
∵，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
同理，
∴，
故选：A．
9．A
本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧对等角，求出的度数，然后根据等腰三角形“等边对等角”的性质并结合三角形的外角的性质，求出的度数即可．
解：∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，，
∴，
∵，
∴；
故选A
10．C
本题利用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键．①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等，即可得到，且相似比为1；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过B作，交的延长线于F，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积．
解：①∵，，
∴，
在和中 ，
∴，
∴，且相似比为1；故①正确；
③，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故③正确；
②过B作，交的延长线于F，
∵，，
∴，
又∵③中，，
∴，
∵，
∴，
∴，故②不正确；
④∵，，
∴在中，，
∴，故④正确，
故选：C．
11．
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成立定理可得，再代入各个线段的长计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键．
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．或/5或4
本题考查了勾股定理、特殊三角形的外接圆的半径，分是直角边或是斜边两种情况讨论，利用勾股定理求解即可．
解：当是直角边时，斜边，则其外接圆的半径是
当是斜边时，则其外接圆的半径是．
故答案为：或．
13．/
本题考查的是相似多边形的性质、解一元二次方程及解分式方程，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．根据相似多边形的性质即可得到结论．
解：∵矩形矩形，
∴，，
∵，
∴，
解得：．（负值舍去）
经检验：是分式方程的解．
故答案为：
14．
题目主要考查正方形的性质，中位线的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
连接，根据题意得出，确定，再由中位线定理得出，，根据平行线的判定和性质得出，即可求解．
解：连接，如图所示：
∵为圆的直径，，为圆内接正方形，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴阴影部分面积为：，
故答案为：．
15．
本题考查了圆内角的度数推导及圆周角定理的应用，解题的关键是通过作辅助线（如连接）将圆内角转化为两个圆周角的和，再利用“圆周角的度数等于它所对弧度数的一半”的性质推导圆内角度数．
连接，利用三角形外角性质（）将圆内角拆分为两个圆周角；其中是弧所对的圆周角，是弧所对的圆周角；根据圆周角与弧的关系，分别表示出两个圆周角的度数，再相加即可得到的度数．
解：连接，
∵是的外角，
∴；
∵是弧所对的圆周角，弧的度数为，
∴；
∵是弧所对的圆周角，弧的度数为，
∴；
∴．
故答案为：．
16．
先以A为坐标原点，建立直角坐标系，再分别求出、的解析式，由此求得的坐标，求出，由此可得出点在以为圆心，半径为1，圆心角为的扇形的圆弧，当在正方形的对角线上时，有最小值，并求出最小值即可．
解：如图，以A为坐标原点，建立直角坐标系，其中点B在x轴正半轴上，点D在y轴的正半轴上，连接，过H作轴于点J，过点E作于点I，
则，，
设，则，
，
，
∵四边形是边长为1的正方形，
，，
，，，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
所以直线的解析式为，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
由①②得，
又，
，
，
，
设，则，
，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
，解得：，
，
，
∵E，F分别为线段，上的动点，且，
∴点在以为圆心，半径为1，圆心角为的扇形的圆弧，
当在正方形的对角线上时，有最小值，
，，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
本题考查了图形与坐标综合，矩形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，求一次函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
17．(1)5
(2)图见解析，
本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，根据垂径定理得到，设，在利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答；
（2）延长交于点并连接，再利用勾股定理即可求解．
（1）解：如图，连接，
∵，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∴半径的长为5；
（2）解：如图，
由（1）得，半径的长为5，
∴，
∴在中，，
∴的长为．
18．(1)①；②见解析
(2)成立，证明见解析
本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解答本题的关键．
（1）①根据题意得，得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，得到，再根据外角的性质可得结论；
②连接，证明是等腰直角三角形即可；
（2）过点D作于点H．证明、是等腰直角三角形，得到，再证明即可得到结论．
（1）解：①∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵O为的中点，且，
∴，
∴
∴，
故答案为：；
②如图，连接．
∵，点O是的中点，
∴，
∴，
∴．
∴是等腰直角三角形，
∴．
（2）解：成立
证明：如图，过点D作于点H．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴=，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
又，
∴，
又，
又，
∴，
∴，即（1）②中结论仍然成立
19．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理先得到，进而得到，则，即可求出的长．
解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴．
20．(1)见解析
(2)
本题考查了旋转作图，扇形面积公式，正确作出旋转后的图形是解题的关键．
（1）分别作出三点绕点O顺时针旋转后的对应点，依次连接即可得顺时针旋转后的；
（2）可得圆环的面积即为边绕点旋转到扫过的面积，再由扇形面积公式求解即可．
（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如图，圆环的面积即为边绕点旋转到扫过的面积，
∴边绕点旋转到扫过的面积．
21．(1)证明见解析；
(2)．
本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）先得到，再根据圆内接四边形的性质得到， 进而得到，即可得出结论；
（2）先求出，连接， 根据，得到，进一步求出，再根据勾股定理即可求解．
（1）证明：∵为的直径，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
连接，如图：
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)
(2)见解析
本题考查了圆心角与弧的关系，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
（1）根据弧度关系得到角度关系，求得，再结合平行四边形的性质，即可求解；
（2）连接，证明是等边三角形，进而证明，即可得证 ．
（1）解：∵ ，且，
∴，
∵，
∴，
∵平行四边形中，，
∴；
