22.1
第2课时 比例线段的性质
教学目标
1．掌握比例的基本性质、合比性质、等比性质．
2．能够根据比例的性质求线段的长度和比值．
3．了解比例基本性质的不同变形形式．
教学重难点
运用比例的基本性质、合比性质、等比性质及变形进行计算．
教学过程
导入新课
复习四个数a，b，c，d成比例的定义，比例的项、内项及外项的含义.
推进新课
一、合作探究
【问题1】
已知ad＝bc，将其改写成比例式，共有几种情况？
教给学生等积式化比例式的方法．分类讨论：认准等积式中的一条线段，它可以在比例的内项、外项共四个位置出现，以a为例：
(1)＝，＝，＝，＝.
(2)找出与a作乘积的项d，放在相应位置上．
＝，＝，＝，＝.
(3)写出其余两项，分别有两种情况，同时交换比例的内项或外项，共可得到八个比例式：
①＝，②＝，③＝，④＝，⑤＝，⑥＝，⑦＝，⑧＝.
【问题2】
如果b2＝ac，那么能写出什么样的比例式？
如果b2＝ac，那么＝.相反地，如果＝，那么b2＝ac.
比例的基本性质：内容：＝ad＝bc；
特例：＝b2＝ac.
说明：教师强调，它的作用是将等积式与比例式互化，由于线段的长度都是正数，因此由一个等积式可得到八种比例式．
【问题3】
如果＝，等式两边同时加上1，能得到什么比例式？如果同时减去1呢？再根据比例的基本性质，又能得出什么比例式？
两边同时加上1，得＝；由比例的基本性质，可得＝.
两边同时减去1，得＝；由比例的基本性质，可得＝.
【问题4】
＝＝＝＝，那么等于多少？它和前面的比例有何关系？
设计意图：通过数的计算，引出字母性质的证明．
【问题5】
如果＝＝＝…＝，且b1＋b2＋b3＋…＋bn≠0，试证明：＝.
教师给予引导、学生探究．
二、巩固提高
课本上的例1、例2、例3.学习例3时要进行说明黄金分割的由来．
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，即，取其前三位数字的近似值是0.618.由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比．
补例：如图，已知＝，AB＝10
cm，AD＝2
cm，BC＝7.2
cm，E为BC中点．求EF，BF的长．(答：0.72
cm，2.88
cm)
分析：应着重培养学生的分析能力，分析图中哪些线段可知长度，并列出关于一个未知数的方程来解决问题．
三、随堂训练
1．在相同时刻，物高与影长成正比例，如果高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么影长为30米的旗竿的高为__________．
2．已知点C是线段AB的黄金分割点，若＝≈0.618，则＝__________≈__________.
3．已知＝＝≠0，则＝__________，＝__________.
本课小结
1．要注意灵活地运用比例线段的多种不同的变化形式，但无论怎样变化，它们都保持ad＝bc的基本性质不变．
2．合比性质与基本性质要能混合应用．
3．注意：使用等比性质时要保证分母相加后不为0. 22.1
比例线段
（第1课时）
第1课时 比例线段
教学目标
1．通过具体实例认识图形的相似，了解相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边的比相等．
2．了解比例线段、项、比例外项、比例内项、比例中项等概念．
教学重难点
比例线段的概念及两个相似多边形的特征；判断四条线段成比例的方法．
教学过程
导入新课
请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星它们的形状、大小有什么关系？再如下图的两个画面，它们的形状、大小有什么关系？(还可以再举其他例子)
推进新课
一、新知探究
【问题1】
由于不同的需要，我们用同一底片冲洗、放大得到的相片有1寸的，也有2寸的，也有更大的，这些大小不一样的相片，其形状相同．大小不相同的中国地图或世界地图，其形状也是相同的，只是由于需要的不同，印制成大小不一的图片．在日常生活中我们会看到许多这样形状相同，而大小不一定相同的图形．这样的图形叫什么呢？学生自学课本．
共同归纳得出：把形状相同的图形叫做相似图形．
注意：(1)相似图形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关；(2)两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形；(3)在识别相似图形时，不要以位置为准，要“形状相同”．
【问题2】
让学生再举几个相似图形的例子．
目的是让学生巩固相似图形的概念．
【问题3】
如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？
归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比．
成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如＝(即ad＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
注意：(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；(2)线段的比是一个没有单位的正数；(3)四条线段a、b、c、d成比例，记作＝或a∶b＝c∶d.
【问题4】
下面左下图中两个四边形是相似图形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间有什么关系呢？对应角之间又有什么关系？
再看看右上图中两个相似的五边形，是否与你观察左上图所得到的结果一样？
概括：两个相似多边形的特征：对应边成比例，对应角相等．
实际上这也是我们识别两个多边形是否相似的方法，即如果对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似．
思考：两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？
【问题5】
相似多边形对应边的比称为相似比．相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？
相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形．
二、巩固提高
1．想一想：放大镜下的图形和原来的图形相似吗？你看过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？
2．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1＝7∶8∶11∶14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．
分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．
解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，
∴AB∶BC∶CD∶DA＝A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1.
∵A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1＝7∶8∶11∶14，
∴AB∶BC∶CD∶DA＝7∶8∶11∶14.
设AB＝7k，则BC＝8k，CD＝11k，DA＝14k.
∵四边形ABCD的周长为40，
∴7k＋8k＋11k＋14k＝40.∴k＝1.