（2）证明：连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
23．(1)的长为
(2)的长为或
（1）由勾股定理求得，根据直角三角形的性质可得，再由三角形中位线定理求得，由翻折的性质得，，求得，再由勾股定理求解即可；
（2）分两种情况：①当时，②当时，根据相似三角形的判定和性质求解即可．
（1）解：中，，，，
，
是边上的中线，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，，
将沿翻折得到，
，，
，
是的中位线，
，
，
设，则，
在中，，
，
即当点是边的中点时，的长为；
（2）解：①如图，当时，
，，
，
，
，
作于，
，，
，
，
，
，，
，
；
②如图，当时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，存在点，使得为直角三角形，的长为或．
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
24．(1)
(2)
（1）如图1中，连接、．根据即可解决问题；
（2）如图2中，连接，，，，作于．首先证明，求出，设，在中，利用勾股定理即可解决问题．
（1）解：如图1中，连接、．
四边形是正方形，
，
；
（2）解：如图2中，连接，，，，作于．
∵，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
解得或（舍弃），
．
本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．(共6张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上册第二次月考卷02
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 判断点与圆的位置关系
2 0.85 成比例线段
3 0.85 正多边形和圆的综合
4 0.85 用勾股定理解三角形；垂径定理的实际应用
5 0.75 相似三角形的判定与性质综合；利用平行四边形的性质证明
6 0.75 根据正方形的性质求角度；利用相似三角形的性质求解
7 0.65 作已知线段的垂直平分线；由平行判断成比例的线段；根据平行线的性质求角的度数；含30度角的直角三角形
8 0.65 同弧或等弧所对的圆周角相等；已知圆内接四边形求角度；三角形内角和定理的应用
9 0.64 利用弧、弦、圆心角的关系求解；三角形的外角的定义及性质；等边对等角
10 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形；利用两角对应相等判定相似
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 由平行截线求相关线段的长或比值
12 0.85 用勾股定理解三角形；求特殊三角形外接圆的半径
13 0.75 公式法解一元二次方程；相似多边形的性质；解分式方程（化为一元一次）
14 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；正多边形和圆的综合；正方形性质理解
15 0.65 三角形的外角的定义及性质；圆周角定理
16 0.4 根据正方形的性质求线段长；相似三角形的判定与性质综合；求一次函数解析式；根据矩形的性质与判定求线段长
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值
18 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；相似三角形的判定综合；用勾股定理解三角形；根据旋转的性质求解
19 0.75 由平行截线求相关线段的长或比值
20 0.65 求图形旋转后扫过的面积；画旋转图形
21 0.65 等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形；半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知圆内接四边形求角度
22 0.64 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用弧、弦、圆心角的关系求证；等边三角形的判定和性质；利用平行四边形的性质求解
23 0.4 折叠问题；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形；与三角形中位线有关的求解问题
24 0.4 用勾股定理解三角形；正多边形和圆的综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）2025—2026学年九年级数学上学期第二次月考卷02
（测试范围：九年级上册浙教版，第3-4章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．两个同心圆的圆心为点O，大圆的半径为，小圆的半径为．若点P在大圆内部但在小圆外部，则（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．8，12，6，9 B．3，4，20，2 C．0.5，9，0.6，6 D．1，2，3，4
3．如图，正方形内接于，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）
A．3米 B．10米 C．12米 D．20米
5．如图，在平行四边形中，E是延长线上一点，交于点F，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形网格中，、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点；②作直线，分别交于点，连接．若，则的周长是（ ）
A． B． C．12 D．18
8．如图，线段为的直径，．若，与的延长线交于F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的直径，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，下列结论∶①；②点B到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为 ．
12．已知直角中，，，则其外接圆的半径是 ．
13．如图，矩形矩形，且．若，则的长为 ．
14．如图，为圆的直径，，为圆内接正方形，，分别为的中点，则阴影部分面积为 ．
15．定义：顶点在圆内，并且角的两边与圆相交的角叫圆内角．例如图中为圆内角，设的两边及其反向延长线所夹的弧、的度数分别为、，则的度数是 （用、表示）
16．在边长为1的正方形中，E，F分别为线段，上的动点，且，连接B，F，过E点作于点H，连接C，H，则的最小值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图所示，在中，半径弦，垂足为，，．
(1)求半径的长．
(2)作图：延长交于点并连接，求的长．
18．如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接．
(1)如图（1），若．
①填空： ；（用含α的式子表示）
②求证：．
(2)将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
19．如图，点D是边上的一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交于点G，已知，，．求的长．
20．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
(1)画出绕点顺时针旋转后的；
(2)边绕点旋转到扫过的面积为_________．
21．如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．在扇形中，，点B在上，且，点E在半径上，以为邻边作平行四边形，当点C，B，F共线时，
(1)求的度数；
(2)求证：．
23．如图，在中，，，，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到．
(1)如图，线段与线段相交于点，当点是边的中点时，求的长；
(2)如图2，线段与线段相交于点，是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
24．如图正方形内接于，为任意一点，连接、．
(1)求的度数．
(2)如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度．