∴AB＝7，BC＝8，CD＝11，DA＝14.
三、达标训练
1．下列说法正确的是( )．
A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似
B．所有的课本都是相似的
C．商店新买来的一副三角板是相似的
D．国旗的五角星都是相似的
2．在比例尺是1∶8
000
000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离是7.5
cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？
3．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10
cm和4
cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6
cm，那么四边形A1B1C1D1的最长边的边长是多少？
本课小结
1．相似多边形的概念，相似比、成比例线段的概念和性质．
2．相似与全等既有联系，又有区别．首先，从它们各自具备的特征来说：(1)它们都具备“形状相同”的本质特征，对应角都相等．(2)全等形的大小相同，对应边相等；而相似三角形大小不一定相同，对应边成比例．(3)全等形可以看作是相似形的特殊情况，其相似比k＝1；反过来，当相似比k＝1时，两个相似形全等．22.1
第3课时 平行线基本定理
教学目标
1．理解平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理．
2．会利用平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理求一些线段的长．
3．了解将已知线段n等分的方法．
教学重难点
平行线分线段成比例的几种类型及应用．
教学过程
导入新课
在记录本上任画两条斜线，让这两条斜线与本子上的三条平行线相交，度量这两条斜线被本子上的三条平行线分成的四条线段，它们成比例吗？
推进新课
一、合作探究
【问题1】
如图，过△ABC的边AB上任意一点D作直线DE平行于BC交AC于点E，分别度量在AB上截得的两条线段AD、BD和在AC上截得的两条线段AE、EC的长度，与相等吗？
学生自己画图，再动手测量(要求测量要尽量准确)，看计算与的结果是否大致相等．(结果：大致相等)
【问题2】
任意平移DE，再度量AD，BD，AE，EC的长度，与还相等吗？
度量后回答．(结果仍相等)
然后让学生合作探究学习课本上的证明，教师给予指导．
【问题3】
如把上面的问题改为：
如图，任意画两条直线l1、l2，再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4、l5，与相等吗？
让学生试着转化为问题1的类型进行说明．
最后师生共同归纳出定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得对应线段成比例．
【问题4】
当直线l1，l2的位置变化时，如图，直线l1、l2分别被三条平行线l3、l4、l5截于点A、B、C和D、E、F.问与相等吗？
教师引导学生进行证明，引导作出辅助线是关键．
证明后得出平行线分线段成比例定理：
两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．
【问题5】
在问题4中若AB＝BC，那么DE与EF有何关系？
显然＝1，又＝，所以＝1，故DE＝EF.
于是得到平行线等分线段定理：
两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等．
二、巩固提高
【例】
如图，在△ABC中，DE∥BC，写出图形中的比例式，试试你能写出多少个？
解：根据平行线分线段成比例定理，有＝，＝，＝，＝等．只要写出的比例式左右对应即可．
三、随堂训练
已知在∠O的一边上顺次有A，B两点，在另一边上顺次有C，D两点，若AC∥BD，则正确的是( )．
A．＝ B．＝
C．＝
D．＝
本课小结
1．平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理．
2．利用平行线等分线段定理对线段进行等分、倍分．
3．无论是平行线分线段成比例定理，还是平行线等分线段定理，一定至少要有两条平行线．
1．对相似多边形的理解
两个边数相同的多边形，如果对应角都相等，对应边都成比例，叫做相似形．如果两个多边形的对应边都成比例，对应角都分别相等，那么这两个多边形相似．相似具有传递性．
因此判断两个边数相同的多边形相似的方法是：首先判断对应边是否成比例，再判断对应角是否相等．两个等边三角形一定相似，两个等腰直角三角形一定相似，两个正方形一定相似，但所有的菱形不一定相似，因为对应角不一定相等．
2．相似与全等的联系和区别
相似与全等既有联系，又有区别．首先，从它们各自具备的特征来说，(1)它们都具备“形状相同”的本质特征，对应角都相等．(2)全等形的大小相同，对应边相等；而相似形大小不一定相同，对应边成比例．(3)全等形可以看作是相似形的特殊情况，其相似比k＝1；反过来，当相似比k＝1时，两个相似形全等．
3．相似符号的起源
最初的几何知识是从人们对形的直觉中萌发出来的，是从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作、建筑设计及绘画装饰中加以体现．早期人类对几何的兴趣，不只是对圆、三角形、正方形等一系列几何形状的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何知识的运用，几何知识随着人们的实践活动而不断扩展．
十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了“＝”，他在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”表示全等，这就是相似符号的起源．
4．对“黄金分割”的理解
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618.由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比．这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：
≈1.618，≈0.618.
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．
一个很能说明问题的例子是五角星．五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的．正五边形对角线连接后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形．
由于五角星的顶角是36°，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin
18°.
黄金分割点是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比约等于0.618∶1.线段上有两个这样的点．
利用线段上的两个黄金分割点，可作出正五角星，正五边形．
2
000多年前，古希腊雅典学派的欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比．
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最宝贵的算法”．这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法．
其实有关“黄金分割”，我国也有记载．虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度．经考证，欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的．
黄金分割(Golden
Section)是一种数学上的比例关系．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618，就像圆周率在应用时取3.14一样．
黄金矩形(Golden
Rectangle)的长、宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边的1.618倍．黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它．希腊雅典的帕撒神农庙就是一个很好的例子．达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形．《蒙娜丽莎》的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局．
